第五章選修4課程定位

1、第一節(jié) 選修系列 4 課程的作用和選擇性一、選修系列 4 課程的作用對于系列 4 的定位，“標(biāo)準(zhǔn)”中已講得很清楚：系列 4 所涉及的內(nèi)容都是基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)內(nèi)容，不僅應(yīng)鼓勵那些希望在理工、經(jīng)濟等方面 發(fā)展的學(xué)生積極選修，同時也應(yīng)鼓勵那些希望在人文、社會科學(xué)方面發(fā)展的學(xué)生選修這些 課程。在“標(biāo)準(zhǔn)”中也已指出其作用是：為對數(shù)學(xué)有興趣和希望進一步提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生設(shè)置的，所涉的內(nèi)容都是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ) 性內(nèi)容，反映了某些重要的數(shù)學(xué)思想。有些專題是中學(xué)課程某些內(nèi)容的延伸，有些專題是 通過典型實例介紹數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用方法。這些專題的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生的終身發(fā)展，有利于 擴展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，有利于提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的科學(xué)價值

2、、應(yīng)用價值、文化價值的認(rèn)識， 有助于學(xué)生進一步打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提高應(yīng)用意識。專題力求深入淺出、通俗易懂，進一步提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問 題的能力，讓學(xué)生掌握和體會一些重要的概念、結(jié)論和思想方法，體會數(shù)學(xué)的作用，發(fā)展 應(yīng)用意識。另外，“標(biāo)準(zhǔn)”對系列 4 課程的建設(shè)、教學(xué)方式、評價方式等，都給出了具體的說明，這 里就不一一重復(fù)了。在系列 4 教學(xué)中應(yīng)該注意的幾個問題是：系列 4是基礎(chǔ)， 系列 4不是學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的預(yù)備課程， 也不是為將來準(zhǔn)備進入數(shù)學(xué)系學(xué) 習(xí)的學(xué)生做準(zhǔn)備。在系列 4 的教學(xué)中，應(yīng)該把重點放在介紹基本的數(shù)學(xué)思想。在系列 4 的教學(xué)中，要不斷地開發(fā)資源，把難的東西變?nèi)菀祝?/p>

3、用具體來反映一般，用直觀 來反映抽象。系列 4 課程是進入高考的課程， 學(xué)習(xí)這部分課程對于提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、 培養(yǎng)學(xué)生解決問題 的能力和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是十分有用的。各學(xué)?？梢园凑崭髯缘那闆r有選擇性地 逐步開設(shè)這些專題。、選擇性1. 選擇性及系統(tǒng)性 數(shù)學(xué)課程都是按照一定的體系來設(shè)計的，而體系又是根據(jù)不同的原則設(shè)計的，設(shè)計的原則 不同，得到的體系就不同，課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計的一個重要的原則就是選擇性，所以，在理解整 個高中數(shù)學(xué)課程時，應(yīng)該對選擇性有一個充分的認(rèn)識。在高中數(shù)學(xué)課程中，如前面所說，有必修課程、選修系列1、2 課程，還有選修系列 3、4 課程，每一部分課程都有他獨立的體系。必修課程、選修1、

4、2 系列課程的主要內(nèi)容都是比較傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，在某些地方也有一些變化，例如，增加了算法等內(nèi)容?？偟膩?說，這些內(nèi)容對教師來說沒有太大的困難，前面已經(jīng)從不同角度分析了應(yīng)注意的方面。例 如，抓住課程的整體性，抓住課程的主線，抓住課程的本質(zhì)，抓住通性通法，等等。必修課程、選修系列 1、2 課程的內(nèi)容大體上也可以按照代數(shù)、幾何、分析、統(tǒng)計概率 進行分類。例如，立體幾何初步、解析幾何初步、平面向量、空間向量及立體幾何等等都 是屬于幾何的內(nèi)容。函數(shù)及其相關(guān)內(nèi)容是屬于分析的范疇，等等。這樣的一種分類可以及 大學(xué)課程有機的接軌。選修系列 3、4 課程可以看作上述分類的一種延續(xù)。例如，有關(guān)代數(shù)的專題有：三等

5、分角及數(shù)域擴充，對稱及群，信息安全及密碼，不等式選講， 坐標(biāo)系及參數(shù)方程，初等數(shù)論初步，優(yōu)選法及試驗設(shè)計初步，開關(guān)電路及布爾代數(shù)等。有關(guān)幾何的專題有：球面上的幾何，歐拉公式及閉曲面分類，矩陣及變換，幾何證明選 講，統(tǒng)籌法及圖論初步等。有關(guān)分析的專題有：數(shù)列及差分等。有關(guān)統(tǒng)計概率的專題有：風(fēng)險及決策等。這樣的分類不一定非常準(zhǔn)確，只是一個參考。數(shù)學(xué)史選講是一個特殊的專題。當(dāng)然還有 其它的分類原則，例如，可以按照連續(xù)數(shù)學(xué)和離散數(shù)學(xué)來分類；可以按照純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù) 學(xué)來分類；等等。不同的分類形成不同的體系，其目的只有一個就是希望從不同的角度加 深對于數(shù)學(xué)的認(rèn)識。就數(shù)學(xué)內(nèi)容本身來說，有的有先后順序關(guān)系，有

6、的沒有先后順序關(guān)系。例如，我們只有 引入了自然數(shù)，才能介紹自然數(shù)的加、減、乘等運算，它們之間有著嚴(yán)格的順序關(guān)系。然 而，對于有些數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，目的不同決定不同的順序。例如，極限理論和導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 就沒有先后的順序關(guān)系?？梢韵戎v極限理論，然后，用極限理論去認(rèn)識一種重要、特殊的極限導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)在，數(shù)學(xué)系課程中的數(shù)學(xué)分析就是這樣安排的；我們也可以先從重要、 特殊的極限導(dǎo)數(shù)入手，理解這種特殊極限的意義、作用、應(yīng)用，把它作為認(rèn)識極限理 論的一個階梯。“標(biāo)準(zhǔn)”是按后者的方式安排的。排列組合和概率也沒有先后之分。不同的 順序會有不同的講授和教材編寫方式，可以先講代數(shù)，也可以先講幾何，當(dāng)然，要符合學(xué) 生的認(rèn)知規(guī)律

7、。數(shù)學(xué)教材是按一定的順序編寫的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也是按一定的先后順序進行學(xué)習(xí)，所以在編寫 教材時要注意這樣的關(guān)系。我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，教科書給我們規(guī)定了一定的順序，我們應(yīng) 該很好的理解這種順序，以及它所反映的知識之間的邏輯關(guān)系。但是，我們應(yīng)該特別注意 的是，教材中知識之間的邏輯關(guān)系是在一定原則、前提下確定的，選用不同的原則會有不 同的邏輯關(guān)系，我們再通過一個例子加以說明。例如，刻畫直角坐標(biāo)系中的直線。一點和一個方向可以唯一確定一條直線，如何刻畫直 線的方向，即直線及 x 軸的交角。我們可以采取幾種方法來刻畫：可以用三角函數(shù)來刻畫， 可以用向量來刻畫，還可以用導(dǎo)數(shù)思想變化率來刻畫。按照教材所安排的內(nèi)容順序

