2013高考數(shù)學(xué)必考點(diǎn) 圓的方程3

1、【命中考心】2013高考數(shù)學(xué)必考點(diǎn)之圓的方程 3例11 求經(jīng)過點(diǎn)，且與直線和都相切的圓的方程分析：欲確定圓的方程需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過定點(diǎn)，故只需確定圓心坐標(biāo)又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上解：圓和直線與相切，圓心在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線和的距離相等兩直線交角的平分線方程是或又圓過點(diǎn)，圓心只能在直線上設(shè)圓心到直線的距離等于，化簡(jiǎn)整理得解得：或圓心是，半徑為或圓心是，半徑為所求圓的方程為或說明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法典型例題十二例12

2、設(shè)圓滿足：(1)截軸所得弦長(zhǎng)為2；(2)被軸分成兩段弧，其弧長(zhǎng)的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程滿足兩個(gè)條件的圓有無數(shù)個(gè)，其圓心的集合可看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方程解法一：設(shè)圓心為，半徑為則到軸、軸的距離分別為和由題設(shè)知：圓截軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為，故圓截軸所得弦長(zhǎng)為又圓截軸所得弦長(zhǎng)為2又到直線的距離為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)，此時(shí)這時(shí)有或又故所求圓的方程為或解法二：同解法

3、一，得將代入上式得：上述方程有實(shí)根，故，將代入方程得又由知、同號(hào)故所求圓的方程為或說明：本題是求點(diǎn)到直線距離最小時(shí)的圓的方程，若變換為求面積最小呢？典型例題十三例13 兩圓與相交于、兩點(diǎn)，求它們的公共弦所在直線的方程分析：首先求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過程太繁為了避免求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求”的技巧解：設(shè)兩圓、的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為，則有：得：、的坐標(biāo)滿足方程方程是過、兩點(diǎn)的直線方程又過、兩點(diǎn)的直線是唯一的兩圓、的公共弦所在直線的方程為說明：上述解法中，巧妙地避開了求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的坐標(biāo)，但并沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo)從解題的角度

4、上說，這是一種“設(shè)而不求”的技巧，從知識(shí)內(nèi)容的角度上說，還體現(xiàn)了對(duì)曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對(duì)直線方程是一次方程的本質(zhì)認(rèn)識(shí)它的應(yīng)用很廣泛典型例題十四例14已知對(duì)于圓上任意一點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：運(yùn)用圓的參數(shù)方程，設(shè)的坐標(biāo)為， 即，恒成立恒成立即恒成立只需大于等于的最大值令的最大值為說明：在上述解法中我們運(yùn)用了圓上點(diǎn)的參數(shù)設(shè)法采用這種設(shè)法的優(yōu)點(diǎn)在于，一方面可以減少參數(shù)的個(gè)數(shù)，另一方面可以靈活地運(yùn)用三角公式從代數(shù)的觀點(diǎn)看，這種設(shè)法的實(shí)質(zhì)就是三角代換另外本題也可以不用圓的參數(shù)方程求解，本題的實(shí)質(zhì)就是求最值問題，方法較多但以上述解法較簡(jiǎn)典型例題十五例15 試求圓(為參數(shù))上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大(小)值分析：利用兩點(diǎn)間距離公式求解或數(shù)形結(jié)合求解解法一：設(shè)是圓上任一點(diǎn)，則所以因?yàn)?，所以，因此?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，解法二：將圓代入普通方程得如圖所示可得，、分別是圓上的點(diǎn)到的距離的最小值和最大值易知：，說明：(1)在圓的參數(shù)方程(為參數(shù))中，為圓心，為半徑，參數(shù)的幾何意義是：圓的半徑從軸正向繞圓心按