高等數(shù)學(xué)龍文教育

1、高等數(shù)學(xué)講義 第一章 函數(shù) 極限 連續(xù)§函數(shù)1、集合的概念一般地我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合。集合具有確定性和互異性。如果a是集合A中的元素，就說a屬于A，記作：aA，否則就說a不屬于A，記作：aA。 、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集。記作N+、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集。記作Z、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集。記作Q、全體實(shí)數(shù)組成的集合叫做實(shí)數(shù)集。記作R集合的表示方法列舉法和描述法集合間的基本關(guān)系、子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B，如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，我們就說A、B有包

2、含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作A B（或B A）。相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時(shí)集合A中的元素與集合B中的元素完全一樣，因此集合A與集合B相等，記作AB。、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個(gè)元素屬于B但不屬于A，我們稱集合A是集合B的真子集。、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作 ，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：、任何一個(gè)集合是它本身的子集。即A A、對(duì)于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。集

3、合的基本運(yùn)算、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A與B的并集。記作AB。（在求并集時(shí)，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。）即ABx|xA，或xB。、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集。記作AB。即ABx|xA，且xB。、補(bǔ)集：全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集。通常記作U。補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集。簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作CUA。即CUAx|xU，且x A。區(qū)間與鄰域區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號(hào)區(qū)

4、間在數(shù)軸上的表示閉區(qū)間axba，b開區(qū)間axb（a，b）半開區(qū)間axb或axb（a，b或a，b）以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間：此時(shí)引入+即正無窮大，-即負(fù)無窮大(-，+)：表示全體實(shí)數(shù)，也可記為：-x+(-，b)：表示小于b的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：-xb；a，+)：表示不小于a的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：ax+；、鄰域：設(shè)與是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且0.滿足不等式x-的實(shí)數(shù)x的全體稱為點(diǎn)的鄰域，點(diǎn)稱為此鄰域的中心，稱為此鄰域的半徑。函數(shù) （先引入映射）、函數(shù)的定義：1.引例（半徑的例子）對(duì)于每一個(gè)xD，按照對(duì)應(yīng)法則f，總有唯一的確定的y與之相對(duì)應(yīng)，這個(gè)值稱為函數(shù)f在x處的函數(shù)值，記為f（

5、x）。注意：1，函數(shù)是由對(duì)應(yīng)法則，定義域確定的。當(dāng)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等時(shí)，只需要判斷對(duì)應(yīng)法則和定義域。 例子：是否是相同的函數(shù)； 2，函數(shù)的值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則確定的。2.分段函數(shù)如果自變量在定義域內(nèi)不同的值，函數(shù)不能用同一個(gè)表達(dá)式表示，而要用兩上或兩個(gè)以上的表達(dá)式來表示。這類函數(shù)稱為分段函數(shù)。例如是一個(gè)分段函數(shù)，它有兩個(gè)分段點(diǎn)，x1和x1，它們兩側(cè)的函數(shù)表達(dá)式不同，因此討論函數(shù)y=f(x)在分段點(diǎn)處的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等問題時(shí)，必須分別先討論左、右極限，左、右連續(xù)性和左、右導(dǎo)數(shù)。需要強(qiáng)調(diào)：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，不能用初等函數(shù)在定義域內(nèi)皆連續(xù)這個(gè)定理。3.隱函數(shù)形如y=f(x)有函數(shù)稱為

6、顯函數(shù)，由方程F（x，y）=0確定的yy(x)稱為隱函數(shù)，有些隱函數(shù)可以化為顯函數(shù)（不一定是一個(gè)單值函數(shù)），而有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù)。4.反函數(shù)如果y=f(x)可以解出是一個(gè)函數(shù)（單值），則稱它為f(x)的反函數(shù)，記以。有時(shí)也用表示。二、基本初等函數(shù)1.常值函數(shù)yC（常數(shù)）2.冪函數(shù) （常數(shù)）3.指數(shù)函數(shù) （a0，a1常數(shù)）（e2.7182，無理數(shù)）4.對(duì)數(shù)函數(shù) （a0，a1常數(shù)）常用對(duì)數(shù) 自然對(duì)數(shù) 5.三角函數(shù) 6.反三角函數(shù) 基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)及其圖像非常重要，影響深遠(yuǎn)。7.復(fù)合函數(shù)設(shè)定義域U定義域X，值域U*如果，則是定義在X上的一個(gè)復(fù)合函數(shù)，其中u稱為中間變量。3、函數(shù)的簡單