8、， 可以采取不同的方法來刻畫直線的斜率。 如果在此之前我 們學(xué)過了三角函數(shù)，則可以用正切來刻畫斜率；如果在此之前我們學(xué)習(xí)了向量，則可以用 向量來刻畫直線的方向；我們也可以利用導(dǎo)數(shù)思想變化率，直接刻畫直線的方向。但 是，三角函數(shù)，向量，導(dǎo)數(shù)，這三個知識本身沒有必然的邏輯關(guān)系。通過這個例子，應(yīng)該引起我們的思考。我們在講授一個知識點時，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生去考慮 這個知識點及我們所學(xué)過的知識之間的聯(lián)系。就上面這個例子來說，對于直線斜率的理解， 可以通過三角函數(shù)、向量和導(dǎo)數(shù)這三個角度去理解。只有這樣，我們才能更好的認(rèn)識直線 的斜率，更好的刻畫直線的斜率。無論是學(xué)生還是教師， 在學(xué)習(xí)和講授高中數(shù)學(xué)課程時， 都需

9、要經(jīng)常的站在整個高中數(shù)學(xué) 的角度，站在整個數(shù)學(xué)的高度，來看待我們所學(xué)習(xí)和教授的每一個知識點。而不是把本身 相互聯(lián)系的知識割裂開來。2. 選擇性及公平性確定選擇性的一個基本的出發(fā)點是培養(yǎng)學(xué)生的興趣， 我們應(yīng)該從不同的方面提供培養(yǎng)學(xué) 生興趣的途徑。另一個基本的出發(fā)點是開闊學(xué)生的視野，作為學(xué)習(xí)者，學(xué)習(xí)知識是重要的。 同樣的，開闊視野、增長見識也是不可忽視的，有時，這些是無形的，是在不經(jīng)意中積淀 的，但是，它們的作用確是長久的。選修課程為學(xué)生開闊視野、增長見識提供了一個開闊 的空間。作為數(shù)學(xué)教育工作者， 我們希望能吸引更多的人喜歡數(shù)學(xué)， 希望數(shù)學(xué)能為學(xué)生的發(fā)展提 供幫助，這應(yīng)該是數(shù)學(xué)教育工作者的最高追

10、求。我們應(yīng)當(dāng)想方設(shè)法讓數(shù)學(xué)課程更有吸引力， 也希望學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)并培養(yǎng)自己對數(shù)學(xué)的興趣。在以往的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，在一定程度上忽視了培養(yǎng)學(xué)生的興趣、開拓學(xué)生的視野。不 同人會有不同的興趣， 有人喜歡思考， 有人喜歡動手； 有人喜歡“理科”，有人喜歡 “工科”， 有人喜歡“文史科” ，有人喜歡“醫(yī)科”；有人喜歡理論，有人喜歡應(yīng)用；有人喜歡“電影” ， 有人喜歡 “戲曲”，等等。數(shù)學(xué)課程應(yīng)該成為培養(yǎng)學(xué)生興趣的載體， 為不同的學(xué)生服務(wù)。 “興 趣”是成功的最持久的動力，有一次，當(dāng)丁肇中教授被記者問及獲得諾貝爾獎的“秘訣” 時，只說了兩個字“興趣” 。興趣不僅促進人的成功，而且，她會給人們的生活帶來快樂。

11、一旦學(xué)生對某些專題有興趣， 他們就會深入這部分專題的學(xué)習(xí)， 難和容易是相對的，“鉆 進去了”難的東西也會變?nèi)菀琢耍?“鉆不進去”容易的東西也是難的。 例如，有人認(rèn)為數(shù)學(xué)建模很難，但是有些人就認(rèn)為不難，關(guān)鍵還是興趣，有的學(xué)生寫的數(shù) 學(xué)建模論文連教師都看不明白，覺得有困難，可是學(xué)生自己認(rèn)為很簡單，這就是因為他對 于自己研究的東西感興趣，就不覺得難了，而教師不感興趣所以就會覺得很難。公平也是 相對的，沒有絕對的公平，我們應(yīng)該在培養(yǎng)學(xué)生興趣、開闊學(xué)生視野這個大前提下來考慮 公平性。教師應(yīng)制定自己的“專業(yè)發(fā)展計劃” ，其中一個很重要的內(nèi)容是提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，通過開 設(shè)選修系列 3、4 這些課程，是掌握這些課

12、程最好的辦法，經(jīng)歷這個過程，對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提 高是非常重要的。當(dāng)然教師可以制定一個計劃來逐步的開設(shè)這些課程。例如，第一年，可 以開設(shè)一個自己熟悉的專題，同時，選擇一個學(xué)習(xí)的專題，制定一個學(xué)習(xí)計劃，包括：專 題結(jié)構(gòu)、內(nèi)容理解、問題思考、習(xí)題解答、知識拓展、讀書報告，以及學(xué)生可能出現(xiàn)的問 題，等等。扎扎實實的掌握一個專題，同時，學(xué)會學(xué)習(xí)一個自己不熟悉內(nèi)容的方法和步驟。 第二年，開設(shè)自己學(xué)習(xí)的專題，積累經(jīng)驗；同時再學(xué)習(xí)一個新專題。如此下去，逐漸形成 自己的特色。學(xué)校應(yīng)制定“學(xué)校選課發(fā)展計劃” ，根據(jù)不同教師的特點、愛好，分工合作，可以組織 相同專題備課小組。經(jīng)過 2 3 年的建設(shè)，逐漸成本校選課特色。

13、利用校外的資源，建立校 際合作關(guān)系，應(yīng)該是“學(xué)校選課發(fā)展計劃”的重要組成部分。我們希望省、地、縣各級教育局、教研室積極促進建立校際合作，制定有利于建立校際合作的機制。利用網(wǎng)絡(luò)資源， 建立交流網(wǎng)絡(luò)平臺也應(yīng)該納入“學(xué)校選課發(fā)展計劃” 。現(xiàn)在，很多省、市都建立了網(wǎng)絡(luò)資源平臺，很多出版社也建立了資源庫，充分地利用這些資源，對學(xué)校選課發(fā)展有重要意義。下面我們按專題介紹：背景，知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位，重、難點，教學(xué)要求和參考文獻。第二節(jié) 各專題的定位2.1 幾何證明選講一、背景幾何課程主要有平面幾何、解析幾何、向量幾何、仿射幾何、微分幾何、拓?fù)鋵W(xué)等分支。 這些幾何課程不光是研究的對象， 有的還是研究幾何的方法

14、，例如，解析 幾何的研究方法、 向量幾何的研究方法。 在中學(xué)我們還用綜合幾何的方法 （通常稱綜合法） 來研究幾何，即綜合所學(xué)的幾何知識（公理、定理、推論等）來解決問題。本專題希望進 一步介紹綜合幾何的方法。幾何類課程在高中數(shù)學(xué)課程中占有非常重要的地位。它能幫助學(xué)生逐步形成空間想象 能力；運用直觀的圖形語言刻畫、描述、洞察、論證問題的能力和邏輯推理能力。這些能 力不僅僅是在幾何課程中，而是在整個高中數(shù)學(xué)課程中都是非常重要的能力。在“幾何證明選講”中，主要選擇了兩個內(nèi)容，一個是直線及圓、圓及四邊形的位置 關(guān)系，利用相似來討論它們之間的關(guān)系； 另一個是圓錐曲線， 利用綜合幾何的方法來探索 圓錐曲線的

