強(qiáng)大 導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)各種題型歸納方法總結(jié)

1、導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)一導(dǎo)數(shù)的定義：2.利用定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：求函數(shù)的增量：；求平均變化率：；取極限得導(dǎo)數(shù)：（下面內(nèi)容必記）二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算：（1）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及常用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式：； ； 法則1：；(口訣：和與差的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和與差).法則2：(口訣：前導(dǎo)后不導(dǎo)相乘，后導(dǎo)前不導(dǎo)相乘，中間是正號(hào))法則3：(口訣：分母平方要記牢，上導(dǎo)下不導(dǎo)相乘，下導(dǎo)上不導(dǎo)相乘，中間是負(fù)號(hào))（2）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法：換元，令，則分別求導(dǎo)再相乘回代題型一、導(dǎo)數(shù)定義的理解題型二：導(dǎo)數(shù)運(yùn)算1、已知，則 2、若，則 3.=ax3+3x2+2 ，則a=（）三導(dǎo)數(shù)的物理意義1.求瞬時(shí)速度：物體在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度就是物體運(yùn)動(dòng)規(guī)

2、律在 時(shí)的導(dǎo)數(shù)，即有。2.Vs/(t)表示即時(shí)速度。a=v/(t) 表示加速度。四導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點(diǎn)處切線的斜率是。于是相應(yīng)的切線方程是：。題型三用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線注意兩種情況：（1）曲線在點(diǎn)處切線：性質(zhì)：。相應(yīng)的切線方程是：（2）曲線過(guò)點(diǎn)處切線：先設(shè)切點(diǎn)，切點(diǎn)為 ,則斜率k=，切點(diǎn) 在曲線上，切點(diǎn)在切線上，切點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得關(guān)于a,b的方程組，解方程組來(lái)確定切點(diǎn)，最后求斜率k=，確定切線方程。例題在曲線y=x3+3x2+6x-10的切線中，求斜率最小的切線方程；解析：（1）當(dāng)x0=-1時(shí)，k有最小值3，此時(shí)P的坐標(biāo)為（-1，-14）故所求切線的方程為3x-y-1

3、1=0五函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，（1）該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)； （2）該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；注意：當(dāng)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處為正（或負(fù)）時(shí)，在這個(gè)區(qū)間上仍是遞增（或遞減）的。（3）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在該區(qū)間內(nèi)恒成立；（4）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在該區(qū)間內(nèi)恒成立；題型一、利用導(dǎo)數(shù)證明（或判斷）函數(shù)f(x)在某一區(qū)間上單調(diào)性：步驟： （1）求導(dǎo)數(shù) (2)判斷導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的符號(hào)(3)下結(jié)論該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)； 該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；題型二、利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟為：（1）分析 的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù) （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)

4、的部分為減區(qū)間題型三、利用單調(diào)性求參數(shù)的取值（轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題）思路一.（1）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在該區(qū)間內(nèi)恒成立；（2）在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在該區(qū)間內(nèi)恒成立；思路二.先求出函數(shù)在定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間，則已知中限定的單調(diào)增或減區(qū)間是定義域上的單調(diào)增或減區(qū)間的子集。注意：若函數(shù)f（x）在（a，c）上為減函數(shù)，在（c，b）上為增函數(shù)，則x=c兩側(cè)使函數(shù)（x）變號(hào)，即x=c為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以例題若函數(shù)，若則( ) A. a< b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c六、函數(shù)的極值與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：1.

5、極值的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，且若對(duì)附近的所有的點(diǎn)都有（或，則稱為函數(shù)的一個(gè)極大（或小）值，為極大（或極?。┲迭c(diǎn)。可導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0（即），但函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，并不一定函數(shù)在該處取得極值（如在處的導(dǎo)數(shù)為0，但沒(méi)有極值）。求極值的步驟：第一步：求導(dǎo)數(shù)；第二步：求方程的所有實(shí)根；第三步：列表考察在每個(gè)根附近，從左到右，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)如何變化，若的符號(hào)由正變負(fù)，則是極大值；若的符號(hào)由負(fù)變正，則是極小值；若的符號(hào)不變，則不是極值，不是極值點(diǎn)。2、函數(shù)的最值：最值的定義：若函數(shù)在定義域D內(nèi)存，使得對(duì)任意的，都有，（或）則稱為函數(shù)的最大（?。┲担涀鳎ɑ颍┤绻瘮?shù)在閉區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不

