相關(guān)系數(shù)為何用協(xié)方差函數(shù)來(lái)定義華端練

1、貴州師范（民族）大學(xué)成人教育畢業(yè)論文協(xié)方差函數(shù)定義相關(guān)系數(shù)的必然性系別 數(shù)學(xué)系 專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年級(jí) 2014級(jí) 姓名 華端練 學(xué)號(hào) 教導(dǎo)教師 陳興強(qiáng) 2015年12月6日 協(xié)方差函數(shù)定義相關(guān)系數(shù)的必然性華端練一 協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的定義21. 協(xié)方差函數(shù)的定義22. 協(xié)方差函數(shù)的意義23. 自相關(guān)函數(shù)定義24. 自相關(guān)函數(shù)的意義25. 協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的聯(lián)系2二 相關(guān)系數(shù)的定義2三 協(xié)方差定義相關(guān)系數(shù)的必然性：21.自相關(guān)函數(shù)定義相關(guān)系數(shù)的缺陷22. 協(xié)方差定義相關(guān)系數(shù)的好處2四 相關(guān)系數(shù)的價(jià)值21. 自相關(guān)函數(shù)的局限性22. 協(xié)方差函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)23. 相關(guān)系數(shù)價(jià)值2五 參考

2、文獻(xiàn)2摘要：學(xué)習(xí)過(guò)隨機(jī)過(guò)程理論的都知道先關(guān)系數(shù)是有協(xié)方差函數(shù)定義的，對(duì)于很多定義我們沒(méi)有太多的思考為什么，只知道它們就是這樣定義的，每一領(lǐng)域的知識(shí)權(quán)威都認(rèn)可這樣的定義，于是我們便很自然地也接受了這些定義。就相關(guān)系數(shù)的定義而言，相關(guān)系數(shù)是由協(xié)方差函數(shù)定義的，對(duì)于這一定義基本沒(méi)有人對(duì)此懷有任何懷疑，因?yàn)檫@是數(shù)學(xué)家們都已經(jīng)認(rèn)可的理論，但當(dāng)初牛頓的運(yùn)動(dòng)論在微觀領(lǐng)域的很多方面是不適用的，雖然一時(shí)得到部分權(quán)威人士的認(rèn)可，地心說(shuō)一時(shí)也得到很多科學(xué)家的定義，那么用協(xié)方差函數(shù)來(lái)定義相關(guān)系數(shù)真的就是最好的方式嗎？為什么不用自相關(guān)函數(shù)定義相關(guān)系數(shù)？本文就來(lái)討論這一問(wèn)題。關(guān)鍵詞：協(xié)方差函數(shù)；自相關(guān)函數(shù)；均值；分布律；

3、概率密度。1 協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的定義 1、協(xié)方差函數(shù)的定義介紹協(xié)方差定義之前先介紹均值和中心距，均值又叫數(shù)學(xué)期望，是一個(gè)隨機(jī)變量或隨機(jī)變量最基本的數(shù)字特征，研究一個(gè)變量或過(guò)程的各種性質(zhì)，必須對(duì)其均值進(jìn)行研究，因?yàn)殡m然可以通過(guò)變量或過(guò)程的分布律或概率密度確定其相關(guān)信息，但在實(shí)際生活中分布律和概率密度都是很難得以確定的，所以我們可以自研究我們有用的部分信息，均值就是其中一項(xiàng)。設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的概率密度為，如果積分絕對(duì)收斂，則稱它為隨機(jī)變量的均值，記作，即類似地，我們可以這樣定義隨機(jī)變量的函數(shù)的均值：設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，為連續(xù)函數(shù)，若絕對(duì)收斂，則對(duì)于隨機(jī)過(guò)程的均值則定義為若為的一維概