15、性質(zhì)。希爾伯特、庫朗、阿諾德等一批大數(shù)學(xué)家認(rèn)為：這些內(nèi)容是利用綜合幾何的方法討論 幾何問題的很好的載體，他們建議把這些內(nèi)容放到中學(xué)數(shù)學(xué)課程中。、知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識結(jié)構(gòu)框圖孑瓦備知識I-常一種可能兩科可館-1-帝二和亓能聲韋可能I毎直祈面卜雌;鳥鞍目離F両跆面兩種寸能疇一種可能+般猷面e形轟物線r<?<l '-黑成橢將e>L形翻曲線2 .內(nèi)容定位本專題的第一部分內(nèi)容，在過去傳統(tǒng)的中學(xué)教材中可以找到。盡管有些定理很重要， 但在這里我們側(cè)重的不是知識點， 而是證明的思想和方法。 要想很好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推 理能力，需要選擇典型的例題，強調(diào)通性通法。題目本身要有意義，證

16、明的思想清楚，方 法最好有一般性。題目不應(yīng)太難，也不應(yīng)該太繁，例如，有的題目的解法不是很直接，常 常需要添加多條輔助線才能解決，像這樣的問題應(yīng)該盡量避免出現(xiàn)。更不要出現(xiàn)偏題、怪 題。幾何的證明題有很多，本專題不是讓學(xué)生去做大量的幾何題，只是希望通過幾何圖形這個載體，提高學(xué)生推理論證的能力。學(xué)生演繹論證能力的提高，不是短時間就能完成的， 也不是僅僅靠作幾何題來培養(yǎng)的，和傳統(tǒng)教材比，我們要把握好“度”。本專題的第二部分內(nèi)容，主要培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和演繹推理的能力。并且需要把 這兩者有機的結(jié)合起來， 好的幾何直觀可以幫助我們形成邏輯推理的思路。例如，把兩個球放入圓柱內(nèi)，使它們位于平面的兩側(cè)，且每一

17、個球既及圓柱相切，又及平面相切,我們把這樣的球稱為“焦球”（又稱Dandelin球）.圖18如圖18所示，這兩個球及圓柱面切于二圓K平面及兩球分別切于兩點Fi和F2，及圓柱 面相交的曲線.為C，在C上取任意一點P，連接 PFi,PF2.過點P的圓柱的母線及兩圓KK/、EE/交于R、由于PFi,PR是一個球過點p的兩條切線，所以有| PF1 | | PR |.同理， |PF2| |PR/ |.由此得出|PF1| |PF2 | |PR| |PR/ | |RR/ |.由圓柱面的對稱性知|RR/|及曲線C上選擇的點P位置無關(guān)(實際上就是兩圓kkee，所在兩個平行平面的距 離).因此曲線C上的所有點到點

18、Fi,F2距離之和都相等.即| PF1 | | PF2 | 常數(shù) (| RR/ | | F1F2 |).我們希望通過本專題的學(xué)習(xí)，能夠進一步養(yǎng)成學(xué)生用直觀的圖形語言去描述、刻畫、 洞察和論證問題的習(xí)慣。 建議教師幫助學(xué)生養(yǎng)成這樣一種習(xí)慣， 并把這種習(xí)慣帶到學(xué)習(xí)數(shù) 學(xué)知識的過程中。在這部分的教學(xué)中，是從問題出發(fā)，最終探索出結(jié)論。需要不斷地提出問題，需要自 己給出定義、 定理，并由自己給出證明。 這種探索式學(xué)習(xí)方式是人們研究問題最自然的方 式，教師應(yīng)該給予引導(dǎo)，鼓勵學(xué)生提出問題、主動地去思考和解決問題、查閱資料。如果 學(xué)生一時做不出來， 可以暫時放下，在以后的學(xué)習(xí)過程中，再不斷地完善， 使得教師的

19、教 學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)都有較大的拓展空間。三、重、難點重點：通過直線及圓的位置關(guān)系的討論，平面及柱面、錐面位置關(guān)系的討論，體會運用綜 合幾何的思想方法，發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決幾何問題。難點：運用綜合幾何的方法討論圓錐曲線性質(zhì)。四、教學(xué)要求1在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題，在此基礎(chǔ)上分析和解決問題。2在教學(xué)中，教師應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力，并把它們用于討論問題的過程中。3在教學(xué)中，教師應(yīng)注意把握合情推理和演繹推理的有機聯(lián)系，幫助學(xué)生形成完整的 思維方式。五、文獻參考1 D. 希爾伯特 和 S. 康福森：直觀幾何，王聯(lián)芳譯，人民教育出版社， 19592 R. 柯朗 和 H.

20、羅賓：什么是數(shù)學(xué)，左平等譯，復(fù)旦大學(xué)出版社， 20053 項武義：基礎(chǔ)幾何學(xué)，人民教育出版社， 20044 F. 阿諾德：為什么我們要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)關(guān)于這一點數(shù)學(xué)家是怎么想的， 數(shù)學(xué)譯林， 第 21 卷 第 1 期2.2 矩陣及變換一、背景變換是函數(shù)思想的拓展，其思想本質(zhì)是映射的思想。通過“矩陣及變換”的學(xué)習(xí)，可以 使我們更好地理解變換的思想，可以用變換的觀點來看待數(shù)學(xué)中的有關(guān)內(nèi)容，比如，平面 中幾何圖形的變換、求解方程組、變換的不變量等。在大學(xué)的學(xué)習(xí)中，線性代數(shù)（高等代數(shù)）是數(shù)學(xué)系的基礎(chǔ)課程，也是理工科學(xué)生的必修 課程，矩陣是線性代數(shù)的核心概念。無論是在數(shù)學(xué)中、還是在自然科學(xué)、工程技術(shù)中，矩 陣作

21、為線性變換的基本表示工具，有著廣泛的應(yīng)用。學(xué)習(xí)矩陣有兩種處理方法，一種是作為代數(shù)的研究對象，強調(diào)它的“運算”規(guī)律。另一 種是強調(diào)矩陣的幾何背景，作為幾何變換的表示，強調(diào)矩陣和矩陣相關(guān)概念的幾何意義， 二維空間中的變換可以用矩陣表示，我們可以從幾何變換的角度來學(xué)習(xí)矩陣。這種用幾何 的觀點來研究矩陣的方式既便于學(xué)生的理解，又不失一般性。本專題采取了后一種處理方 式，以二維矩陣為載體，介紹了有關(guān)矩陣的知識。二、知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識結(jié)構(gòu)框圖矩陣與變換陣特值特向 矩的征與征量變與矩 逆換逆陣與陣法幾何變換與矩陣平面向量與二階方陣特征向量得簡單應(yīng)用矩陣變換的特征值與特征向量二階行矩陣初等變換與逆變換逆

