CH2 光波導(dǎo)的幾何光學(xué)分析方法--精選文檔

1、第二章 光波導(dǎo)的幾何光學(xué)分析方法在本章中我們將從路徑方程出發(fā)，分析光線在各類光波導(dǎo)中的傳播特性。首先，我們將從最簡(jiǎn)單的均勻介質(zhì)薄膜波導(dǎo)開始，然后討論光纖中光線的傳播問題，最后討論光源與光纖之間的耦合問題。2.1 均勻介質(zhì)薄膜波導(dǎo)中光線的傳播圖2-1 介質(zhì)薄膜波導(dǎo)的縱剖面圖介質(zhì)薄膜波導(dǎo)由三層介質(zhì)構(gòu)成。中間一層厚度為d (約為數(shù)微米)，折射率為n1，光線即在這一層介質(zhì)中傳播，稱為芯層。下面一層折射率為n2，稱為襯底。上面一層折射率為n3，稱為敷層。其結(jié)構(gòu)如圖2-1所示。為了保證光線在芯層中傳播，必須有nl大于n2和n3。在橫方向上，薄膜波導(dǎo)在y方向尺寸比起x方向尺寸要大得多，為了分析簡(jiǎn)單起見，認(rèn)為

2、在y方向上是無限延伸的，所以又可以將薄膜波導(dǎo)稱為平面波導(dǎo)。一般薄膜波導(dǎo)的芯層是采用擴(kuò)散工藝沉積在襯底上做成的。光纖通信系統(tǒng)中，不用薄膜光波導(dǎo)作為傳輸媒質(zhì)。但是，對(duì)薄膜波導(dǎo)的分析具有重要的意義。首先，薄膜波導(dǎo)是最簡(jiǎn)單的光波導(dǎo)，可以很方便地得到結(jié)果，對(duì)薄膜波導(dǎo)的討論可以為分析條形波導(dǎo)和光纖打下基礎(chǔ)。另外，薄膜波導(dǎo)理論又是集成光學(xué)的基礎(chǔ)，很多無源光器件，如光調(diào)制器、光耦合器等的工作原理都是建立在薄膜波導(dǎo)理論基礎(chǔ)上的。所以在主要介紹光纖傳輸理論的同時(shí)，也對(duì)薄膜波導(dǎo)的傳輸理論作必要的介紹。 2.1.1 光線的傳播路徑及光線分類均勻薄膜波導(dǎo)的芯層折射率nl、襯底折射率n2、敷層折射率n3都是常數(shù)。因而光線

3、在芯層中沿直線傳播，在芯層與襯底，芯層與敷層的界面上發(fā)生反射和折射，如圖2-2所示。如果光線的入射角大于這兩個(gè)界面上的全反射臨界角，則光線在芯層形成內(nèi)全反射，此時(shí)光線被約束在芯層內(nèi)沿鋸齒狀路徑傳播。根據(jù)襯底和敷層中是否有折射光線存在，我們將波導(dǎo)內(nèi)的光線分成兩類，即束縛光線和折射光線。如果光線在兩個(gè)界面上都滿足全反射條件，光線完全被約束在芯層內(nèi)，則稱為束縛光線。如果光線在某一個(gè)界面上或同時(shí)在兩個(gè)界面上不滿足全反射條件，從而導(dǎo)致光線穿過界面進(jìn)入襯底或敷層，就稱為折射光線。顯然只有束縛光線才能在波導(dǎo)中沿確定的方向傳播。 圖2-2 介質(zhì)薄膜波導(dǎo)界面上光線的反射和折射令光線在芯層和襯底及芯層和敷層分界面

