放縮法在導(dǎo)數(shù)壓軸題中的應(yīng)用

1、恰當(dāng)采用放縮法 巧證導(dǎo)數(shù)不等式鄭州市第四十四中學(xué) 蘇明亮放縮法是高中數(shù)學(xué)中一種重要的數(shù)學(xué)方法，尤其在證明不等式中經(jīng)常用到由于近幾年數(shù)列在高考中的難度要求降低，放縮法的應(yīng)用重點(diǎn)也逐漸從證明數(shù)列不等式轉(zhuǎn)移到導(dǎo)數(shù)壓軸題中，尤其是在導(dǎo)數(shù)不等式證明中更是大放異彩.下面試舉幾例，以供大家參考一、利用基本不等式放縮，化曲為直例1（2012年高考遼寧卷理科第21題（）設(shè).證明：當(dāng)時(shí)，.證明：由基本不等式，當(dāng)時(shí)，故.記，則.當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)是減函數(shù).故又由，所以，即， 故當(dāng)時(shí)，.評(píng)注：本題第()問若直接構(gòu)造函數(shù)，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，由于中既有根式又有分式，因此的零點(diǎn)及相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)很難確定，而通過對(duì)進(jìn)行放縮處理，使問題

2、得到解決.上面的解法中，難點(diǎn)在用基本不等式證明，亦即是將拋物線弧放大化簡(jiǎn)為直線段，而該線段正是拋物線弧在左端點(diǎn)處的切線，這種“化曲為直”的方法是我們用放縮法處理函數(shù)問題的常用方法.二、利用單調(diào)性放縮，化動(dòng)為靜例2（2013年新課標(biāo)全國卷第21題（）已知函數(shù).當(dāng)時(shí)，證明.證法1：函數(shù)的定義域?yàn)?，則.設(shè)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增.又，故在上有唯一實(shí)根.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，從而當(dāng)時(shí)，取得最小值為. 由方程的根為，得，故（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），又因?yàn)闀r(shí)，所以.取等號(hào)的條件是，及同時(shí)成立，這是不可能的，所以，故 .證法2：因在定義域上是增函數(shù)，而，所以，故只需證明當(dāng)時(shí)，即可.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.又，故在上有唯一實(shí)根

3、，且.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，從而當(dāng)時(shí)，取得最小值.由得，故.綜上，當(dāng)時(shí)，. 評(píng)注：借助導(dǎo)數(shù)取值研究函數(shù)單調(diào)性是證明初等不等式的重要方法.證法1直接求導(dǎo)證明，由于其含有參數(shù)，因而在判斷的零點(diǎn)和求取得最小值顯得較為麻煩；證法2利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化動(dòng)為靜，證法顯得簡(jiǎn)單明了.此外，本題也是處理函數(shù)隱零點(diǎn)問題的一個(gè)經(jīng)典范例.三、活用函數(shù)不等式放縮，化繁為簡(jiǎn)兩個(gè)常用的函數(shù)不等式： 兩個(gè)常用的函數(shù)不等式源于高中教材（人教A版選修2-2，）的一組習(xí)題，曾多次出現(xiàn)在高考試題中，筆者曾就此問題寫過專題文章1.例3（2014年高考新課標(biāo)卷理科第21題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（I）求（II）證明：.分析：本題以曲

4、線的切線為背景，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用導(dǎo)數(shù)作工具研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)最值以及不等式的證明.第（I）問較容易，一般學(xué)生都能做出來，只需求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，易得.第（II）問難度較大，主要考查考生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明不等式的能力及運(yùn)算求解能力，是近年來高考?jí)狠S題的熱點(diǎn)問題.本題第（II）問證法較多，下面筆者利用函數(shù)不等式來進(jìn)行證明.證明：由，得，即，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)） 又由，得，故，兩邊取自然對(duì)數(shù)得，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)） 由于、式等號(hào)不能同時(shí)成立，兩式相加得，兩邊同乘以，得. 評(píng)注：本題證明中利用函數(shù)不等式，并進(jìn)行適當(dāng)變形，結(jié)合不等式性質(zhì)進(jìn)行證明，從而避免了繁雜的計(jì)算，過程簡(jiǎn)潔自然，易于理解.例

