成都理工大學(xué) 高數(shù)下 重修 PPT D11-7.8.9梯度、散度、旋度

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第七、八、九節(jié)第七、八、九節(jié)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 l),(zyxP一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)定義定義: 若函數(shù)),(zyxff0lim則稱(chēng)lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz為函數(shù)在點(diǎn) P 處沿方向 l 的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù).),(),(lim0zyxfzzyyxxf在點(diǎn) ),(zyxP處沿方向 l (方向角為, ) 存在下列極限: P記作記作 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,),(),(處可微在點(diǎn)若函數(shù)zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,flf0limcoscoscosz

2、fyfxflf.,的方向角為其中l(wèi)證明證明: 由函數(shù)),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在點(diǎn) P 可微 , 得P故coscoscoszfyfxf目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、梯度二、梯度 方向?qū)?shù)公式coscoscoszfyfxflf令向量這說(shuō)明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：zfyfxfG,)cos,cos,(cosl)1(llGlf,方向一致時(shí)與當(dāng)Gl:GGlfmax),cos(lGG目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 定義定義),(Pfadrg即)()(PfPfadrg同樣可定義二元函數(shù)),(yxf

3、),(yxP),(, ),(),(yxfyxfyxffyxgrad稱(chēng)為函數(shù) f (P) 在點(diǎn) P 處的梯度)(, )(, )(PfPfPfzyx記作(gradient),在點(diǎn)處的梯度 G說(shuō)明說(shuō)明: 函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影:向量),(Pf或其中zyx,稱(chēng)為向量微分算子向量微分算子或 Nabla算子算子.leflfgradgrad( 為方向l 上的單位向量)lezfyfxfG,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 梯度的幾何意義梯度的幾何意義Oyx1cf 2cf )(321ccc設(shè)P面上的投影在曲線xOyczyxfz),(cyxfL),(:*稱(chēng)為函數(shù) f 的等值線等值線或等高線等高線

4、. ,不同時(shí)為零設(shè)yxff則L*上點(diǎn)P 處的法向量為 Pyxff),(Pfgradgrad3cf , ),(yxfz 對(duì)函數(shù)舉例函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值線,指向函數(shù)增大的方向.同樣, ),(zyxfu 的等值面(等量面). czyxf),(當(dāng)其各偏導(dǎo)數(shù)不同其上點(diǎn) P 處的法向量為Pfgradgrad稱(chēng)為時(shí)為零時(shí), Pf.Pf目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 等高線圖舉例等高線圖舉例-2-1012-2-101200.511.52-2-1012-2-1012-2-101222122)2(yxeyxz-2-1012-2-1012這是利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica 繪制的曲面及其等高線圖, 帶陰

5、影的等高線圖中, 亮度越大對(duì)應(yīng)曲面上點(diǎn)的位置越高等高線圖帶陰影的等高線圖目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例. 設(shè)函數(shù)解解: (1) 點(diǎn)P處切平面的法向量為0) 1(0) 1() 1(2zyx032 yx在點(diǎn) P(1,1,1) 處的切平面方程.故所求切平面方程為即zyxzyxf2),(2) 求函數(shù) f 在點(diǎn) P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向?qū)?shù).(1)求等值面 2),(zyxf)0, 1, 2(2) 函數(shù) f 在點(diǎn)P處增加最快的方向?yàn)檠卮朔较虻姆较驅(qū)?shù)為5)(PfnfPPzzyyyzxPfn)ln,2()(1)0, 1, 2()(Pfn注意注意: 對(duì)三元函數(shù), 與垂直的方向有無(wú)窮多)(P

6、f目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 梯度的基本運(yùn)算公式梯度的基本運(yùn)算公式ucucgradgrad)(2)vuvugradgradgrad )(3)uvvuvugradgradgrad)(4)uufufgradgrad)()()6(00) 1 (cc或grad為常數(shù)）c (ucuc)(或vuvu)(或uvvuvu)(或uufuf)()(或2)()5(vvuuvvugradgradgrad2)(vvuuvvu或目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例題例題. 函數(shù))ln(222zyxu在點(diǎn))2,2, 1 (M處的梯度Mugradgrad)2, 2 , 1 (,zuyuxuuMgradgrad解解:,222zy

7、xr令則xu21rx2注意 x , y , z 具有輪換對(duì)稱(chēng)性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、通量與散度三、通量與散度引例引例. 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的密度為1, 速度場(chǎng)為kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(理意義可知, 設(shè) 為場(chǎng)中任一有向曲面, yxRxzQzyPdddddd單位時(shí)間通過(guò)曲面 的流量為 則由對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的物 由兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系, 流量還可表示為SRQPdcoscoscosSnvd目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若 為方向向外的閉曲面, yxRxzQzyPdddddd當(dāng) 0