22、變換與逆矩陣矩陣乘法的性質(zhì)一變換的合成與矩陣的乘法矩陣變換的性質(zhì)幾種特殊的矩陣變換二階方陣與平面向量的乘法丄向量的坐標(biāo)表示及直線的向量方程 一平面向量及向量的運算2.內(nèi)容定位1）通過初中的幾何學(xué)習(xí)，已經(jīng)對于對稱變換、軸對稱變換、中心對稱變換（旋轉(zhuǎn)180度的旋轉(zhuǎn)變換）、平移變換、放縮變換等有了一定的了解。從本質(zhì)上來講，這些變換都是把 平面上的一個點變成平面上的另一個點。2）本專題中，我們引入了一種反映變換的代數(shù)形式一一二階矩陣。二階矩陣作用在一 個向量上可以得到一個新的向量。例如，5 5 5第一個例子是否要刪去，請考慮，因為沒有得到新的向量?？梢钥闯觯A矩陣把平面上的每一個點都變成唯一的點。它

23、是平面到平面的映射。3 ）用矩陣來刻畫一些幾何變換：反射、壓伸、切變、旋轉(zhuǎn)、投影等。這些矩陣都不復(fù) 雜，應(yīng)該讓學(xué)生通過操作來確認(rèn)這些矩陣變換的幾何意義。例如，表示向量a在y軸上的投影。表示向量 a關(guān)于y軸對稱。bb4 ）我們還應(yīng)讓學(xué)生認(rèn)識到，矩陣表示的是線性變換，它把直線變成直線。5）變換的復(fù)合（合成），即連續(xù)實施兩個線性變換相當(dāng)于一個新的線性變換。例如，我 們可以先旋轉(zhuǎn)再平移，也可以先平移再旋轉(zhuǎn)。對應(yīng)這種變換的復(fù)合可以用矩陣的運算來表 示，即矩陣的乘法運算。6）矩陣的乘法不滿足交換律，即當(dāng)連續(xù)實施一系列變換時，改變變換的次序?qū)⒏淖冏?換的結(jié)果。例如， 1 0 0 -1 a b 表示點（ a,

24、b ）先逆時針轉(zhuǎn) 90 度，再關(guān)于 y 軸反射，得到的 0 1 1 0 b a點為：（b, a）;而0-1 1 0 a -b表示點（a,b ）先關(guān)于y軸反射，再逆時針旋轉(zhuǎn) 901 0 0 1 b -a度，得到的點為： （ -b,-a ）。7）如果變換是一一對應(yīng)的，變換就有逆變換，這種逆變換對應(yīng)著矩陣的逆矩陣。但是， 投影變換沒有逆變換。例如，的逆變換就是再作一次關(guān)于 y 軸的反射。用矩陣表示即為： 。變換的逆和矩陣的逆本質(zhì)上體現(xiàn)了一一對應(yīng)的思想。8）在本專題中，我們還用變換的思想來認(rèn)識二元一次方程組。例如，方程組，可以用矩陣表示為： 。解方程的問題就變成：已知變換和某個點在這 變換下的像，求該

25、點（原像）的問題。9）要認(rèn)識變換中的不變量特征向量，以及矩陣的特征值和特征向量的概念，并用 特征向量解決一些實際問題。可以看出，函數(shù)映射的思想是貫穿本專題始終的重要思想。三、重、難點重點：變換是數(shù)學(xué)中一個基本的概念，它是指平面中的點到平面的映射，建立這個概念是 學(xué)習(xí)本專題的重點之一。認(rèn)識矩陣和相關(guān)概念的幾何意義是本專題的另一個重點，例如，矩陣的特征向量的 幾何意義是指某向量在矩陣作用下，其變換的像及該向量是平行的。難點：用矩陣來表示線性方程組矩陣的特征向量四、教學(xué)要求1在本專題的教學(xué)中，教師應(yīng)該強調(diào)矩陣及相關(guān)概念的幾何意義，這也是貫穿始 終的思想。2矩陣是一個比較抽象的數(shù)學(xué)概念，建議教師通過具

26、體的實例來介紹矩陣，通過 學(xué)生熟悉的幾何變換來引出矩陣表示。五、文獻參考199819991 COMA：P 數(shù)學(xué)的原理及實踐，申大維等譯，高等教育出版社和施普林格出版社，2 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何及代數(shù)教研室代數(shù)小組：高等代數(shù)，高等教育出版社，2.3 數(shù)列及差分一、背景數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。有時候也把它稱為“離散”的函數(shù)。它不僅是數(shù)學(xué)中一種重要 的研究對象，也是研究數(shù)學(xué)問題的一種重要的方法和工具。這種方法我們常常稱之為離散 的方法。從 20 世紀(jì)中期以后，科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展對數(shù)學(xué)提出了越來越多的要 求，不僅希望數(shù)學(xué)能夠證明一些規(guī)律的存在性，而且希望能夠把這些規(guī)律構(gòu)造出來直接為 社會發(fā)展

27、服務(wù)。例如，微分方程是反映自然規(guī)律的重要的數(shù)學(xué)模型，在實際中，不僅需要 用微分方程來刻畫規(guī)律，而且需要求出它的滿足一定精度的近似解，利用這些近似解直接 為實際服務(wù)。離散的思想方法對于求近似解是一種基本的思想方法，它在解決實際問題中 將發(fā)揮越來越大的作用。數(shù)列是特殊的函數(shù)，是函數(shù)的離散形式。差分是微分的離散形式，差分方程是微分方 程的離散形式，我們知道導(dǎo)數(shù)及微分在微積分中的重要地位，導(dǎo)數(shù)和微分方程有著廣泛的 應(yīng)用，自然的，差分和差分方程就變得非常重要了。從另一方面說，差分和差分方程比導(dǎo) 數(shù)和微分方程更容易理解，而且可以通過計算或利用計算機求出它們的近似解。、知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識結(jié)構(gòu)框圖2.

28、內(nèi)容定位1） 結(jié)合函數(shù)（數(shù)列）的圖像，給出數(shù)列的“差分”概念。2）利用一階差分和二階差分的特點來判斷數(shù)列的增減性、凹凸性。3）對于差分方程，只要給定了初始條件，利用“迭代法”不難給出方程的數(shù)值解。雖 然用迭代法解方程并不難，但這是數(shù)學(xué)中的一個既基本又重要的方法，教師應(yīng)給予充分的 關(guān)注，務(wù)必使學(xué)生掌握。4）對于一階線性差分方程， 學(xué)生應(yīng)結(jié)合過去學(xué)過的等差數(shù)列和等比數(shù)列來認(rèn)識它的解。 在這里，非齊次方程的通解、特解及齊次方程通解的關(guān)系，是難點。5）階差分方程組的問題和一階差分方程的問題是類似的，只是對一階差分方程組的 要求更低。三、重、難點重點：對差分的理解，差分在研究數(shù)列變化中的作用齊次方程中通

29、解的作用和非齊次方程中特解的作用迭代法在解差分方程中的作用難點: 齊次方程通解非齊次方程中的通解的表示差分方程的應(yīng)用， 難在如何根據(jù)實際問題建立差分方程并根據(jù)實際問題的背景討論 解的意義。四、教學(xué)要求 對于中學(xué)生來說，學(xué)習(xí)“數(shù)列及差分”不僅是因為這部分內(nèi)容本身很有用，而且有助 于學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)及微分。有助于今后學(xué)習(xí)微分方程等知識。教師有必要幫助學(xué)生體會差分 的作用，以及它給我們帶來的好處。教師在教學(xué)中，不應(yīng)該追求差分方程的系統(tǒng)性，而應(yīng)該著重介紹差分方程的基本思想。 突出函數(shù)的思想是貫穿在本專題始終的基本思想。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生 梳理學(xué)過的有關(guān)函數(shù)的知識、技能和思想方法。這樣可以有效地

