第三節(jié)平面向量的數(shù)量積

1、第三節(jié)平面向量的數(shù)量積抓住3個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)抓基砒固根源煤基蝕分、平面向量的數(shù)量積1. 數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量 a和b,它們的夾角為0,貝U向量a與b的數(shù)量積是數(shù)量|a|b|cos 0記作a b, 即卩a b = |a|b|cos 0規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2. 向量的投影：設(shè)0為a與b的夾角，則向量a在b方向上的投影是|a|cos 0;向量b 在a方向上的投影是|b|cos 0.3. 數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 a b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 0的 乘積.二、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1 .交換律：a b= ba;2 .數(shù)乘結(jié)合律：（入ab = Xa b

2、） = a （入b3 .分配律：a （b + c） = a b + a c.三、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示已知非零向量a= （xi, yi）, b = （x2, y2）, 0為向量a, b的夾角.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表小模|ai=paa|a|=p xf + y2數(shù)量積a b= |a|b|cos 0a b= X1X2+ y1y2夾角 a b cos 0=|a|b|X1X2 + y1y2cos 0 t 22 J 22寸 x1+ y? 7x2+ ya丄b的充 要條件a b= 0X1X2 + yiy2 0|a b與 |a|b|的關(guān)系|a b|< |a|b|（當(dāng)且僅當(dāng)a / b時(shí)等號(hào)成 立）|X

3、1X2+ y1y2|w x1+ y? Vx2+ y2|【基礎(chǔ)自測(cè)】|1.已知 a= (1, - 3), b = (4,6), c= (2,3)，則(b c)a 等于()A. (26,- 78)B . ( 28,- 42) C . - 52 D . - 782. 已知向量a、b滿足|a|= 1, |b|= 4，且a b = 2，則a與b的夾角為（）7tB.nD.nB掌握3個(gè)核心考向攻考點(diǎn)破難點(diǎn)拿能力分考向一 077平面向量數(shù)量積的運(yùn)算_洌1(1)(2012浙江高考)在厶ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM = 3, BC = 10,則AB AC(2)(2012北京高考)已知正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為1,

4、點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DE CB的值為; DE DC的最大值為 .規(guī)律方法11平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式，一是依據(jù)長(zhǎng)度與夾角，二是利用坐標(biāo)來(lái)計(jì)算2要有“基底”意識(shí)，關(guān)鍵用基向量表示題目中所求相關(guān)向量，如本例1中用AM、MB表示Ab、Ac等注意向量夾角的大小，以及夾角e= 0° 90 ° 180。三種特殊情形.n對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)(2013江西高考)設(shè)e1，e2為單位向量，且e1，e2的夾角為3，若a= e1 +33e2，b= 2e1，則向量a在b方向上的投影為.(2)(2014濟(jì)南模擬)在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，設(shè)BC= 2BD，CA = 3CE，則AD BE考向

5、二078平面向量的夾角與垂直型2 (1)(2013安徽高考)若非零向量a，b滿足|a|= 3|b|=|a + 2b|，貝U a與b夾角的余 弦值為.(2)(2013山東高考)已知向量AB與Ac的夾角為120°且|AB|= 3，|AC|= 2若AP=瓜B + AC，且AP丄BC，則實(shí)數(shù)入的值為.規(guī)律方法2 1當(dāng)a，b以非坐標(biāo)形式給出時(shí)，求a，b的關(guān)鍵是借助已知條件求出|a|、|b 與 a b的關(guān)系.2. 1非零向量垂直的充要條件：a丄b? a b= 0? |a + b|= |a b|? X1X2 + y1y2= 0. 2本例2中常見(jiàn)的錯(cuò)誤是不會(huì)借助向量減法法則把BC表示成AC AB，導(dǎo)

6、致求解受阻對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知a，b都是非零向量，且|a|=|b|=|a b|，貝U a與a + b的夾角為(2)已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量 a+ b與向量ka b垂直，則 k=.考向三079平面向量的模及其應(yīng)用洌:、(1)(2014 威海模擬)設(shè) x, y R，向量 a= (x,1), b= (1, y), c= (2, - 4)，且 a 丄c, b / c,則 |a+ b|=()A. , 5 B. 10 C. 2 5 D. 10(2)(2014 鄭州模擬)已知 OP = (cos 0, sin 0), O)Q= (1 + sin 0, 1+ cos 0)，其中 0&l

7、t; 9< n, 求|PQ|的取值范圍及ipQi取得最大值時(shí)0的值.規(guī)律方法 31.x1y2-X2y1= 0 與 X1X2+ y1y2=0 不同，前者是 a=X1,y1,Z1, b=X2,y2,Z2共線的充要條件，而后者是它們垂直的充要條件2求解向量的長(zhǎng)度問(wèn)題一般可以從兩個(gè)方面考慮：1利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解；(2利用公式|a| = £及(a ±d j= |a|2±2a b + |b|2把長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題解 決.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)(2012 安徽高考)設(shè)向量 a= (1,2

