第14-2章穩(wěn)定狀態(tài)模型.

1、第十四章穩(wěn)定狀態(tài)模型雖然動態(tài)過程的變化規(guī)律一般要用微分方程建立的動態(tài)模型 來描述，但是對于某些實(shí)際問題，建模的主要目的并不是要尋求 動態(tài)過程每個瞬時的性態(tài)，而是研究某種意義下 穩(wěn)定狀態(tài)的特征, 特別是當(dāng)時間充分長以后動態(tài)過程的變化趨勢。譬如在什么情況 下描述過程的變量會越來越接近某些確定的數(shù)值，在什么情況下 又會越來越遠(yuǎn)離這些數(shù)值而導(dǎo)致過程不穩(wěn)定。為了分析這種穩(wěn)定 與不穩(wěn)定的規(guī)律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程 穩(wěn)定性理論，直接研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性就行了。本章先介紹平衡狀態(tài)與穩(wěn)定性的概念，然后列舉幾個這方面 的建模例子。 1微分方程穩(wěn)定性理論簡介定義1稱一個常微分方程（組）是 自治的

2、，如果方程（組）號=F(x,t)二dtfi(x,t)(1)aN(X,t) j中的F（x,t）=F（x），即在F中不顯含時間變量t。下面僅考慮自治系統(tǒng)，這樣的系統(tǒng)也稱為動力系統(tǒng) 定義2系統(tǒng)dxdtF(x)(2)的相空間是以（Xi,X）為坐標(biāo)的空間Rn，特別，當(dāng)n=2時，稱相空間為相平面?？臻gRn中的點(diǎn)集（Xi,，Xn） |為=Xi（t）滿足（2）,i = 1,n稱為系統(tǒng)（2）的軌線，所有軌線在相空間中的分布圖稱為相圖注:解（積分曲線與軌線的關(guān)系定義3相空間中滿足F（X）=O的點(diǎn)Xo稱為系統(tǒng)（2）的奇點(diǎn) （或平衡點(diǎn)）。奇點(diǎn)可以是孤立的，也可以是連續(xù)的點(diǎn)集。例如，系統(tǒng)-167-叫ax+bydt（3）

3、皿 cx+dydt當(dāng)ad -bc 0時，有一個連續(xù)的奇點(diǎn)的集合。當(dāng)ad be = 0時，（0,0）是 這個系統(tǒng)的唯一的奇點(diǎn)。下面僅考慮孤立奇點(diǎn)。為了知道何時有 孤立奇點(diǎn)，給出下述定理：定理1設(shè)F（x）是實(shí)解析函數(shù)，且xo是系統(tǒng)（2）的奇點(diǎn)。若F（x）在點(diǎn)xo處的Jacobian矩陣J（X）=. CXj 一是非奇異（其行列式不為零）的，則xo是該系統(tǒng)的孤立奇點(diǎn)。定義4設(shè)X。是（2）的奇點(diǎn)，稱（i）Xo是穩(wěn)定的，如果對于任意給定的；o，存在一個 o， 使得如果-x卜：，則|x（t,to，N）-X（t,t,xo）卜：；對所有的t都成立。（ii）Xo是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的，且lim |x（t）-

4、X。戶o。t ,這樣，如果當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)靠近于奇點(diǎn)，其軌線對所有的 時間t仍然接近它，于是說Xo是穩(wěn)定的。另一方面，如果當(dāng)：時 這些軌線趨于Xo，則Xo是漸近穩(wěn)定的。定義5 一個奇點(diǎn)不是穩(wěn)定的，則稱這個奇點(diǎn)是不穩(wěn)定的。 對于常系數(shù)齊次線性系統(tǒng)（3）有下述定理（P133）。&=ax+by dt（ 3）皿 cx + dyl. dt定理2設(shè)x =x（t）是系統(tǒng)（3）的通解。貝S（i）如果系統(tǒng)（3）的系數(shù)矩陣A的一切特征根的實(shí)部都是 負(fù)的，則系統(tǒng)（3）的零解（點(diǎn)O （0, 0）是其一奇點(diǎn)）是漸近穩(wěn) 定的。（實(shí)部全負(fù)）（ii） 如果a的特征根中至少有一個根的實(shí)部是正的，則系統(tǒng)（3）的零解是不穩(wěn)定的。（

