江蘇省蘇州市2018屆高三暑假自主學習測試數(shù)學試題及答案

1、江蘇省蘇州市2018屆高三暑假自主學習測試數(shù)學試題及答案 江蘇省蘇州市2018屆暑假自主學習測試數(shù)學試題 第一卷 一、填空題每題5分，滿分70分，將答案填在答題紙上 1. 已知集合，則_ 【答案】 【解析】 【詳解】因為，所以，應填答案 2. 已知為虛數(shù)單位，則的值是_ 【答案】6 【解析】 【詳解】因為,即,所以，,應填答案 3. 運行如圖所示的流程圖，則輸出的結果S為_ 【答案】 【解析】 【詳解】由題設中提供的算法流程圖中的算法程序可知 當 當 當 當 持續(xù)運行可知變量S的值是以3為周期在變化， 當時，當i取2018時退出循環(huán)， 故答案為： 4. 有五條線段，其長度分別為2，3，4，5，

2、7.現(xiàn)任取三條，則這三條線段可以構成三角形的的概率是_ 【答案】 【解析】 【詳解】長度分別為2，3，4，5，7.現(xiàn)任取三條有10種可能,即,其中能構成三角形的情形有:,共5種,即,所以由古典概型的計算公式可得，,應填答案 5. 為了解某校今年準備報考飛行員同學的體重狀況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖)，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為123，其中第2小組的頻數(shù)為12，則報考飛行員的總人數(shù)是_ 【答案】48 【解析】 【詳解】試題分析：設圖中從左到右的第1小組的頻率為，則第2小組的頻率為，第3小組的頻率為，由頻率分布直方圖的性質(zhì)，得： ， 解得：， 第2小組的頻率為，

3、又已知第2小組的頻數(shù)為12， 報考飛行員的同學人數(shù)是：. 故答案應填：48. 考點：頻率分布直方圖 6. 假設雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，則的值是_ 【答案】3 【解析】 【詳解】因為拋物線的焦點坐標是,所以,應填答案 7. 將函數(shù))的圖象沿軸向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，假設函數(shù)的圖象過原點，則的值是_ 【答案】 【解析】 【詳解】由題意,則，即，又，故,應填答案 8. 已知向量，則_. 【答案】5 【解析】 【分析】本題首先可以依據(jù)得出，然后依據(jù)得出，最后通過化簡即可得出結果。 【詳解】因為，所以， 因為，所以， 即，。 【點睛】本題考查向量的模以及向量的運算，考查向量的模的求法，

4、假設，則，考查計算能力，是簡單題。 9. 如圖，正四棱錐的底面一邊的長為，側面積為，則它的體積為_ 【答案】4. 【解析】 【詳解】由題設斜高為h,則,則四棱錐的高,所以該四棱錐的體積，應填答案 10. 已知函數(shù).假設，則的最大值是_ 【答案】7 【解析】 【詳解】因為,所以代入可得,這是開口向下的拋物線,其對稱軸為，將其代入可得,應填答案 11. 等差數(shù)列的前項和為，且，假設對任意，總有，則的值是_ 【答案】7 【解析】 【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列,且,取可得,即,所以公差，,其最大值為,由題設,所以,應填答案 12. 已知點A1，0和點B0，1，假設圓x2y24x2yt0上恰有兩個不同的點

5、P，使得PAB的面積為，則實數(shù)t的取值范圍是_ 【答案】 【解析】 【分析】 題設“圓x2y24x2yt0上恰有兩個不同的點P，使得PAB的面積為等價于“圓上有且只有兩個點到直線AB的距離為，進而得出圓心到直線AB的距離的范圍 【詳解】圓x2y24x2yt0的方程可化為x22y125t，設點P到直線AB的距離為h，則，解得，直線AB的方程 而圓心到直線AB的距離為，欲使得圓x2y24x2yt0上恰有兩個不同的點P，使得PAB的面積為，則必須要圓上有且只有兩個點到直線AB的距離為，故圓的半徑，解得. 故答案為： 【點睛】此題考查直線與圓的位置關系，將面積關系轉化成圓心到直線距離問題求解，體現(xiàn)了轉

6、化與化歸的思想. 13. 已知函數(shù)，當時，函數(shù)的值域為，假設A?8，16，則a的值是_. 【答案】15 【解析】 【分析】 參變分開，原題等價于不等式關于任意的恒成立，即，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得. 【詳解】解：由題意，關于任意的，不等式恒成立，也就是說，不等式關于任意的恒成立， 關于任意的 故， 當時， 即，所以. 故答案： 【點睛】本題考查函數(shù)的值域，參變分開是解答的關鍵，屬于中檔題. 14. 設是定義在上的偶函數(shù)，且當時，假設對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_ 【答案】 【解析】 【詳解】試題分析：由題意得:即對任意的恒成立,令,解得,故填. 考點：1.函數(shù)的奇偶性；2.二次函數(shù)

