函數(shù)與導(dǎo)數(shù)理

1、第一章 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】表示方法元素、集合之間的關(guān)系概念運(yùn)算：交、并、補(bǔ)集合解析法確定性、互異性、無序性性質(zhì)列表法表示定義映射定義域圖象法對(duì)應(yīng)關(guān)系三要素值域單調(diào)性奇偶性周期性性質(zhì)函數(shù)對(duì)稱性最值平移變換圖象及其變換對(duì)稱變換一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)冪函數(shù)翻折變換伸縮變換指數(shù)函數(shù)基本初等函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)分段函數(shù)復(fù)合函數(shù)抽象函數(shù)零點(diǎn)二分法、圖象法、方程根的分布函數(shù)與方程極值最值定積分與圖形的計(jì)算定積分與微積分生活中的優(yōu)化問題導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與單調(diào)性的關(guān)系單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的概念基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)建立函數(shù)模型函數(shù)的應(yīng)用【考綱要求】1集合(1)集合的含義與表示了解集合的含義、元素與集合的

2、“屬于”關(guān)系能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述具體問題(2)集合間的基本關(guān)系理解集合之間包含與相等的含義,能識(shí)別給定集合的子集在具體情境中,了解全集與空集的含義(3)集合的基本運(yùn)算理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義,會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,會(huì)求給定子集的補(bǔ)集能使用韋恩（Venn）圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算2函數(shù)了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念（1） 在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列舉法、解析法）表示函數(shù)（2） 了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù),并能簡(jiǎn)單應(yīng)用（3） 理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值

3、及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)奇偶性的含義（4） 會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)3指數(shù)函數(shù)（1） 了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景（2） 理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義,了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義,掌握冪的運(yùn)算（3） 理解指數(shù)函數(shù)的概念,理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)（4） 知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型4對(duì)數(shù)函數(shù)（1） 理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì),知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用（2） 理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念,理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)（3） 知道對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型（4） 了解指數(shù)函數(shù)yax與對(duì)數(shù)函數(shù)ya

4、x(a0,且a1)互為反函數(shù)5冪函數(shù)（1） 了解冪函數(shù)的概念.（2） 結(jié)合函數(shù)yx,yx2,yx3,yx 的圖象,了解它們的變化情況6函數(shù)與方程 （1）結(jié)合二次函數(shù)的圖象,了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù) （2）根據(jù)具體函數(shù)的圖象,能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解7函數(shù)模型及其應(yīng)用 （1）了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征,知道直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義 （2）了解函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用8.導(dǎo)數(shù)及幾何意義(1)了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.(2)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.9

5、.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(1)能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).(2)能利用下面給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如的復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù). 常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和常用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式：(C為常數(shù))；;；,且；，且. 常用的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：法則1 .法則2 .法則3 .10.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用（1）了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）. （2）了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其

6、中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）.（3）會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題.11.微積分（1）了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.（2）了解微積分基本定理的含義.【備考建議】1.在集合學(xué)習(xí)中,要通過豐富的實(shí)例理解集合的概念,學(xué)習(xí)集合語言最好的方法是使用,在關(guān)于集合之間的關(guān)系和運(yùn)算的學(xué)習(xí)中,使用Venn圖是重要且有效的2含參數(shù)的集合問題,多根據(jù)集合中元素的互異性處理,有時(shí)需要用到分類討論、數(shù)形結(jié)合思想；集合問題多與函數(shù)、方程、不等式聯(lián)系,要注意各類知識(shí)的融會(huì)貫通3函數(shù)不僅是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,還是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),所以函數(shù)知識(shí)在高考中占有極其重要的地位.試題不但形式多樣,而且突出

7、考查學(xué)生聯(lián)系與轉(zhuǎn)化、分類與討論、數(shù)與形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想能力,知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、思維力度大、能力要求高,是高考中考數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法,考能力、考素質(zhì)的主要知識(shí),所以在備考中要力爭(zhēng)做到：（1）注重基礎(chǔ),抓住基本函數(shù),結(jié)合數(shù)學(xué)思想,聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用 熟練掌握二次函數(shù)、反比例函數(shù)及形如的函數(shù)的性質(zhì),重點(diǎn)從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、圖象等方面提煉歸納,特別是以上述幾種函數(shù)為模型的抽象函數(shù)注意與圖象、圖表相關(guān)的問題,能從圖表中讀取各種信息,注意利用平移、伸縮、對(duì)稱變換,培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力.反函數(shù)問題是此類問題的典型,新定義、新情景問題也大多以圖表形式給出,要以基本函數(shù)為基礎(chǔ)強(qiáng)化由式到圖和有圖到式