5、實(shí)部有正）（iii）如果a的一切特征根的實(shí)部都不是正的，但有零實(shí)部，（負(fù)或零）則系統(tǒng)（3）的零解可能是穩(wěn)定的，也可能是不穩(wěn)定的，-168-但總不會是漸近穩(wěn)定的。（無正實(shí)部，但必有零實(shí)部）定理2告訴我們：系統(tǒng)（3）的零解是漸近穩(wěn)定的 充分必要條 件是A的一切特征根的實(shí)部都是負(fù)的。（類似于Hurwitz判據(jù)）對于非線性系統(tǒng)，一般不可能找出其積分曲線或軌跡，也就 不可能直接導(dǎo)出奇點(diǎn)的穩(wěn)定性。為克服這一困難，在奇點(diǎn)附近用一個線性系統(tǒng)來近似這個非線性系統(tǒng)，用這個近似系統(tǒng)的解來給 出這個奇點(diǎn)的穩(wěn)定解。定義6設(shè)x0是系統(tǒng)（2） d = F（x）的一個孤立奇點(diǎn)。稱系統(tǒng)dt在X。點(diǎn)幾乎是線性的，如果F在xo的J

6、acobian矩陣是非奇異的， 即 detj（x0） =0。設(shè)F（x）在x = 0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，并有直到二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 則由多元函數(shù)的Taylor公式，可將f（x）展開成F（x） = Ax 0（|xf）， 其中-：Xn：fnxn是一個常數(shù)矩陣，這樣得到的線性系統(tǒng)dx=Ax（ 4）dt稱為系統(tǒng)（2） dx=F（x）的線性近似。一開始，人們以為總可以用 dt線性近似系統(tǒng)來代替所研究的原系統(tǒng)。但后來人們發(fā)現(xiàn)，這種看 法是不對的，或至少說是不全面的，非線性系統(tǒng)中的許多性質(zhì)， 在它的線性近似中不再保留。即使象零解穩(wěn)定性這樣一個問題， 也要在一定條件下，才可用它的線性近似系統(tǒng)代替原系統(tǒng)來研究。 關(guān)于這

7、個問題，我們有下述定理：定理3如果系統(tǒng)（4）的零解是漸近穩(wěn)定的，或不穩(wěn)定的，則原系統(tǒng)的零解也是漸近穩(wěn)定的或不穩(wěn)定的。然而，如果系統(tǒng)（4）的零解是穩(wěn)定的，則原系統(tǒng)的零解是不定的，即 此時不能從線性 化的系統(tǒng)來導(dǎo)出原系統(tǒng)的穩(wěn)定性。dXW _ax 丄 by系統(tǒng)（3） 0，O是不穩(wěn)定焦點(diǎn);（viii）人,2 士 Pg=0，o是穩(wěn)定、非漸進(jìn)穩(wěn)定中心定理5設(shè)非線性系統(tǒng)dxdt=axby (x,y)by - (x,y)(5)中的和滿足條件:（i）在點(diǎn)O的某鄰域內(nèi)存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。（ii）存在常數(shù)0，使得四愛=四如丸，（fE）0 r0 r又設(shè)系統(tǒng)（5）的一次近似系統(tǒng)（3）的特征方程的根沒有零實(shí)部, 則（5