4、率密度函數(shù)，定義隨機(jī)過(guò)程的均值為：中心距也是隨機(jī)過(guò)程理論里一個(gè)相當(dāng)重要的量，我們通常這樣定義k階中心距：設(shè)為隨機(jī)變量，若存在，且，則稱 為的k階中心距。而稱 為的k階絕對(duì)中心距。顯然有，所以中心距的意義很重要。了解了均值和中心距的定義后對(duì)協(xié)方差函數(shù)的定義就很便于理解了，我們通常這樣定義協(xié)方差：設(shè)和是隨機(jī)過(guò)程在任意兩個(gè)時(shí)刻和的狀態(tài)，是相應(yīng)的二維概率密度，則稱二階中心混合距為隨機(jī)過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)。隨機(jī)過(guò)程的協(xié)方差和隨機(jī)變量的協(xié)方差的定義大同小異，只是隨機(jī)變量的各種數(shù)字特征是確定的值，而隨機(jī)過(guò)程的各類數(shù)字特征是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，兩者在某一種意義上是相同的，因?yàn)殡S機(jī)變量的研究對(duì)象是確定的量，隨機(jī)過(guò)程的研

5、究對(duì)象是隨著時(shí)間而變化的，即隨機(jī)過(guò)程是隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量的總體，所以兩者的很多數(shù)字特征是相似的，所以在下文的介紹中將只對(duì)隨機(jī)過(guò)程進(jìn)行相關(guān)的討論。1、協(xié)方差函數(shù)的意義在學(xué)習(xí)協(xié)方差之前，都會(huì)對(duì)均值，標(biāo)準(zhǔn)差和方差等有一定的了解，但標(biāo)準(zhǔn)差和方差一般是用來(lái)描述一維數(shù)據(jù)的，現(xiàn)實(shí)生活我們常常遇到含有多維數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集，如果對(duì)于處理這樣的問(wèn)題我們依然依靠上面幾個(gè)特征值，那么將會(huì)增加很多不必要的工作量，于是協(xié)方差便應(yīng)運(yùn)而生，它可以很好地解決二維問(wèn)題，對(duì)于那些多維問(wèn)題需要計(jì)算多個(gè)協(xié)方差，比如n維的數(shù)據(jù)集就需要計(jì)算個(gè)協(xié)方差，我們會(huì)使用矩陣來(lái)組織這些數(shù)據(jù)，所以利用協(xié)方差我們可以處理現(xiàn)實(shí)生活中的很多問(wèn)題，那么協(xié)方差函數(shù)

6、的協(xié)方差的結(jié)果有什么意義呢？通常我們這樣理解其結(jié)果，如果結(jié)果為正值，則說(shuō)明兩者是正相關(guān)的，比如如果學(xué)習(xí)成績(jī)和學(xué)習(xí)時(shí)間的協(xié)方差函數(shù)結(jié)果是正的，則表示兩者正相關(guān)，及學(xué)習(xí)時(shí)間越長(zhǎng)，成績(jī)?cè)胶?。反之，結(jié)果若為負(fù)值就說(shuō)明負(fù)相關(guān)的，如果為0，也就是統(tǒng)計(jì)上說(shuō)的“相互獨(dú)立”，但在隨機(jī)過(guò)程里協(xié)方差函數(shù)結(jié)果為0，與兩者獨(dú)立是不等價(jià)的。當(dāng)然協(xié)方差越大說(shuō)明兩者的相關(guān)性較強(qiáng)，越小說(shuō)明兩者相關(guān)性較弱。協(xié)方差對(duì)于二維甚至多維的意義不止是對(duì)于對(duì)兩個(gè)變量或是兩個(gè)過(guò)程而言的，還對(duì)一個(gè)過(guò)程的兩個(gè)不同時(shí)刻或是多個(gè)不同時(shí)刻的研究也很有意義，當(dāng)然一個(gè)過(guò)程的不同時(shí)刻之間的關(guān)系其實(shí)就不同變量之間的關(guān)系。協(xié)方差也有不同的分類，對(duì)于變量而言，其協(xié)

