最優(yōu)化控制時(shí)間燃料最優(yōu)控制問題

1、主要內(nèi)容|4.1 Bang-Bang 控制1.1 2線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)控制問題4.3 時(shí)間最優(yōu)控制系統(tǒng)的綜合4.4 燃料最優(yōu)控制問題4.5 時(shí)間-燃料最優(yōu)控制問題4.1Bang-Bang 控制問題4.1(時(shí)間最優(yōu)控制問題)已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程I%(/) =+ BX(ttU(t) (4.1.1)束見x。)，4是對(duì)X。)和，連續(xù)可微的維向量函數(shù)；8XQ), “是對(duì)XQ)和，連續(xù)可微的維的矩陣函數(shù).要求確定滿足下列不等式力(341 , / = l,2,j(4.1.2)約束的加維容許控制向量，使系統(tǒng)(4.1.1)從給定的初態(tài)X4) = X。到達(dá)滿足約束條件- x(o),0=o(4.1.3)(4.1

2、.4)的足一終態(tài)*9，其中“是可變的，是對(duì)X(/)和/連續(xù)川微的, 維向量函數(shù)。并使性能指標(biāo)達(dá)到最小值。解：(1)應(yīng)用最小值原理來求解。寫出該問題的哈密頓函數(shù)HXQ),2(7),Ua),“ = 1+27 (/)/X(F),7j+ 27 6XQ),U«)-(2)規(guī)范方程及邊界條件分別為- 啜=x(g+W 叩九(f)=-GH dfTX(atdXdX(t)4/)一dX(t)2(，)X4) = X。0X(rz),rz = Ode 耐 1 0 °H漢迪didiT=0，N/(3)控制方程為(/),)(/«),= min£/(/)gQ平+ 2'a)8X'

3、;(/)JU*Q)"Tmin (1 + 2r(/)/fX-(z)Jl + 2r(z)X7f),zC/(z)，片1，2廣，仙 I心胴著重分析下式：2r(r)BX*(r)Jt/*(0= min 2r(z)BX*(r)jt/(r) j = l,2,m 心咱(4.1.6) 令mu。)=萬 a)ax“ua)mu(»=:t 司 xa)"(f)幺討論方便起見，定義機(jī)維行向量(r) = 2r(r)BX(r)j其分量幻 Q-"X(f)，5 j = 12 ,m其中以XQ), 4是矩陣?yán)齒Q), /的第/個(gè)列向量，即dxa),”=%X5,%xa),4x(/),“FmMU。)

4、= Ay= q(，)U(。= Z/?J=1于控制函數(shù)U（Z）的各個(gè)分量君a”）01 旭約束都是彼此獨(dú)立的，所以 ,行?（，）匕而以交換最小與求和的次豆；(/) = 1 ,若/Q) V。跳變。 數(shù)。引是具有第一類間斷點(diǎn)的。段裙"函J8于是,;l'a)aX"Q)"K/*«)= min， = 12即 瓦2可轉(zhuǎn)化為如下條件| min i/U(t)= mn «).(，)=1,2,即1，”總回上尢=mip ”（，） = £ mip %"）"'（，）= 一工|%（，）| ） = 1,2,，7作（中片1中O才 由上

5、式可知，以/）=0，則勺（）有定義。%。） = 0,勺可取滿足約束條件41的任何值，勺O 不定。 j定義4.1 若在區(qū)間小,力內(nèi)，存在一時(shí)間可裁案w 區(qū)P = 1,2,；j = 1,2,m使得對(duì)所有的六1，2,，n,有 ,0,當(dāng)且僅當(dāng)"5,%（鳥=非零，當(dāng)j則稱該時(shí)間最優(yōu)問題良正常的O饒照：在正常的時(shí)間最優(yōu)問題中，函數(shù)為只是在有限個(gè)孤 立的時(shí)刻取零值.相應(yīng)的最優(yōu)控制分量勺（）僅在這些時(shí)刻發(fā)生O也就是最優(yōu)控制/；（/）是%（。的如定函數(shù)；a）不定,若%（，）= 0Q ；") = -sgn%") = -sgn彳'(r)Z?X(f)j j = 1,2,m, r