8、）式與（3）式的奇點(diǎn)O的類型相同，并有相同的穩(wěn)定性或 不穩(wěn)定性。關(guān)于李雅普諾夫函數(shù)(V函數(shù))(P137)求非線性系統(tǒng)的最重要方法， 最大缺點(diǎn)-難以構(gòu)造V函數(shù)! 2再生資源的管理和開發(fā)漁業(yè)資源是一種再生資源，再生資源要注意適度開發(fā)，不能 為了一時的咼產(chǎn)“竭澤而漁”，應(yīng)該在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)的前提下追求最咼 產(chǎn)量或最優(yōu)的經(jīng)濟(jì)效益。這是一類可再生資源管理與開發(fā)的模型，這類模型的建立一 般先考慮在沒有收獲的情況下資源自然增長模型，然后再考慮收 獲策略對資源增長情況的影響。2.1資源增長模型考慮某種魚的種群的動態(tài)。在建立模型之前，做如下的基本 假設(shè)：(i) 魚群的數(shù)量本身是離散變量，談不到可微性。但是，由 于突然

9、增加或減少的只是單一個體或少數(shù)幾個個體，與全體數(shù)量 相比，這種增長率是微小的。所以，可以近似地假設(shè)魚群的數(shù)量 隨時間連續(xù)地，甚至是可微地變化。(ii) 假設(shè)魚群生活在一個穩(wěn)定的環(huán)境中，即其增長率與時 間無關(guān)。(iii) 種群的增長是種群個體死亡與繁殖共同作用的結(jié)果。(iv) 資源有限的生存環(huán)境對種群的繁衍，生長有抑制作用, 而且這一作用與魚群的數(shù)量是成正比的。x(t)，我們可以得到x(t)所滿足的(6)記時刻t漁場中魚量為Logistic 模型：X x(t石)5Nx(0) = No其中r是固有增長率，N是環(huán)境容許的最大魚量。由分離變量法 求得方程(6)解為x(t)=N1 e*(N -No)/N

10、。(6)式有兩個平衡點(diǎn)，即花=0 , X2二N，其中花是不穩(wěn)定的，x2 在正半軸內(nèi)全局穩(wěn)定。2.2資源開發(fā)模型建立一個在捕撈情況下漁場魚量遵從的方程，分析魚量穩(wěn)定 的條件，并且在穩(wěn)定的前提下，討論如何控制捕撈使持續(xù)產(chǎn)量或 經(jīng)濟(jì)效益達(dá)到最大。設(shè)單位時間的捕撈量與漁場魚量x(t)成正比，比例系數(shù)k表示 單位時間捕撈率，k可以進(jìn)一步分解分解為k=qE，E稱為捕撈強(qiáng) 度，用可以控制的參數(shù)如出海漁船數(shù)來度量；q稱為捕撈系數(shù)，表示單位強(qiáng)度下的捕撈率。為方便取q，于是單位時間的捕撈量為h(x)二Ex(t)。h(x)常數(shù)，表示一個特定的捕撈策略，即要求 捕魚者每天只能捕撈一定的數(shù)量。這樣，捕撈情況下漁場魚量滿

11、 足方程xx(t) =rx(1 )-Ex( 7)N這是一個一階非線性方程，且是黎卡提型的。也稱為Scheafer模型。希望知道漁場的穩(wěn)定魚量和保持穩(wěn)定的條件，即時間t足夠長以后漁場魚量x(t)的趨向，并且由此確定最大持續(xù)產(chǎn)量。在平衡 點(diǎn)處有dx =0，方程(7)有兩個平衡點(diǎn)x0，X2二N(1-上)。顯然，dtr它們均是方程的解。在E : r的情況下，X2是一正平衡點(diǎn)。(7)式可改寫為x(t) =-x(x-X2)(8)易知，當(dāng)0 x ： x2時，x(t) 0 ； x x2時，x(t) ： 0，即平衡解X!是 不穩(wěn)定的，而X2是穩(wěn)定平衡解。即在捕撈強(qiáng)度E r的情況下，漁 場魚量將穩(wěn)定在X2的水平，