8、的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練(2) 明確高考命題趨勢(shì)函數(shù)的基礎(chǔ)的地位決定了函數(shù)試題較多,高、中、低檔題目全有,題型齊全,重難點(diǎn)突出,創(chuàng)新容易,與其他知識(shí)塊聯(lián)系較多,像函數(shù)的凸凹性、分段函數(shù)、周期函數(shù)、新定義新情景題層出不窮.復(fù)習(xí)中應(yīng)注意捕捉此類信息,注重新題訓(xùn)練,防止新穎考題呈現(xiàn)于面前而無從下手的情形出現(xiàn)4式的運(yùn)算、變形、求值、化簡(jiǎn)及等式的證明在數(shù)學(xué)中占有重要的地位,是研究方程、不等式和函數(shù)的必備工具,很多數(shù)學(xué)問題的推理、判斷也需要在式的變形中解決,因此牢固地掌握冪、指、對(duì)數(shù)式的有關(guān)運(yùn)算、變形是本節(jié)的重點(diǎn)5指數(shù)函數(shù)以考查基本知識(shí)為主.但以細(xì)胞的分裂,考古中所用的14C的衰減,藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等為背景命題

9、是一個(gè)命題重點(diǎn)指數(shù)函數(shù)的圖象直觀揭示了指數(shù)的一切性質(zhì),既是幫助歸納性質(zhì)的基礎(chǔ),又是數(shù)形結(jié)合的依據(jù),高考中對(duì)于指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的考查比較集中于單調(diào)性的應(yīng)用上,特別注意底數(shù)a的取值對(duì)于單調(diào)性的影響6對(duì)數(shù)函數(shù)的考查重點(diǎn),放在了對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及其他方面知識(shí)的交匯地方這類試題出現(xiàn)在選擇題、填空題時(shí)屬容易題,而出現(xiàn)在解答題中一般難度較高,應(yīng)認(rèn)真對(duì)待7在求解含參數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)問題時(shí),常運(yùn)用化歸思想,將較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題 8注重一元二次函數(shù)的分類討論問題 9.導(dǎo)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的知識(shí).由于其應(yīng)用的廣泛性，為我們解決有關(guān)函數(shù)的問題提供了一般性的方法,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)還可以簡(jiǎn)捷地解決一些實(shí)際問題.本

10、章中導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)運(yùn)算、函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值是重點(diǎn)知識(shí)，因此要熟練掌握函數(shù)的求導(dǎo)法則及公式，會(huì)判斷或討論函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)函數(shù)的極值與最值，會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決一些實(shí)際問題. 10.定積分也是微積分的核心概念之一.通過定積分可以解決一些簡(jiǎn)單的幾何和物理問題，還要體會(huì)導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)導(dǎo)數(shù)與定積分的思想方法. 11.在解決具體問題的過程中，要對(duì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法和初等方法作比較，體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性.【真題解析】例1(2012全國(guó)新) 已知集合；,則中所含元素的個(gè)數(shù)為 簡(jiǎn)單計(jì)算，選D.思路點(diǎn)撥：簡(jiǎn)單的集合的新運(yùn)算.例2 (2009山東卷理)定義在R上的函數(shù)f(x)滿

11、足f(x)= ,則f（2009）的值為( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2解:由已知得,所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn).,所以f（2009）= f（5）=1,故選C.思路點(diǎn)撥：本題考查歸納推理以及函數(shù)的周期性和對(duì)數(shù)的運(yùn)算.例3 (2009山東卷理)函數(shù)的圖象大致為( ).1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 解：函數(shù)有意義,需使,其定義域?yàn)?排除C,D,又因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù),故選A.思路點(diǎn)撥：本題考查了函數(shù)的圖象以及函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì).本題的難點(diǎn)在于給出的函數(shù)比較復(fù)雜,需要對(duì)其先變形,再在定義域內(nèi)對(duì)

