二面角求解方法

1、二面角的作與求求角是每年高考必考內(nèi)容之一，可以做為選擇題，也可作為填空題，時(shí)常作為解答 題形式出現(xiàn)，重點(diǎn)把握好二面角，它一般出現(xiàn)在解答題中。下面就對(duì)求二面角的方法總 結(jié)如下：1定義法：在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩個(gè)面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成 的角就是二面角的平面角。2、三垂線定理及逆定理法：自二面角的一個(gè)面上的一點(diǎn)向另一個(gè)面引垂線，再由垂 足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)。斜足與面上一點(diǎn)連線，和斜足與垂足連線所夾的角即為二 面角的平面角。3、作棱的垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角的兩條射線所成的角就是 二面角的平面角。4、投影法：利用s投影面=s被投影面cos/這個(gè)公式對(duì)于斜面三角形

2、，任意多邊形都成立， 是求二面角的好方法。尤其對(duì)無棱問題5異面直線距離法：EU=m2+n2+d2 2mn cos例1 :若p是ABC所在平面外一點(diǎn)，而PBC和ABC都是邊長為3 2的正三角形，PA= 6 ,求二面角P-BC-A勺大小。分析：由于這兩個(gè)三角形是全等的三角形,故采用定義法解：取BC的中點(diǎn)E,連接AE、PEAC=AB PB=PCAE_ BC, PE _BC-PEA為二面角P-BC-A的平面角在 PAE 中 AE=PE= 3 , PA= 6PEA=90二面角P-BC-A的平面角為900例2:已知；ABC是正三角形，PA_平面ABC且 PA=AB=a求二面角A-PC-B的大小。思維二面角

3、的大小是由二面角的平面角 來度量的，本題可利用三垂線定理（逆）來作 平面角，還可以用射影面積公式或異面直線上兩點(diǎn) 間距離公式求二面角的平面角。圖1解1：（三垂線定理法）取AC的中點(diǎn)E,連接BE過E做EF_PC連接BFPA_平面ABC PA 平面PAC.平面PAC平面ABC,平面PAC平面 ABC=AC.BE_ 平面 PAC由三垂線定理知BF_PC - BFE為二面角A-PC-B的平面角設(shè) PA=1,E為 AC的中點(diǎn)，BE-? ,EF2 4tan BFE =更=.6EFzbfe =arctan 6解2:（三垂線定理法）-FMA為二面角A-PC-B的平面角AF . 42.sin/FMA =AM 7

4、.FMA rargsin解3:（投影法）過B作BE_AC于E連結(jié)PE丁 PA丄平面ABC PA平面PAC.平面PAC平面ABC,平面PAC平面 ABC=AC圖3BE_平面PACPEC是 PBC在平面PAC上的射影設(shè) PA=1 貝PB=PC= 2 ,AB=1,7S PEC , S PBC44由射影面積公式得， COSv - pec二二,.J _ argcos,S.PBC7解4:（異面直線距離法）過A作AD_PC,BEPC交PC分別于D、E設(shè) PA=I則 AD吟,PB=PC= 2S pbc 14：2訂 2BE=，CE ,DE=441PC 42由異面直線兩點(diǎn)間距離公式得A/Ab+BW+D自ADBEC

5、O ,CO =,J 7二 arg cos點(diǎn)評(píng)本題給出了求平面角的幾種方法，應(yīng)很好掌握。例3:二面角 一EF - 1的大小為120，A是它內(nèi)部的一點(diǎn)，AB_ :，AC ,B C為垂PE設(shè) PA=1 AM=,AF=AP.AE x212足。(1) 求證：平面ABC :，平面ABC_(2) 當(dāng)AB=4cm,AC=6cm寸求BC的長及 A到EF的距離分析：本題采用作棱的垂面法找二面角的平面角解：(1)設(shè)過 ABC的平面交平面：于BD交平面于CDAB_ ,AB 平面 ABC二平面ABCot,同理平面ABC P(2) ； AB.i 壽AB_EF 同理AC_EFEF_ 平面 ABDCBD_EF, CD _EF

6、.BDC =120O BAC =60BC= 4262 -2 4 6COS60 =2 一 7 cm有正弦定理得點(diǎn)A到EF的距離為:d=sin 604 213cm二面角的求法一、復(fù)習(xí)引入：1、什么是二面角及其平面角？范圍是什么？ 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所成的圖形叫做二面角，記作：二面角a l B 以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做 二面角的平面角。 范圍：二.0,二2、二面角出現(xiàn)的狀態(tài)形式有哪些?2、二面角的類型及基本方法(1)四種常規(guī)幾何作求法BzA/1垂面法;三垂線法;射影面積法cost =S射影多邊形/S 多邊形(2)向量法：+4設(shè)m

