系統(tǒng)微分方程的

1、 X主要內(nèi)容物理系統(tǒng)的模型物理系統(tǒng)的模型微分方程的列寫微分方程的列寫n n階線性時不變系統(tǒng)的描述階線性時不變系統(tǒng)的描述求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法X一物理系統(tǒng)的模型許多實(shí)際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。許多實(shí)際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而改變，則該系統(tǒng)可以用若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)微分方程來描述。來描述。X二微分方程的列寫根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。對于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)對于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特

2、性約束元件特性約束和和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束約束列寫系統(tǒng)的微分方程。列寫系統(tǒng)的微分方程。 元件特性約束：元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻，電容，電感各自的電壓與電流的關(guān)系，以及件電阻，電容，電感各自的電壓與電流的關(guān)系，以及四端元件互感的初、次級電壓與電流的關(guān)系等等。四端元件互感的初、次級電壓與電流的關(guān)系等等。 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL,KVL.X三n階線性時不變系統(tǒng)的描述 一個線性系統(tǒng)，其激勵信號一個線性系統(tǒng)，其激勵信號 與響應(yīng)信號與響應(yīng)信號 之間之間的關(guān)系，可以用下列

3、形式的微分方程式來描述的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來描述)(te)(tr)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 若系統(tǒng)為時不變的，則若系統(tǒng)為時不變的，則C，E均為常數(shù)，此方程為均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的常系數(shù)的n階線性常微分方程。階線性常微分方程。階次階次：方程的階次由獨(dú)立的動態(tài)元件的個數(shù)決定。方程的階次由獨(dú)立的動態(tài)元件的個數(shù)決定。X四求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法分析系統(tǒng)的方法：分析系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程。列寫方程，求解方程。 變變換換域域法法利利用用卷卷積積積積

4、分分法法求求解解零零狀狀態(tài)態(tài)可可利利用用經(jīng)經(jīng)典典法法求求零零輸輸入入應(yīng)應(yīng)零零輸輸入入相相應(yīng)應(yīng)和和零零狀狀態(tài)態(tài)相相經(jīng)經(jīng)典典法法解解方方程程網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò)拓拓?fù)鋼浼s約束束根根據(jù)據(jù)元元件件約約束束列列寫寫方方程程: :,:求解方程時域求解方程時域經(jīng)典法經(jīng)典法就是：就是：齊次解齊次解+特解。特解。 X 我們一般將激勵信號加入的時刻定義為我們一般將激勵信號加入的時刻定義為0，響應(yīng)，響應(yīng)為為 時的方程的解，初始條件時的方程的解，初始條件 0t齊次解：齊次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根寫出齊次解形式寫出齊次解形式 nktkkeA1注意重根情況處理方法。注意重根情況處理方法。特特 解：解：根據(jù)微分方程

5、右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系 數(shù)的特解函數(shù)式數(shù)的特解函數(shù)式代入原方程代入原方程，比較系數(shù)，比較系數(shù) 定出特解。定出特解。1122d)0(d,d)0(d,d)0(d, )0( nntrtrtrr 初始條件的初始條件的確定確定是此課程要解決的問題。是此課程要解決的問題。經(jīng)典法kA全全 解：解：齊次解齊次解+特解，由特解，由初始條件初始條件定出齊次解定出齊次解 。X幾種典型激勵函數(shù)相應(yīng)的特解 te激勵函數(shù)激勵函數(shù)e(t)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)函數(shù)r(t)的特解的特解)(常常數(shù)數(shù)E)(常常數(shù)數(shù)Bpt1121 ppppBtBtBtBte tBe t cos t sin tBtB

6、 sincos21 tettp sin tettp cos teDtDtDtDteBtBtBtBtpppptpppp sincos11211121 X例2-2-1 tisRRiLLiCciab tv電感電感電阻電阻 tvRtiR1 d1 tLvLti電容電容 ttvCtiCdd 根據(jù)根據(jù)KCL titititiSCLR 代入上面元件伏安關(guān)系，并化簡有代入上面元件伏安關(guān)系，并化簡有 ttitvLttvRttvCSdd1dd1dd22 這是一個代表這是一個代表RCL并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。 求并聯(lián)電路的端電壓求并聯(lián)電路的端電壓 與激勵與激勵 間的關(guān)系。間的關(guān)系。 t