12、因此產(chǎn)量(單位時間的捕撈量)也將 穩(wěn)定在EX2的水平，即此時可獲得持續(xù)收獲量。當(dāng)然，當(dāng)E r時，x(t) :：: 0，漁場魚量將逐漸減少至X0，這 時的捕撈其實(shí)是“竭澤而漁”，當(dāng)然談不上獲得持續(xù)產(chǎn)量了。如何才能做到漁資源在持續(xù)捕撈的條件下為我們提供最大的 收益？從數(shù)學(xué)上說，就是在 x(t) =0或rx(t)(-也)二Ex(t)的條件下N極大化所期望的“收益”，這里的“收益”可理解為產(chǎn)量h=Ex(t)， 則問題就可以數(shù)學(xué)地敘述為下述優(yōu)化問題：hmax 二 maxEx(t)約束條件為rx(t)(1-X)_Ex(t) =0。(兩邊同除r*X(t)N這里它可以歸結(jié)為E的二次函數(shù)h(E) = NE(1*

13、)的最大值問r題。簡單的推導(dǎo)不難得到最大持續(xù)捕撈強(qiáng)度為Emax =1，最大持續(xù)2產(chǎn)量為hmax =叫。捕撈強(qiáng)度Emax是得到最大持續(xù)捕魚量的策略。42.3經(jīng)濟(jì)效益模型當(dāng)今，對魚類資源的開發(fā)和利用已經(jīng)成為人類經(jīng)濟(jì)活動的一 部分。其目的不是追求最大的漁產(chǎn)量而是最大的經(jīng)濟(jì)收益。因而 一個自然的想法就是進(jìn)一步分析經(jīng)濟(jì)學(xué)行為對魚類資源開發(fā)利用 的影響。如果經(jīng)濟(jì)效益用從捕撈所得的收入中扣除開支后的利潤來衡 量，并且簡單地設(shè)魚的銷售單價為常數(shù)p，單位捕撈強(qiáng)度(如每條出海漁船)的費(fèi)用為常數(shù)c，那么單位時間的收入T和支出S分 別為T = ph(x)二 pEx， S = cE單位時間的利潤為R = T - S =

14、 pEx - cE利潤是漁民所關(guān)注的焦點(diǎn)。因此在制定管理策略時所期望極 大化的“收益”，這時就應(yīng)理解為經(jīng)濟(jì)利潤或凈收入而不是魚的產(chǎn) 量h。因而所討論的問題就變成了在使魚量穩(wěn)定在x=x2=N(1-衛(wèi))r 的約束條件下的Rmax。即求-173-R（E）二 pNE（1 _衛(wèi)）_cE的最大值。容易求出使R（E）達(dá)到最大的捕撈強(qiáng)度為rcEmax（1）2pN最大利潤下的漁場穩(wěn)定魚量N cxmax22p最大利潤下漁場單位時間的持續(xù)產(chǎn)量為h ErN （1c2）hmax EmaxXmax （ 1 丿4 p N最大可持續(xù)凈收益RmaxprN4(1cpN-I74-與前一模型相比較可以看出，在最大效益原則下捕撈強(qiáng)度和

15、 持續(xù)產(chǎn)量均有減少，而漁場的魚量有所增加。并且，減少或增加 的比例隨著捕撈成本c的增長而變大，隨著銷售價格p的增長而變 小，這顯然是符合實(shí)際情況的。2.4種群的相互競爭模型有甲乙兩個種群，當(dāng)它們獨(dú)自在一個自然環(huán)境中生存時，數(shù) 量的演變均遵從Logistic規(guī)律。記花風(fēng)是兩個種群的數(shù)量,幾上是它們的固有增長率, 于是，對于種群甲有N2是它們的最大容量- %xW)其中，因子（1-互）反映由于甲對有限資源的消耗導(dǎo)致的對它本身Ni增長的阻滯作用，互可解釋為相對Ni而言單位數(shù)量的甲消耗的食Ni物量（設(shè)食物總量為1）。當(dāng)兩個種群在同一自然環(huán)境中生存時， 考察由于乙消耗同一種有限資源對甲的增長產(chǎn)生的影響，可