12、其進(jìn)行考察其余的性質(zhì).例4（2010全國(guó)）已知函數(shù)若互不相等，且則的取值范圍是(A) (B) (C) (D) 解：不妨設(shè)，由圖象和可知：，所以，故選C.思路點(diǎn)撥：函數(shù)的圖象和簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)等運(yùn)算例5（2011新課標(biāo)）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為。(1)求、的值；(2)如果當(dāng)，且時(shí)，求的取值范圍.解:(1)由于直線的斜率為，且過點(diǎn)，故即解得，.(2)由（1）知，所以.考慮函數(shù)，則. 若，由知，當(dāng)時(shí)，h(x)遞減.而故當(dāng)時(shí)， ，可得；當(dāng)x（1，+）時(shí)，可得,從而當(dāng)x>0,且x1時(shí)，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.若0<k<1.由于=的圖像開口向下，且，對(duì)稱軸x=

13、.當(dāng)x（1，）時(shí)，（k-1）（x2 +1）+2x>0,故 (x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，）時(shí)，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設(shè)矛盾.若k1.此時(shí)，（x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，+）時(shí)，h（x）>0，可得 h（x）<0,與題設(shè)矛盾. 綜合得，k的取值范圍為（-，0.思路點(diǎn)撥：求參數(shù)的范圍一般用離參法，然后用導(dǎo)數(shù)求出最值進(jìn)行求解.若求導(dǎo)后不易得到極值點(diǎn)，可二次求導(dǎo)，還不行時(shí)，就要使用參數(shù)討論法了.即以參數(shù)為分類標(biāo)準(zhǔn)，看是否符合題意，求得答案.此題用的便是后者.例6 （2012全國(guó)新）已知函數(shù)滿足.（1）求的解析式及單調(diào)區(qū)間；（2）

14、若，求的最大值.(1) .令得.故當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí).單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)由已知得 即. （）若，令，,在上單調(diào)遞增.當(dāng)且時(shí)，與矛盾.()當(dāng)時(shí),令，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.時(shí)，.則.令.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得最大值.,.當(dāng)時(shí)，式成立. 綜上，的最大值為.思路點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)公式及求出解析式，求導(dǎo)后求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.通過構(gòu)造函數(shù)及適當(dāng)放縮求函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想.1.1 集合【基礎(chǔ)知識(shí)】1指定的對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合，其中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素，集合的元素具有、三個(gè)特性 根據(jù)集合中元素的多少，集合可為、和2集合有三種表示方法，分別是、和

15、它們各有缺點(diǎn)，用什么方法表示集合，要具體問題具體分析3.子集：對(duì)于兩個(gè)集合與，如果集合中的任何一個(gè)元素都是集合中的元素，則集合是集合的，記作.子集有如下性質(zhì)： （A為任意集合） 兩集合相等：對(duì)于兩個(gè)集合與，如果，則稱與相等，記作真子集:若，則集合是集合的真子集，記作.空集是任何非空集合的真子集（）4. 由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，叫做與的交集，記作 ，5. 由屬于集合或集合的所有元素組成的集合，叫做與的并集，記作，即., ,6.已知集合，由中不屬于的所以元素組成的集合，叫做集合中子集的, 記作【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1已知集合，若，則b等于（ ）A.1或2 B.2 C.1 D.8 2集合的真

16、子集的個(gè)數(shù)是 （ ）A.1 B.2 C.3 D.43函數(shù)，,則等于（ ）A. B. C. D.4已知集合，集合，若，則實(shí)數(shù).5已知集合，若，則， .【典型例題】例1 已知集合則滿足的關(guān)系是 （ ）A B C D 例2 已知集合，.若，求的取值范圍；若，求的取值范圍；若，求的取值范圍例3 已知集合；若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【規(guī)律總結(jié)】1解答集合問題時(shí)，通常將集合語言與圖形語言進(jìn)行互化.如對(duì)元素為離散型的集合通常轉(zhuǎn)化為Venn圖，對(duì)元素為連續(xù)形集合通常轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上，又往往借助函數(shù)圖象進(jìn)行思考.2對(duì)于，一般要分為與討論.3集合的幾種等價(jià)形式4.在解決問題時(shí)，可以利用補(bǔ)集思想，先研究的情況，然后取補(bǔ)集.