8、m), b = (m + 1,1), c= (2, m).若(a+ c)丄 b,則 |a|=.nn(2)已知向量 a= (sin 0, 1), b = (1, cos 0),- 2< 0< 夕 若a丄b,貝U 0=. 若|a + b|的最大值為 羽+ 1,貝U 0=.挖掘大技法尋規(guī)律得方法巧得離分易錯(cuò)易誤之九忽略向量共線條件致誤進(jìn) (2014廣州模擬)已知a= (1,2), b = (1,1)，且a與a +入b勺夾角為銳角，則實(shí)數(shù) 入的取值范圍為.【防范措施】1.a, b的夾角為銳角并不等價(jià)于ab>0, a b>0等價(jià)于a與b夾角為銳角或0°2. 依據(jù)兩向量的

9、夾角0求向量坐標(biāo)中的參數(shù)時(shí)，要注意 0= 0。或180 的情形.其中cos 0=1 > 0, cos 180 =- 1 v 0.)已知a = (2,- 1), b =(人3)，若a與b的夾角為鈍角，貝U入的取值范圍是 .第三節(jié)平面向量的數(shù)量積1. A2.C 3. B4.B 5.A 6.2例1(1) 16 (2)1 1對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1114例217(1)- 3 (2)石對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)30 °(2)1例3(1) B vpQ= OQ OP=(1 + sin 0 cos 0,1 + cos 0 sin 0),2 2 2'|PQ | = (1 + sin 0 cos 0 + (1 +

10、 cos 0- sin 0) = 4 4sin 0cos 0= 4 2sin 2 0.0 w 0< n 1< sin 2 0< 1, |PQ|2 2,6 ,pQ| 2,6.當(dāng)sin 2 0= 1，即0=乎時(shí)，|pQ取得最大值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1) 2 (2) n例題入心3且仔o練習(xí).3且"一6第三節(jié)平面向量的數(shù)量積抓住3個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)抓基砒固根源煤基蝕分、平面向量的數(shù)量積1. 數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量 a和b,它們的夾角為0,貝U向量a與b的數(shù)量積是數(shù)量|a|b|cos 0記作a b, 即卩a b = |a|b|cos 0規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.2. 向

11、量的投影：設(shè)0為a與b的夾角，則向量a在b方向上的投影是|a|cos 0;向量b 在a方向上的投影是|b|cos 0.3. 數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積 a b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 0的 乘積.二、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1 .交換律：a b= ba;2 .數(shù)乘結(jié)合律：（入ab = Xa b） = a （入b3 .分配律：a （b + c） = a b + a c.三、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示已知非零向量a= （xi, yi）, b = （x2, y2）, 0為向量a, b的夾角.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表小模|a=paa|a|=p xf + y2數(shù)量積a b= |a

12、|b|cos 0a b= X1X2+ y1y2夾角 a b cos 0=|a|b|X1X2 + y1y2cos 0 ( 22 j 22寸 x1+ y? 7x2+ ya丄b的充 要條件a b= 0X1X2 + yiy2 0|a b與 |a|b|的關(guān)系|a b|< |a|b|（當(dāng)且僅當(dāng)a / b時(shí)等號(hào)成 立）|X1X2+ y1y2|w x1+ y? Vx2+ y21. 已知 a= (1, - 3), b = (4,6), c= (2,3)，則(b c)a 等于()A . (26,- 78)B . ( 28,- 42) C . - 52 D . - 78【解析】vb c= 4 X 2 + 6X

13、 3= 26,.(b c)a = (26, - 78).【答案】A2. 已知向量a、b滿足|a|= 1, |b|= 4，且a b = 2，則a與b的夾角為（）7tnB.4nDn【解析】向量a、b滿足|a|=1,|b|=4,且ab= 2,設(shè)a與b的夾角為0,貝Ucos 0a b 1n 宀.=|a| |b= 2,= 3.【答案】 C3. 已知向量a, b和實(shí)數(shù) 人下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是()A . |a|=/aaB . |a b= |a| |b| C. Xa b)=Xab D. |a b|< |a| | b|【解析】|a b|= |a|b|cos 0|,故B錯(cuò)誤.【答案】B4. 已知向量 a, b

14、 滿足 a b = 0, |a|= 1, |b|= 2,則 |2a- b|=()A.0 B. 2 2 C. 4D. 8【解析】 T|a|= 1, |b|= 2, ab=0.|2a b = yj 4a2 4ab+b =p 4+ 4 = 2 寸2.【答案】B5. (2013 湖北高考)已知點(diǎn) A( 1,1), B(1,2), C( 2, 1), D(3,4)，則向量 AB在Cd方 向上的投影為()C.【解析】【答案】由已知得AB=（2,1）, Cd =（5,5）,因此Ab在cd方向上的投影為AB CD=_15 =鉅|CD| 5226. （2013課標(biāo)全國(guó)卷I ）已知兩個(gè)單位向量 a, b的夾角為6

