【廈大習(xí)題集】高等數(shù)學(xué)習(xí)題及詳細(xì)解答1

1、1 .求滿足下列條件的平面方程：uuuuu(1)過點Mo(2,9, 6)且與向量OM0垂直；解 所求平面的法線向量為n (2,9, 6)由平面的點法式方程，得所求平面的方程為2(x 2) 9(y 9) 6(z 6) 0 即2x 9y 6z 121 0(2)過點(3,0, 1)且與平面3x 7y 5z 12 0平行;解由于平行平面的法向量相同，法向量n (3, 7,5),故所求平面方程為3.求平面x 2y 2z 3 0與各坐標(biāo)面的夾角的余弦3x3 7 y 05 z 10,即2x 7y 5z 121 0 過點(1,0, 1),且同時平行于向量a2i j k 和 b i j ；i解法向量n a b

2、21j k11 i j 3k ,所求平面方程為1 01 (x 1) 1 (y 0)3 (z 1)即 x y 3z 4 0(4)過三點 Mi(1,0,1)、M2( 1,3, 2)和 M3(0,2,3);解 我們可以用M1M2 M1M3作為平面的法線向量n因為 M1M 2 ( 3,4, 6) M1M 3 ( 2,3, 1)所以i j kn M1M2 M1M33 4 6 14i 9j k2 3 1根據(jù)平面的點法式方程得所求平面的方程為14(x 2) 9( y 1) (z 4) 0(5)求過點(1,1,1),且垂直于平面 x y z 7和3x 2y 12z 5 0的平面方程解 由條件，所求平面的法向量

3、n與平面x y z 7,3x 2y 12z 5 0的法向量ijk都垂直，因此n n1n211110i 15j 5k3 212取 n (2,3,1),所求方程為2 (x 1) 3 (y 1) 1 (z 1) 0即 2x 3y z 6 0(6)平行于xOy面且經(jīng)過點(2, 5,3)解 所求平面的法線向量為 j(0,0,1)于是所求的平面為0 (x 2) 0 (y 5) 1 (z 3) 0,即z 3.過點(3,1, 2)和y軸解所求平面可設(shè)為Ax Cz 0因為點(3,1, 2)在此平面上 所以3A 2C 0將2c3A代入所設(shè)方程得 2Ax 3Az 0所以所求的平面的方程為 2x 3z 02 .指出下

4、列平面白特殊位置 ： y 0; 3x 1 0; 3x 2y 6 0;(4) x y 0; y z 1 ;(6) 2x 3y z 0解(1) xOz平面(2)垂直于x軸的平面 它通過x軸上的點(1,0, 0)3(3)平行于z軸的平面 它在x軸、y軸上的截距分別是 2和 3(4)通過z軸的平面 它在xOy面上的投影的斜率為 1(5)平行于x軸的平面 它在y軸、z軸上的截距均為1(6)通過原點的平面解此平面的法線向量為 n (1, 2,2)此平面與yOz面的夾角的余弦為coscos(n, i)n i|n| |i|122( 2)2 11此平面與zOx面的夾角的余弦為A n j22cos cos(n,

5、j)|n| |J|22 ( 2)2 113此平面與xOy面的夾角的余弦為coscos(n, k)n k|n| |k|222 ( 2)2114.分別在下列條件下確定l ,m,n的值:(1)使(l3)x (m 1)y (n 3)z 8 0 和(m 3)x (n 9)y (l 3)z 16示同一平面;(2)使2x my 3z 5 0與lx 6y 6z 2 0表示二平行平面;(3)使lx y 3z 1 0與7x 2y z 0表示二互相垂直的平面解：(1)欲使所給的二方程表示同一平面，則:m 2l 3 0n 2m 7 0,l 2n 9 0816解之得l1337(2)欲使所給的二方程表示二平行平面，則:2