7、方差是確定的值，對(duì)于過(guò)程而言，協(xié)方差是時(shí)間的函數(shù)，和過(guò)程的其他數(shù)字特征一樣。對(duì)于過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)我們通常又分為自協(xié)方差函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)也就是一個(gè)過(guò)程不同時(shí)刻之間的協(xié)方差函數(shù)，互協(xié)方差函數(shù)是兩個(gè)不同時(shí)刻不同時(shí)間點(diǎn)之間的協(xié)方差。協(xié)方差函數(shù)除了其結(jié)果可以衡量?jī)蛇^(guò)程之間的相關(guān)性，還可以間接性地表示其他一些數(shù)字特征，比如通過(guò)協(xié)方差函數(shù)我們可以求得方差，即：當(dāng)然還可以和自相關(guān)函數(shù)和均值聯(lián)系起來(lái)，即：協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系將會(huì)在下文進(jìn)行詳細(xì)的介紹。2,自相關(guān)函數(shù)定義同樣介紹自相關(guān)函數(shù)之前我們先了解原點(diǎn)矩的定義，通常這樣定義k階原點(diǎn)矩：設(shè)為隨機(jī)變量，若有，則稱 為的k階原點(diǎn)矩距。而稱 為

8、的k階絕對(duì)原點(diǎn)矩。很明顯，零階原點(diǎn)矩，一階原點(diǎn)矩為隨機(jī)變量的均值。自相關(guān)函數(shù)則這樣定義：設(shè)和是隨機(jī)過(guò)程在任意兩個(gè)時(shí)刻和的狀態(tài)，是相應(yīng)的二維概率密度，則稱二階原點(diǎn)距為隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)，簡(jiǎn)稱相關(guān)函數(shù)。它反映的是隨機(jī)過(guò)程在任意兩個(gè)不同時(shí)刻之間的相關(guān)性。3,自相關(guān)函數(shù)的意義顧名思義，自相關(guān)函數(shù)是衡量相關(guān)性的函數(shù)，表示了它所表述的兩者的關(guān)系是怎樣的，如父輩身高和子代身高的關(guān)系等就可以用其衡量。自相關(guān)函數(shù)表達(dá)了同一過(guò)程不同時(shí)刻的相互依賴關(guān)系，不同的值反映同一過(guò)程不同時(shí)刻之間不同的依賴關(guān)系，這對(duì)研究過(guò)程不同時(shí)刻之間的關(guān)系尤為重要。與自相關(guān)函數(shù)相對(duì)應(yīng)，還有互相干函數(shù)，互相關(guān)函數(shù)反映的是不同過(guò)程之間的相關(guān)性

9、，我們通常這樣定義互相關(guān)函數(shù)：兩個(gè)過(guò)程和的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)為，則其互相關(guān)函數(shù)為：互相關(guān)函數(shù)的重要性不亞于自相關(guān)函數(shù)，在很多領(lǐng)域兩者都得到了很大的運(yùn)用。特別是在無(wú)線信號(hào)處理上尤為重要，由于相關(guān)具有能量的量綱，所以在信號(hào)處理方面運(yùn)用得較多，其中自相關(guān)的復(fù)立葉變換就是功率普密度。對(duì)于互相關(guān)，如果兩個(gè)信號(hào)相似性很大，則其互相關(guān)函數(shù)的峰値會(huì)很大，反之，則較小。 如果兩個(gè)信號(hào)完全不相關(guān)，即完全不相似，則其相關(guān)函數(shù)有可能是0。也就是兩個(gè)信號(hào)正交，即。而自相關(guān)是對(duì)信號(hào)相關(guān)程度的一種度量，也就是說(shuō)自相關(guān)可以看作是信號(hào)與自身的延遲信號(hào)相成后的乘積進(jìn)行積分運(yùn)算，隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜是傅氏變換對(duì)，通過(guò)對(duì)

