數(shù)學(xué)理卷2017年四川成都高三第三次診斷檢測(cè)答案詳解2017年05

1、成都市2014級(jí)高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)(理科)第I卷(選擇題，共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè) 選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1 .設(shè)集合 A 0,1 , B x(x+2)(x 1) 0,x Z,則 AUB ()A. 2, 1,0,1 B . 1,0,1 C . 0,1 D . 02 .已知復(fù)數(shù)Z1 2 6i,z22i ,若4,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為 A, B ,線段AB的中點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z ,則z ()A. 75B . 5 C . 2 娓 D . 2匹3 .在等比數(shù)列an中，4 2 ,公比q 2.若am a1a2a3a4(m

2、 N ),則m ()A. 11B . 10 C . 9 D . 84 . AQI是表示空氣質(zhì)量的指數(shù)，AQI指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，當(dāng) AQI指數(shù)值不大于100時(shí)稱空氣質(zhì)量為“優(yōu)良” .如圖是某地4月1日到12日AQI指數(shù)值的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，圖中點(diǎn)A表示4月1日的AQI指數(shù)值為201 .則下列敘述不正確的是()*AQI揩數(shù)值 250 Ifl IB70 15 SR feilOlia jgA.這12天中有6天空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”B.這12天中空氣質(zhì)量最好的是 4月9日C.這12天的AQI指數(shù)值的中位數(shù)是 90D.從4日到9日，空氣質(zhì)量越來越好 1 / 1422X V一5 .已知雙曲線C：F 2T 1

3、（a 0,b 0）,直線l:y 2x 2.若直線l平行于雙曲線C a b的一條漸近線且經(jīng)過 C的一個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線 C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A. 1 B . 2 C. 75D. 46 .高三某班15名學(xué)生一次模擬考試成績(jī)用莖葉圖表示如圖1.執(zhí)行圖2所示的程序框圖,若輸入的ai（i 1,2,L ,15）分別為這15名學(xué)生的考試成績(jī)，則輸出的結(jié)果為（）-r Q| 圖£A. 6 B . 7 C . 8 D . 97.已知 A (x, y) x2 y22 , B是曲線y sin x與x軸圍成的封閉區(qū)域.若向區(qū)域A內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn) M ,則點(diǎn)M落入?yún)^(qū)域B的概率為（）A.8.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著

4、九章算術(shù)中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉月需.如圖，在鱉月需ABCD中，AB 平面BCD ,且AB BC CD ,則異面直線 AC與BD所成角的余弦值為（ ）A. 12,32,329.已知拋物線 C : y2 mx(x0）的焦點(diǎn)為F ,點(diǎn)A（0, 強(qiáng),若射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M ,與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)D ,且FM |: MD 1:2,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為（）A.1 B32.3310.已知函數(shù) f(x) 2cos2 2x2 .給出下列命題：R, f（x ）為奇函數(shù)；(°,» f(x)f (x）對(duì)x R恒成立；Xi,X2R,若|f(xj f(x2)2,則x, x2的最小值為

5、X, x2 R ,若 f (x1) f (x2)0，則 x, x2 k (k Z) .其中的真命題有（）A. B . D .11 .如圖，某三棱錐的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖分別是直角三角形、等腰三角形和等邊三角形.若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（12.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,Sm8113,Sm 0,Sm115 ,其中m N且m 2.則數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值為（）A.24143、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.aNn i工 C . 24 D . A 1431313第R卷（非選擇題，共90分）13. (24的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）x y 014

6、.若變量x, y滿足約束條件 x y 3 0,則z 3x y的最小值為.0x315 .從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務(wù)，每天安排一人，每人只參 加一天.若要求甲、乙兩人至少選一人參加，且當(dāng)甲、乙兩人都參加時(shí)，他們參加社區(qū)服務(wù) 的日期不相鄰，那么不同的安排種數(shù)為.（用數(shù)字作答）16 .如圖，將一塊半徑為 2的半圓形紙板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半圓的直徑,上底CD的端點(diǎn)在半圓上，則所得梯形的最大面積為.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或 演算步驟.17 . ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2c a 2bcosA.（I）

7、求角B的大?。唬╪）若b 2點(diǎn)，求a c的最大值.18 .如圖，在多面體 ABCDEF中，底面 ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形， BAD 60°,四邊形BDEF是矩形，平面BDEF 平面ABCD , DE 2 . M為線段BF上一點(diǎn)，且DM 平面ACE .(I)求BM的長(zhǎng)；(n)求二面角 A DM B的余弦值的大小.19 .幾個(gè)月前，成都街頭開始興起“ mobike"、“ofo”等共享單車，這樣的共享單車為很多市民解決了最后一公里的出行難題.然而，這種模式也遇到了一些讓人尷尬的問題，比如亂停亂放，或?qū)⒐蚕韱诬囌紴椤八接小钡?為此，某機(jī)構(gòu)就是否支持發(fā)展共享單車隨機(jī)調(diào)查了50人，他們