6、圖4-1定義4.2若在區(qū)間瓦，3內(nèi)，至少存在一個(gè)區(qū)間小切£心，力， 使得對(duì)所宥的生口，切有(t) = Ar(t)bjX (/),/ = 0, j = 1,2,，切1J_只要有一個(gè)函數(shù)%2,在某一段（或幾段）時(shí) 茄區(qū)間匕，切e;0,切上取零值，則稱該時(shí)間最優(yōu)問題是奇 異的，在區(qū)間。，切上，母等于零。此時(shí)，由關(guān)系式"/（，）= 一 sgn%（，）, ，= 12,"z無法確定最優(yōu)控制各分量勺定理4.1 Bang-Bang控制原理（正常的時(shí)間最優(yōu)控制問題） 設(shè)U*是問題4.1的時(shí)間最優(yōu)控制，X*和2是相應(yīng)的狀 聲和協(xié)態(tài)。若問題是正常的，則時(shí)間最優(yōu)控制UI）的各個(gè) 十量勺（

7、）（六1，2,，。可以按照下列關(guān)系確定w/ （0 = -sgn qry （/）=-sgn A7 （t）bjX （0, d） j = 則時(shí)間最優(yōu)控制的各個(gè)分量勺.（）都是時(shí)間/的分段常值函數(shù)， 并在開關(guān)時(shí)間為上發(fā)生勺*由一個(gè)恒值到另一個(gè)恒值的跳變。 上式還可以寫成向量的形式。（，）=-sgn /（，） = -sgn 萬。同=-sgn 夕XQ）,42Q）鈍明：定理4.1表明,一個(gè)正常的時(shí)間最優(yōu)控制問題，其最優(yōu) 控制的每個(gè)分量/均在自己的兩個(gè)邊界值之間來問轉(zhuǎn)換， 滿足%=0的諸點(diǎn)5恰好是轉(zhuǎn)換點(diǎn)。這是一種繼電型控制， 通常稱為Bang-Bang控制或開關(guān)控制。12Q）之值。2.奇異情況的出現(xiàn),既不意味

8、著時(shí)間最優(yōu)控制不存在，也不意 味著時(shí)間最優(yōu)控制無法定義，它僅僅表明，由控制方程不能 推出最優(yōu)控制U*。）與X*。）、X和，的確切關(guān)系.控制向量受限時(shí)，非線性系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)控制問題控制向量受限時(shí)，非線性系統(tǒng)的綜合最優(yōu)控制問題4.2線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)控制問題又(r) = AX(r) + bU(r)(4.2.1)問題4.2(時(shí)間最優(yōu)控制問題)已知線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)方程式中XQ)是維狀態(tài)向量，UQ)是m維控制向量，A是X維 矩陣，B是xm維常數(shù)矩陣。設(shè)系統(tǒng)(421)是、T 的。要求確定滿足下列不等式 nz(r)| < 1 / = 1,2,2(4.2.2)約束的m維容許向量UQ),使系統(tǒng)(

9、4.2.1)從給定的初態(tài)X (0) = Xo(4.2.3)出發(fā)，最快的轉(zhuǎn)移到代/.。解：(1)寫出該問題的哈密頓函數(shù)771X(0,2(0,67(/),/ = 1 + 2r(0AY(r) +I（2）規(guī)范方程及邊界條件分別為:1(/)= -Ar2(t) HX(tYX(t)yU(tYt = (t)AX(t)-BU(t) =1 + X ,(r)Ar2(r) + t/,(r)B,2(0X(O) = Xo、<I>X(r/),z/J = 0>+"+ 更J =o /r (424)dt dt=L y 1 +萬(o)4X(o)+紀(jì)(o*u(o)邑o= 1 + 4'(f)4XQ)