30、提學(xué)生對于函數(shù)思想的認(rèn) 識。這樣做也可以提高對這部分內(nèi)容的理解。五、文獻參考1 COMAP:數(shù)學(xué)的原理及實踐，申大維等譯，高等教育出版社和施普林格出版社，19982.4 坐標(biāo)系及參數(shù)方程一、背景1637 年 6 月 8 日，笛卡兒的方法論出版，這一天就是解析幾何的誕生日。笛卡兒 是一位偉大的數(shù)學(xué)家，也是一位偉大的哲學(xué)家。笛卡兒把物質(zhì)運動的概念作為科學(xué)的哲學(xué) 基礎(chǔ)，從而把運動帶進了數(shù)學(xué)。在笛卡兒之前，常量數(shù)學(xué)占主導(dǎo)地位，在笛卡兒之后，運 動進入了數(shù)學(xué)和其他科學(xué)，辯證的思想進入了數(shù)學(xué)。正如恩格斯所評論的：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn) 折點是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學(xué)。” 解

31、析幾何的基本思想是數(shù)形結(jié)合， 坐標(biāo)是數(shù)形結(jié)合的橋梁， 坐標(biāo)方法建立了方程及曲線 之間的聯(lián)系。因此，坐標(biāo)方法，以及方程及曲線的思想是解析幾何的核心內(nèi)容。坐標(biāo)方法，即在引進坐標(biāo)系之后，平面上的點P可以及一對有序?qū)崝?shù)之間建立一一對應(yīng) 方程及曲線的思想，即未知數(shù)表示的某個代數(shù)方程可以看成一條曲線；反之，一條曲線可以用曲線上任意點坐標(biāo)之間的方程關(guān)系來表示。解析幾何的坐標(biāo)方法、曲線及方程思想是本專題的核心內(nèi)容，希望學(xué)生通過本專題的學(xué)習(xí)進一步體會解析幾何數(shù)形結(jié)合的基本思想。二、知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1. 知識結(jié)構(gòu)框圖坐標(biāo)茶間標(biāo) 空坐系點有序?qū)崝?shù)對化）面角標(biāo) 平直坐系極標(biāo)間角標(biāo) 空直坐柔強標(biāo)與坐系的與線互 直坐系

32、極標(biāo)中點直的化面標(biāo) 平坐希坐系柱標(biāo)球坐標(biāo)系-點有序?qū)崝?shù)對I2. 內(nèi)容定位1）本專題是中學(xué)的傳統(tǒng)內(nèi)容，在內(nèi)容上沒有太大的變化。2）建立坐標(biāo)系和在坐標(biāo)系中建立曲線及方程的關(guān)系，這是解析幾何的兩個核心內(nèi)容， 是聯(lián)系幾何和代數(shù)的重要橋梁，也是數(shù)學(xué)中的重要思想。3）在這部分，我們引入了另外幾種坐標(biāo)系一一極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系等等， 并討論了一些簡單曲線在這些坐標(biāo)系中的方程。學(xué)生應(yīng)該明白引入這些坐標(biāo)系的好處。并 能在這些坐標(biāo)系之間進行轉(zhuǎn)換。4）本專題的第二部分討論的是參數(shù)方程。在許多情形，參數(shù)方程的引入是十分自然的，學(xué)生應(yīng)體會參數(shù)方程的好處以及參數(shù)的直觀意義，學(xué)會參數(shù)方程和普通方程 的轉(zhuǎn)化。5）及傳

33、統(tǒng)教材內(nèi)容相比，在這里我們更加強調(diào)應(yīng)用，例如，擺線的應(yīng)用三、重、難點重點：不同坐標(biāo)系的作用坐標(biāo)系的選擇，同一曲線在不同坐標(biāo)系下的表示，以及曲線及方程的關(guān)系難點：坐標(biāo)系的選擇，以及在實際問題中的應(yīng)用四、教學(xué)要求1. 在教學(xué)中，教師應(yīng)該采取類比的方法教授各種不同的坐標(biāo)系。2. 本專題可以拓展的空間是很大的，教師可以鼓勵學(xué)生收集相關(guān)的資料，拓寬視野，又可以鼓勵學(xué)生對自己感興趣的問題進行積極的探索。2.5不等式選講一、背景1. 利用不等式和不等式組可以刻畫數(shù)學(xué)中的某些“區(qū)域” 例如，用不等式組就可以表示下圖所示的平面區(qū)域。2. 每一個好的不等式都有重要的數(shù)學(xué)背景，特別是重要的幾何背景。應(yīng)該幫助學(xué)生認(rèn)真

34、體會和認(rèn)識不等式的幾何背景，以及這些幾何背景在證明不等式的過程中發(fā)揮的作用例如，基本不等式 a2 b2 > 2ab,它有著重要的幾何背景。如圖所示:令 AF=a,BF=b,則 AEab2,而 S 正方形 ABCA 4S/ ABF1即，a2+b2>4x 2 ax b,所以，a2+b2>2ab,當(dāng)AF=BF時，正方形EFGH縮為一點，S正方形ABCD=4SABF3. 不等式的證明也提高學(xué)生邏輯思維能力的有利載體。通過綜合法、分析法、反證法、放縮法等方法進行不等式的證明，不但可以提高學(xué)生的邏輯思維能力，掌握證明的基本方法，而且可以進一步加深對于不等關(guān)系和不等式的理解。4. 對于教師

35、來說，應(yīng)該了解不等式在將來的學(xué)習(xí)中，會發(fā)揮重要的作用。例如，不等式是描述度量空間的工具。度量空間(x,d ),其中d是一個二元非負(fù)實值函數(shù)，d滿 足三個條件：一是反身性，x=y當(dāng)且僅當(dāng)d(x,y)=O ;二是對稱性，d(x,y)=d(y,x);第 三個條件就是以不等式的形式給出的，即d(x,y)+d(y,z)> d(x,z)，通常稱之為三角不等式。又例如，在解決極限問題時，最經(jīng)常使用的方法就是利用不等式的性質(zhì)進行“放大”和“縮小”，估計無窮小量的級別。好的不等式都是有重要背景的，對于這些教師應(yīng)該心中有數(shù)，不必在教學(xué)中體現(xiàn)。二、知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1. 知識結(jié)構(gòu)框圖2.不等式選講要式重等個不