8、年齡的分布及支持發(fā)展共享單車的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表:年齡15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45)受訪人數(shù)56159105支持發(fā)展共享單車人數(shù)4512973(I)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的 2 2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下，認(rèn)為年齡與是否支持發(fā)展共享單車有關(guān)系；年齡彳氐于35歲年齡不低于35歲合計(jì)支持不支持合計(jì)(n)若對(duì)年齡在15,20) , 20,25)的被調(diào)查人中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行調(diào)查，記選中的4人中支持發(fā)展共享單車的人數(shù)為X ,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):P(K2k)0.500.400.250.150.100.050.0250

9、.0100.0050.001k0.450.701.322.072.703.845.026.637.8710.8258326145982參考公式：K2 n9d bc)，其中n a b c d .(a b)(c d)(a c)(b d)20 .已知圓C : (x 1)2 y2 8,點(diǎn)A(1,0), P是圓C上任意一點(diǎn)，線段 AP的垂直平分線交CP于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) Q的軌跡為曲線 E .(I)求曲線E的方程;(n)若直線l : y kx m與曲線E相交于M,N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求 MON面積的最大值.a .21 .已知函數(shù) f(x) 1nx - 1,a R. x1 (I)右關(guān)于x的不

10、等式f (x) -x 1在1,)上恒成立，求a的取值范圍；2f (x)2(n)設(shè)函數(shù)g(x)若g(x)在1,e2上存在極值，求a的取值范圍，并判斷極值x的正負(fù).請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為2,在以極點(diǎn)為直角坐標(biāo)原點(diǎn)O,極軸為x軸的正半軸建立的平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線l的參數(shù)方程為2x t2(t為參數(shù)).y 3 5 避t2(I)寫出直線l的普通方程與曲線 C的直角坐標(biāo)方程;(n)在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換.1 x' x 2得到曲線C',若M (x,y)y' y為曲線C'上任

11、意一點(diǎn)，求點(diǎn) M到直線l的最小距離.23.已知 f (x) x a ,a R .(I)當(dāng)a 1時(shí)，求不等式f (x) 2x 5 6的解集;(n )若函數(shù) g(x) f (x)、選擇題1-5:BABCB6-10:DDADC、填空題13. -16014解答題17.解：(I ) C 180o化簡(jiǎn)，得- sin A 0(n)即(a- ax 3的值域?yàn)槿?，?,2 A,求a的取值范圍.試卷答案1115由已知及正弦定理,(A B),sin Ag2cos B0, cosB，一 B 一32sin( A1)由已知及余弦定理，得2c)2 3ac 12.、12: CD.50402sin C sin AB) sin

12、A 2sin16. 3、, 32sin B cos A.B cos A .ac 12.、2 一 .a C 2 一2 (a c)3(-)12,即(a c) 48.a c 4、/3,當(dāng)且僅當(dāng)a c 253時(shí)，取等號(hào)a c的最大值為4J3.18.解：(I) .底面 ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，BAD 600,AC BD ,且 AC 273, BD 2.2 .四邊形BDEF是矩形，DE BD .平面BDEF 平面ABCD ,平面BDEF I平面ABCD BD ,3 DE 平面 ABCD , AC 平面 BDEF .記 AC I BD O .取 EF 中點(diǎn) H ,則 OH / /DE .4 OH 平面 A

13、BCD .uur uuur uuur如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以 OB,OC,OH的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz .由題意，得 B(1,0,0) , C(0,庖),D( 1,0,0) , A(0, 商),E( 1,0,2) , F (1,0,2).uuur _AC (02 3,0),uuur.AE (1,后 2).5 M 為線段 BF 上一點(diǎn)，設(shè) M (1,0,t)(0 t 2).uuurDM (2,0, t).uuur uuurDM 平面 ACE, . DE AE .uuur uuur6 DEgAE 2 0 2t 0 .解得 t 1 .M (1,0,1).BM 1 .