4、上的全反射臨界角分別為c12和c13，則有 ，假設(shè)襯底折射率n2大于敷層折射率n3，則必有c12c13，這表明，在芯層中光線成為束縛光線的必要條件是光線在界面上的入射角lc12。為了以后討論方便，我們用光線與波導(dǎo)軸也就是z軸之間的夾角z來表示射線的方向，它與入射角i互為余角，即z = 90-i。全反射臨界角的余角用zc表示,則zc=90-c。引進(jìn)z角之后，光線在界面上發(fā)生全反射的條件成為zc13，所以z12z13，于是得到薄膜波導(dǎo)兩個(gè)界面上同時(shí)滿足全反射條件，從而光線成為束縛光線的條件成為 0zzc13 （2.1-1）如果忽略介質(zhì)本身的損耗，則滿足條件(2.1-1)式的光線在波導(dǎo)芯層將沿z軸方

5、向以鋸齒狀的路徑無衰減地傳播。這種光線又可以稱為導(dǎo)波光線，因?yàn)橛貌▌?dòng)理論來看，它就是導(dǎo)行波。如果(2.1-1)式的條件不滿足，即光線的傾斜角zzc12，則光線在到達(dá)界面時(shí)將部分地折射出去，光的能量每經(jīng)過一次折射都要損失一部分，因而沿z軸方向光線的能量迅速衰減。這種能量的損耗以輻射的形式向芯層外面彌散，所以又稱這種部分向外折射的光線為輻射光線。這里又可出現(xiàn)兩種情形，即當(dāng)zc12zzc13 （2.1-2a）時(shí)僅出現(xiàn)襯底輻射，即在襯底中有折射光線存在，而在敷層中沒有折射光線存在。而當(dāng)zc13z (2.1-2b)時(shí)襯底和敷層中同時(shí)都有折射光線存在，或者說同時(shí)出現(xiàn)襯底輻射和敷層輻射。 (2.1-1)式和

6、(2.1-2)式的條件可以歸納為 束縛光線： 0zcos-1 (2.1-3) 只存在襯底輻射： cos-1zcos-1 (2.1-4a)同時(shí)存在襯底輻射和敷層輻射： cos-1z (2.1-4b)由折射定律可知，光線在傳播過程中必有是個(gè)常數(shù)，腳標(biāo)i=l，2，3?？梢詫⒎Q為光線不變量，它實(shí)際上是光波在z軸方向傳播的歸一化相位常數(shù)，即 =用光線不變量表示，則薄膜波導(dǎo)中存在束縛光線的條件是n2n1 (2.1-5)僅出現(xiàn)襯底輻射的條件是 n3n2 (2.1-6a)同時(shí)出現(xiàn)襯底輻射和敷層輻射的條件是 0n3 (2.1-6b)2.1.2 傳播時(shí)延及時(shí)延差光線在芯層中的傳播速度v = cn1，c是自由空間的

7、光速度，n1是芯層折射率。由于光線在芯層內(nèi)沿鋸齒狀路徑傳播，如圖2-3所示，光線沿z軸方向傳播距離z時(shí)，走過的實(shí)際路徑長度為L = zcosz圖2-3 薄膜波導(dǎo)中束縛光線的傳播路徑傳播這段距離所需要的時(shí)間為t = L / v = n1 z / c cosz定義沿z軸方向傳播單位距離的時(shí)間為光線的傳播時(shí)延，用表示，則= t / z = n1 / c cosz (2.1-7)如果在芯層中有兩條束縛光線，它們與z軸之間的夾角分別為和，則在z軸方向傳播單位距離時(shí)，它們走過的路徑不一樣，因而傳播時(shí)延也不一樣，兩條路徑傳播時(shí)延差用表示，則有= (2.1-8)在所有可以存在的束縛光線中，路徑最短的一條光線是

8、沿z軸方向直線傳播的光線其z0，而路徑最長的一條光線則是靠近全反射臨界角入射的光線，其傾斜角zcos-1(n2/n1) 。這兩條光線傳播時(shí)延差最大，稱為最大時(shí)延差，記為max，顯然max （2.1-9）由上式可以看到max與芯層折射率和襯底折射率之差n1-n2成正比。而較大的時(shí)延差將會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的多徑色散，引起光脈沖在傳播過程中展寬，所以實(shí)際的光波導(dǎo)n1-n2不宜過大。一般的光波導(dǎo)襯底和芯層往往用同一種材料，只是摻有不同濃度的雜質(zhì)做成，其折射率差很小。定義相對(duì)折射率差為1 (2.1-10)引進(jìn)參量以后，最大時(shí)延差即可表示為 max= (2.1-11)(2.1-11)式是一個(gè)極為重要的結(jié)果。用它可