36、工含有絕對值的不等式基本不等式不等式的證明1 不等式的應(yīng)用柯西不等式稀序不等式貝努利不等式內(nèi)容定位應(yīng)該認(rèn)識到：恒等關(guān)系是數(shù)學(xué)中的一種重要關(guān)系， 不等關(guān)系也是數(shù)學(xué)中一種重要關(guān)系， 并且以不等式的形式滲透在數(shù)學(xué)的各個學(xué)科。在不等式的學(xué)習(xí)中，由運算思想所體現(xiàn)的恒等變換的能力，是一種重要的邏輯推理的 能力，提高這種能力是學(xué)習(xí)不等式的基本定位之一。但是，形式化的演算能力并不能等同于理解，因此，要避免過分繁難的、人為地制造出許多無意義的不等式，避免過分地追求 解題的技巧訓(xùn)練。在本專題中，應(yīng)強調(diào)的是解決不等式問題的通性通法，通過典型的例題，能對比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等，有所體會并

37、能初步加以應(yīng)用。好的不等式都有著重要的數(shù)學(xué)背景。例如，許多不等式有其幾何背景。我們希望學(xué)生 對重要的不等式，不只停留在背誦記憶的層次上， 而是應(yīng)該認(rèn)清其背景，特別是其幾何背三、重、難點重點：幾個基本不等式不等式的基本證明方法難點：不等式的基本證明方法 排序不等式不等式的應(yīng)用四、教學(xué)要求 教師在教學(xué)中應(yīng)該注意的是，形式化的演算能力并不能等同于理解，在過去的不等式 教學(xué)中， 有一種過分繁難的傾向， 人為地制造出許多無意義的不等式， 過分地追求解題的 技巧，這不是我們在本專題中所倡導(dǎo)的。在本專題中， 強調(diào)的應(yīng)是解決不等式問題的通性通法， 通過典型的證明不等式的例題， 能對比較法、 綜合法、 分析法、

38、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等基本的不等式的證明方法， 有所體會并能初步加以應(yīng)用。在教學(xué)中，不僅要通過不等式的數(shù)學(xué)背景，而且要從本質(zhì)上幫助學(xué)生掌握重要的、好 的不等式，而不是形式的記憶和生搬硬套。教師還應(yīng)該注意：如何幫助學(xué)生總結(jié)、概括高中階段有關(guān)不等關(guān)系的內(nèi)容，并能寫出 一個好的讀書報告進行交流，總結(jié)在不等關(guān)系學(xué)習(xí)中的重要的數(shù)學(xué)思想和方法。2.6 初等數(shù)論初步一、背景 數(shù)論是一門古老而又悠久的數(shù)學(xué)學(xué)科。它的一個特點是，問題本身很簡單、很容易被人 理解，但解決起來卻很難。例如，費馬大定理，哥德巴赫猜想等。數(shù)論研究的是數(shù)學(xué)中最基本的概念： “整數(shù)”。表面看好像很容易，但由于沒有太多的 幾何背景，完全

39、要靠演繹推理，實際上，對學(xué)生是有難度的。例如，除法是學(xué)生從小學(xué)就 熟悉的運算，但抽象地討論帶余除法，還是會給學(xué)生造成困難。學(xué)習(xí)數(shù)論可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和抽象概括能力。 “初等數(shù)論初步”主要圍繞除法展開，討論整除和帶余除法。1. 我們需要表示整數(shù)，于是就出現(xiàn)了進制，例如，十進制（符號、位值） ，二進制， 十進制和二進制的換算等。2. 有了除法，人們就會考慮是否除盡的問題，如果能夠除盡，隨之就出現(xiàn)了因子、 素因子、互素等相關(guān)的概念，由此引出了算數(shù)基本定理。如果不能除盡，那么就會出現(xiàn)商和余數(shù)等相關(guān)概念。于是就出現(xiàn)了一種很重要的分類方法，即用余數(shù)對整數(shù)進行分類，具有相同的余數(shù)（同 余）的整

40、數(shù)歸為一類。3. 利用輾轉(zhuǎn)相除法，可以求出兩個以上整數(shù)的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)。4. 在數(shù)論中提出了很多不定方程、同余方程組等問題，這樣就產(chǎn)生了很 多數(shù)學(xué)的分支，例如，代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何。5. 數(shù)論是數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉，例如，在信息安全中，數(shù)論起了基本的作 用。二、知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1 .知識結(jié)構(gòu)框圖+32.內(nèi)容定位初等數(shù)論的知識是中學(xué)教師比較熟悉的。但是在以往的教學(xué)活動中， 主要是強調(diào)數(shù)論知識在數(shù)學(xué)競賽中的技巧，本專題的定位一定不是挑選少數(shù)人去培訓(xùn)，去參加競賽。而是希 望學(xué)習(xí)這個專題的學(xué)生，在數(shù)學(xué)的思想和方法上都有所提高、有所收獲。本專題應(yīng)該教會學(xué)生從具體到抽象地來理解所學(xué)的內(nèi)容。即，讓學(xué)生有意

41、識地通過具體的例子來理解一般的概念和定理。本專題應(yīng)該在訓(xùn)練學(xué)生的演繹推理、表達論證上下功夫。這里的定理證明都不長，但要 把問題說清楚，并不容易。教師應(yīng)在這方面加強對學(xué)生的要求。本專題中出現(xiàn)的一些證明方法都是數(shù)學(xué)上最基本的方法。例如，證明素數(shù)有無窮多個的 反證法、證明孫子定理的插值法等。在本專題的學(xué)習(xí)中，最重要的是讓學(xué)生掌握這些方法，體會這些方法的意義。一定不要去追求技巧，做難題、怪題（原文中的內(nèi)容定位更多的是關(guān)于教學(xué)要求的，而原來的教學(xué)要求作為內(nèi)容定更為恰當(dāng)些，所以更換了一下）三、重、難點重點及難點：幾個基本概念：整除、素數(shù)、互素、同余、同余方程輾轉(zhuǎn)除法及其應(yīng)用求解同余方程的基本方法四、教學(xué)要

42、求本專題的內(nèi)容分為兩個主要的部分：帶余除法和同余。在帶余除法這部分，要介紹算術(shù)基本定理。素數(shù)是數(shù)論的一個核心概念，是學(xué)生學(xué)習(xí)的 重點。有了它才能很好地理解整除的性質(zhì)，理解算術(shù)基本定理。輾轉(zhuǎn)相除法也是一個重點， 利用它可以求兩個數(shù)的最大公因數(shù)， 并能用兩個數(shù)的線性組 合來表示其最大公因數(shù)。在這里，要區(qū)分素數(shù)和互素的不同，后者談的是兩個數(shù)之間的關(guān) 系，并不要求它們是素數(shù)。同余反映了整數(shù)之間的一種新的關(guān)系。同余概念是本專題的又一個重點。 同余類為我們提供了一種新的運算平臺。教師應(yīng)幫助學(xué)生運用類比的思想去探索同余運算及一般運算的 異同。同余方程是一種新的方程形式。 教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生采用類比的方式， 把我

43、們學(xué)過的方程及 同余方程比較。探索它們在概念、求解等方面是如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的。例如，求解一元二 次方程的主要方法是配方和降幕，求解二元一次方程組的主要方法是消元。那么，在同余 方程中，反映的是哪種數(shù)學(xué)思想呢？同余方程組的求解是本專題的重點內(nèi)容之一，教師應(yīng)該通過具體實例介紹大衍求一術(shù)的求解步驟，并且指導(dǎo)學(xué)生體會大衍求一術(shù)的思想本質(zhì)，最好及拉格朗日插值法進行比較， 讓學(xué)生體會插值法的本質(zhì)。在本專題的學(xué)習(xí)中重要的是， 指導(dǎo)學(xué)生理解初等數(shù)論給我們提供的重要的數(shù)學(xué)思想，而不在于數(shù)學(xué)的技巧。這是開設(shè)好本專題內(nèi)容的關(guān)鍵所在。五、文獻參考1 閔嗣鶴 嚴(yán)士健：初等數(shù)論（第三版） ，高等教育出版社， 20032