14、(n )由(I)，可知AC 平面BDEF .7 AC 平面 DMB .(1,.3,1).uuir_ uuuuAD ( 1,V3,0) , AM設(shè)平面ADM的法向量為n (x, y,z).uuir_ngAD 0 x . 3y 0 由 uuuu ,得ngAM 0 x , 3y z 0取 y 1,則 n (73,1, 273).uuur _典 ngAC 2.31cos n , AC uur 產(chǎn),19.解：(I)根據(jù)所給數(shù)據(jù)得到如下2 2列聯(lián)表：年齡彳氐于35歲年齡不低于35歲合計(jì)支持301040不支持5510合計(jì)351550根據(jù)2 2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2的觀測(cè)值為-2,50(30 5 10 5)

15、k 2.38 2.706.(30 10)(5 5)(30 5)(10 5).不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下，認(rèn)為年齡與是否支持發(fā)展共享單車有關(guān)系.(n)由題意，年齡在15,20)的5個(gè)受訪人中，有4人支持發(fā)展共享單車；年齡在20,25)的6個(gè)受訪人中，有5人支持發(fā)展共享單車.，隨機(jī)變量X的所有可能取值為 2, 3, 4.-P(X2C4C5P(X3C4C5C4C5 p(x4)P(X2)C52C215'P(X3) C；C215' P(X4)15'，隨機(jī)變量X的分布列為X234P276151515，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X) 23 1515,6494 -15 152

16、0.解：(I) 點(diǎn)Q在線段AP的垂直平分線上，| AQ | | PQ | .又 |CP|CQ| |QP| 272 ,|CQ | |QA| 2金 | CA | 2 .曲線E是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心,C( 1,0)和A(1,0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2J2的橢圓.2設(shè)曲線E的方程為三 a2 y_ b21(a b 0). c 1,a.2 , b22曲線E的方程為 2(n)設(shè) M (X1, y1), N(x2, y?).y kx m聯(lián)立 x22 消去 y,得(1 2k2)x2 4kmx 2m2 2 0 .萬(wàn)y 1此時(shí)有16k2 8m2 8 0.二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得X1X24 km2，他1 2k2m2 21

17、2k2TMN|k1(奇)2 4 2mJ 1 k222rj8(2k2 m2 1).1 2k2原點(diǎn)O到直線l的距離d -BmL,1 k21MON 2 | MN 1gd總"m2"2 ' 1>0,得 2k2 m21 0 .又 m0, .據(jù)基本不等式，得S MON二 222/、2 m (2 k m 1)2 g1 2k22k2 1當(dāng)且僅當(dāng)m2 時(shí)，不等式取等22MON面積的最大值為2_, .121 .斛：(I)由 f (x) - x 1,得 1nx 21 2 . _.即a x1nx -x在1,)上恒成立.1 2.設(shè)函數(shù) m(x) x1nx -x , x 1.貝U m

18、9;(x)1nx x 1 .設(shè) n(x) 1nx x 1.則 n'(x)1 1.易知當(dāng) x 1 時(shí)，n'(x) 0 .x n(x)在1,)上單調(diào)遞增，且 n(x) n(1) 0 .即 m'(x) m'(1) 0對(duì) x 1,)恒成立.m(x)在1,)上單調(diào)遞增.當(dāng) x 1,)時(shí)，m(x) m(x)min m(1)11a 一,即a的取值范圍是(，一.22(n) g(x)1nx a 1 2x x xg'(x)1 1nx2x2ax 1,e2.2x x1nx 2a3x設(shè) h(x)2x x1 nx 2a ,則 h '(x)2 (1 1nx) 1 1nx.由

19、h'(x) 0,得 x e .當(dāng) 1 x e 時(shí)，h'(x) 0；當(dāng) e x e2時(shí)，h '(x) 0.h(x)在1,e)上單調(diào)遞增，在(e,e2上單調(diào)遞減.且 h(1) 2 2a, h(e) e 2a, h(e2)2a.顯然 h(1)h(e2).結(jié)合函數(shù)圖象可知，若 g (x)在1,e2上存在極值,皿 h(e) 0f則或h(1) 02h(e2)0.h(e) i )當(dāng) ' ' h(1)°,即1 a0h(1) 022則必te x1,x2 1,e ,使得 h(x1)h(x2) 0,且 1 x1 e x2 e .當(dāng)x變化時(shí)，h(x) , g '

20、;(x), g(x)的變化情況如下表:x(1MX(x1,x2)X2(x2,e2)h(x)一0+0一g'(x)一0+0一g(x)極小值極大值e .2 當(dāng) 1 a 時(shí)，g(x)在1,e上的極值為 g(x1), g(x2),且 g(x1) g(xz).2/ 、 1nxia 1x11nxi 為 ag(x1)2xx xxe設(shè)(x) x1nx x a,其中 1 a ，1 x e .2 '(x) 1nx 0,(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，(x)(1) a 1 0,當(dāng)且僅當(dāng) x 1 時(shí)取等號(hào).1 x1 e,g(x1) 0.，當(dāng)1 a *時(shí)，g(x)在1,e2上的極值 g(x2) g(x1) 0 . 2(ii)當(dāng)1時(shí),h(1) 02h(e2)02、則必定x3(1,e ),使得h(x3)0 .2.易知g(x)在(1,x3)上單調(diào)遞增，在(x3,e上單調(diào)遞減.此時(shí)，g (x)在1,e2上的極大值是2、g(x3