15、0° c=ta+ （1 t）b,若b c =0，貝U t=.【解析】 |a|= |b|= 1 , a, b> = 60°.c= ta+ (1 t)b,.b c= ta b + (1 t)b2= tx 1 x 1 x*+ (1 t)x 1 = 2 + 1 1= 1 2.'b c= 0 ,1 一 2 = 0 ,t= 2.【答案】2掌握3個(gè)核心考向攻考點(diǎn)破難點(diǎn)拿能力分考向一 077平面向量數(shù)量積的運(yùn)算洌1（1）（2012浙江高考）在厶ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM = 3, BC = 10,則AB AC(2)(2012北京高考)已知正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是

16、AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DE CB的 值為； DE DC的最大值為 .【嘗試解答】 (1)如圖所示，AB = AM + MB , AC = AM + MC = AM MB ,'AB AC = (AM + MB) (AM MB) = AM MB = |AM| |MB| = 9 25= 16.(2)法一 如圖所示，以 AB, AD所在的直線分別為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系,由于正方形邊長(zhǎng)為1,故B(1,0), C(1,1), D(0,1).又 E 在 AB 邊上，故設(shè) E(t,0)(0 w t< 1).則 De = (t, 1), CB = (0, 1).故DE CB= 1.又DC =

17、(1,0), ADE DC = (t, 1) (1,0) = t.又0w t< 1,ADE DC的最大值為1.法二 TABCD 是正方形， DA = CB.DE CB = DE DA = |DE|DA|cos/EDA = |DA|DE|cos/EDA = |DA| | DA|= |DA|2= 1.又E點(diǎn)在線段 AB上運(yùn)動(dòng)，故為點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，DE在DC上的投影最大，此時(shí)DC DE > > - 2> - >=|DC|DE|cos 45 =° 2X- = 1所以 DE DC 的最大值為 1.【答案】 16 (2)11規(guī)律方法11.平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算有兩

18、種形式，一是依據(jù)長(zhǎng)度與夾角，二是利用坐標(biāo)來(lái)計(jì)算.2要有“基底”意識(shí)，關(guān)鍵用基向量表示題目中所求相關(guān)向量，如本例1中用AM、MB表示AB、AC等.注意向量夾角的大小，以及夾角0= 0° 90° 180。三種特殊情形.n對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)(2013江西高考)設(shè)e1, e2為單位向量，且ej, e2的夾角為3,若a= & +3e2, b= 2e1,則向量a在b方向上的投影為.(2)(2014濟(jì)南模擬)在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，設(shè)BC= 2BD, Ca = 3疋，則AD bE【解析】(1)由于 a = e1 + 3e2, b= 2e1，所以 |b|= 2, a b= (e

19、1+ 3e2)2e1 = 2e1+ 6e1 e2=2 + 6x2= 5,所以a在b方向上的投影為|ag a, b =晉=|.(2) '/BC = 2BD, CA= 3CE,點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段CA的三等分點(diǎn), 以向量AB, AC作為基向量，t 1 t t t 2 f fAD = 2(AB+ AC), BE= 3AC AB,T T 1 T T 2 T T 1 T 21 T 21 t tAD BE = 2(AB+ AC) (3AC AB) = 3AC "AB $AB AC,>>>>冗>>111>>冗1又|AB|= |AC

20、|= 1,且AB, AC > = 3.AD BE = 3 ? gAB|AC|cos 3= 4.【答案】(1)5 (2) 1考向二078平面向量的夾角與垂直_洌=(1)(2013安徽高考)若非零向量a, b滿足|a|= 3|b|=|a + 2b|,則a與b夾角的余 弦值為.(2)(2013山東高考)已知向量AB與Ac的夾角為120°且|AB|= 3, |AC|= 2.若Ap=瓜B +ac，且AP丄BC,則實(shí)數(shù)入的值為.a bTbf1= 2 |a|b|3|b| =3.【嘗試解答】(1)由|a|=|a+2b|，兩邊平方，得 |a|2= (a+ 2b)2= |a|2+ 4|b|2+ 4

21、a b,所以2a b = |b| .又 |a|= 3|b|，所以 cos <a, b>>>>>>>>>>> TAP 丄 BC,.APBC = 0.又 AP =AB + AC, BC = AC AB,(於B + AC)(AC AB)= 0,即即 ( 1)AC AB 加+ AC '.'a 與 b 是不共線的單位向量，|a|= |b|= 1.又 ka b 與 a+ b 垂直,二(a+ b) (ka b) = 0,22即 ka + ka b a b b = 0.k 1 + ka b a b= 0.即 k 1+ kc

