高中數(shù)學(xué)：集合與簡易邏輯中的開放型問題例析素材新課標(biāo)人教A版必修1

1、集合與簡易邏輯中的開放型問題例析探索性問題是相對于中學(xué)課本中有明確條件和明確結(jié)論的封閉型問題而言的這類試題的知識覆蓋面較大，綜合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)?shù)纳疃群碗y度它要求學(xué)生運用已學(xué)過的知識，通過觀察、歸納、探索和綜合等推理過程才能得出結(jié)論它重在考查學(xué)生的分析、探索能力和思維的發(fā)散性集合探索性問題集中在兩大類，下面舉例說明一、信息遷移問題信息遷移問題大多是通過定義一個概念，或規(guī)定一種運算，或給出一個規(guī)則，通過閱讀相關(guān)信息，捕捉解題靈感這是一類條件不明確或結(jié)論不確定的集合問題，需要對題目中提供的各種信息進行觀察、概括、猜想，從中探索、尋覓問題所需要的條件

2、或判定結(jié)論是否成立，必要時還需要給出嚴格的證明例1 設(shè)數(shù)集M=x| mxm，N =x| nxn，且M、N都是集合x |0x1的子集如果把ba叫做集合x |axb的“長度”，那么集合MN的長度的最小值是( )A B C DABab解：根據(jù)題目提供的定義：ba叫做集合x |axb的“長度”，可知集合M的“長度”為定值，集合N的“長度”為定值，集合x |0x1的“長度”為定值1求N的長度的最小值，相當(dāng)于兩線段公共部分最短時的長度值設(shè)AB是一長度為1的線段，a是長度為的線段，b是長度為的線段A、b可在線段AB上自由滑動，a，b重疊部分的長度即為N的長度（如圖）顯然當(dāng)a，b各自靠近AB兩端時，重疊部分最

3、短其值為：故選C評析：對于信息遷移題，都屬于應(yīng)用性探索問題，“MP”是學(xué)生在中學(xué)教材不曾學(xué)過的一種集合運算關(guān)系，根據(jù)它的元素的屬性，可以用數(shù)形結(jié)合的方法把它解決；用圖形的直觀性理解集合“長度”定義和集合交集的含義，即由圖形把問題合理轉(zhuǎn)化；要解答例3類問題的關(guān)鍵是通過閱讀、分析、理解問題所給信息，從中尋找探索規(guī)律，并以此為依據(jù)，把知識消化，從而使問題獲解 二、條件探索性開放型問題對于條件不確定的問題，需要對題目中提供的各種信息進行觀察、概括和猜想，從中探索、尋覓結(jié)論所需要的條件或判定結(jié)論是否成立，必要時還需要給出嚴格的證明例2 已知條件p：|5x1|a和條件q：0，請選取適當(dāng)?shù)膶崝?shù)a的值，分別利

4、用所給出的兩個條件作為A、B構(gòu)造命題：“若A則B”，并使得構(gòu)造的原命題為真命題，而其逆命題為假命題則這樣的一個原命題可以是什么？并說明為什么這一命題是符合要求的命題解：已知條件p即5x1a，或5x1a，x，或x已知條件q即2x3x10，x，或x1；令a = 4，則p即x，或x1，此時必有pq成立，反之不然故可以選取一個實數(shù)是a = 4，A為p，B為q，對應(yīng)的命題是若p則q，由以上過程可知，這一命題的原命題為真命題，但它的逆命題為假命題評析：解此題的一個關(guān)鍵過程就是在注意到命題q的特征與命題p之間的關(guān)系，選取的a值既要簡捷，又要結(jié)論明顯對于結(jié)論不確定的開放探索型問題，只要找出或構(gòu)造出一個，就說明

5、結(jié)論是成立的此類問題一般需要說明理由三、結(jié)論不定性開放型問題對于結(jié)論不定性開放型問題，常以適合某種性質(zhì)的結(jié)論“是否存在”形式出現(xiàn)，其結(jié)果有兩種：一種是可能或存在，對于這類問題無論用什么方法，只要找出一個，就說明存在，另一種是不存在，也就是無論用什么方法都找不出一個適合某種已知條件或性質(zhì)的對象結(jié)論不定性開放型問題，需要解題者探索、并確定結(jié)論，必要時需要推理論證例3 是否存在實數(shù)，使“4x0”是“xx20”的充分條件？如果存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由是否存在實數(shù)，使“4x0”是“xx20”的必要條件？如果存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由解：由xx20 x2或x1，4xp0 x當(dāng)1，即4時，由x1 x1 xx20，故當(dāng)4時，“4x0”是“xx20”的充分條件由于xx204x0，所以不存在實數(shù)，使“4x0”是“xx20”的必要條件在數(shù)學(xué)命題中，常以適合某種性質(zhì)的結(jié)論“存在(肯定型)”、“不存在(否定型)”、“是否存在(討論型)”等形式出現(xiàn)“存在”就是有適合某種條件或符合某種性質(zhì)的對象，對于這類問題無論用什么方法只要找出一個，就