17、5.含參數(shù)的集合問題，多根據(jù)集合中元素的互異性處理，有時(shí)需要用到分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想.【拓展訓(xùn)練】一、選擇題1若集合中的元素是的三邊長(zhǎng)，則一定不是（ ）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D等腰三角形2已知命題：；=；.其中正確的個(gè)數(shù)為 （ ）A.1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D.4個(gè).3設(shè)和是兩個(gè)集合，定義集合，若，那么等于A B C D二、填空題4. 已知集合，那么集合為_.5定義集合運(yùn)算： ，設(shè)則集合 的所有元素之和為.6.設(shè)集合，則的取值范圍是_. 三、解答題7集合，.求集合和.8集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.9設(shè)集合，(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍若，解題思

18、路對(duì)于含參數(shù)的集合的運(yùn)算，首先解出不含參數(shù)的集合，然后根據(jù)已知條件求參數(shù)。10已知全集，集合，集合.（1）當(dāng)（2）.1.2 函數(shù)及其表示【基礎(chǔ)知識(shí)】1設(shè)、是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合中的中的，在集合中都有和它對(duì)應(yīng)，那么就稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)，記作 對(duì)于函數(shù)，其中叫做自變量，的取值范圍叫做;與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的函數(shù)的和兩要素可確定一個(gè)函數(shù)函數(shù)的三種表示方法是、2在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫做，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的，其值域是各段值域的設(shè)、是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使

19、對(duì)應(yīng)集合中的任意一個(gè)元素，在集合中都有確定的要素與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)為從集合到集合的一個(gè) 由映射的定義可以看出，映射是概念的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射，要注意構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)集合、必須是 【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1給出下列四個(gè)命題，正確的有 （ ）函數(shù)就是定義域到值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系；若函數(shù)的定義域只含有一個(gè)元素，則值域也含有一個(gè)元素；因這個(gè)函數(shù)值不隨的變化而變化，所以也成立；定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)值域也隨之確定A.1個(gè) B.2個(gè) C. 3個(gè) D.4個(gè)2設(shè)，給出下列四個(gè)圖形，其中能表示以集合為定義域，為值域的函數(shù)關(guān)系是（ ）-2202xyD-2202xyC-2202xyA-2202xyB 3設(shè)都是由到的映

20、射，其對(duì)應(yīng)法則如下表（從上到下） 表1 映射的對(duì)應(yīng)法則原象1234象4321 表2 映射的對(duì)應(yīng)法則原象1234象4321則與相同的是A. B. C. D.4設(shè)函數(shù)則的值為5如圖所示，有一邊長(zhǎng)為的正方形鐵皮，將其四個(gè)角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，然后折成一個(gè)無蓋的盒子，寫出體積以為自變量的函數(shù)式是，這個(gè)函數(shù)定義域是.【典型例題】例1 已知下列四組函數(shù)，其中表示同一個(gè)函數(shù)的是_(1) f(x)=，g (x)=x+2；(2) f（x）=x, g (x)=(n；(3) f (n)=2n-1, g (n)=2n+1(n； (4) f（x）=x-2x-1, g (x)=t-2t-1.例2 動(dòng)點(diǎn)P從邊長(zhǎng)為1

21、的正方形ABCD的頂點(diǎn)B出發(fā)順次經(jīng)過C，D再到A停止，設(shè)x表示點(diǎn)P的行程，y表示PA的長(zhǎng)，求y關(guān)于x的函數(shù).例3 (1)設(shè)f（x)是一次函數(shù)，且ff（x）=4 x+3，求f（x）； (2)設(shè)二次函數(shù)y= f（x）的最大值為13，且f（3）= f（-1）=5，求f（x）的解析式； (3)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，g (x)是奇函數(shù)，若f (x) + g (x)=，求f（x）.【規(guī)律總結(jié)】1. 相同函數(shù)的判定解析式相同的兩個(gè)函數(shù)不一定是同一個(gè)函數(shù).定義域、對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的二要素.由于只要定義域、對(duì)應(yīng)法則確定，函數(shù)便確定，故兩個(gè)函數(shù)相同，只須定義域與解析式（對(duì)應(yīng)法則）相同.2.解析式的求法求解析式這類問

22、題抽象性較強(qiáng)，解題關(guān)鍵在于抓住函數(shù)對(duì)應(yīng)法則f的本質(zhì).由函數(shù)f（x）的含義可知，在函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則f不變的條件下，自變量換字母，甚至變換為其他字母的代數(shù)式，對(duì)函數(shù)本身并無影響，利用這一特征可解決此類相關(guān)問題，常用的方法有：(1) 代入法：如已知f（x）= x-1，求f (x+ x)；(2) 待定系數(shù)法：已知f(x)的函數(shù)類型，要求f(x)的解析式時(shí)，可根據(jù)類型設(shè)其解析式，從而確定其系數(shù)即可；(3) 換元法：適用于已知fg（x）的表達(dá)式；(4) 拼湊法：已知fg（x）的解析式，要求f(x)時(shí)，可以從fg（x）的解析式中拼湊出“g（x）”，即用g（x）來表示，再將解析式兩邊的g（x）用x代替即