7、的圖象. 二、解答題 本大題共6小題，共90分.解答應寫出文字說明、證實過程或演算步驟. 15. 在平面直角坐標系中，設向量，其中為的兩個內(nèi)角. 1假設，求證：為直角； 2假設，求證：為銳角. 【答案】1見解析2見解析 【解析】 【詳解】試題分析：1借助平面向量的坐標形式的數(shù)量積公式建立方程，然后運用誘導公式分析推證；2借助平面向量的坐標形式的數(shù)量積公式建立方程，即，也即然后運用兩角和的正切公式分析推證，即： 1易得， 因為，所以，即. 因為，且函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)， 所以，即為直角. 2因為，所以， 即. 因為是三角形內(nèi)角，所以， 于是，因而中恰有一個是鈍角， 從而， 所以，即證為銳角 注：

8、2解得后，得與異號， 假設， 則 于是，在中，有兩個鈍角和，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，不可能 于是必有，即證為銳角 16. 如圖，在三棱錐P- ABC中，已知平面PBC 平面ABC 1假設ABBC，CPPB，求證：CPPA： 2假設過點A作直線平面ABC，求證：/平面PBC 【答案】1詳見解析，2詳見解析 【解析】 【詳解】【試題分析】1依據(jù)題設借助面面垂直的性質(zhì)定理證實平面平面，然后運用線面垂直的性質(zhì)定理證實；2借助題設條件先證實平面，進而確定，然后再運用線面平行的性質(zhì)定理推證： 證實：1因為平面平面 ，平面平面，平面，所以平面.因為平面，所以 .又因為 平面所以平面又因為平面所以. (2)

9、在平面內(nèi)過點作垂足為因為平面平面， 又平面平面 平面，所以平面又平面，所以又平面 平面，所以平面. 17. 某公司制定如圖所示的環(huán)狀綠化景觀帶，該景觀帶的內(nèi)圈由兩條平行線段圖中的)和兩個半圓構成，設，且. 1假設內(nèi)圈周長為，則取何值時，矩形的面積最大？ 2假設景觀帶的內(nèi)圈所圍成區(qū)域的面積為，則取何值時，內(nèi)圈周長最?。?【答案】11002340 【解析】 【詳解】試題分析：1依據(jù)題設條件建立目標函數(shù)，然后運用基本不等式確定其取最大值時的取值；2借助題設條件建立內(nèi)圈周長的目標函數(shù)，然后運用導數(shù)知識求其取得最小值時的取值： 解：設題中半圓形半徑為，矩形的面積為， 內(nèi)圈周長為. 1由題意知：，且，即，

10、 于是 當且僅當時，等號成立. 答：當時，矩形的面積最大. 2由題意知：，于是， 從而. 因為，所以，即， 解得，所以，故. 因為， 所以關于的函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù). 故當即時，內(nèi)圈周長取得最小值， 且最小值為. 18. 如圖，已知橢圓的右焦點為，點分別是橢圓的上、下頂點，點是直線上的一個動點與軸的交點除外，直線交橢圓于另一個點. 1當直線經(jīng)過橢圓的右焦點時，求的面積； 2記直線的斜率分別為，求證：為定值； 求的取值范圍. 【答案】12見解析 【解析】 【詳解】試題分析：1先聯(lián)立直線的方程為與橢圓方程的方程組，求出交點坐標，進而求出點到直線的距離公式求出上的高，運用三角形的面積公式求解；2先求

11、出斜率的值，再計算其積進行推算；先運用直線與橢圓的位置關系計算出向量的的坐標形式，再運用向量的數(shù)量積公式進行推證： 解：1由題意，焦點， 當直線過橢圓的右焦點時，則直線的方程為，即， 聯(lián)立，解得或(舍，即. 連，則直線，即 ， 而，. 故. 2解:法一：設，且，則直線斜率為， 則直線的方程為， 聯(lián)立化簡得， 解得， 所以， 所以為定值. 由知， 所以， 令 故， 因為在上單調(diào)遞增， 所以，即的取值范圍為. 解法二：設點，則直線的方程為， 令，得. 所以， 所以(定值. 由知， 所以， . 令，則， 因為在上單調(diào)遞減, 所以，即的取值范圍為. 19. 已知數(shù)列滿足. 1假設數(shù)列是等差數(shù)列，求的值

12、； 2當時，求數(shù)列的前項和； 3假設對任意，都有成立，求的取值范圍. 【答案】1；2；3 【解析】 【分析】1由等差數(shù)列的定義，假設數(shù)列是等差數(shù)列，則，結合，得即可解得首項的值； 2由，用代得，兩式相減，得出數(shù)列是等差數(shù)列，進一步得到數(shù)列也是等差數(shù)列，對進行分類討論：當n為奇數(shù)時，當n為偶數(shù)時，分別求和即可； 3由2知的通項公式，當為奇數(shù)時，當為偶數(shù)時，分別解得的取值范圍，最后綜上所述，即可得到的取值范圍 【詳解】1假設數(shù)列是等差數(shù)列，則(n1)d，nd 由4n3，得(nd)(n1)d4n3，即2d4，d3， 解得d2， 2由4n3(n)，得4n1(n) 兩式相減，得4 所以數(shù)列是首項為，公差