10、 + 8U(f)(3)應(yīng)用最小值原理: U*Q) = ?(7mJ) =-sgnA7(r)7 =-sgnqrQ) = sgn*4(f)式中q(t) = ¥3B或者U- (/) = -sgn幻(/) = -sgnAr(0Z?J式中與是矩陣8的第洌向量。定理4.2 (存在性定理)X(r) = AXQ) + BUQ)題來說，若矩陣人的特征值均具有負(fù)實(shí)部，則使 系統(tǒng)文=AX+ BU（r）從任意初態(tài)轉(zhuǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)間最優(yōu)控制一 定存在。定理4.3 （奇異性定理）當(dāng)且僅當(dāng)ni個(gè)“ x 維矩陣中G. = /9. ； Ab. ； A2bf ；./ = 1,2,，/ 小少有一個(gè)為奇異矩陣時(shí)，則時(shí)間最優(yōu)

11、控制問題4.2是奇基迪（證明略） 一 - 一非平凡定理4.4 （正常性定理）當(dāng)且僅當(dāng)下列加個(gè) x維矩陣Gz =/?/ Ab/: A%:""一% j = l,2,即 均為非奇異矩陣時(shí)，則時(shí)間最優(yōu)控制問題4.2是 正常的三，證明略）平凡 kx En18X(t) = AX(t) + BU(t)1 .對(duì)于完全可控的線性定常系統(tǒng)(421), 一定滿rankG = rankBl AB'：= n則 AG, = rank : Abf: A bi:A, b = n, J = l,2,i 由屁理4.4,完全可控的線性定常系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)控制問題都是正常的！若將系統(tǒng)(421)表示為X(/)

12、 = AX(r)+力必 Q) + 打2。)+ 2Q)A每一個(gè)控制勺均能單獨(dú)使系統(tǒng)X(/) = 4X(f) + “UQ) 由任意的初態(tài)在有限的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)：A容易判定所論問題是否屬于正常的時(shí)間最優(yōu)控制問題。2 .定理4.3和定理4.4的推證過程和最后結(jié)果，均未涉及到目標(biāo)集X(tf) o因此，不論！ 1，(如何，只要系統(tǒng)是線性時(shí)不變的,定理43和定理4.4都是成立的。定理4.5 (唯一性定理)X«) = AXQ) + 8UQ)若時(shí)間最優(yōu)問題4. 2線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)控制是存在的,耳其最優(yōu)控制問題是正常的，則最優(yōu)控制必是唯一的。(證明略)Uj (?) = -sgn優(yōu)明：1 .

13、由證明過程可知，時(shí)間最優(yōu)控制的唯一性定理同樣適用于 一般目標(biāo)集的情況。2 .問題(4.2)線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)控制問題是問題(4.1) 非線性時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)間最優(yōu)控制問題的一種特殊的情況。由 Bang-Bang控制原理可知，問題4.2的最優(yōu)控制滿足Bang-Bang控制原理，也是Bang-Bang控制。20定理4.6 (開關(guān)次數(shù)定理),設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)=的時(shí)間最優(yōu)H控制問題時(shí)間最優(yōu)控制U*存在，且是正常的，若矩陣A的 特征值均為實(shí)數(shù)，則控制向量的分量以，)的切換次數(shù) 月的最大值至多是一1,即每個(gè)分段常值最優(yōu)控制函數(shù) “廣最多能切換 一 1次。"是系統(tǒng)的階數(shù))說明：1、具體的切換次數(shù)

14、由系統(tǒng)狀:件和初始條仔決定；2、若矩陣力具有復(fù)數(shù)特征值，則切換次數(shù)不受此限制。21說明：3、問題4.2的母優(yōu)控制及其分量分別為t/ (r) = -sgnA/= -sgnBy2(r) 或a4法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的閉環(huán)控制。為實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的閉環(huán)控制，總是希望將最優(yōu)控制少及其分量勺* 表示成系統(tǒng)狀態(tài)X的函數(shù)，即得到狀態(tài)反饋的控制規(guī)律。要將最優(yōu)控制U及其分量”分別表示成如下形式的狀態(tài)反饋:U = -sgn/i(X) 或 w/ =-sgn7?y(X), J = 1,2, 7其中，(x)是狀態(tài)向量乂的切維向量函數(shù)，稱為一1| 。(X) = %(X),也(X),m(X)r當(dāng) (X)=。 時(shí)，稱為開關(guān)曲面或切換曲面。引入開