6、 _ml 6(3)欲使所給的二方程表示二垂直平面，則:7l 2 3 0 所以：l5.求平面x y 110與3x 8 0的夾角；解設(shè)x y 11 0與3x 8 0的夾角為則 cos ,32 32所以 _. 46.求點(1,1,2)到平面2x y 2z 3 0的距離解利用點到平面的距離公式可得2 1 1 1 2 2 34，,22 12 2237.已知 A( 5, 11,3), B(7,10, 6C( 1, 3, 2),求平行于ABC所在的平面且與它的距離等于2的平面的方程.解設(shè)所求平面的法向量為 nuuu uur uuu因為 n AB, n AC, ABuuur(12,21, 9), AC(6,8

7、, 5)uuu uuurjj則 AB AC12 2168k933i 6j 30k5所以取n (11, 2,10),則設(shè)所求的平面方程為11x 2y 10z D 0由已知條件得11 1 2 ( 3) 10 ( 2) D2_ 2211( 2)10D 3 30, D1 33,D227所以所求平面方程為1僅2 y 10z 33 0 或11x 2y 10z 27 0習(xí)題6.4求下列各直線方程 通過點Mi(1, 2,2)和M2(2,1, 1)的直線uuuuuir解所求直線的方向向量為 s M1M 2 (1,3, 3)所求的直線方程為x 1 y 2 z 2133x 1 y 2 z 1過點(3,2, 1)且平

8、行于直線 y 的直線123解所求直線的方向向量為 s (1, 2,3)所求的直線方程為x 3 y 2 z 1123 過點A(1, 3,2)且和x軸垂直相交的直線因為直線過 A點和x軸垂直相交，所以交點為B(1,0, 0)，取s BA (0, 3,2)，所求直線 方程(4)通過點(1,0,2)且與兩直線 土 y 11解所求直線的方向向量為 s n1n2所以，直線方程為：人 y 2 112為:2.通過點M (1,2, 1)且與x, y,z三軸分別成60,45,120的直線;解 所求直線的方向向量為：cos60 ,cos45 ,cos120x y求直線2x yz 1z ',的點向式方程與參數(shù)

9、方程3z 4解先求直線上的一點y z 2y 3z 2解此方程組得y即(1,2,0)就是直線上的一點再求這直線的方向向量以平面1和2x3z4的法線向量的向量積作為直線的方向向量s :(i jk) (2i3k)4i j 3k因此所給直線的對稱式方程為令v W。，得所給直線的參數(shù)方程為x 1 4t y 2 t z 3t求過點(1, 2,3)且與直線x 2y 4z 73x 5y 2z 10垂直的平面方程0解 所求平面的法線向量n可取為直線x 2y 4z 73x 5y 2z 10的方向向量即0n (1, 2,4) (3,5,2)16i 14j 11k所平面的方程為16(x1) 14(y 2)11(z3)

10、0,即 16x14y 11z 11 0，. x求直線l : 12x y z3 0的交點坐標(biāo)和夾角.解直線l的參數(shù)方程為：t設(shè)交點處對應(yīng)的參數(shù)為t0 ,代入得2t2 (金)(1 I) (1 2t0)0,t01 ,從而交點為(1,0, 1).又設(shè)直線l與平面的交角為，則：sin2 ( 1) 1 1 1 216 、6所以判別下列直線與平面的位置關(guān)系y 47y 22z一和4x3z 1工 和 I2y 2z 3(4)6x 4y 14z5x 3y2x y2z4x 3y 7zx ty2tz 9t3x4y7z 10解(1)所給直線的方向向量為s (2,7,3)所給平面的法線向量為n (4, 2, 2)因為 s