13、為4的等差數(shù)列 數(shù)列是首項為，公差為4的等差數(shù)列 由1，2，得1 所以 當n為奇數(shù)時，2n，2n3 ()()() 19(4n11)2n2n 當n為偶數(shù)時，()()()19(4n7) 所以 3由2知， 當n為奇數(shù)時，2n2，2n1 由5，得16n10 令16n106 當n1或n3時，2，所以2 解得2或1 當n偶數(shù)時，2n3，2n 由5，得16n12 令16n124 當n2時，4，所以4 解得1或4 綜上所述，的取值范圍是 【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前項和、不等式的解法、數(shù)列與不等式的綜合等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想屬于壓軸題 20. 已知函數(shù)，其中

14、是自然對數(shù)的底數(shù)，. (1) 假設是函數(shù)的導函數(shù)，當時，解關于的不等式； (2) 假設在 上是單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍； (3) 當時，求整數(shù)的所有值，使方程在上有解 【答案】(1) ；(2)；(3). 【解析】 【分析】(1)先求導數(shù)，所求不等式可化為ax2(2a1)x0然后可求； (2)在 上是單調(diào)增函數(shù)轉化為在恒成立，結合根的分布求解； (3)依據(jù)零點存在定理和單調(diào)性，先確定零點所在區(qū)間，然后確定的值. 【詳解】(1) f(x)ax2(2a1)x1·ex. 不等式f(x)ex可化為ax2(2a1)x·ex0. 因為ex0，故有ax2(2a1)x0. 當a0時，不等式f

15、(x)ex的解集是. (2) 由(1)得f(x)ax2(2a1)x1·ex. 當a0時，f(x)(x1)ex，f(x)0在1，1上恒成立， 當且僅當x1時取等號，故a0符合要求； 當a0時，令g(x)ax2(2a1)x1， 因為(2a1)24a4a210， 所以g(x)0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，無妨設x1x2， 因此f(x)既有極大值又有極小值 假設a0，因為g(1)·g(0)a0，所以f(x)在(1，1)上有極值點 故f(x)在1，1上不單調(diào) 假設a0，可知x10x2， 因為g(x)的圖象開口向下，要使f(x)在1，1上單調(diào)，又g(0)10， 必須滿足，即，解得a

16、0. 綜上所述，a的取值范圍是. (3) 當a0時，方程即為xexx2，由于ex0，所以x0不是方程的解， 所以原方程等價于ex10，令h(x)ex1. 因為h(x)ex0關于x(，0)(0，)恒成立， 所以h(x)在(，0)和(0，)上是單調(diào)增函數(shù) 又h(1)e30，h(2)e220，h(3)e30，h(2)e20， 所以方程f(x)x2有且只有兩個實數(shù)根， 且分別在區(qū)間1，2和3，2上， 所以整數(shù)k的所有值為3，1 【點睛】本題主要考查導數(shù)的應用，利用導數(shù)求解單調(diào)性問題，利用導數(shù)求解方程根的問題，綜合性較強，側重考查數(shù)學抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng). 第二卷附加題 21. 如圖，圓的直徑為圓周

17、上一點，,過作圓的切線，過作的垂線，分別與直線和圓交于點，求線段的長. 【答案】2 【解析】 【詳解】試題分析：利用圓中直線與圓的位置關系，先推證，再推出，進而借助等腰三角形證得： 解：在中，因為，所以， 因為為過的切線，所以，所以. 又因為，所以. 在中，因為，且， 所以. 22. 在平面直角坐標系xOy中，點在矩陣對應的變幻作用下得到點，求. 【答案】 【解析】 【分析】由矩陣乘法的性質(zhì)可轉化條件為，即可得，求出后再利用矩陣乘法的性質(zhì)即可得解. 【詳解】依題意知即， 解得 因為， 所以矩陣的逆矩陣， 所以 【點睛】本題考查了矩陣乘法的性質(zhì)及逆矩陣的求解，考查了運算能力，屬于中檔題. 23.

18、 在極坐標系中，設直線過點，且直線與曲線有且只有一個公共點，求實數(shù)的值 【答案】 【解析】 【分析】 先求得直線的一般方程，把曲線的極坐標方程化為直角坐標方程因為直線與曲線有且只有一個公共點，可得圓心到直線的距離，由此解得的值 【詳解】依題意，點，、的直角坐標為， 從而直線的一般方程為 曲線的直角坐標方程為 因為直線與曲線有且只有一個公共點， 所以，解得負值已舍 【點睛】本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，屬于基礎題 24. 已知x、y、z均為正數(shù)，求證： 【答案】證實見解析 【解析】 【詳解】x，y，z都是為正數(shù)， 同理，可得， 將上述三個不等式兩邊分別相