44、馮克勤：初等數(shù)論及應(yīng)用，北京師范大學(xué)出版社， 20033 張順燕：數(shù)學(xué)的源及流，高等教育出版社， 20004 R. 柯朗 和 H. 羅賓：什么是數(shù)學(xué)，左平等譯，復(fù)旦大學(xué)出版社， 20052.7 優(yōu)選法及實驗設(shè)計初步一、背景著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生把數(shù)學(xué)方法創(chuàng)造性地運用到國民經(jīng)濟領(lǐng)域， 選擇了以改進工 藝為主的“優(yōu)選法”和以改善組織管理為目的的“統(tǒng)籌法” ，并加以普及。他撰寫的以 這兩種方法為內(nèi)容的小冊子，深入淺出，普通工人也能讀懂。優(yōu)選法在實際生產(chǎn)中顯 示了巨大的威力，取得增產(chǎn)、降耗、優(yōu)質(zhì)的效果。通過華羅庚先生的創(chuàng)造性工作，使 數(shù)學(xué)從書本走向生產(chǎn)實踐，在應(yīng)用數(shù)學(xué)的推廣方面取得了舉世矚目的成績。本專

45、題在華羅庚先生的“優(yōu)選法”基礎(chǔ)上，介紹了優(yōu)選法和實驗設(shè)計。優(yōu)選法，準(zhǔn)確的說是“選優(yōu)法” ，主要是要確定“優(yōu)”在哪里 ?優(yōu)選法的適用范圍是 單峰值的問題，而“峰值”可能出現(xiàn)在任何位置，每增加一次試驗就可以縮減掉一個 區(qū)域。優(yōu)選法的原理簡單、應(yīng)用廣泛。試驗設(shè)計，主要是如何設(shè)計試驗方案，用最少的時間得到最好的試驗結(jié)果。其基本 原理是均衡搭配。使用的主要工具是拉丁方和正交表。試驗設(shè)計的適用范圍很廣泛， 對于學(xué)生以后的發(fā)展是十分有益的。二、知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1知識結(jié)構(gòu)框圖2.正交試驗設(shè)計一 試驗的均衡搭配與正交表多因素試驗 狂丁方與試驗常試驗設(shè)計一一分?jǐn)?shù)法一 單因素優(yōu)選法雙因素選優(yōu)問題0.6 1 8 法

46、內(nèi)容定位本專題介紹的第一部分內(nèi)容是試驗設(shè)計“試驗設(shè)計”是研究如何設(shè)計試驗方案，使得能用最少的試驗次數(shù)來達到最好的試驗?zāi)康?。在現(xiàn)實生活中和科學(xué)試驗中，人們往往需要用做試驗的辦法去解決問題。例如：我們要對某一艾滋病易感人群進行檢測。設(shè)人群有1000人，其中共有10個感染者。我們希望通過血樣檢驗的方法，找出這10個感染者。對這個問題，我們可以有不同的做法。比如，一個一個的進行檢驗，在最壞的情況下，需要做999次檢驗。也可以采用分組化驗的辦法。 即把幾個人的血樣混在一起， 先化驗一次。若化驗合格，則說明這幾個人全部正常；若混 合血樣不合格，說明這幾個人中有病人，再對他們做進一步的化驗（逐個化驗，或者分

47、成小組化驗）。一般來說，后一種方法可以減少化驗次數(shù)。試驗設(shè)計這部分內(nèi)容主要介紹的是正交實驗設(shè)計，即利用正交表來進行設(shè)計。和目前人們常用的方法相比，這個方法有許多優(yōu)越性，而且操作簡單。這一方法曾在一些工業(yè)企 業(yè)和農(nóng)村中推廣，效果顯著。在本專題中介紹這個方法，也是希望能把這方法進一步推廣。在本專題中，我們通過實際的案例，具體給出了設(shè)計試驗方案的步驟及分析試驗結(jié)果 的方法。我們要求學(xué)生能了解 “正交試驗設(shè)計”的思想，即“均衡搭配，綜合比較”的 思想。本專題的第二部分內(nèi)容是優(yōu)選法在生產(chǎn)實踐和科學(xué)試驗中，人們?yōu)榱诉_到優(yōu)質(zhì)、高產(chǎn)、低消耗等目的，需要對有關(guān)因素 的最佳點進行選擇。這些選擇最佳點的問題，都稱之

48、為選優(yōu)問題。解決這些選優(yōu)問題的方 法稱為優(yōu)選法。上世紀(jì)70年代，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在全國推廣和普及了優(yōu)選法，大大地提高了我 國科技工作者、管理工作者、普通大眾的科學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)水平。例如，在某化工生產(chǎn)中，一種產(chǎn)品的產(chǎn)量隨加工的溫度而變化。生產(chǎn)中，通常選用的加 工溫度在70C80C之間，隨著溫度的升高，產(chǎn)量隨之加大。但當(dāng)溫度達到一定程度以后， 隨著溫度的升高，產(chǎn)量反而降低了?，F(xiàn)在，我們考慮通過做試驗的方法， 找到這個最佳溫度，那么，如何設(shè)計我們的試驗?zāi)兀?分析這個例子可知，對試驗結(jié)果產(chǎn)生影響的因素只有一個一一溫度。實際上，產(chǎn)量及溫 度的關(guān)系可以用一元函數(shù)y f(x)來刻畫，其中x為溫度，y為產(chǎn)量

49、。但是函數(shù)的具體表達式 是不知道的。在這個例子中，我們可以得到以下結(jié)論： 產(chǎn)量是溫度的函數(shù)。 隨著自變量的增加，函數(shù)的變化趨勢是，先單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減。這樣的函數(shù)我們 通常稱之為單峰函數(shù)，但是峰在哪兒，我們并不知道，它可以出現(xiàn)在定義域的任何地方。 先做一次試驗得到一個結(jié)果，再做一次試驗再得到一個結(jié)果。如下圖(1)所示，(2)、( 3)的兩種峰值的情況，我們可以根據(jù)這(3)兩次試驗的情況，縮小因素的取值范圍用做試驗的辦法解決單因素選優(yōu)問題，并不是同時做好幾個試驗，而是先做兩次試驗， 通過對試驗結(jié)果的比較，去掉不含最佳點的區(qū)間，縮小因素的取值范圍。再將第三次試驗 的結(jié)果及上次保留的試驗結(jié)果加以比