7、性質(zhì)、函數(shù)的有界性：如果對(duì)屬于某一區(qū)間I的所有x值總有f(x)M成立，其中M是一個(gè)與x無關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。、函數(shù)的單調(diào)性：如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1x2時(shí)，有 ，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的。如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而減小，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1x2時(shí)，有，則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。、函數(shù)的奇偶性如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都滿足=，則叫做偶函數(shù)；如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都滿足=-，則叫做奇函數(shù)。注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，奇

8、函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。、函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)，若存在一個(gè)不為零的數(shù)l，使得關(guān)系式對(duì)于定義域內(nèi)任何x值都成立，則叫做周期函數(shù)，l是的周期。重點(diǎn)一：定義域的求解一：常規(guī)題型(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)R (2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于0的實(shí)數(shù)的集合 （3)如果f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于0的實(shí)數(shù)的集合 (4)如果f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合.（即求各集合的交集）（5）y=x0 （6）一些初等函數(shù)的定義域，例如對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正，底數(shù)大于0不等于1例1；例2：例

9、3：求函數(shù)的定義域 求函數(shù)的定義域。 求的定義域。二，復(fù)合函數(shù)求定義域的幾種題型題型三：已知函數(shù)的定義域，求含參數(shù)的取值范圍課堂練習(xí)：5.函數(shù)的圖形對(duì)稱于（ ）.A: ox軸；B: 直線y=x；C: 坐標(biāo)原點(diǎn); D: oy軸6.函數(shù)是（ ）.A: 奇函數(shù)； B: 偶函數(shù)； C: 有界函數(shù)； D: 周期函數(shù).7.函數(shù)是（ ）.A: 偶函數(shù)； B: 奇函數(shù)； C: 單調(diào)函數(shù)； D: 有界函數(shù)8.下面各組函數(shù)中表示同一個(gè)函數(shù)的是（ ）.A: ;B: ;C: D: ;（難點(diǎn)的題）設(shè)的定義域?yàn)椋ǎ┣蟮亩x域課下練習(xí)：§1.2極限1.數(shù)列的極限：一般地，對(duì)于數(shù)列來說，若存在任意給定的正數(shù)(不論其

10、多么小)，總存在正整數(shù)N，使得對(duì)于nN時(shí)的一切不等式都成立，那末就稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于a .記作：或注：此定義中的正數(shù)只有任意給定，不等式才能表達(dá)出與a無限接近的意思。數(shù)列的有界性：對(duì)于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿足不等式M，則稱數(shù)列是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列是無界的。定理：若數(shù)列收斂，那末數(shù)列一定有界。注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列  1，-1，1，-1，(-1)n+1，  是有界的，但它是發(fā)散的。2. 函數(shù)的極限前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取

11、1內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限.函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大；b)：自變量無限接近某一定點(diǎn)x0，如果在這時(shí)，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。、函數(shù)的極限(分兩種情況)a):自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意給定的正數(shù)(不論其多么小)，總存在著正數(shù)X，使得對(duì)于適合不等式 的一切x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式               

12、                   那末常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)x時(shí)的極限，記作：b):自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限。常見的作為結(jié)論的極限 3.函數(shù)極限基本性質(zhì)定理1（極限的惟一性）設(shè)，則。定理2（極限的不等式性質(zhì)）設(shè)，若變化一定以后，總有，則反之，則變化一定以后，有（注：當(dāng)情形也稱為極限的保號(hào)性）定理3（極限的局部有界性）設(shè)，則當(dāng)變化一定以后，有界的。定理4設(shè)，則（1）（2）（3）（4）（5）例：求解答：例：求此題如果

13、像上題那樣求解，則會(huì)發(fā)現(xiàn)此函數(shù)的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。解答：注：通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。4. 函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則定義：如果x僅從左側(cè)(xx0)趨近x0時(shí)，函數(shù)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的左極限.記：如果x僅從右側(cè)(xx0)趨近x0時(shí)，函數(shù)與常量A無限接近，則稱A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的右極限.記：注：只有當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)的左、右極限存在且相等，方稱在xx0時(shí)有極限二、無窮小量1.無窮小量定義：若，則

14、稱為無窮小量（注：無窮小量與的變化過程有關(guān)，當(dāng)時(shí)為無窮小量，而或其他時(shí)，不是無窮小量）2.無窮大量定義：任給，當(dāng)變化一定以后，總有，則稱為無窮大量，記。3.無窮小量與無窮大量的關(guān)系：在的同一個(gè)變化過程中，若為無窮大量，則為無窮小量，若為無窮小量且，則為無窮大量。4.無窮小量與極限的關(guān)系 其中5.兩個(gè)無窮小量的比較設(shè)，且(1)，稱是比高階的無窮小量，記以稱是比低階的無窮小量，(2) ，稱與是同階無窮小量。(3)，稱與是等價(jià)無窮小量，記以6.常見的等價(jià)無窮小量 當(dāng)時(shí)（為實(shí)常數(shù)）。7.無窮小量的重要性質(zhì)有界變量乘無窮小量仍是無窮小量。三、求極限的方法1. 利用極限的四則運(yùn)算和冪指數(shù)運(yùn)算法則2. 兩個(gè)