7、和n分別為平面:-,-的法向量，二面角 -I - 的大小為二，向量m、n結(jié)論：設(shè)m和n分別為平面：的法向量，二面角-1 - 的大小為v，向量 m、n的夾角為 ,則有V -二或 -結(jié)論：一般地，若設(shè)n,m分別是平面的法向量，則平面:與平面1所成的二面角的計(jì)算公式是:n m=arccos n m（當(dāng)二面角為銳角、直角時(shí)）或（當(dāng)二面角為鈍角時(shí)），其中銳角、鈍角根據(jù)圖形確定。二、例題講解：以錐體為載體，對(duì)求角的問題進(jìn)行研究例1如圖，在底面是一直角梯形的四棱錐 S-ABCD中，AD/ BC,Z ABC=90,SA丄平面AC,SA=AB=BC=,11AD=2 .求面SCD與面SAB所成的角的大小。解法1：

8、可用射影面積法來求，這里只要求出 SaSCD與 SSAB即可，故所求的二面角0應(yīng)滿足COST = =2-=衛(wèi)=匚莎T 32 2點(diǎn)評(píng)：（1）若利用射影面積法求二面角的大小，作為解答題，高考中是要扣分的，因?yàn)樗皇嵌ɡ恚? ）由學(xué)生討論解決，教師根據(jù)學(xué)生的解答情況進(jìn)行引導(dǎo)、明確學(xué)生的解答解法2:（三垂線定理法）解：延長CD BA交于點(diǎn)E,連結(jié)SE SE即平面CSD與平面BSA的交線. 又v DA丄平面SAB 過A點(diǎn)作SE的垂線交于F.如圖.D1v AD= BC且 AD / BC2 ADEA BCE EA= AB= SA又v SAI AE SAE為等腰直角三角形，F(xiàn)為中點(diǎn),1 7272SAE AF丄

9、 SEAF SE SA又v DA丄平面2 22由三垂線定理得 DF丄SE/ DFA為二面角的平面角,tanDF心-DA2即所求二面角的正切值.FA 2評(píng)注：常規(guī)法求解步驟：一作：作出或找出相應(yīng)空間角；二證：通過簡單的判斷或推理得到相應(yīng)角； 三求：通過計(jì)算求出相應(yīng)的角。點(diǎn)評(píng)：是利用三垂線的定理及其逆定理來證明線線垂直，來找到二面角的平面角的方法。這種方法 關(guān)鍵是找垂直于二面角的面的垂線。此方法是屬于較常用的。總之，在運(yùn)用三垂線找平面角時(shí)，找垂線 注意應(yīng)用已知的條件和有關(guān)垂直的判定和性質(zhì)定理，按三垂線的條件，一垂線垂直二面角的一個(gè)面，還 有垂直于棱的一條垂線。且兩垂線相交，交點(diǎn)在二面角的面內(nèi)。解法

10、3：（向量法）解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則 A（0，0，0），B（0, 1, 0），C（-1，1, 0），D（0，1，0），S（0，2I0，1），易知平面SAB的法向量為m=（0，丄，0）；設(shè)平面SDC勺法向量為n =（x , y，z），而DC =（-1，丄，Ds=（0，-2，1）, n 丄面 SDC2 n 丄 DC，0），1 n1y z =02DS，ni 丄 DC .-xy = 0o得tn DS = 0面SAB與面SCD所成角的二面角為銳角令x=1 得：y =2, z =1。即 n=（1，2，1）1-cos : n,m 二=1 = 6V2 3 0 =arccos 三.3故面SCD與面SB

11、A所成的角大小為arccos _5.3點(diǎn)評(píng)：通過此例可以看出：求二面角大?。臻g面面角等于二面角或其補(bǔ)角）的常規(guī)方法是構(gòu)造三角形求解，其關(guān)鍵又是作出二面角的平面角，往往很不簡單。利用建立空間直角坐標(biāo)系，避開了 “作、 證”兩個(gè)基本步驟，通過求兩個(gè)平面法向量的夾角來達(dá)到解決問題的目的，解題過程實(shí)現(xiàn)了程序化，是 一種有效方法。搭建平臺(tái)，自主交流，數(shù)形結(jié)合，掃清了學(xué)生的思維障礙，更好地突破了教學(xué)的重難點(diǎn), 體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡約美，一題多解是訓(xùn)練學(xué)生思維的有效形式。以柱體為載體,對(duì)求角的問題進(jìn)行研究例2、已知DE分別是正三棱柱 AB A1B1C1的側(cè)棱AA和BBAD=2BE=BC.求過D E、C的平面與棱柱