50、較，再次去掉不含最佳點的區(qū)間。如此繼續(xù)下去，不 斷的縮小因素的取值區(qū)間，可以迅速地找到最佳點。這就是解決單因素選優(yōu)問題的基本思想。根據(jù)這樣的基本思想，如果限定試驗次數(shù)，我們設(shè)計了分?jǐn)?shù)法。如果不限制試驗次數(shù)， 我們又設(shè)計了 0.618 法。對于單因素的情況，還有二分法等其他方法。對于兩個因素情況的優(yōu)選法，也可以介紹幾種優(yōu)選的方法。例如，縱橫對折法和平行線三、重、難點重點：試驗設(shè)計中“均衡搭配”的思想，優(yōu)選法中“選優(yōu)”的思想。拉丁方和正交表的使用難點：在試驗設(shè)計中“均衡搭配”的思想分?jǐn)?shù)法的證明思想四、教學(xué)要求 教師應(yīng)該通過對具體實例的分析，幫助學(xué)生體會“均衡搭配”的思想。在這部分內(nèi)容的教學(xué)中， 教

51、師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把握優(yōu)選的基本思想。 教師還可以引導(dǎo)學(xué)生把 這種方法和在必修 1 中所學(xué)的二分法求方程的解作比較，探索它們之間的本質(zhì)聯(lián)系。我們建議教師引導(dǎo)學(xué)生對于本專題的內(nèi)容進行分析和整理， 寫出一個好的讀書報告， 這 對于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高是個好的途徑，也便于一個好的學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成。五、文獻參考1 華羅庚：優(yōu)選法平話及其補充，科學(xué)出版社， 19712 華羅庚：優(yōu)選學(xué)，科學(xué)出版社， 1981 年3 陳希孺：機會的數(shù)學(xué)，清華大學(xué)出版社和暨南大學(xué)出版社， 20004 中國現(xiàn)場統(tǒng)計會三次設(shè)計組等：正交法和三次試驗設(shè)計，科學(xué)出版社， 19852.8 統(tǒng)籌法及圖論初步、背景統(tǒng)籌法，即合理安排我們要做的事情，

52、提高我們的工作效率，使得做事情不忙亂，有條理。在管理科學(xué)中，統(tǒng)籌法成為基本的方法。項目管理的理論基礎(chǔ)是統(tǒng)籌 法、圖論、統(tǒng)計概率。圖論是離散數(shù)學(xué)的一個分支， 主要討論的是離散數(shù)學(xué)的問題。 圖論是數(shù)學(xué)中有廣泛實際 應(yīng)用的一個分支。心理學(xué)、化學(xué)、電工學(xué)、運輸規(guī)劃、管理學(xué)、銷售學(xué)以及教育學(xué)等各個 不同領(lǐng)域內(nèi)的許多問題都可以描述為圖論的問題。在本專題中我們只能介紹一些初步的圖論知識，討論有關(guān)圖論的基本概念和圖論中的幾個基本問題。例如，最短路問題、最小生成樹問題等。體會圖論反映的基本數(shù)學(xué)思想及其 在其它領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用。圖論及傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不同，它是“一事一法”，很少有通法，但是它的應(yīng)用非常廣泛，并且 和算法的

53、聯(lián)系比較緊密。二、知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容定位1.知識結(jié)構(gòu)框圖什么是統(tǒng)籌方法統(tǒng)籌問范的屋本10念綻籌法1?圖i-.K祐歩解決統(tǒng)幫問題 的基本步驟-丁可-瑕前丄序、緊啟工序I福定所有許|甬麗釉t工芹喜標(biāo)朋亢施個工苗的巧同xL計耳# 一個工片最旦尸工時旬杠晨曉卄丄的m曹I 一譌葉差羽的基木槻盒I眞出芳犍錢匡計骯1応圖一一筆畫 -中11郵路問題咱莒爾頓圖平匱圖2.內(nèi)容定位統(tǒng)籌方法是我們?nèi)粘Ｉ睢⑸a(chǎn)實踐中常用的一種數(shù)學(xué)方法，它可以幫助我們合理安排人力、物力等資源。提高了廣大科學(xué)1964年，中國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在全國對這種方法進行了大力推廣，工作者、管理人員和普通群眾的科學(xué)素養(yǎng)。本專題將通過實例介紹統(tǒng)籌方法的數(shù)

54、學(xué)原理和 應(yīng)用。我們用一個例子來介紹統(tǒng)籌法。例如，生活中經(jīng)常需要沏茶。如果當(dāng)時的情況是：沒 有開水，開水壺、茶壺、茶杯都要洗，還需要準(zhǔn)備茶葉，應(yīng)該怎么安排？辦法甲：先做好準(zhǔn)備工作：洗開水壺、茶壺、茶杯，拿茶葉。一切就緒后，灌水，燒 水，等水開了泡茶喝。辦法乙：洗凈開水壺后，灌水，燒水。等水開了之后，洗茶壺、茶杯，拿茶葉，泡茶 喝。辦法丙：洗凈開水壺后，灌水，燒水。利用等待水開的時候，洗茶壺、茶杯，拿茶葉， 等水開了泡茶喝。哪種辦法節(jié)省時間？顯然是辦法丙，因為前兩種辦法都“窩工”了。事實上，洗開水壺是燒開水的先決條件；沒開水，沒茶葉，不洗茶壺、茶杯，就不能 泡茶，因而這些都是泡茶的先決條件。而燒

55、開水，洗茶壺、茶杯，拿茶葉沒有嚴(yán)格的先后 關(guān)系。我們可以用下圖來直觀地表示以上三種辦法。甲：洗幵水壺洗茶壺、荼杯|n律茶葉| P |燒開水|一泡荼乙：號開水嗣-A 燒開水 A |杭茶壺' 荼杯|拿茶葉 > 泡茶丙:詵開水壺A童荼葉泡荼假設(shè)洗開水壺需要1分鐘，把水燒開需要10分鐘，洗茶壺、茶杯需要2分鐘，拿茶葉需要1分鐘，而泡茶需要1分鐘。從圖中可以看出，辦法丙總共要 1 2分鐘，而辦法甲、乙 需要1 5分鐘。如果要縮短工時，提高效率，主要是燒開水這一環(huán)節(jié)，而不是拿茶葉這一環(huán) 節(jié)；同時，洗茶壺、茶杯，拿茶葉總共需要4分鐘，完全可以利用“等水開”的時間來做。這雖是小事，卻引出一種計劃和管理的有效方法。從事一項生產(chǎn)或工程，如果工作環(huán)節(jié) 太多，關(guān)系復(fù)雜時，這樣做就非常必要，它可以避免由于一、兩個零件沒完成，而耽誤一 架復(fù)雜機器的出廠時間，也不會由于抓的不是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，連夜加班，急急忙忙的完成這一 環(huán)節(jié)，卻又坐等別的環(huán)節(jié)完成才能繼續(xù)。由這個例子可以看出統(tǒng)籌法有幾個關(guān)鍵的步驟： 要學(xué)會確定工序和工序的結(jié)構(gòu)，即要知道哪道工序是哪道工序的緊前工序。 應(yīng)該學(xué)會用統(tǒng)籌圖把工序之間的關(guān)系清晰直觀的描述出來。 要學(xué)會確定統(tǒng)籌圖中的關(guān)鍵路線， 并且知道每個工序的最遲發(fā)生時間。這樣就可以適當(dāng)?shù)陌才湃肆ξ锪ΡＷC整個工程的進度。統(tǒng)籌方法在數(shù)學(xué)上沒有太大的難度，可是建立統(tǒng)籌思