10、接受信號(hào)的自相關(guān)運(yùn)算可以進(jìn)行頻譜分析，即（也有，這兩個(gè)公式也叫作維納-辛欽公式）。當(dāng)然相關(guān)函數(shù)還可以和其他一些數(shù)字特征聯(lián)系以來(lái)，它與均方值有這樣關(guān)系。它與均值有這樣的關(guān)系：，對(duì)于這一式，我們可以這樣理解，當(dāng)一過(guò)程的兩個(gè)不同時(shí)刻相隔無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，兩者肯定是不相關(guān)的。它與方差有這樣的關(guān)系：。由此可見(jiàn)相關(guān)函數(shù)與各種數(shù)字特征都有聯(lián)系，可見(jiàn)其意義非凡。4,協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的聯(lián)系從上面的介紹我們知道，兩者的定義很相似，所描述過(guò)程的性質(zhì)也很相似，所以兩者的聯(lián)系必然是千絲萬(wàn)縷。從兩者定義我們可以做如下推導(dǎo)：所以：兩者在公式上的相關(guān)聯(lián)性，也反映出它們?cè)谖锢硪饬x和實(shí)際運(yùn)用上的相似性，兩者都可以反映兩個(gè)過(guò)程或是同

11、一過(guò)程的兩個(gè)或多個(gè)時(shí)刻之間的相關(guān)性，物理意義上，兩者都有很多運(yùn)用，比如，對(duì)于兩過(guò)程的關(guān)系中“正交”，“不相關(guān)”，“互相獨(dú)立”便是根據(jù)兩者的關(guān)系來(lái)決定的，比如“正交”即兩過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)為0；“互不相關(guān)”即兩過(guò)程的協(xié)方差為0，兩者的互相關(guān)函數(shù)等于常數(shù)；“互相獨(dú)立”即即兩過(guò)程的協(xié)方差為0，兩者的互相關(guān)函數(shù)等于兩者均值的乘積。2 相關(guān)系數(shù)的定義每一個(gè)定義的出現(xiàn)，必然有其產(chǎn)生的原因，就像每一種物品都有其用武之地，而在學(xué)術(shù)界一個(gè)新定義的產(chǎn)生必然是因?yàn)橐延卸x不能夠滿足需要。同樣，相關(guān)系數(shù)的產(chǎn)生也是由于已有定義，諸如：協(xié)方差，自相關(guān)函數(shù)不能夠很好地描述事物之間的相關(guān)性，所以定義了相關(guān)系數(shù)這一定義。一般我們

12、這樣定義相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)有時(shí)也叫作歸一化的相關(guān)函數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差函數(shù)。很明顯，相關(guān)系數(shù)的很多性質(zhì)與相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)相同，它能夠更加準(zhǔn)確地描述隨機(jī)過(guò)程中兩個(gè)起伏量之間的線性關(guān)聯(lián)程度，其值可正可負(fù)也可以為零，為正時(shí)表示變量和符號(hào)相同的可能性較大，反之，負(fù)號(hào)表示相反的可能性較大，表示完全相關(guān)，表示完全不相關(guān)。相關(guān)系數(shù)反映的相關(guān)性比相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)要精確很多，它通常與相關(guān)時(shí)間一起運(yùn)用，反映事物之間的相關(guān)性。3 協(xié)方差定義相關(guān)系數(shù)的必然性：1.自相關(guān)函數(shù)定義相關(guān)系數(shù)的缺陷前面已經(jīng)介紹了相關(guān)系數(shù)的定義，但這只是數(shù)學(xué)家給出的定義，就像我們?cè)谖氖踪|(zhì)疑的那樣，這樣的定義是否合理，如果合理是不是最佳的定義，是不是

