圓錐曲線的切線

1、圓錐曲線的切線問題“方向比努力更重要” ！對(duì)于圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的考查，歷來都是比較綜合的。這類題往往集函數(shù)、方程、向量、不等式等知識(shí)點(diǎn)于一體。 有變量多，關(guān)系復(fù)雜，運(yùn)算量大，思維量大等特點(diǎn)。雖說“條 條大路通羅馬”，但如果解題方向不對(duì)，方法笨重，不僅耗時(shí)費(fèi)力，問題得不到解決，而且極容易打擊自己的自信心。 所以方法的選擇尤為重要，這就要求我們通過解一題探索出解一類題的萬用方法?！保橄旅嫱ㄟ^五個(gè)題，簡(jiǎn)單介紹一下處理“過圓錐曲線外一點(diǎn)作圓錐曲線的兩條切線了方便，簡(jiǎn)稱為圓錐曲線的雙切線問題）的比較實(shí)用的兩種方法。例1、（2013卷）已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F 0,c c 0到直線l:

2、 x y 2 0的距離為3也.設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA, PB ,其中A,B為2切點(diǎn).（I ）求拋物線C的方程；（n）當(dāng)點(diǎn)p x0,y0為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程;（m）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求AF BF的最小值.分析：這題的突破口不難找：緊扣切線，找出切線方程！我們知道，在這里找切線有兩種途徑：一是切線用P點(diǎn)表示，聯(lián)立切線與拋物線 （方程思想）；二是切線用切點(diǎn) A、B表示（函數(shù)思想）。再看拋物線方程很容易轉(zhuǎn)化為函數(shù),且直線 AB與切點(diǎn)A、B息息相關(guān)，所以此題用切點(diǎn)表示切線更為方便快捷!解：（I） x2 4y .（n）拋物線C的方程為2一x 4y,即設(shè) A

3、 Xi, yi , B X2,y2（其中y11 2 一 X42X11求導(dǎo)得y -X 2T，y22X2 一一 一，一 一，）,則切線PA, PB的斜率分別為4；X1 , x2 ,所以切線PA的方程為y y1X1口 口 X1x X1 ，即 y x222Xiyi ,即xix 2y 2yi 0同理可得切線 PB的方程為X2X 2y 2y2 00 1 X2x02 y02 y20因?yàn)榍芯€PA,PB均過點(diǎn)P xo,yo ，所以Xi% 2y0 2y所以Xi,yi , X2, y2為方程X0X 2y0 2y 0的兩組解.所以直線AB的方程為x0x 2y 2y0 0.(m)由拋物線定義可知 AF yi i, BF

4、 y2 i,所以 AF BFy11y2 i y1y2yi y2 iX0X 2y 2y0 0聯(lián)立方程 :，消去x整理得y2 2y0 x02 y y02 0x 4y由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得yi y2 X02 2y0, yy2 y。2所以 AF BF yiy2 % V2 i V0 %2 2y0 i又點(diǎn)P X0,y0在直線l上，所以X0 y 2,2222i 9所以 y0 x0 2y0 i 2y0 2y0 5 2 y0 22所以當(dāng)y 1時(shí)，AF BF取得最小值，且最小值為9 .22練習(xí)i、橢圓2 y b2i （a ） b> 0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F為i,0）,已知橢圓的短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦

5、點(diǎn)構(gòu)成正三角形（D求橢圓方程（2）已知Q （x0,y0 ）是橢圓上任一點(diǎn)，求以Q點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程（3）設(shè)P是直線x=4上一動(dòng)點(diǎn)，過 P作橢圓的兩切線 PA PR 求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)。22二L i43xx0 yy0（2） i43設(shè)P（4,t）,切點(diǎn)A（x1，yi）,B（x2, y2）,則以A、B為切點(diǎn)的橢圓的切線方程分別為：四+加= i,xx2 +些=i,又P點(diǎn)在兩切線上，所以：4343竺+ M = i,絲+皿=i所以直線AB的方程為：43434x + ty = iBP：iy （X 1）,所以直線AB恒過定點(diǎn)（1,0）433練習(xí)2、A、過橢圓中心B、C是長(zhǎng)軸為40,且 AC

6、 BC0, BCE （焦點(diǎn)在x軸上）的三點(diǎn)，點(diǎn) A是長(zhǎng)軸的右端點(diǎn)， BC（1）求橢圓E的方程（2）在橢圓E上是否存在Q使得QB2 QA2 2?若存在，有幾個(gè)（不必求出 Q的坐標(biāo)）（3）、過橢圓E上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P作圓O: X2的兩切線，切點(diǎn)分別為 M N,若直線MN& x軸、y軸上的截距分別為 m n,求證:13rm1為定值。n分析:第（2）問用化歸思想，解決這題的關(guān)鍵要理清 Q點(diǎn)的來源，一是來源于橢圓，二是來源22于|QBQA 2?,這個(gè)式子表示的什么曲線弄清楚了，問題就解決了。問題實(shí)際轉(zhuǎn)化為橢圓與某曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。對(duì)于第（3）問，關(guān)于圓的問題，用幾何法是往往是最簡(jiǎn)潔的。（2）兩