11、n ( 2) 4 ( 7) ( 2)2) 0所以s n，從而所給直線與所給平面平行又因為直線上的點(3, 4,0)不滿足平面方程4x 2y 2z 3所以所給直線不在所給平面上(2)所給直線的方向向量為所給平面的法線向s (3, 2,7)量為n (6, 4,14)因為sPn所以所給直線與所給平面是垂直的(3)直線的方向向量為： s n1 n2平面的法向量為 n 4i 3j 7k ,而(5i9j所以直線與平面平行或者直線在平面上;取直線上的點5ik)9j(4i3j 7k) 0 ,2, 5,0),顯然點在M ( 2, 5,0)也在平面上(因為4 ( 2) 3 ( 5)7 0),所以，直線在平面上(4

12、)直線的方向向量為s (1, 2,9),因為 3 1所以直線與平面相交但不垂直.6.求下列各平面的方程： 通過點M (2,0, 1),且又通過直線 上-y-21x 1解(1)解 所求平面的法線向量與直線 24(2) 7 9 02的平面；3上 上的方向向量s113(2, 1,3)垂直 因為點(2,0, 1)和(1,0,2)都在所求的平面上所以所求平面的法線向量與向量S2( 1,0,2) (2,0, 1) ( 3,0,3)也是垂直的因此所求平面的法線向量可取為i 5j kn s1s2所求平面的方程為(x 2) 5y (z 1)0,即 x 5y z 1 0通過直線2z且與直線151x 2y z 1

13、0x y z 1 0平行的平面;解直線x 2y z 1 0的方向向量為x y z 1 0j k21 i 2j 3k1 1i5 (1,2, 1) (1, 1,1) 11所求平面的法線向量可取為i j k13i 2j 3kn s1s2123151又平面過點(2, 3, 1),由平面點法式方程得,所求平面的方程為13(x 2) 2 y 3 3 z 10即 13x 2y 3z 17 0.求點(2, 1,0)在平面x y z 1 0.上的投影解平面的法線向量為 n(1,1, 1)過點(1,2,0)并且垂直于已知平面的直線方程為x 2 y 1 z將此方程化為參數(shù)方程x 2 t, yt 2 (t 1) t

14、1 01 t,zt，代入平面方程x y z 1 0.中得一22 8斛信t再將t代入直線的參數(shù)方程 得x-y333一，812、(2, 1,0)在平面x y z 1 0.上的投影為點(，-,-)3 3 3求點p(2, 1,1)到直線x y z LQ的距離2x y z 4 0解直線xxyyzzT。的方向向量為s (1,1, 1) (2, 1,1)3j 3k過點P且與已知直線垂直的平面的方程為3( y 1) 3( z 2) 0 即y z 1 0解線性方程組2x y z 4 0點P(2, 1,1)到直線xxyyzzL0。的距離就是點P(2, 1,1)與點(1, 分)間的距離d 1(2 1)2( 1 3(

15、1 2)2£9.設(shè)Mo是直線外一點 M L是直線L上任意一點且直線的方向向量為s試證 點Mo 到直線L的距離|MoM s|s|證 設(shè)點M0到直線L的距離為的方向 L向量s MN 根據(jù)向量積的幾何意義以和MN為鄰M0M邊的平行四邊形的面積為|M0M MN | |M 0M s|又以M0M和MN為鄰邊的平行四邊形的面積為d |s| |M0M s|因此d |s| |M0M s| d 1MoM s|s|x y z 1 0求直線在平面2x y 2z 1 0上的投影直線的方程.x y z 1 0解設(shè)過直線xyz10, 一 ，、，的平面束萬程為 (x y z 1)xyz10(x y z 1)即(1

16、)x (1 )y ( 1 )z這平面與已知平面2x y 2z 1 0垂直的條件是(1) 2 (1)(1) (1)(2) 0,解之得3代入平面束方程中得 x 2y 2z 2 0投影平面方程為,所以投影直線為x 2y 2z 2 02x y 2z 1 0習(xí)題6.51 .求以點(1, 2,2)為球心，且通過坐標(biāo)原點的球面方程解球的半徑R。12 ( 2)2 22 3球面方程為(x 1)2 (y2)2(z2)29即 x2y2z2 2x 4y4z0.2 .方程x2y2z22x 4y2z20表示什么曲面？解由已知方程得(x1)2(y2)2 (z1)2 22所以此方程表示以(1,2, 1)為球心 以2為半徑的球