9、以估算光波導(dǎo)中由于多徑傳輸所導(dǎo)致的光脈沖展寬的大小。(2.1-11)式未考慮其它的色散因素，例如材料色散等。對(duì)這種均勻薄膜波導(dǎo)，多徑色散是主要的，因而用(2.1-11)式所得到的結(jié)果誤差不會(huì)很大。2.2 芯層折射率漸變的介質(zhì)薄膜波導(dǎo)中光線的傳播均勻介質(zhì)薄膜波導(dǎo)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，容易分析，其缺點(diǎn)是 圖2-4 對(duì)稱薄膜波導(dǎo)的折射率分布多徑色散效應(yīng)嚴(yán)重。改進(jìn)的辦法是將芯層折射率做成漸變的，波導(dǎo)芯層的中心折射率最大，并單調(diào)下降至襯底折射率的值。這種情形下對(duì)光線的傳播特性的分析將比均勻結(jié)構(gòu)復(fù)雜。2.2.1 傳播路徑及光線分類實(shí)際使用的光波導(dǎo)其芯層折射率僅是x的函數(shù)，從中心線向兩邊遞減。為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)芯層兩側(cè)折

10、射率相等，邊界面上折射率連續(xù)，即折射率分布可以表示為 （2.2-1）我們將這種折射率呈對(duì)稱分布的結(jié)構(gòu)稱為對(duì)稱薄膜波導(dǎo)，其折射率分布如圖2-4所示。在芯層中，光線傳播的路徑方程可以具體化為 （2.2-2）我們限定光線在芯層沿z軸傳播，因而光線的路徑是xyz平面內(nèi)的曲線，曲線上任意一點(diǎn)的矢徑及其路程的導(dǎo)數(shù)分別為將（2.2-2）式寫成分量形式，可以得到 （2.2-3a） （2.2-3b）在xoz平面內(nèi)ds = dx2 + dz2 1/2，或者dz = d cosz(x)，這里z(x)是傳播路徑上某點(diǎn)的切線與z軸之間的夾角。由于傳播路徑一般為曲線，所以z(x)是位置的函數(shù)。dx，dz，ds，z(x)之

11、間的關(guān)系如圖2-5所示。積分式（2.2-2b）可得 （2.2-4） 由此可見，折射率漸變波導(dǎo)中，如果折射率僅是x的函數(shù)，則仍然可以引進(jìn)歸一化的z方向相位常數(shù)這個(gè)光線不變量。也就是說光線傳播的z方向歸一化相位常數(shù)在傳播過程中始終保持不變，其值僅由光線的初始狀態(tài)決定。從（2.2-3）式可以看到，如果光波導(dǎo)的芯層折射率由x = 0處向兩邊單調(diào)下降，則光線與z軸間的夾角會(huì)隨的增加而減小，也就是說在非均勻介質(zhì)中，光線 圖 2-5 傳播路徑上的幾何關(guān)系總是彎向折射率大的一側(cè)。如果芯層中某點(diǎn)滿足=0，則此點(diǎn)以外的區(qū)域光線不能傳播，光線將從此點(diǎn)彎回中心軸一側(cè)，我們稱這個(gè)點(diǎn)為光線的折返點(diǎn)，其坐標(biāo)用表示。顯然折返