23、可；(5) 方程組法：已知f(x)與fg（x）滿足的關(guān)系式，要求f(x)時(shí)，可以用（x）代替兩邊所有的x，得到關(guān)于f（x）及f（x）的方程組，解之即可求出f（x）.3.函數(shù)與方程思想用函數(shù)觀點(diǎn)理解方程是將方程f（x）=0的解視為函數(shù)y= f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程f（x）=a的解可視為y= f（x）的圖象與直線y=a交點(diǎn)的橫坐標(biāo).【拓展訓(xùn)練】一選擇題1下列說法中，不正確的是 （ ）A.函數(shù)的值域中每一個(gè)數(shù)在定義域中都有數(shù)與之對(duì)應(yīng)B.函數(shù)的定義域和值域一定是不含數(shù)0的集合C.定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同的函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)D.若函數(shù)的定義域中只有一個(gè)元素，則值域也只含有一個(gè)元素2下列各圖

24、象中，不可能表示函數(shù)y= f（x）的圖象的是 （ ）_D_1_1_o_y_x_y_x_1_1_o_C_x_B_1_1_o_y 3若f（x）=，則f（）等于 （ ）A.f（x） B. C. -f（x） D. f（-x）二填空題4已知函數(shù)滿足，則_.5已知f（x）=，那么f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（）+f（）+f（）=_.6 已知f（x）= 則不等式x+(x+2)·f（x+2）5的解集是_.三解答題7二次函數(shù)滿足，且.求的解析式；在區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)的范圍. 8設(shè)解不等式的集為.9已知函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、y都有f（x+y）= f（x）+ f（

25、y）+2y(x+y)+1,且f（1）=1.（1）若xN，試求f（x）的表達(dá)式；（2）若xN，且x2時(shí)，不等式f（x）（a+7）x- (a+10)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.10.為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥物消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)），如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（1）從藥物釋放開媽，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為 ；（2）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)

26、過 小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室.1.3函數(shù)的定義域與值域【基礎(chǔ)知識(shí)】1.函數(shù)的定義域（1）函數(shù)的定義域是_,在研究函數(shù)問題時(shí)，需優(yōu)先考慮_.（2） 已知f（x）的定義域是a,b，求fg（x）中x的取值集合，是指滿足_的x的取值集合；而已知fg（x）的定義域是a,b，指的是_2.常見函數(shù)的定義域、值域函數(shù)定義域值域y=kx+b(k0)y=(k0)y=a x+bx+c(a0)y=logx(a>0,且a1)y=a(a>0,且a1)y=x+(a>0)y=(ad-bc0)【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1函數(shù)y=的定義域是 （ ）A.(-，3) （3,4 B. (-，4)C.（3,4） D. (-，3)（3

27、,4） 2若函數(shù)y= f（x）的定義域是0,2則函數(shù)g（x）=的定義域是（ ）A. 0,1 B. 0,1） C. 0,1）（1,4 D. (0,1）3若函數(shù)f（x）= log(a>0,且a1)的定義域和值域都是0,1 ，則a等于( ）A. B. C. D.24.f（x）=+的值域是_.5.(2007重慶)若函數(shù)f（x）=的定義域是R，則a的取值范圍是_.【典型例題】例1 求下列函數(shù)的定義域：（1）y=；（2）y=；（3）y=+- . 例2 求下列函數(shù)的值域：（1）y=4-； (2) y=2x+；（3）y=； (4) y=. 例3 (1)函數(shù)y=lg(x-ax+1)的定義域是R時(shí)，求a的取

28、值范圍; (2) 函數(shù)y=lg(x-ax+1)的值域是R時(shí)，求a的取值范圍; 【規(guī)律總結(jié)】1.函數(shù)定義域的三類題型第一類是給出函數(shù)的解析式，這時(shí)函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合；第二類是實(shí)際問題或幾何問題，此時(shí)除要考慮解析式有意義外，還要考慮實(shí)際問題或幾何問題有意義；第三類是不給出函數(shù)的解析式，而由f（x）的定義域確定函數(shù)fg（x）的定義域或由fg（x）的定義域確定函數(shù)f（x）的定義域.（1） 熟練掌握基本初等函數(shù)（尤其是分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)）的定義域是求函數(shù)定義域的關(guān)鍵.（2） 對(duì)于復(fù)合函數(shù)求定義域問題，其一般步驟是：若已知f（x）的定義域a,b，