7、v tisX這是一個代表機(jī)械位移系統(tǒng)的二階微分方程。這是一個代表機(jī)械位移系統(tǒng)的二階微分方程。 兩個不同性質(zhì)的系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型，都是線兩個不同性質(zhì)的系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型，都是線性常系數(shù)微分方程，只是系數(shù)不同。對于復(fù)雜系統(tǒng)，則性常系數(shù)微分方程，只是系數(shù)不同。對于復(fù)雜系統(tǒng)，則可以用高階微分方程表示?？梢杂酶唠A微分方程表示。 例2-2-2msFf機(jī)械位移系統(tǒng)，其質(zhì)量為機(jī)械位移系統(tǒng)，其質(zhì)量為m的剛體一端由彈簧的剛體一端由彈簧 tv牽引，彈簧的另一端固定在壁上。剛體與地面間的摩牽引，彈簧的另一端固定在壁上。剛體與地面間的摩擦力為擦力為 ，外加牽引力為，外加牽引力為 ，其外加牽引力，其外加牽引力 與

8、與剛體運(yùn)動速度剛體運(yùn)動速度 間的關(guān)系可以推導(dǎo)出為間的關(guān)系可以推導(dǎo)出為 tFSf tFS ttFtkvttvfttvmSdddddd22 kX例2-2-3 .12dd16dd7dd2233的的齊齊次次解解求求微微分分方方程程tetrtrttrttrt 系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為 01216723 0322 3 , 221 重重根根 ttheAeAtAtr33221 特征根：特征根：因而對應(yīng)的齊次解為因而對應(yīng)的齊次解為X例2-2-4 如果已知：如果已知： 分別求兩種情況下此分別求兩種情況下此方程的特解。方程的特解。 tettetrttrttr dd3dd2dd22 , 2 ; 12tetet

9、te 給定微分方程式給定微分方程式 3221BtBtBtrp 為使等式兩端為使等式兩端 ,2 , 122tttte 得得到到代代入入方方程程右右端端將將平衡，試選特解函數(shù)式平衡，試選特解函數(shù)式 將此式將此式代入方程代入方程得到得到 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。這里這里321, , BBB ttBBBtBBtB232234323212121 X等式兩端各對應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有等式兩端各對應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有 032223413321211BBBBBB聯(lián)解得到聯(lián)解得到2710 ,92 ,31321 BBB所以，特解為所以，特解為 271092312 tttrpX 這里，這里，B是待定系數(shù)。

10、是待定系數(shù)。 代入方程后有：代入方程后有： ?？煽蛇x選很很明明顯顯時時當(dāng)當(dāng)ttBetrete , ,ttttteeBeBeBe 3231 B.31,te特解為特解為于是于是 相相加加即即得得方方程程的的完完全全解解和和特特解解上上面面求求出出的的齊齊次次解解trtrph treAtrpnitii 1 (2)X例2-2-5 建立建立 電流的微分方程并求電流的微分方程并求 給定如圖所示電路，給定如圖所示電路， 的位置而且已經(jīng)達(dá)的位置而且已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)；到穩(wěn)態(tài)；10處處于于開開關(guān)關(guān)St . 210轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向向由由時時當(dāng)當(dāng)St ti 時時的的變變化化。在在解解 0tti21S ti V4 te V2 teF

11、C1 11R tiC tiLHL41 232RX根據(jù)電路形式，列回路方程：根據(jù)電路形式，列回路方程： tetvtiRc 1 2ddRtititLtvLLC 列結(jié)點(diǎn)電壓方程列結(jié)點(diǎn)電壓方程 titvtCtiLC dd ,tvC先消去變量先消去變量 :,把把電電路路參參數(shù)數(shù)代代入入整整理理的的再再消消去去變變量量tiL tetettettitittit4dd6dd10dd7dd2222 (1)（1）列寫電路的微分方程X(2)求系統(tǒng)的完全響應(yīng)系統(tǒng)的特征方程：系統(tǒng)的特征方程：01072 052 特征根：特征根：5, 221 齊次解：齊次解： 0 5221teAeAtitth Vtet4 0 時時由于由于

12、 , , 44Btip 因因此此令令特特解解4410 B581016 B方程右端自由項(xiàng)為方程右端自由項(xiàng)為代入式代入式(1)(1)要求系統(tǒng)的完全響應(yīng)為要求系統(tǒng)的完全響應(yīng)為 0 585221teAeAtitt特解：特解：X(3) 0dd0iti和和確確定定換換路路后后的的 ARRiiL5420021 00dd it VVvC5623540 換路前換路前21S ti V4 te V2 teFC1 11R tiC tiLHL41 232RX A514A5641100101 CveRi sA20dd0dd10dd1 CvtetRit因而有因而有: : :0dd0 iti和和換換路路后后的的由于電容兩端電壓和電感中