12、點(diǎn)坐標(biāo)xtp是下面方程的解 (2.2-5)式中 n1 ( 0 )是波導(dǎo)中心軸上( x = 0 )的折射率，z(0) 則是中心軸上光線與z軸間的夾角。若方程（2.2-5）在|x|a范圍內(nèi)有解，則得到束縛光線。若方程（2.2-5）式在 在|x|0區(qū)域光線的路徑在折射率對(duì)稱分布，即n ( x ) = n (- x ) 的波導(dǎo)中，束縛光線沿類似于正弦曲線的路徑傳播，如圖2-7所示。路徑的準(zhǔn)確形狀則應(yīng)從方程（2.2-3a）式解得。 圖2-7 束縛光線的傳播路徑由上面的討論可知，束縛光線和折射光線的分界線是剛好達(dá)到芯層與敷層的分界面的路徑，即= a的路徑。由（2.2-5）式可以得到這條路徑的其起始傾斜角為

13、 （2.2-6）式中n2 = n1( x = a )是襯底及敷層折射率，n1是芯層中心軸上的折射率，即n1 = n1(0)。于是我們可以將束縛光線和折射光線的條件歸納為束縛光線： 0z（0）cos-1 （2.2-7a）折射光線： cos-1z（0） （2.2-7b）如果用光線不變量= n(x)cosz(x)來表示，則為束縛光線： n2n1 （2.2-8a）折射光線： 0n2 （2.2-8b）現(xiàn)在假設(shè)光線不變量滿足條件n2 n2。纖芯折射率可以是均勻的，也可以是漸變的。纖芯折射率均勻，也就是n1是常數(shù)，則在纖芯與包層的分界面上折射率發(fā)生突變，包層折射率n2總是常數(shù)，這種光纖稱為階躍光纖，或者SI

14、（Step Index）光纖。如果光纖的折射率是漸變的，一般是由中心軸上的最大值n1按某種函數(shù)規(guī)律下降到包層折射率n2，這種光纖稱為梯度光纖，或者 圖2-12 階躍光纖的橫截面結(jié)構(gòu) GI（Graded Index）光纖。本節(jié)將分析光線在階躍光纖中 及折射率分布的傳播特點(diǎn)。 為了分析的方便，在以后的討論中略去光纖的護(hù)套層，認(rèn)為光纖的包層延伸到無限遠(yuǎn)處。這種假設(shè)對(duì)光的傳播特性沒有什么影響，這是因?yàn)樽o(hù)套的作用僅僅是保護(hù)光纖，使之不易受到機(jī)械損傷，幾乎與光的傳播特性無關(guān)。階躍光纖的橫截面結(jié)構(gòu)和折射率分布如圖2-12所示。2.3.1傳播路徑及光線分類圖2-13 子午光線的傳播路徑及其在橫截面內(nèi)的投影由于

15、階躍光纖纖芯折射率是均勻的，所以光線在纖芯內(nèi)沿直線傳播。當(dāng)光線到達(dá)纖芯與包層界面時(shí)，按斯涅爾定律發(fā)生反射和折射。在一定的條件下，光線在界面上發(fā)生全反射，則在纖芯內(nèi)形成沿折線路徑傳播的束縛光線。與前一節(jié)所討論的薄膜波導(dǎo)不同，光纖中的光線由于入射方向的差異，必須區(qū)分兩種情形。一種是傳播路徑與光纖軸線相交的光線，稱為子午光線。子午光線的路徑是平面折線，在光纖橫截面內(nèi)的投影是長度為2a的線段，也就是光纖纖芯的某一條直徑。子午光線的路徑及在橫截面內(nèi)的投影如圖2-13所示。另一類光線其傳播路徑不與光纖軸相交，稱為偏斜光線。偏斜光線的路徑是空間折線，在光纖橫截面內(nèi)的投影是內(nèi)切于一個(gè)圓的多邊形(可以是不封閉的