7、個(gè)（3）法一：設(shè)P（X0,y0）,M（X1,y1） N（X2,y2）,則以M、N為切點(diǎn)的圓的切線方程4分別為：XX1 yy產(chǎn)一，xx23yy2 1,又P點(diǎn)在兩切線上，所以:4X1X0 VN。鼻，乂2% V2V03法二：設(shè)P（x0,y0）,由題意:：,所以直線MN方程為：x°x + y0y 3M、N、0、P四點(diǎn)共圓，且以O(shè)P為直徑，其方程為:(X-X0)x(y yo)y0,即:XX0yy。0,有 M、N在圓X2y2 4上，所以直線MN的方程為:3XX0yy00,則m工;令x 3X00則n=，又P（X0,y0）在橢圓上,所以:2X042V。431,所以工3m23 （定值）例2: （201

8、4卷）、已知橢圓2C：X2a2 v b21（a b 0）的一個(gè)焦點(diǎn)為（J5,0）,離心率為-, 3（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)P（X0,y0）為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn) P到橢圓C的兩條切 線相互垂直，求點(diǎn) P的軌跡方程.分析：這題同樣是研究圓錐曲線雙切線問題，但與上面幾個(gè)題又有所不同，上面幾個(gè)題側(cè)重于兩切點(diǎn)的關(guān)系，且后續(xù)部分是研究由兩切點(diǎn)產(chǎn)生的直線問題。而此題更側(cè)重于兩切線的關(guān)系，討論的是兩垂直切線的交點(diǎn)問題，所以再用上面的方法就不太好操作了。我們還是順從出題人吧，老老實(shí)實(shí)把切線用 P點(diǎn)表示，再耐心地算下去。 注意：點(diǎn)斜式適用圍。然后呢？你懂的22.一xV解：(1)194(2)當(dāng)兩條切線的

9、斜率存在時(shí)，設(shè)過P(Xo, Vo)點(diǎn)的切線為V Vo k x XoV Vo k x Xo聯(lián)立 x2 v2消去 v 得 4 9k2 x2 18k Vo kxo x 9 Vo kxo 2 36 o一工194判別式=182k2yo kxo2 36 49k2 yokxo 2 4 o化簡(jiǎn)得yo kxo2 9k24 o,即x29 k2 2x°yok y；4依題意得k1 k2 丫- 1,即x2 V 13當(dāng)兩條切線的斜率有一條不存在時(shí)，結(jié)合圖像得P是直線 x 3,x 3,y 2,y2xo 92222. _的四個(gè)父點(diǎn)，也滿足 xo yo 13,故點(diǎn)P的軌跡方程為x y 132圖(6)練習(xí)、如圖(6),

10、設(shè)點(diǎn)F1( c,。)、F2(c,o)分別是橢圓C:4 y2 的左、右焦點(diǎn)， p為橢圓c上任意一點(diǎn)，且 R pf2最小彳1為o.(1)求橢圓C的方程；否存在定點(diǎn)B,點(diǎn)B到|1,|2的距離之積恒為1?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) B坐標(biāo);(2)若動(dòng)直線11,|2均與橢圓C相切，且l1l2,試探究在x軸上是若不存在，請(qǐng)說明理由.分析：這個(gè)題第(2)問似乎比高考題更為復(fù)雜，兩切線不是相交，而是平行，還得考慮特殊情形：重合。而且參數(shù)多，參數(shù)之間的關(guān)系不是一兩句話就能說清楚的別急，套路就是出路，選好參數(shù)，設(shè)出方程，聯(lián)立方程，尋找關(guān)系，消參按套路來，準(zhǔn)沒錯(cuò)！2解：(1) y212(2)當(dāng)直線l1,l2斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為 y kx m, y kx n222把l1的方程代入橢圓方程得 (1 2k )x 4mkx 2m 2 o;直線l1與橢圓C相切，16k2m2 4(1 2k2)(2m2 2) o ,化簡(jiǎn)得2_2.2_222m 1 2k 同理，n 12k. .m n ,若 m n ,則 l1,l2重合，不合題意，m n設(shè)在x軸上存在點(diǎn)B（t,0），點(diǎn)B到直線l1,l2的距離之積為1,則上m 1kL m i,即|丘 m2i k2 ik2 i k2 i把1 2k2m2代入并去絕對(duì)值整理，k2（t2 3）