導(dǎo)數(shù)問題的六大應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)問題的六大熱點(diǎn)導(dǎo)數(shù)部分內(nèi)容，由于其應(yīng)用的廣泛性，為解決函數(shù)問題提供了一般性的方法及簡捷地解決一些實(shí)際問題因此在高考新課程卷中占有較為重要的地位，其考查重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)判斷或論證單調(diào)性、函數(shù)的極值和最值，利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題等方面，常以一小一大或二小一大的試題出現(xiàn)，分值1217分下面例析導(dǎo)數(shù)的六大熱點(diǎn)問題，供參考一、運(yùn)算問題是指運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)和差積商的導(dǎo)數(shù)，及復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則，直接求出其導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算問題例1已知為正整數(shù).設(shè)證明：因?yàn)?，所以? 已知y(x1)2，用定義法求y' 求y2x23x4的導(dǎo)數(shù) 已知函數(shù)f(x)，且(1)2，求a的值分析：對于運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定

2、義，即y'，即可解決；對于可應(yīng)用(u±v)'vu以及解之；對于是逆向型的復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算問題，用及方程思想即可解決解析： y'2x2 由法則，即得y'4x3 (ax21)2ax，即(1)a(a1)2，解得a2二、切線問題 是指運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義或物理意義，解決瞬時速度，加速度，光滑曲線切線的斜率等三類問題特別是求切線的斜率、傾斜角及切線方程問題，其中： 曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的斜率k，傾斜角為，則tank 其切線l的方程為：yy0(xx0)若曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)的切線平行于y軸(即導(dǎo)數(shù)不存在)時，由切線定義知，切線方

3、程為xx0例3 已知，函數(shù)設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為 求的方程； 設(shè)與軸交點(diǎn)為證明：；若，則 解：求的導(dǎo)數(shù)：，由此得切線的方程： 證明：依題意，切線方程中令y0，. 由.例4設(shè)，曲線在處切線的傾斜角的取值范圍是，則到曲線對稱軸距離的取值范圍是（A）（B）（C）（D） 解：2axb，故點(diǎn)處切線斜率k2ax0btan0，1，于是點(diǎn)P到對稱軸x的距離d|x0()|，故選(B)三、單調(diào)性問題一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)如果f '(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f '(x)0，則f(x)為減函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重點(diǎn)內(nèi)容，主要有四類問題：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間；證明單調(diào)性；已知

4、單調(diào)性求參數(shù)；先證明其單調(diào)性，再運(yùn)用單調(diào)證明不等式等問題例5 設(shè)a0，是R上的偶函數(shù)（I）求a的值；（II）證明在（0，+）上是增函數(shù)。 () 解：依題意,對一切xÎR有f(x)=f(-x)，即，所以對一切xÎR成立由此得到，即又因?yàn)?，所?)證明：由得 當(dāng)xÎ(0，+)時，有，此時，所以在(0，+)是增函數(shù). 評注：對于第()問是證明函數(shù)的單調(diào)性，雖然可利用函數(shù)單調(diào)性定義直接證明，但對f(x1)f(x2)的變形要求較高，技巧性強(qiáng)，且運(yùn)算量大，是一種“巧法”；而利用導(dǎo)數(shù)法，簡捷明快，也成了“通法”四、極值問題即運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決極值問題一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)

5、，判別f(x0)為極大(小)值的方法是： 如果在x0附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么f(x0)是極大值 如果在x0附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么f(x0)是極小值例6 函數(shù)y13xx3有( )(A) 極小值1，極大值1(B) 極小值2，極大值3(C) 極小值2，極大值2(D) 極小值1，極大值3分析：本題是求已知三次函數(shù)的極值問題，考慮運(yùn)用導(dǎo)數(shù)先確定函數(shù)的單調(diào)性，再求其極值解：由y'33x20，得x1或x1當(dāng)x(，1)(1，)時，y'0當(dāng)x(1，1)時，y'0因此函數(shù)y13xx3在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，即x1是極小值點(diǎn)，x1是極大值點(diǎn)所

6、以極小值為1，極大值為3，故選(D)五、最值問題運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最大(小)值的一般步驟如下：若f(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則 求，令0，求出在(a，b)內(nèi)使導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) 比較三類點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，其中最大者便是f(x)在a，b上的最大值，最小者便是f(x)在a，b上的是小值例7 求函數(shù)f(x)x42x25在2，2上的最大值與最小值解： 4x34x，令0，解得x11，x20，x31，均在(2，2)內(nèi)計(jì)算f(1)4，f(0)5，f(1)4，f(2)13，f(2)13通過比較，可見f(x) 在2，2上的最大值為13，最小值為4六、應(yīng)用問題例8 用總長14.8m的鋼條制成一個長方體容器的框架，如果所制做容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積.分析：本小題主要考查應(yīng)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識、思想和方法解決實(shí)際問題的能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識解：設(shè)