13、還有其他的更加完美的定義方法，會(huì)不會(huì)數(shù)學(xué)家這樣的定義完全就是不合理的，或者是不是還有其他合理的定義，或是出現(xiàn)兩者定義都合理的情況，有些概念或是公式存在兩種或是多種定義方式的先列是存在的，而且并不只是一個(gè)兩個(gè)，無(wú)獨(dú)有偶，會(huì)不會(huì)相關(guān)系數(shù)的定義也會(huì)出現(xiàn)這種情況，對(duì)于相關(guān)系數(shù)的定義，數(shù)學(xué)家給出的定義由協(xié)方差函數(shù)定義的，即，這很另我感覺(jué)別扭，或是匪夷所思吧！如果且從這一概念的名字來(lái)了解，相關(guān)系數(shù)為什么要用協(xié)方差函數(shù)來(lái)定義，難道不應(yīng)該用相關(guān)函數(shù)來(lái)定義嗎？相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)一樣可以描述過(guò)程的相關(guān)性，而且兩者所描述的相關(guān)性并沒(méi)有質(zhì)的區(qū)別，都能夠很好地描述過(guò)程的相關(guān)性，難道相關(guān)函數(shù)有什么致命的缺陷嗎？導(dǎo)致數(shù)學(xué)

14、家們舍近求遠(yuǎn)。還是協(xié)方差函數(shù)在描述相關(guān)性方面有相關(guān)函數(shù)不可比擬的優(yōu)點(diǎn)？下面我試著用相關(guān)函數(shù)定義相關(guān)系數(shù)，仿照著用協(xié)方差函數(shù)定義的相關(guān)系數(shù)，我這樣用相關(guān)函數(shù)定義相關(guān)系數(shù)：通過(guò)這一定義，我做了如下的推導(dǎo)：也就是說(shuō)，通過(guò)相關(guān)函數(shù)定義的相關(guān)系數(shù)的含義，就是求原隨機(jī)過(guò)程兩個(gè)不同時(shí)刻的除去它們的均值后的相關(guān)函數(shù)，也就是求和的相關(guān)函數(shù)，這樣和原相關(guān)函數(shù)的定義并沒(méi)有什么本質(zhì)上的區(qū)別，只是數(shù)值的不同而已。也就說(shuō)這樣的定義和相關(guān)函數(shù)的定義相比而言，并不會(huì)給我們的運(yùn)算過(guò)程或是對(duì)事物的研究過(guò)程帶來(lái)任何實(shí)質(zhì)上的幫助，那么這就失去了其存在的意義，因?yàn)槲覀儾恍枰恍├圪樀亩x，所以我們的假設(shè)并不成立，通過(guò)相關(guān)函數(shù)來(lái)定義相關(guān)

15、系數(shù)的設(shè)想是沒(méi)有任何可行性的，所以我們不得不舍棄這樣的定義。2,協(xié)方差定義相關(guān)系數(shù)的好處用協(xié)方差定義相關(guān)系數(shù)，即，由定義式我們可以得到，相關(guān)系數(shù)被定義為歸一化的協(xié)方差函數(shù)，歸一化的運(yùn)用在很多學(xué)科里有很大的優(yōu)勢(shì)，可以對(duì)研究過(guò)程帶來(lái)便利，比如微波中會(huì)對(duì)各種量進(jìn)行歸一化，這樣對(duì)研究過(guò)程起到很大的幫助，在隨機(jī)過(guò)程理論中的高斯過(guò)程也有其歸一化方式，通過(guò)歸一化可以將處理過(guò)程大大簡(jiǎn)化，但是有人可能會(huì)反駁，上面的假設(shè)，即，同樣也是被定義為歸一化的相關(guān)函數(shù)，為什么就沒(méi)有用協(xié)方差函數(shù)定義相關(guān)系數(shù)這樣的作用呢？很顯然，原因就在于兩者歸一化的基礎(chǔ)不一樣，用相關(guān)函數(shù)定義的相關(guān)系數(shù)是在的基礎(chǔ)上定義的，而，如果對(duì)于隨機(jī)變量