6、間斷的曲線，則該函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值。求可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值方法：第一步；求在區(qū)間內(nèi)的極值；第二步：比較的極值與、的大小：第三步：下結(jié)論:最大的為最大值，最小的為最小值。注意：1、極值與最值關(guān)系：函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的最大值和最小值點(diǎn)可以在極值點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)、區(qū)間的端點(diǎn)處取得。極值最值。函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值為極大值和f(a) 、f(b)中最大的一個(gè)。最小值為極小值和f(a) 、f(b)中最小的一個(gè)。2函數(shù)在定義域上只有一個(gè)極值，則它對(duì)應(yīng)一個(gè)最值（極大值對(duì)應(yīng)最大值;極小值對(duì)應(yīng)最小值）3、注意：極大值不一定比極小值大。如的極大值為，極小值為

7、2。注意：當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)有極值 f/(x0)0。但是，f/(x0)0不能得到當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)有極值；判斷極值，還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明。題型一、求極值與最值題型二、導(dǎo)數(shù)的極值與最值的應(yīng)用題型四、導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象關(guān)系 導(dǎo)函數(shù) 原函數(shù) 的符號(hào) 單調(diào)性 與x軸的交點(diǎn)且交點(diǎn)兩側(cè)異號(hào) 極值 的增減性 的每一點(diǎn)的切線斜率的變化趨勢(shì) （的圖象的增減幅度） 的增 的每一點(diǎn)的切線斜率增大（的圖象的變化幅度快） 減 的每一點(diǎn)的切線斜率減小 （的圖象的變化幅度慢）例1. 已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若f(x）在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（3）是否存在a,使f

8、(x)在（-，0上單調(diào)遞減，在0，+）上單調(diào)遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由.解：=ex-a.（1）若a0，=ex-a0恒成立，即f(x)在R上遞增.若a>0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(lna,+).（2）f（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增，0在R上恒成立.ex-a0，即aex在R上恒成立.a（ex）min，又ex>0，a0.（3） 由題意知，x=0為f(x)的極小值點(diǎn).=0,即e0-a=0,a=1.例2. 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x）在點(diǎn)x=1處的切線為l:3x-y+1=0，若x=時(shí)，y=f(x）有極值.（1）求a,b,

9、c的值；（2）求y=f(x）在-3，1上的最大值和最小值.解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,當(dāng)x=1時(shí)，切線l的斜率為3，可得2a+b=0 當(dāng)x=時(shí)，y=f(x)有極值，則=0,可得4a+3b+4=0 由解得a=2,b=-4.由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,=3x2+4x-4,令=0,得x=-2,x=.當(dāng)x變化時(shí)，y,y的取值及變化如下表：x-3(-3,-2)-21 y+0-0+y8單調(diào)遞增13單調(diào)遞減單調(diào)遞增4 y=f（x）在-3，1上的最大值為13，最小值為例3.當(dāng)

10、，證明不等式.證明：，則，當(dāng)時(shí)。在內(nèi)是增函數(shù)，即，又，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)是減函數(shù)，即，因此，當(dāng)時(shí)，不等式成立.點(diǎn)評(píng)：由題意構(gòu)造出兩個(gè)函數(shù)，.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或求最值，從而導(dǎo)出是解決本題的關(guān)鍵.七定積分求值1定積分的概念 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則2.用定義求定積分的一般方法是：分割：等分區(qū)間；近似代替：取點(diǎn)；求和：；取極限：3.曲邊圖形面積：；在軸上方的面積取正，下方的面積取負(fù) 變速運(yùn)動(dòng)路程； 變力做功 4定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 （其中k是不為0的常數(shù)） 性質(zhì)2 性質(zhì)3 （定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性）5.定理 函數(shù)是上的一個(gè)原函數(shù)，即則導(dǎo)數(shù)各種題型方法總結(jié)（一）關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法：1、

11、分離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：（1）對(duì)稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關(guān)系 （2）端點(diǎn)處和頂點(diǎn)是最值所在（二）分析每種題型的本質(zhì)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問(wèn)題”以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。（三）同學(xué)們?cè)诳蠢}時(shí)，請(qǐng)注意尋找關(guān)鍵的等價(jià)變形和回歸的基礎(chǔ)一、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問(wèn)題提倡按以下三個(gè)步驟進(jìn)行解決：第一步：令得到兩個(gè)根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的最值問(wèn)題，2、常見(jiàn)處理方法有三種：第一種：分離變量求最值-用分離變量時(shí)要特別注意是