15、準(zhǔn)則準(zhǔn)則1 單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在。（1）若（為正整數(shù)），又（為正整數(shù)）則存在且（2）若（為正整數(shù)），又（為正整數(shù)）則存在且準(zhǔn)則2 （夾逼定理）設(shè)若，則3.兩個(gè)重要公式公式1 公式2 ；例：求解答：令，則x=-2t，因?yàn)閤，故t，則注：解此類型的題時(shí)，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x時(shí)，若用t代換1/x，則t0.4.用無窮小量重要性質(zhì)和等價(jià)無窮小量代換專升本考試常用的等價(jià)無窮小 當(dāng)時(shí)sinxx，tanxx，arcsinxx，arctanxx ，例：1.求例： 2.求 5.用泰勒公式（比用等價(jià)無窮小量更深刻）當(dāng)時(shí)（為實(shí)常數(shù)）6.洛必達(dá)法則法則1設(shè)（1），（2）變化過程中，皆存在（3）（或

16、）則 （或）法則2設(shè)（1），（2）變化過程中，皆存在（3）（或）則（或）7.利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式：8.利用定積分定義求極限基本公式： 9.其他綜合方法10.求極限的反問題有關(guān)方法（乙）典型例題一、通過各種基本技巧化簡后直接求出極限【例1】設(shè)，求【例2】設(shè)，求.解特例：（1）求解例2中取，可知原式（2）【例3】求.【例4】設(shè)l是正整數(shù)，求.【例7】求下列各極限（1）（多種解法 有理化，等價(jià)，羅比達(dá)）二、用兩個(gè)重要公式【例1】求。【例2】求下列極限（1）（2）【例3】求下列極限（1）（2）四、用定積分定義求數(shù)列的極限【例1】求.解五、用洛必達(dá)法則求極限1.“”型和“”型.【例1】求.【例2】

17、求.解若直接用“”型洛必達(dá)法則1，則得（不好辦了，分母x的次數(shù)反而增加），為了避免分子求導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜性，我們先用變量替換，令，于是(“”型)2. “-”型和“0·”型.【例1】求.六、用無窮小量重要性質(zhì)和等價(jià)無窮小量代換【例2】求.【例3】求.七、用泰勒公式求極限【例1】求.八、用導(dǎo)數(shù)定義求極限【例1】設(shè)，求.九、求分段函數(shù)的極限【例1】求下列函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限【例2】求.十、求極限的反問題【例1】設(shè)，求a和b.§1.3 連續(xù)(甲)內(nèi)容要點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)的概念1.函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)定義1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量（初值為）趨近于0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)改變量也趨近

18、于0，即或則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)也可作如下定義。定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限值存在，且等于處的函數(shù)值，即則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，此時(shí)有定義3設(shè)函數(shù)，如果，則函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù)；如果，則稱函數(shù)在點(diǎn)處右連續(xù)。由上述定義2可知，如果函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則在處既左連續(xù)也右連續(xù)。2.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)（上）連續(xù)的定義如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù)。如果在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn)右連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn)左連續(xù)，則稱在閉區(qū)間上連續(xù)。二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類1.函數(shù)的間斷點(diǎn)的定義如果函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)，則稱為的間斷點(diǎn)。2.函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（1）第一類間斷點(diǎn)

19、設(shè)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，如果在間斷點(diǎn)處的左、右極限都存在，則稱是的第一類間斷點(diǎn)。第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（2）第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。常見的第二類間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。例如是的跳躍間斷點(diǎn)，是的無窮間斷點(diǎn)，是的振蕩間斷點(diǎn)。三、初等函數(shù)的連續(xù)性1在區(qū)間連續(xù)的函數(shù)的和、差、積及商(分母不為零)，在區(qū)間仍是連續(xù)的。2由連續(xù)函數(shù)經(jīng)有限次復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)仍是連續(xù)函數(shù)。3在區(qū)間連續(xù)且單調(diào)的函數(shù)的反函數(shù)，在對(duì)應(yīng)區(qū)間仍連續(xù)且單調(diào)。4基本初等函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的。5初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用