12、的下底面所成二面角的大（幾何法）解:在平面 MBB內(nèi)延長DE和AiBi交于F,貝U F是面公共點(diǎn)，C也是這兩個(gè)面的公共點(diǎn)，連結(jié) CiF, CiF為這兩個(gè)面的交 角就是D-GF-Ai.上的點(diǎn)，且小.線，所求的二面DEF與面 AiBiCi 的 AD/ BiE,且 AiD=2BE, E、B分別為DF和AiF的中點(diǎn).I AiB=BF=BC , FC丄AiCi.又面AACC丄面ABC , FC在面ABC內(nèi),二FG丄面AAGC.而DC在面AAGC內(nèi)， FC丄 DC. / DCAi是二面角 D-FC-Ai 的平面角.由已知AiD=BC=ACi,；/ DCAi= 4 .故所求二面角的大小為4 .法2:（向量法

13、）解：建立如圖的空間直角坐標(biāo)系 A-xyz，設(shè)B,G=2，則BiC-3 , i, 0）,E(、3,i,i), Ci(0,2,0),D(0,0,2),易知平面 AiBiCi 的法向量為 n =(0,0,i),設(shè)平面 DEC的法向量為 m=(x , y, z),而DE=( ,3，i，-i)，DC=(0,2,-2),由m *DE = 0Am *DCi =0T-：3x，y-z=0 即 y二z，不妨設(shè) x=0，得 y = z = i m2y_2z=0=(0, i, i) . cos ： n,m 2 .込,2面AiBiC與面DEG所成角的二面角為銳角9 ,點(diǎn)評(píng)：無棱的二面角一般是只已知一個(gè)共點(diǎn)，但兩個(gè)面的

14、交線不知道。若要找出二面角的平面角,則需要根據(jù)公理2或公理4來找出二面角的棱，化為有棱二面角問題,再按有棱二面角的解法解題。這種主要有兩類：一類是分別在兩個(gè)面內(nèi)有兩條直線不是異面又不是平行的二面角（兩條在同一平面內(nèi)且不平行）。那么延長這兩條線有一交點(diǎn)，根據(jù)公理2 ,這點(diǎn)在二面角的棱上，連公共點(diǎn)和這點(diǎn)就是二面角的棱；另一類是分別在兩個(gè)面內(nèi)有兩條直線是平行的二面角。這由直線和平面平行的判定和性質(zhì)定理知這直線和面平行，所以直線平行于二面角的兩個(gè)面的交線。由公理4，可知這兩條直線平行于二面角的棱。所以過公共點(diǎn)作一條直線平行于這兩直線，那么所作的直線是二面角的棱。課堂反饋練習(xí)：如圖,直四棱柱 ABCD-

15、ABiCiDi 的底面是梯形，AB/ CD, AD丄DC, CD=2 DD=DA=AB=1 P、Q 分 別是CG、GDi的中點(diǎn)，求二面角B-PQ-D的大小。解：建立如圖所示的坐標(biāo)系D-xyz，1B1,1,0,P(0,2,2),Q(0,1,1),A(1,0,0), 1 DA =(1,0,0),BP =(-1,1,2),BQ =(-1,0,1).因DA丄面PQD,所以DA是面PDQ的法向量。設(shè)n =(x,y,z)為面BPQ的法向量，貝U n _ BP,n _BQ，1廠x+y+子=0,解得 _x +z =0yX = zy，取 n 呵2)，二 cos n, DA =n DA 2。從圖中可知，二面角B-

16、PQ-D為銳角,n DA2 因此二面角B-PQ-D的大小為arccos-.3點(diǎn)評(píng)：二面角問題可以綜合較多知識(shí)點(diǎn)，可以綜合有關(guān)的平行、垂直的關(guān)系。用到的定理幾乎是我們所學(xué)立幾的知識(shí)。所以要有較扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)才能夠?qū)Ω兜昧诉@類問題。在計(jì)算方面要用到解三角形的知識(shí)，要會(huì)在圖中有關(guān)的三角形中求出所需的邊或角，然后通常歸結(jié)在一個(gè)三角形中去求出最后的結(jié)果?？偟?，解這類題，找平面角是關(guān)鍵的一步，要注意運(yùn)用題中的條件分析圖形，然后用有關(guān)的方法找出平面角，計(jì)算時(shí)要分析所要求的量是可由圖中的哪些平面圖形去逐步去求出三、課堂小結(jié):面角的類型和求法可用框圖:點(diǎn)評(píng)：自主小結(jié)的形式將課堂還給學(xué)生，既是對(duì)一節(jié)課的簡單回顧與梳理，也是對(duì)所學(xué)內(nèi)容的再次鞏固由題意 BBi _平面ABD,則 A（0,0； 3）,bbJ =(o,3V3,o),2四、作業(yè):如圖，正三棱柱ABC AiBiCi的底面邊長為3,側(cè)棱AAi=?J3 , D是CB延長線上一點(diǎn)，且2BD二BC。求二面角Bi AD B的大小。解：取BC的中點(diǎn)0,連A0。由題意 平面ABC _平面BCC1