16、只是一個(gè)常數(shù)，即使是隨機(jī)過(guò)程也只是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，這對(duì)過(guò)程的研究沒(méi)有什么實(shí)質(zhì)性的影響；而用協(xié)方差定義相關(guān)系數(shù)時(shí)，其實(shí)過(guò)程的方差，而不且且是在原協(xié)方差函數(shù)的基礎(chǔ)上除以一個(gè)常數(shù)，所以用協(xié)方差函數(shù)定義的相關(guān)系數(shù)比用相關(guān)函數(shù)定義的相關(guān)系數(shù)要好得多。而且用協(xié)方差定義的相關(guān)系數(shù)相比于協(xié)方差函數(shù)而言產(chǎn)生了新的價(jià)值，比如對(duì)于隨機(jī)過(guò)程的兩個(gè)起伏量即變量和之間的關(guān)聯(lián)程度時(shí)，雖然完全可以用協(xié)方差函數(shù)描述，但是還與還與兩個(gè)起伏量的強(qiáng)度有關(guān)，如果兩變量的關(guān)聯(lián)較強(qiáng)時(shí)，即比較小時(shí)，也不會(huì)大，也就是說(shuō)協(xié)方差函數(shù)并不能夠確切地表示關(guān)聯(lián)程度的大小，但是通過(guò)對(duì)進(jìn)行歸一化后，我們可以除去起伏強(qiáng)度的影響，也就是，可以確切地表示關(guān)聯(lián)程度

17、的大小，而且由協(xié)方差函數(shù)定義的相關(guān)系數(shù)會(huì)有很多其他方面的應(yīng)用，比如由它衍生出來(lái)的相關(guān)時(shí)間就是一個(gè)描述過(guò)程很重要的量。對(duì)于由協(xié)方差函數(shù)定義的相關(guān)系數(shù)所衍生出來(lái)的諸如相關(guān)時(shí)間等量，將會(huì)在下一節(jié)“相關(guān)系數(shù)的價(jià)值”一節(jié)進(jìn)行更加詳細(xì)的介紹。四相關(guān)系數(shù)的價(jià)值1， 自相關(guān)函數(shù)的局限性自相關(guān)函數(shù)也存在這樣的情況，當(dāng)很小時(shí)，即我們所研究的對(duì)象的相關(guān)性較大時(shí)，會(huì)使得較大，這樣對(duì)于我們的研究有很多不利。2， 協(xié)方差函數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)協(xié)方差函數(shù)也具有同相關(guān)函數(shù)的缺點(diǎn)，就像前文分析的那樣。但協(xié)方差函數(shù)有其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，一般說(shuō)來(lái)，人們不能根據(jù)一個(gè)隨機(jī)變量的均值和方差確定它的概率分布，除非這個(gè)的函數(shù)形式只差幾個(gè)未定參數(shù)還不確定，而這些參數(shù)又且且與均值、方差有關(guān)，例如，若x是一個(gè)正太分布的隨機(jī)變量，則有了均值和方差就可以確定其數(shù)值特征；若x是泊松分布，則它的概率分布律由均值確定，對(duì)于概率分布形式為未知的一般隨機(jī)變量，它的均值和方差仍能夠部分確定地概括其概率分布律，這是因?yàn)榻柚鞣N各樣的不等式，人們能夠粗略地估計(jì)這個(gè)概率分布的各種特征。而隨機(jī)過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)在與均值的聯(lián)合中與方差的作用是相當(dāng)?shù)模詤f(xié)方差函數(shù)有其獨(dú)到的作用。3， 相關(guān)系數(shù)價(jià)值相關(guān)系數(shù)的價(jià)值不只是衡量多個(gè)研究對(duì)象之間的相關(guān)性，由其衍生出來(lái)的很多定義在各方面發(fā)揮著不可忽視的作用。例如相關(guān)時(shí)間，