17、面3 .將yOz坐標(biāo)面上的拋物線 y2z繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程解將方程中的y換成. y2 x2得旋轉(zhuǎn)曲面的方程y2 x2z24 . 將xOz坐標(biāo)面上的橢圓x2 9z2 36分別繞x軸及z軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解橢圓繞X軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為22222x yx 9( y z ) 36.即)一62橢圓繞z軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為2(x2 y2) 9z2 36.即 事 62625 .指出下列方程在平面解析幾何和空間解析幾何中分別表示什么圖形 x 1; y x 2； x2y24； x2y24解(1)在平面解析幾何中x 1表示平行于y軸的一條直線在空間解析幾何

18、中x 1表示一張平行于 yOz面的平面(2)在平面解析幾何中y x 2表示一條斜率是 1在y軸上的截距也是2的直線在空間解析幾何中，yx 2表示一張平行于 z軸的平面(3)在平面解析幾何中22y x 4表布中心在原點半徑是4的圓 在空間解析幾何f 22 22中 y x4表木母線平行于z軸準(zhǔn)線為y x4的圓柱面(4)在平面解析幾何中x2 y24表示雙曲線母線平行于z軸的雙曲面6.說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的：22222王上二1；y2二1；99444在空間解析幾何中x2 y2 4表示222(z 1) x y解這是yOz面上的橢圓91繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的或是xOz面上的橢4z 0;22士工；94/

19、 / /'-J 1idy ./z軸的圓柱面。22x z圓L M 1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的942這是xOy面上的雙曲線 y2 1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的或是yOz面上的雙422 Z 曲線 y 1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的 4(3)這是zOx面上的曲線(z 1)2 x2繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的或是yOz面上的曲線(z 1)2 y2繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的7.指出下列各方程表示哪種曲面，并作圖：,222 x y ax 0 ； y222. 4x y z 4 ；(4) ziz J 4 I JJv/yx# a22_ . 一.一.(1) x y ax 0表小母線平行(2) y2 z 0表示母線平行x軸的拋物柱

20、面222(3) 4x2y2z24表小單葉雙曲面222(4) x 2y z2表小雙葉雙曲面22x y ，一，一(5) z 匚表小橢圓拋物面xz948.畫出下列各曲面所圍成的立體的圖形：x0,y0,z 0,x 2,y 1, 3x 4y2z 12 0x2y2z2 4, z，3(x2y2)222222x 0,y 0,z 0, x y R , y z R在第一卦限內(nèi)解(1)所圍成的圖形是一個柱體。習(xí)題6.6畫出下列曲線在第一卦限內(nèi)的圖形:h &2x2x2y2z解(1)(1)是平面x 1與y 2相交所得的一條直線;(2)上半球面z 4 x2一1 一一y與平面x y 0的交線為一圓弧;4(3)圓柱面

21、212a與x22.z a的交線.2x2.指出方程92y4x 3在平面解析幾何中與在空間解析幾何中分別表示什么圖形。解在平面解析幾何中2L 1 士一4表不橢圓321與其切線x43的交點(3,0)在空間解析幾何中O4表不橢圓柱面3.4.x 32y 1與其切平面4x 3的交一 2.2求曲面x 4y 10z與yOz平面的交線。分別求母線平行于x軸及z軸而且通過曲線2y22y2z3z24x 4z 16的柱面方程8x 12z 0解 把方程組中的x消去得方程y2 z24z0這就是母線平行于x軸且通過曲線- 222y z 4x 4z 16 M 的枉面萬程22y 3z 8x 12z 02_把方程組中的z消去得方程y 4x 0這就是母線平行于y軸且通過曲線c 222y z 4x 4z 16 M 的枉面萬程22y 3z 8x 12z 05.將下列曲線的一