22、os 0- cos 0= 0.( 0 為 a 與 b 的夾角)'(k 1)(1 + cos 0)= 0.又 a 與 b 不共線， cos 0工1，-k= 1.【答案】(1)30 ； (2)1考向三079平面向量的模及其應(yīng)用洌：,(1)(2014 威海模擬)設(shè) x, y R，向量 a= (x,1), b= (1, y), c= (2, 4)，且 a 丄c, b / c,則 |a+ b|=()A. . 5 B. 10 C. 2 .5 D . 10(2)(2014 鄭州模擬)已知 OP = (cos 0, sin 0), O)Q= (1 + sin 0, 1+ cos 0)，其中 0<

23、 0 n, 求|PQ|的取值范圍及|pQ|取得最大值時(shí)0的值.【嘗試解答】(1) "= (x,1), b= (1, y), c= (2, 4),由 a 丄 c 得 a c= 0,即 卩 2x 4 = 0,.x= 2.由 b/c 得 1X ( 4) 2y= 0 ,.y= 2.'a = (2,1), b = (1 , 2). Aa + b = (3, 1),.|a + b|= 32 + 1 2= 10.【答案】B挖掘1大技法尋規(guī)律得方法巧得離分易錯(cuò)易誤之九忽略向量共線條件致誤理 (2014廣州模擬)已知a= (1,2), b = (1,1)，且a與a +入b勺夾角為銳角，則實(shí)數(shù)

24、入的取值范圍為.【解析】"與a +入b勻?yàn)榉橇阆蛄?，且?jiàn)A角為銳角， a (a +入b> 0,= 0,r 117( Z 1)|AC|AB|cos 120 9)& 4= 0.二(入1) X 3X 2X -q 廠 9 H 4= 0.解得 匸石.17【答案】(1) 3右規(guī)律方法2 1當(dāng)a, b以非坐標(biāo)形式給出時(shí)，求a, b>的關(guān)鍵是借助已知條件求出|a|、 |b 與 a b的關(guān)系.2. 1非零向量垂直的充要條件：a丄b? a b= 0? |a + b|= |a b|? X1X2 + y1y2= 0. 2本例2中常見(jiàn)的錯(cuò)誤是不會(huì)借助向量減法法則把BC表示成AC AB，導(dǎo)致求

25、解受阻.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知a, b都是非零向量，且|a|=|b|=|a b|,貝U a與a + b的夾角為(2)已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量a+ b與向量ka b垂直，則 k=.1 【解析】(1)由|a|=|b|=|a b|得，|af=|bf, |b|2= a2 2a b+ b2,所以 a b=a2.而|a +bf=|a|2+ 2a b+ |bf= 2|a|2 + 2 X 2|a|2= 3|af，所以 |a+ b|= . 3|a|.設(shè)a與a + b的夾角為0,則 cos 0=2 1 2 a a + b a + 2a _ 3 |a|a + b|= .3|a|2 = 2,由于 0

26、°W0< 180 ；所以 0= 30 .1 + cos 0 sin 0),(2) /PQ= OQ OP = (1 + sin 0 cos 0,7 222|PQ|= (1 + sin 0 cos 0 + (1 + cos 0- sin 0) = 4 4sin 0cos 0= 4 2sin 2 0.0 w 0w n 1< sin 2 0< 1,.|PQ|2 2,6 ,.|PQ| 區(qū)罰. 當(dāng)sin 2 0= 1，即0= 訓(xùn)，|PQ取得最大值.規(guī)律方法 31.x1y2 X2y1 = 0 與X1X2+ y2= 0 不同，前者是a=X1,y1,Z1, b=X2,y2,Z2共線的

27、充要條件，而后者是它們垂直的充要條件2.求解向量的長(zhǎng)度問(wèn)題一般可以從兩個(gè)方面考慮：1利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解；2利用公式|a| = aa及a如2= |af±2a b + |b|2把長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題解決.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)(2012 安徽高考)設(shè)向量 a= (1,2m), b = (m + 1,1), c= (2, m).若(a+ c)丄b,則 |a|=.nn(2)已知向量 a= (sin 0, 1), b = (1, cos 0), q< * 若a丄b,貝U 0=. 若|a + b|的最大值為 羽+ 1,貝U 0=.【解析】(1)a + c= (1,2m) + (2, m)= (3,3m).1(a+ c)丄 b,.(a + c) b = (3,3m) (m+ 1,1) = 6m+ 3 = 0,= ?.-a= (1, 1), |a|=、J2.(2)由 a丄 b 得 sin 0+ cos 0= 0 ,tan 0= 1. 2v 0* 2,0=才 |a + b|= a2 + 2a + b2= sin2 0+ 1 + 2sin(0+ ；+ cos2 0+ 1= 3+ 2sin(0+n n n n