29、其復(fù)合函數(shù)fg（x）的定義域應(yīng)由不等式a g (x)b解出.2.函數(shù)值域的常見求法 求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，它沒有固定的方法和模式，常用的方法有：（1） 直接法從自變量的范圍出發(fā)，推出y= f（x）的取值范圍；（2） 配方法配方法是求“二次函數(shù)”值域的基本方法，形如F（x）=af(x)+b f（x）+c的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法；（3） 反函數(shù)法利用函數(shù)和它的反函數(shù)的的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域.形如y=(a0)的函數(shù)的值域，均可使用反函數(shù)法.此外，這種類型的函數(shù)值域也可使用“分離常數(shù)法”求解；（4） 判別式法把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)x于的二次方程F(x,

30、y)=0，通過方程有實(shí)根，判別式0，從而求得原函數(shù)的值域，形如y=(a,a不同時(shí)為零)的函數(shù)的值域常用此法求解；注意事項(xiàng)：函數(shù)的定義域應(yīng)為R；分子、分母沒有公因式. (5) 換元法運(yùn)用代數(shù)或三角代換，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一 函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域，形如y=ax+b(a,b,c,d均為常數(shù)，且a0)的函數(shù)常用此法求解；(6) 不等式法利用基本不等式：a+b2(a,bR)求函數(shù)的值域，要注意基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”；(7) 單調(diào)性法確定函數(shù)在定義域（或某個(gè)定義域的子集）上的單調(diào)性求出函數(shù)的值域.形如y=的函數(shù)值域均可使用此法求解；(8) 求導(dǎo)法當(dāng)一個(gè)函數(shù)在定義域上可

31、導(dǎo)時(shí)，可根據(jù)其導(dǎo)數(shù)求最值；(9) 數(shù)形結(jié)合法當(dāng)一個(gè)函數(shù)圖象可作時(shí)，通過圖象可求其值域和最值；或利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法求出函數(shù)的值域.【拓展訓(xùn)練】一、選擇題1函數(shù)的定義域?yàn)? )A.;B.；C. ;D. 2函數(shù)的值域是A0,1 B . C. (0,1 D. (0,1)3函數(shù)f（x）=的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ） Aa|a R B.a|0a C. a|a> D. a|0a< 二、填空題4若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是 5函數(shù)f（x）= log(a+4)(a>0,且a1)的值域是_.6函數(shù)f（x）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f（x+2）=,若f（1）=-5，

32、則f(f(5)=_ _.三、 解答題7. 設(shè)函數(shù)的定義域是(是正整數(shù))，那么的值域中共有多少個(gè)整數(shù). 8.設(shè)函數(shù)f（x）=的定義域是A，函數(shù)g（x）=的定義域是B，求AB=時(shí)，a的取值范圍.9 求下列函數(shù)的值域：（1）y= （2）y= （3）y=10.已知函數(shù)f（x）=1-2a-a(a>1).(1)求函數(shù)f（x）的值域；(2)若x-2,1 時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為-7，求a的值并求函數(shù)f（x）的最大值. 14函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性【基礎(chǔ)知識(shí)】1 一般地，設(shè)函數(shù)f(x) 的定義域是I：如果對(duì)于定義域I里某個(gè)區(qū)間上的_兩個(gè)自變量的值，當(dāng) 時(shí)，都有_，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)

33、，都有_，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)；這個(gè)區(qū)間稱為函數(shù)的_，稱函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上具有_.奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上具有_的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上具有_的單調(diào)性，互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有_的單調(diào)性.2y=kx+b (k0) 的單調(diào)區(qū)間是_； (k0) 的單調(diào)區(qū)間是_；(a0)的單調(diào)區(qū)間是_；(a>0,且a1)的單調(diào)區(qū)間是_； (a>0,且a1)的單調(diào)區(qū)間是_；的單調(diào)區(qū)間是_；的單調(diào)區(qū)間是_；的單調(diào)區(qū)間是_；y=（a是常數(shù)）的單調(diào)區(qū)間是_；(a>0)的單調(diào)區(qū)間是_.3對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)_一個(gè)x ，都有_，則稱f(x)為_；對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)_一個(gè)x，都有_，則