16、)。偏斜光線的傳播路徑及其在橫截面內(nèi)的投影如圖2-14所示。偏斜光線在傳播過程中總與一個(gè)圓柱面相切，這個(gè)圓柱面稱為偏斜光線的內(nèi)焦散面(Inner Caustic)。內(nèi)焦散面的半徑如果用表示，則有0a，而子午光線就是內(nèi)焦散面半徑趨于零的特例。 圖2-14 偏斜光線的傳播路徑及其在橫截面內(nèi)的投影 為了準(zhǔn)確描述光纖內(nèi)光線的方向，我們引進(jìn)圖2-15所示的坐標(biāo)系。圖中P點(diǎn)為光線在纖芯與包層界面上的入射點(diǎn)，PN為該點(diǎn)法線，也就是過P點(diǎn)的圓柱面的一條半徑，PQ是圓柱面的一條母線，它與光纖軸線平行，TP是過P點(diǎn)的光纖纖芯橫截面外圓的切線。人射光線與PN間的夾角即為光線在P點(diǎn)的入射角，反射光線與PN間的夾角顯然

17、也為，一般說來入射光線、反射光線與PN不共面。反射光線與PQ間的夾角用z表示，反射光線在橫截面內(nèi) 圖2-15 考慮光纖中光線傳播的坐標(biāo)的投影PR與切線TP的夾角記為。由圖中的幾何關(guān)系，易于得到 （2.3-1）光線的內(nèi)焦散面半徑則為 = （2.3-2）由上式可以看到，由光線的偏斜角完全確定。當(dāng)=時(shí)，=0，這就是子午光線了。按光 線偏斜角的值則有子午光線： 偏斜光線：0 （2.3-3）光線在界面上發(fā)生全反射的臨界入射角記為，則有 如果入射角c時(shí)應(yīng)區(qū)分子午光線和偏斜光線兩種情形。對(duì)子午光線，當(dāng)c 時(shí)將發(fā)生全反射，形成束縛光線。對(duì)偏斜光線，從光線的路徑方程可以得到，僅當(dāng) 時(shí)光線才成為束縛光線。當(dāng) ，時(shí)

18、，光線是介于束縛光線和折射光線之間的第三類光線，稱為漏泄光線。顯然，子午光線不會(huì)成為漏泄光線，薄膜波導(dǎo)中也沒有這種光線。為了進(jìn)一步描述上述三類光線的形成條件，我們考查圖2-16。在入射點(diǎn)P，作過P點(diǎn)的圓柱面的法線PN ，并以PN為軸，作以P為頂點(diǎn)，c為半錐角的圓錐，則在此錐范圍以內(nèi)入射的光線，其入射角c，是折射光線。再作以P為頂點(diǎn)，以過 P點(diǎn)的圓柱母線為軸，為半錐角的半圓錐，顯然，從此錐以內(nèi)入射的光線必然滿足，從而成為束縛光線，從這兩個(gè) 圖2-16 三類光線的形成條件錐體之外的區(qū)域入射的光線則形成漏泄光線。 歸納起來，階躍光線中的三類光線的入射方向應(yīng)滿足束縛光線： （2.3-4a） 折射光線：

19、 （2.3-4b）漏泄光線： ， （2.3-4c） 與薄膜波導(dǎo)類似，由于光線在傳播過程中其方位角與保持不變，因而可以引進(jìn)光線的兩個(gè)不變量和L，其定義為： （2.3-5a） (2.3-5b)而且和l間滿足關(guān)系 （2.3-5c） 如果l = 0,即為子午光線。引進(jìn)不變量和l以后，易于證明（2.3-4）式可以等價(jià)為： 束縛光線：n2 （2.3-6a） 折射光線：02 L2 (2.3-6b)漏泄光線：n222+ L22和02 n2 (2.3-6c) 2.3.2 數(shù)值孔徑、傳播時(shí)延與時(shí)延差如前所述，無論是子午光線，還是偏斜光線，僅當(dāng)時(shí)，光線才能成為束縛光線并沿光纖軸方向無衰減傳播，而光線的起始傾斜角則由