15、關(guān)函數(shù)之后，可以對(duì)問題4.2中所給定的系統(tǒng)X(0 = A¥(r) + BC/(r)線性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)間最優(yōu)控制問題小結(jié)時(shí)間最優(yōu)控制存在性的判別-存在性定理簡(jiǎn)單-極小值原理略微復(fù)雜但通用性強(qiáng) 時(shí)間最優(yōu)控制正常性的判別一正常性定理 時(shí)間最優(yōu)控制唯一性的判別 切換(開關(guān))次數(shù)定理4.3時(shí)間最優(yōu)控制系統(tǒng)的綜合在本節(jié)中,只討論邛啕 人和中端/的一階和二階時(shí)間最優(yōu)控叫系統(tǒng)的綜合問題。為了方便起見，乂不失一般性，以下討 口中，始終假定控制函數(shù)的約束條件為依小初始狀態(tài)為X(O)=X。目標(biāo)集為狀態(tài)空間的原點(diǎn)，即x(o)= o而時(shí)間最優(yōu)控制問題的性能指標(biāo)為25'43對(duì)象傳遞函數(shù)為* = £

16、;()的情況對(duì)象狀態(tài)方程為.1 kX =X HU(1)當(dāng)初始狀態(tài)x(O)5o>O時(shí)，u*=.l.1k,£ = 一一x . 、 .、一 ,TT=> x(t) = (xQ + k)e T -kx(0) = x()當(dāng)分=?ln(l+半)時(shí)，A(rz)=O,即狀態(tài)Hf)能回到狀態(tài)空間 原點(diǎn)(2)當(dāng)初始狀態(tài)武0)=/<。時(shí)，u*=l狀態(tài)方程的解為x(t) = (x0 -k)e z +k丁 “=Tln(l_；»時(shí)，M4)=0,即狀態(tài)回到狀態(tài)空間原點(diǎn)。X， /= IX 率 U =-1當(dāng)狀態(tài)回到原點(diǎn)時(shí)，若U=O,則狀態(tài)將繼續(xù)保持在狀態(tài)空間原 點(diǎn)處，否則狀態(tài)就會(huì)離開狀態(tài)空間

17、原點(diǎn)。 432對(duì)象傳遞函數(shù)為= W的情況由對(duì)象的傳遞函數(shù)為*3U(s) s'相應(yīng)的微分方程為y = u令狀態(tài)變量為伍=lx2 = y對(duì)象狀態(tài)方程為X ="2*2 = U29求解思路 1、獲取時(shí)間最優(yōu)控制的相關(guān)信息- 判斷時(shí)間最優(yōu)控制是否存在- 判斷時(shí)間最優(yōu)控制問題是否正常- 判斷時(shí)間最優(yōu)控制是否唯一- 判斷切換次數(shù) 2、寫出可能的最優(yōu)控制徉 3、具體分析根據(jù) 4。） 確定雙積分系統(tǒng)幾種可能的最優(yōu)控制:/(，)= -sgn 艮。)=一 sgn(-c/ +g)(d)cl<(hc2>=07i)cl=0,c2<01/31相軌跡為一簇拋物線。其箭頭代表狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的方向。

18、(e>C=0,C2>0雙積分系統(tǒng)幾種可能的最短時(shí)間控制曲線該問題的時(shí)間最優(yōu)控制存在且唯一，最優(yōu)控制只可能取 上*=±1,并且最多切換一次。氣時(shí)，狀態(tài)方程為=> dx = xdx.1 、=為=一工+ c1 2 2A.4在這簇拋物線中，只有曲線4 = (xpx2):項(xiàng)=x22, x2 <0 能到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)。當(dāng)=一1時(shí)，狀態(tài)方程為 二%k=T=dx = x：dx21 2 .=> X = - -X； +c相軌跡也是一簇拋物線，如圖虛拋物線所示。在這簇拋物線中，只有曲線Ir =(>：1，X2)：X1 =-a22, x2 >0)能到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)?！皩⑿暮鸵?/p>