16、以合 理地在因子（1-xi）中再減去一項(xiàng)，該項(xiàng)與種群乙的數(shù)量 X2 （相對Ni于N2而言）成正比，于是，種群甲增長的方程為-I74-Xi（t） = riXi（1-；1 2）（9）Ni N2這里匚i的意義是，單位數(shù)量乙（相對N2而言）消耗的供養(yǎng)甲的食 物量為單位數(shù)量甲（相對NJ消耗的供養(yǎng)乙的食物量的倍，類 似地，甲的存在也影響了乙的增長，種群乙的方程應(yīng)該是X2（t） =r2X2（1 -；2）（ 10）N1 N2對二2可作相應(yīng)的解釋。在兩個種群的相互競爭中，是兩個關(guān)鍵的指標(biāo)。從上面對它們的解釋可知，G .1表示在消耗供養(yǎng)甲的資源中，乙的消耗 多于甲，對2 1可作相應(yīng)的理解。一般來說，6,6之間沒有

17、確定的關(guān)系，在此我們僅討論 J；相互獨(dú)立的情形。目的是研究兩個種群相互競爭的結(jié)局，即t：時，X1（t）,X2（t） 的趨向，不必要解方程組（9）和（10），只需對它的平衡點(diǎn)進(jìn)行 穩(wěn)定性分析。為此我們解代數(shù)方程X1X2f(X1，X2)(1 一dg(x1,x2)= 4x2(1 - 二X1X22廟(11)得到四個平衡點(diǎn)分別為R（N1,0），F(xiàn)2（O,N2）, Psd112 ），1口1口21。1口2P4（0,0）。為分析這些點(diǎn)的穩(wěn)定性，需使用相空間的技巧。首先找出在X1X2平面上使Xi（t） 0或Xi （t）： 0 （i = 1,2）的區(qū)域。注意到，當(dāng)?。?-互-二1生）0時X1（t） 0,但要使X1

18、 0和X1（t） 0，當(dāng)且僅當(dāng) N1N2x1X211 -丄 0, x10N1N2類似地兀仇廠：0，當(dāng)且僅當(dāng)1： 0, x10N1 N2這樣我們得到在X1X2平面中，直線:=1生=0（12）N1 N2把平面劃分為Xi（t） 0和Xi （t） : 0兩個區(qū)域。類似地，對X2進(jìn)行分析 得到（i）X2（t） 0，當(dāng)且僅當(dāng)1 -c2 -X1 乞 0, x2 0N1 N2（ii）X2（t廠：o，當(dāng)且僅當(dāng)X1X21 - ；2- 一 ： 0, X20NiN2（iii）直線，i 七2 互-生=0（ 13）N1 N2將X1X2平面劃分為X2 （t） 0和X2（t） : 0兩個區(qū)域。兩直線（12）和（13）之間的位

19、置關(guān)系可以由下圖的四種情 況來說明。每種可能性對應(yīng)于平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性說明如下：仃1咗1嚴(yán)2 1，由圖（b）知，兩直線將平面（X10,X20）劃 分為三個區(qū)域：S：X1（t）0x（t）0（ 14）S2：X1（t）0,X2（t）0，表明 x-（t-）在t-達(dá)到極 小值，而這是不可能的，因?yàn)樵?S中為0，即為（1|） 一直是增加 的。若軌線從S3出發(fā)，由（16）式可知軌線向左下方運(yùn)動，那么 它或者趨向R點(diǎn)，或者進(jìn)入S2，而進(jìn)入S后，根據(jù)上面的分析最 終也將趨向R。綜合上述分析可以畫出軌線示意圖。因?yàn)橹本€（12） 式上dx- =0,所以在（12）式上軌線方向垂直于x軸；在（13）式 上dx? =0，軌線