20、光纖端面上光線的入射方向決定。我們以子午光線為例來看看從端面入射的光線被光纖捕獲并成為束縛光線的入射條件。假設(shè)光線從空氣中以入射角投射到光纖端面上，如圖2-17所示。光線進(jìn)入光纖以后，其傳 圖2-17 光纖端面上光線的入射與折射播路徑與z軸之間的夾角為，根據(jù)斯涅爾定律應(yīng)有 n1是纖芯折射率，n0是光纖端面外介質(zhì)的折射率，如果端面之外是空氣，則n0=1。入射光線成為束縛光線的條件是也就是 于是得到 對(duì)于空氣， 。從上式可以得到一個(gè)重要結(jié)果，即從空氣中入射到光纖纖芯端面上的光線被光纖捕獲并成為束縛光線的最大入射角，必須滿足條件sin （2.3-7a）式中是光纖纖芯和包層之間的相對(duì)折射率差。定義上述

21、光線成為束縛光線的最大入射角的正弦即為光纖的數(shù)值孔徑（Numberical Aperture），記為NA，即NA （2.3-7b）數(shù)值孔徑NA是光纖的一個(gè)極為重要的參數(shù)，它反映光纖捕捉光線能力的大小。NA越大，光纖捕捉光線的能力就越強(qiáng)，光纖與光源之間的耦合效率就越高。從這個(gè)意義上講，光纖的相對(duì)折射率差應(yīng)取得大一些，但過大會(huì)使光纖的多徑色散嚴(yán)重。實(shí)際的光纖總有，多模光纖的數(shù)值孔徑一般在0.2左右，單模光纖的數(shù)值孔徑更小，在0.1左右。2.3.3 傳播時(shí)延和時(shí)延差圖2-13中光線的傳播路徑與包層和纖芯界面的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)P、Q間的距離設(shè)為Lp，由幾何關(guān)系可得 設(shè)其光程為L0，則有 （2.3-8）P、

22、Q兩點(diǎn)之間的路徑在光纖軸上的投影的長度為zP，則 （2.3-9）光線沿z軸方向傳播單位距離的傳播時(shí)延則為 （2.3-10） 由（2.3-10）可以得到一個(gè)重要結(jié)論，階躍光纖中光線的傳播時(shí)延僅與光線與z軸間的夾角有關(guān)，而與偏斜角無關(guān)。在相同的條件下，從始端同時(shí)出發(fā)的子午光線與偏斜光線同時(shí)到達(dá)終端。因而在討論階躍光纖中的多徑色散時(shí)僅需討論子午光線。光纖中的子午光線與薄膜波導(dǎo)中的光線其傳播特性是相同的。在z軸方向傳播單位距離，具有不同傾斜角的束縛光線的最大時(shí)延差為 （2.3-11）3.4 梯度光纖中光線的傳播階躍光纖結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，容易分析，其缺點(diǎn)是存在嚴(yán)重的多徑色散效應(yīng)。為了減小多徑色散，可以將光纖纖芯

23、折射率做成漸變的。一般是讓纖芯折射率從中心軸到與包層的分界面單調(diào)下降，而且折射率是呈軸對(duì)稱分布的。這樣的光纖就稱為梯度光纖(GI光纖)。梯度光纖的折射率分布可以寫成 （2.4-1）（3.4-1）式所描述的折射率分布如圖2-18所示。本節(jié)將詳細(xì)討論梯度光纖中光線的傳播問題。3.4.1 路徑方程和光線不變量在以光纖軸為z軸的圓柱坐標(biāo)系中，光線的路徑方程（2.4-9）式可以寫成三個(gè)標(biāo)量方程： （2.4-2a） （2.4-2b） （2.4-2c） 圖2-18 梯度光纖的折射率分布 在梯度光纖中，光線在纖芯中傳播的路徑一般是曲線，由圖2-15所定義的入射角、以及、都是r的函數(shù)。這些角度之間的光系以及它們