19、合并為一條曲線，記為，該曲線方程為1=9 Ur. = (x,x2):x, =-|x2|.r2目戰(zhàn)曲線是系統(tǒng)由任一初態(tài)x(0)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)的二oR（1）若（Xio,坐標(biāo)原點(diǎn),（2）若住10,坐標(biāo)原點(diǎn),若令 F(x2) = -1|x2|x2和力（29%）=.一一（一5岡工）=/一廠（七）力（巧，.）稱為開關(guān)函數(shù)。切換曲線方程：=41）口=（',）：內(nèi)=一事可與又可表示為 r:/?（x1,x2） = .r1 -F（x2） = O切換曲線將狀態(tài)平面占一 句劃為四部分: 匚r+; 、切換曲線，以上的平面，記為R_；切換曲線r以下半平面，記為&+； R =（XI,X2）：/7（XI,X2）O

20、 R& =（x,x2）:/（x1,x2）0心。）£ J，則狀態(tài)將沿著r_運(yùn)動(dòng)到達(dá) 控制*=，不必切換；M0）£/+，則狀態(tài)將沿著r+運(yùn)動(dòng)到達(dá) 控制*=+1,不必切換；（3）當(dāng)點(diǎn)（孫0,必0）6寵_時(shí)，最優(yōu)控制取如何選取?選取I = 1,系統(tǒng)狀態(tài)將沿著某一虛線拋物線運(yùn)動(dòng)。卦與心相遇時(shí)，其控制/的取值立即由一1切換到+1,則狀態(tài)將沿著r+運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)，最優(yōu)控制的取值只（4）當(dāng)（X10, #20）£&+時(shí)，最優(yōu)控制取如何選取？選取=1,系統(tǒng)狀態(tài)將沿著某一實(shí)拋物線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)與J相遇時(shí)，若其控制/的取值馬上由+1切換 到一 1,則狀態(tài)將沿著尸_運(yùn)動(dòng)到達(dá)坐標(biāo)原

21、點(diǎn)，最優(yōu) 控制的取值只需切換一次。J *4 R（3，與）=<，一所綜合的時(shí)間最優(yōu)控制系統(tǒng)的方框圖如下圖所示。 圖中虛線部分為所設(shè)計(jì)的時(shí)間最優(yōu)控制器。r綜上所述，可以得到+ 1,(x19x2)R Ur.(x19x2)g/?. Ur最優(yōu)控制的狀態(tài)反饋規(guī)律為+ 1, /?(xpx2) < 0W*(X1，X2) = <-1,/7(XpX2)>()-sgnx2(r)9 A(xpx2) = O+ 1, /7（芭,七）V。-1, （七,）>。-sgnx2（/）,人（巧,2）=。求解”,也即J:在最短時(shí)間控制函數(shù)U*作用下系統(tǒng)的性能指標(biāo)qj=i取最小，這時(shí)的最小轉(zhuǎn)移時(shí)間與（X&q

22、uot; x20） 1在相平面的位置有關(guān)。（D （Xlo, x20）處于*上時(shí)，u=+l,則狀態(tài)方程的解為。）=，+ 工20%20 <。令/=/；且與（。）=。解得=一式2。(2) (x10, x20)處于r.上時(shí),u=-l彳20 > °解得則狀態(tài)方程的解為工2。）=一/ 十 %20令 t t ,f-且 x2 （tf ） = 0*I%20 = %20(3) (x10,x20)處于 R 上時(shí)，u*= -1, 1, E為切換點(diǎn)，將其分為兩段：u=-l,狀態(tài)方程的1 2 1 2一不 +X10+-X20乙=%) +秒)+產(chǎn) u=l,狀態(tài)方程的解為=.4+2(4) (xI0, x20)處于 R+上時(shí)，-1f ； I =