8、 時(shí), 說(shuō)明流入 的流體質(zhì)量少于 當(dāng) 0 時(shí), 說(shuō)明流入 的流體質(zhì)量多于流出的, 則單位時(shí)間通過(guò) 的流量為 當(dāng) = 0 時(shí), 說(shuō)明流入與流出 的流體質(zhì)量相等 . 流出的, 表明 內(nèi)有泉; 表明 內(nèi)有洞 ;根據(jù)高斯公式, 流量也可表為zyxzRyQxPdddnn目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zyxzRyQxPddd方向向外的任一閉曲面 , 記 所圍域?yàn)?, 設(shè) 是包含點(diǎn) M 且為了揭示場(chǎng)內(nèi)任意點(diǎn)M 處的特性, M在式兩邊同除以 的體積 V, 并令 以任意方式縮小至點(diǎn) M 則有),(M記作VMlimzyxzRyQxPVMddd1lim),(limzRyQxPMMzRyQxP此式反應(yīng)了流速場(chǎng)在點(diǎn)M

9、的特點(diǎn): 其值為正,負(fù)或 0, 分別反映在該點(diǎn)有流體涌出, 吸入, 或沒(méi)有任何變化. ),(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義: 設(shè)有向量場(chǎng)kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(其中P, Q, R 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 是場(chǎng)內(nèi)的一片有向 則稱(chēng) 曲面, 其單位法向量 n, SnAd為向量場(chǎng) A 通過(guò)有向曲面 的通量(流量) .在場(chǎng)中點(diǎn) M(x, y, z) 處 稱(chēng)為向量場(chǎng) A 在點(diǎn) M 的散度. 記作AdivzRyQxPAdiv顯然A目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0divA表明該點(diǎn)處有正源, 0divA表明該點(diǎn)處有負(fù)源, 0divA表明該點(diǎn)處無(wú)源, 散度絕對(duì)值的大小反

10、映了源的強(qiáng)度.0divA若向量場(chǎng) A 處處有 , 則稱(chēng) A 為無(wú)源場(chǎng). 例如例如, 勻速場(chǎng) ),(),(為常數(shù)其中zyxzyxvvvvvvv 0divv故它是無(wú)源場(chǎng).說(shuō)明說(shuō)明: 由引例可知, 散度是通量對(duì)體積的變化率, 且散度意義 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例. . 置于原點(diǎn), 電量為 q 的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為rrqE3.divE求解解: 3ryy3rzz5223rxrq5223ryr 5223rzr03rxx),(3zyxrq)0(r)0(r qEdiv目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、四、 環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度斯托克斯公式y(tǒng)xxzzyyPxQxRzPzQyRdd)(dd)(dd)

11、(zRyQxPddd設(shè)曲面 的法向量為 曲線 的單位切向量為則斯托克斯公式可寫(xiě)為 SyPxQxRzPzQyRdcoscoscossRQPd)coscoscos()cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yPxQxRzPzQyR,令 , 引進(jìn)一個(gè)向量),(RQPA Arotrot記作向量 rot A 稱(chēng)為向量場(chǎng) A 的RQPkjizyx稱(chēng)為向量場(chǎng) A 定義定義: sAzRyQxPdddd沿有向閉曲線 的環(huán)流量環(huán)流量.sASnAddrotrot或 sASAndd)(rotrot于是得斯托克斯公式的向量形式 : 旋度旋度. A目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zxyOl設(shè)某剛體繞定軸 l 轉(zhuǎn)動(dòng),M 為剛體上任一點(diǎn), 建立坐標(biāo)系如圖,M則),(zyxr 角速度為,r), 0, 0(點(diǎn) M 的線速度為rvvrotrotzyxkji00)0,(xy0 xykjizyx)2, 0, 0(2(此即“旋度”一詞的來(lái)源)旋度的力學(xué)意義旋度的力學(xué)意義:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 向量場(chǎng) A 產(chǎn)生的旋度場(chǎng) 穿過(guò) 的通量 注意 與 的方向形成右手系! sASAndd)(rotrot向量場(chǎng) A 沿 的環(huán)流量斯托克斯公式斯托克斯公式的物理意義的物理意義:例例4. 求電場(chǎng)強(qiáng)度 rrqE3zyx