24、與坐標(biāo)變量r，z對(duì)路徑s的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系分別為 （2.4-3a） （2.4-3b） （2.4-3c） （2.4-3d）積分(2.4-1c)式，得到光線傳播過程中的一個(gè)不變量 （2.4-4）這個(gè)不變量實(shí)際上是光纖沿z軸方向幾何結(jié)構(gòu)及折射率分布的不變性的反映。將(2.4-2b)式兩邊同乘以r2，得到上式等價(jià)于積分上式可以得到光線在傳播過程中的第二個(gè)不變量l，即 （2.4-5）這個(gè)不變量實(shí)際上是光纖幾何結(jié)構(gòu)及折射率分布的軸對(duì)稱性的反映。上一節(jié)引入的階躍光纖中光線傳播的兩個(gè)不變量，僅是（2.4-4）式和（2.4-5）式中引進(jìn)的的不變量、為常數(shù)以及n (r) = n1，r = a時(shí)的特例。從（2.4-4

25、）式和（2.4-5）中消去，可以得到偏斜角與折射率分布的關(guān)系 （2.4-6）當(dāng)l = 0，光線與z軸相交，則成為子午光線。如果，l0,則光線成為偏斜光線。2.4.2光線路徑及光線分類由于纖芯折射率從中心軸到與包層的分界面呈軸對(duì)稱的單調(diào)下降分布，所以子午光線和偏斜光線的路徑都是周期性的曲線。如果光線的傳播路徑限制于纖芯內(nèi)，則其路徑的形狀如圖2-19所示。子午光線是光纖纖芯縱剖面內(nèi)的平面曲線，它在橫截面內(nèi)的投影是長度為2的線段，是光線外焦散面的半徑。偏斜光線的路徑是螺旋狀的空間曲線，它交替地與和的圓柱面相切。為折返點(diǎn)焦散面(或外焦散面)半徑，為內(nèi)焦散面半徑。此空間曲線在橫截面內(nèi)的投影是一個(gè)類似于橢

26、圓(也可能不封閉)的曲線。由于折射率漸變，光線路徑還未到達(dá)分界面時(shí)就會(huì)折返，因而折返點(diǎn)到中心軸的距離，也就是外焦散面半徑。由于光線路徑與內(nèi)、外焦散面相切，在切點(diǎn)上必有偏斜角，由此可以從（2.4-6）式得到內(nèi)、外角散面的半徑ric、rtp必是方程 （2.4-7）的解。ric、rtp在光纖的折射率分布n2 (r)確定以后，由光線的初始條件和l2決定。如果l = 0，則（2.4-7）式只有一個(gè)有意義的解，而ric = 0，這就是子午光線。當(dāng)l0時(shí)，（2.4-7）有兩個(gè)正實(shí)數(shù)解，大的一個(gè)就是rtp，小的一個(gè)就是ric。在路徑方程（2.4-2 a）式中以dz代替ds，即，并將（2.4-3d）式中的關(guān)系代

27、入，可以推得令，則，代入上式，得到積分上式，并注意到r = rtp時(shí)，于是得到 圖2-19 梯度光纖中光線的路徑即在橫截面內(nèi)的投影 (2.4-8)引進(jìn)函數(shù): (2.4-9)則從上兩式可以看出，僅當(dāng)函數(shù)為非負(fù)值時(shí)光線的路徑方能存在，這是一個(gè)判定光線類型的判據(jù)。將不同的值時(shí)的函數(shù)畫出曲線得到如圖2-20所示的四種情形。除了l = 0，即子午線以外，由于（2.4-9）式右邊的第三項(xiàng)與1 / r2成比例，所以r0時(shí)總有g(shù)( r ) 0因而對(duì)l0，即偏斜光線，在r0時(shí)，光線路徑不可能存在，即它不能與光纖軸相交。對(duì)l = 0的情形，在r = 0時(shí)而且函數(shù)在光線軸上取最大值，因而路徑總與 圖2-20 梯度光