34、稱f(x)為_.4判斷函數(shù)的奇偶性的步驟：考察定義域是否關(guān)于_對(duì)稱，若不對(duì)稱，則為_函數(shù).根據(jù)定義域考察表達(dá)式f(-x) 是否等于f(x) 或-f(x)：若 f(-x)=-f(x) ,則 f(x) 為奇函數(shù)若 f(-x)=-f(x), 則 f(x)為偶函數(shù)若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x) ,則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)若f(-x)-f(x) 且f(-x)-f(x) , 則f(x) 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，即非奇非偶函數(shù)5奇函數(shù)的圖象關(guān)于_對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于_ 對(duì)稱.若奇函數(shù)的定義域包含數(shù)0，則f(0)=_.奇函數(shù)的反函數(shù)也為_.定義在()上的任意函數(shù)f(x)都可以唯一表示

35、成一個(gè)_ 與一個(gè)_ 之和.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1 函數(shù) ( ) A在( ) 內(nèi)單調(diào)遞增 B在( ) 內(nèi)單調(diào)遞減C在() 內(nèi)單調(diào)遞增 D在 ( ) 內(nèi)單調(diào)遞減2 函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ( )A . B. C. D. 3 （2008全國(guó)）設(shè)奇函數(shù)f(x)在 () 上為增函數(shù)，且 f(1)=0 ，則不等式的 解集為 ( ) A (-1,0)(1,) B (,-1) (0,1) C(,-1) (1,) D(-1,0) (0,1)4 如果函數(shù)若函數(shù)是奇函數(shù)，則= . 5 已知 是定義在 a-1,2a上的偶函數(shù)，則a+b=_.【典型例題】例1 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并確定每一單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性.（1）； （2）

36、； （3）例2 判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1） ； （2）；（3）； （4）.例3 已知函數(shù) 是奇函數(shù)，又 f(1)=2 ，f(2)<3 ，且f(x) 在上是增函數(shù).（1）求a,b,c 的值；（2）當(dāng)x<0 時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性.【規(guī)律總結(jié)】1用定義域證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟（1）設(shè)， 是f(x) 定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；（2）判斷f()-f()與0的大小關(guān)系或 與1的大小關(guān)系,（3）根據(jù)定義給出結(jié)論2判斷函數(shù)單調(diào)性的方法（1） 定義法：利用定義嚴(yán)格判斷（2） 利用函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如若f(x),g(x) 為增函數(shù)，則 f(x)+g(x)為增函數(shù) (f(x)>0)

37、為減函數(shù)()為增函數(shù)f(x)g(x) (f(x)>0 ,g(x)>0 )為增函數(shù)-f(x)為減函數(shù) （3） 利用復(fù)合函數(shù)關(guān)系判斷單調(diào)性法則是"同增異減”，即兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相同，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相反，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).（4） 圖象法（5） 奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；（6） 導(dǎo)數(shù)法若f(x) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng) 時(shí)，f(x)為增函數(shù)，當(dāng) 時(shí)，f(x)為減函數(shù)，若f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)f(x) 在該區(qū)間上遞增時(shí)，則；當(dāng)f(x) 在該區(qū)間上遞減時(shí)，則；3判斷

38、函數(shù)奇偶性的步驟： (1) 求定義域，看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則為非奇非偶函數(shù).(2) 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，看（或 或） 是否成立，若不成立，則為非奇非偶函數(shù).(3) 成立時(shí)為奇函數(shù)，成立時(shí)為偶函數(shù).有些題目，須先化簡(jiǎn)f(x) 的表達(dá)式，觀察其特點(diǎn)，然后再進(jìn)行其判斷.例如 的奇偶性，可先由得 將函數(shù)化簡(jiǎn)為再判斷.4 綜合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，可得以下常用的兩個(gè)結(jié)論： （1）奇函數(shù)在區(qū)間 a,b 和 -b,-a上有相同的單調(diào)性. （2）偶函數(shù)在區(qū)間 a,b 和 -b,-a上有相反的單調(diào)性.【拓展訓(xùn)練】一、選擇題1已知函數(shù)f(x) 的定義域是I ，如果對(duì)于屬于I 內(nèi)某個(gè)

39、區(qū)間上的任意兩個(gè)不同的自變量的值， ，都有>0 ，則 ( )A f(x) 在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù) B f(x)在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)C f(x)在這個(gè)區(qū)間上為增減性不定 D f(x)在這個(gè)區(qū)間上為常函數(shù)2已知函數(shù)f(x) 是 R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間 上是增函數(shù)，令,則 ( )A b<a<c B c<b<a C b<c<a Da<b<c3已知定義域是R的函數(shù)f(x) 在上是減函數(shù)，且函數(shù) y=f(x+8)為偶函數(shù)，則Af(6)>f(7) Bf(6)>f(9) Cf(7)>f(9) Df(7)>f(10)二、填空題4已知 是