5、4（2016年高考山東卷理科第20題（）已知.當(dāng)時(shí)，證明對(duì)于任意的成立.證明：的定義域?yàn)?，時(shí)，由 得，.即只需證，令，則.設(shè)，則在單調(diào)遞減，因?yàn)椋栽谏洗嬖谑沟脮r(shí)，時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由于，因此當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以，即對(duì)于任意的恒成立.評(píng)注：要證明，比較麻煩的是式子中有，如果能讓它消失，問題勢(shì)必會(huì)簡(jiǎn)單些，所以自然就想到了利用比較熟悉的函數(shù)不等式進(jìn)行放縮，方法自然，水到渠成.上述兩個(gè)常用函數(shù)不等式的變式： 四、巧用已證不等式放縮，借水行舟例5（2016年高考新課標(biāo)卷文科21題）設(shè)函數(shù).（I）證明當(dāng)時(shí)，；（II）設(shè)，證明當(dāng)時(shí)，.證明：（I）易證當(dāng)時(shí)，即.（II）由題

6、設(shè)，設(shè)，則，令，解得.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.由（I）知，故，又，故當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，評(píng)注：本題第（II）問利用第（I）中已證明的不等式及巧妙地求出，進(jìn)而利用在單調(diào)性及端點(diǎn)值證明出利用已證不等式（或結(jié)論）服務(wù)后面問題的情況，在高考和?？荚囶}中屢屢出現(xiàn)，這種解題中的“服務(wù)意識(shí)”不僅可以避開復(fù)雜的計(jì)算，往往也為解題思路指明了方向下面再看一例：例6（2013年高考遼寧卷理科21題）已知函數(shù) 當(dāng)時(shí)，（I）證明： ；（II）確定的所有可能取值，使得 恒成立證明：（I）證明：要證時(shí)，只需證明記，則當(dāng)時(shí)，因此在上是增函數(shù)，故所以，要證時(shí)， ，只需證明綜上，（II）解： 設(shè)，則記，則當(dāng)時(shí)，于是在上是減

7、函數(shù)，從而當(dāng)時(shí)，故在上是減函數(shù)于是，從而所以，當(dāng)時(shí)， 在上恒成立下面證明，當(dāng)時(shí)， 在上不恒成立 ，記，則，當(dāng)時(shí)，故在上是減函數(shù)，于是在上的值域因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以存在，使得，此時(shí)，即 在上不恒成立 綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是 評(píng)注：本題第二問是一道典型的恒成立求參問題，這類題目很容易讓考生想到用分離參數(shù)的方法，但分離參數(shù)后利用高中所學(xué)知識(shí)無法解決（筆者研究發(fā)現(xiàn)不能解決的原因是分離參數(shù)后，出現(xiàn)了“型”的式子，解決這類問題的有效方法就是高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則）；若直接構(gòu)造函數(shù)，里面涉及到指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及高次函數(shù)，處理起來難度很大本題解法中兩次巧妙利用第一問的結(jié)論，通過分類討論和假設(shè)反正，使問題得到解決上述幾道導(dǎo)數(shù)不等式都不是考查某個(gè)單一的初等函數(shù)，而是綜合考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)（尤其與“”和“”有關(guān)）、三角函數(shù)以及帶根號(hào)的冪函數(shù)和其它函數(shù)綜合在一起，如果直接求導(dǎo)或求函數(shù)零點(diǎn)較為困難，而通過上述放縮法處理，或化動(dòng)為靜或化曲為直或化繁為簡(jiǎn)或借水行舟，其實(shí)就是將這些難以處理的函數(shù)轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的函數(shù)進(jìn)行處理由于放縮的尺度不