28、纖中的四種情形光纖軸相交。下面對(duì)圖2-20中的情況分別予以討論。 1. 如果在ra時(shí)總有，這就是偏斜束縛光線。這里面又有兩種情形，對(duì)于圖2-20（a）中所示的情形僅在0 ric rtp r a范圍內(nèi)的值為正，其余范圍都有g(shù)( r ) a 時(shí)g ( r )單調(diào)下降，當(dāng)r = rp時(shí)g( r ) =0，r rp時(shí)g ( r ) 0這就是子午束縛光線。無論是子午光線，還是偏斜光線，在r a時(shí) g ( r ) 0，這說明包層中存在光線路徑，即光線可以從纖芯和包層的界面上折射進(jìn)入包層，這就是折射光線。對(duì)于l0的情形，由于方程（2.4-7）式只有一個(gè)根，即ric a區(qū)域，也就是包層中還有一個(gè)根，記為r=r

29、rad ，當(dāng)rrrad 時(shí)，也有g(shù)(r) 0。這說明在包層中，當(dāng)rrrad 時(shí)也有光線路徑存在，我們稱這種光線為泄漏光線。而r=rrad的圓柱面則稱為輻射焦散面。從2.4-7）式可以解得 (2.4-13)(2.4-12)式保證了rrada，rtprrrad時(shí)， g(r) 0，此范圍中不存在光線的路徑，也就是說在這個(gè)區(qū)域中，光線不能傳播。這種現(xiàn)象可以解釋為，在纖芯中傳播的光線有少量能量通過所謂“隧道”機(jī)理漏泄到包層中，然后在 rrrad區(qū)域形成輻射損耗。束縛光線和折射光線則可以分別看成是rrad和rrad=a時(shí)漏泄光線的特例。這種現(xiàn)象與量子力學(xué)中的隧道效應(yīng)類似，所以又稱這種光線為隧道光線。2.4

30、.3 本地?cái)?shù)值孔徑與階躍光纖類似，仍然以子午光線來定義梯度光纖的數(shù)值孔徑。即仍將從端面入射進(jìn)入纖芯并成為束縛光線的最大入射角的正弦定義為數(shù)值孔徑NA，即與階躍光纖不同的是，梯度光纖纖芯折射率是漸變的，因而從端面上不同位置入射的光線其是不一樣的，因而有必要定義本地?cái)?shù)值孔徑。 光線如果以入射到端面，則在纖芯內(nèi)形成的光線的折反點(diǎn)焦散面為纖芯與包層的分界面，即rtp = a。如果入射角，則光線將進(jìn)入包層成為折射光線。在傳播過程中是個(gè)常數(shù)，在折返點(diǎn)上，以角入射的光線，在折返點(diǎn)上必有。因而從處入射的光線能成為束縛光線的最大入射角影滿足式中是光線從端面上處以角入射時(shí)，光線在纖芯內(nèi)的折射角。由斯涅爾定律可得如

31、果光纖端面外為空氣，即，則光纖處的數(shù)值孔徑為去掉腳標(biāo)，則一般表示式為 （2.4-14） 這個(gè)表達(dá)式在形式上與階躍光纖的數(shù)值孔徑（2.3-7）相同，但由于梯度光纖纖芯內(nèi)折射率是函數(shù)，所以數(shù)值孔徑也是的函數(shù)。由(2.3-14)式定義的數(shù)值孔徑稱為本地?cái)?shù)值孔徑。本地?cái)?shù)值孔徑的值從光纖軸上的最大值單調(diào)減小到纖芯與包層的界面上的零。由于光纖本地?cái)?shù)值孔徑隨變化，從光源入射來的光線在端面上不同入射點(diǎn)上纖芯的捕捉能力不同，因而光纖橫截面內(nèi)功率分布是不均勻的。假設(shè)從光源發(fā)出的光在不同方向上的光線攜帶相同的功率(點(diǎn)光源發(fā)出的光即具有這種特性)，在這種情形下，光纖端面所能收集到的光功率與與它的數(shù)值孔徑的平方成正比。設(shè)纖芯軸線處單位面積上通過的光功率為P(0