20、方向平行于x-軸。（ii） 二-,-，類似的分析可知P2（0,n）穩(wěn)定。（iii）-, 0時，方程（17）、（ 18）的軌線是一階方程dx = x1 (片 - 1x2)dx2X2（-22X1)的解曲線。用分離變量方法解得(x；2，2X1)(x211X2 c(20)其中c是任意常數(shù)。因此，方程（17），（ 18）的軌線是由式（20） 定義的曲線族，我們來證明這些曲線是封閉的。(20)(x；2e2xi)(x；1e1x2) = c引理1當(dāng)x1,x2 0時，方程（20）定義了一組封閉曲線證明 我們首先來確定當(dāng)x1,x20時函數(shù)（x1 X；2e2x1和屮（x2） = 乂；1/2的性狀。利用微積分方法可以

21、作出;和的圖形。如下圖所示您）若它們的極大值分別記作m和m，則不難確定X0 x2滿足（x0）= m，x0 二互（21）*2 （x- m，X2 =丘（22）X1 顯然，僅當(dāng)（20）式右端常數(shù)c乞m時相軌線才有定義。當(dāng) c 二 m m時，x x， x2 = x2，將式（21 ）和（22）與 （佃）式比較可知（x0，x2）正是平衡點(diǎn)B，所以P2是相軌線的退 化點(diǎn)。為了考察C ：扁一；m時（C 0）軌線的形狀，我們只需考慮C八亠m的情況，其中0 ”m。首先注意到：方程x；2e 2X1具有一個解X = x x0和另一個解X*。因此，當(dāng)x x1或x1x1時，方程(x2) = xeX2otM；2eX1-18

22、1-沒有解x2。當(dāng)x = x1或x x；時，這個方程具有唯一的解 X2=x2,而對于xxx1,則具有兩個解x2(x1)和17)和(18)的具有初始條件x2 (x1)。較小的解x2 (x1)總是小于x2，較大的解總是大于x2。 當(dāng)x1趨于x1或x1時， x2 (x1)和x2 (x1)都趨向于 x2。因此，當(dāng)x1 和 x2是正數(shù) 時，由(20)所定義的曲線都 是封閉的。而且，這些封閉曲 線中的每一條(除x X0和x2二x2以外)，都不含(17) 和(18)的任何平衡點(diǎn)。所以(x1(0) 0，x2(0) 0的所有的解x1(t)，x2(t)都是時間的周期 函數(shù)。也就是說，(17)和(18)的具有初始條

23、件 X1(0) 0， x2(0) 0的每一個解x1(t)，x2(t)都具有這樣的性質(zhì)： x1(t T)二 x1(t)，x2(t T)二 x2(t)，其中 T 是某一正數(shù)。DAncona所用的數(shù)據(jù)實(shí)際上是捕食者的百分比在每一年中 的平均值。因此，為了把這些數(shù)據(jù)同方程組(17)和(18)的結(jié) 果進(jìn)行比較，對于(17)和(18)的任何解x1(t)，x2(t)，我們 必須算出X1(t)和X2(t)的“平均值”。值得注意的是，即使還沒有 準(zhǔn)確地求得x1 (t)和x2(t)，我們?nèi)匀荒軌蛩愠鲞@些平均值。引理2設(shè)x1(t)，X2(t)是(17)和(18)的周期解，其周 期T 0， x1(t) 和 x2 (t)的平均值定義為_1 T_1 TX1 二 0 X1 (t)dt，X2 二 0 X2(t)dt這時，乂1 = X0 , X2 = x2。換句話說，X（t）和X2（t）的平均值是 平衡解。證明 把（17）的兩端除以x1，得到Xl（t） = 口 - 必2，于Xi是由于 因此,1 TT 0 Xi(t)1 Tdt 二 0 ri - iX2(t)dtXgdtmegt)-183-1 T1 TT 0 1X2(t)d 0 r1dt 二 r1，r于是，x2類似地，把（18）的兩端除以Tx2（t），由0到T入1積分，我們得到X