40、上的減函數(shù)，那么的取值范圍是 . 5函數(shù)的最大值為，最小值為，則_.6已知f(x),g(x)都是定義在 R上的奇函數(shù)，若F(x)=af(x)+bg(x)+2 在區(qū)間上的最大值為 5 ，則F(x) 在 上的最小值為_.三、解答題7判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）·；（3）；（4）8已知函數(shù).（1）若為奇函數(shù)，求的值；（2）若在上恒大于0，求的取值范圍。9設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a2+a+1)<f(3a22a+1).求a的取值范圍，并在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間.10已知函數(shù)y=

41、f(x) ()，對(duì)任意非零實(shí)數(shù)， ，恒有（1）試判斷函數(shù)f(x) 的奇偶性；（2）若f(x) 在上是單調(diào)遞增函數(shù)，且 f(16)=4，解不等式15二次函數(shù)【基礎(chǔ)知識(shí)】1二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是_ .當(dāng)a>0時(shí)，在區(qū)間_ 上遞減，在區(qū)間_上遞增；當(dāng)x=_ 時(shí)，函數(shù)f(x) 取到最_ 值；當(dāng)a<0 時(shí)，在區(qū)間 _ 上遞增，在區(qū)間_ 上遞減；當(dāng)x=_ 時(shí)，函數(shù)f(x) 取到最_值.2一元二次方程的判別式為 _ ，當(dāng) <0 時(shí)，方程_實(shí)根,當(dāng)=0 時(shí)，方程有_實(shí)根；當(dāng)>0 時(shí)，方程有_ 實(shí)根，方程的求根公式為x=_ 若，為方程 的兩根，則根與系數(shù)之間的關(guān)系為+=_ ，=_.3

42、一元二次不等式的解由_ ，_和_ 三個(gè)因素確定.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1已知函數(shù)的圖象如下圖所示，則 b的取值范圍是 ( ) Ab>0 B b<0 Cb<-1 D -2<b<-12已知拋物線 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,k)， ， (mR) ，則 ( )A B C D p,q 的大小與m,k 的值均有關(guān)3已知二次函數(shù) ，若區(qū)間-1，1內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c ，使f(c) >0 ，則實(shí)數(shù)p 的取值范圍是 ( ) A B C D 4關(guān)于x 的不等式恒成立，則a 的取值范圍是_.5函數(shù) ，若f(-4)=f(0) ，f(-2)= -2 ，則關(guān)于x 的方程 f(x)=x 的解的個(gè)數(shù)為_.【

43、典型例題】例1設(shè)二次函數(shù) (a>0) 滿足f(m)<0 ，試判斷f(m+1)的正負(fù).例2 關(guān)于x 的方程 =0 的兩根滿足 求實(shí)數(shù)m 的取值范圍.例3設(shè)二次函數(shù) ，方程 f(x)-x=0 的兩個(gè)根 ，,滿足0<<<. （1）當(dāng) 時(shí)，證明:x< f(x) < ； （2）設(shè)函數(shù)f(x) 的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，證明：<.【規(guī)律總結(jié)】 1二次函數(shù), 一元二次方程 一元二次不等式的相關(guān)內(nèi)容參見教材 2二次函數(shù)有三種表示形式：，,，要根據(jù)題目不同的內(nèi)容選擇相關(guān)的形式. 3涉及二次方程根的問題，要注意判別式以及二次項(xiàng)系數(shù)是否為零的問題. 4閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是看對(duì)稱軸在不在給定區(qū)間上. 5二次方程根的分布問題，應(yīng)結(jié)合拋物線圖象特點(diǎn)，如開口方向，對(duì)稱軸位置，判別式等條件，列出字母參數(shù)應(yīng)滿足的等式或不等式（組）來求解. 6本節(jié)重點(diǎn)是二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，難點(diǎn)是三個(gè)“二次”的相互關(guān)系的判別與應(yīng)用.【拓展訓(xùn)練】一、選擇題1二次函數(shù)y=f(x) 的圖象過原點(diǎn)，且它的導(dǎo)函數(shù)的圖象是如下圖所示的一條直線，則y=f(x) 的頂點(diǎn)在 （ ） A第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D第四象限2若為偶函數(shù)，則f(x