12、否需分類討論（>0,=0,<0）第二種：變更主元（即關(guān)于某字母的一次函數(shù)）-（已知誰(shuí)的范圍就把誰(shuí)作為主元）；例1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，若在區(qū)間D上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”，已知實(shí)數(shù)m是常數(shù)，（1）若在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍；（2）若對(duì)滿足的任何一個(gè)實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，求的最大值.解:由函數(shù) 得 （1） 在區(qū)間上為“凸函數(shù)”，則 在區(qū)間0,3上恒成立 解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價(jià)于解法二：分離變量法： 當(dāng)時(shí), 恒成立, 當(dāng)時(shí), 恒成立等價(jià)于的最大值（）恒成立，而（）是增函數(shù)，則(2)當(dāng)時(shí)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)

13、” 則等價(jià)于當(dāng)時(shí) 恒成立 變更主元法 再等價(jià)于在恒成立（視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問(wèn)題）-22 例2：設(shè)函數(shù) （）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （）若對(duì)任意的不等式恒成立，求a的取值范圍. （二次函數(shù)區(qū)間最值的例子）解：（）3aaa3a令得的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a）令得的單調(diào)遞減區(qū)間為（，a）和（3a，+）當(dāng)x=a時(shí)，極小值= 當(dāng)x=3a時(shí)，極大值=b. （）由|a，得：對(duì)任意的恒成立則等價(jià)于這個(gè)二次函數(shù) 的對(duì)稱軸 （放縮法）即定義域在對(duì)稱軸的右邊，這個(gè)二次函數(shù)的最值問(wèn)題：?jiǎn)握{(diào)增函數(shù)的最值問(wèn)題。上是增函數(shù). （9分）于是，對(duì)任意，不等式恒成立，等價(jià)于 又點(diǎn)評(píng)：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對(duì)稱

14、軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關(guān)系第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值題型特征：恒成立恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型例3；已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線斜率為，（）求的值；（）當(dāng)時(shí)，求的值域；（）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。解：（）， 解得 （）由（）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減又 的值域是（）令思路1：要使恒成立，只需，即分離變量思路2：二次函數(shù)區(qū)間最值二、已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法1：轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立， 回歸基礎(chǔ)題型解法2：利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集； 做題時(shí)一定要看清楚“在（m,n）上是

15、減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集例4：已知，函數(shù)（）如果函數(shù)是偶函數(shù)，求的極大值和極小值；（）如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍解：. （） 是偶函數(shù)， . 此時(shí)， 令，解得：. 列表如下：(,2)2(2,2)2(2,+)+00+遞增極大值遞減極小值遞增 可知：的極大值為， 的極小值為. （）函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，在給定區(qū)間R上恒成立判別式法則 解得：. 綜上，的取值范圍是. 例5、已知函數(shù) （I）求的單調(diào)區(qū)間； （II）若在0，1上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想（I） 1、 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)，單調(diào)遞增。 2、 a-1-1單調(diào)增區(qū)間：

16、單調(diào)增區(qū)間：（II）當(dāng) 則是上述增區(qū)間的子集：1、時(shí)，單調(diào)遞增 符合題意2、， 綜上，a的取值范圍是0，1。 三、根的個(gè)數(shù)問(wèn)題提型一 函數(shù)f(x)與g(x)（或與x軸）的交點(diǎn)=即方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題解題步驟第一步：畫出兩個(gè)圖像即“穿線圖”（即解導(dǎo)數(shù)不等式）和“趨勢(shì)圖”即三次函數(shù)的大致趨勢(shì)“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢(shì)圖結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)或根的個(gè)數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系；第三步：解不等式（組）即可；例6、已知函數(shù)，且在區(qū)間上為增函數(shù)（1） 求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2） 若函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）由題意 在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上恒

17、成立（分離變量法）即恒成立，又，故的取值范圍為 （2）設(shè)，令得或由（1）知，當(dāng)時(shí)，在R上遞增，顯然不合題意當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：極大值極小值由于，欲使與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程有三個(gè)不同的實(shí)根，故需，即 ，解得綜上，所求的取值范圍為根的個(gè)數(shù)知道，部分根可求或已知。例7、已知函數(shù)（1）若是的極值點(diǎn)且的圖像過(guò)原點(diǎn)，求的極值；（2）若，在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒有含的三個(gè)不同交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；否則說(shuō)明理由。解：（1）的圖像過(guò)原點(diǎn)，則 ，又是的極值點(diǎn)，則-1（2）設(shè)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒存在含的三個(gè)不同交點(diǎn)，等價(jià)于有含的三個(gè)根，即：整理得：

18、即：恒有含的三個(gè)不等實(shí)根（計(jì)算難點(diǎn)來(lái)了：）有含的根，則必可分解為，故用添項(xiàng)配湊法因式分解， 十字相乘法分解：恒有含的三個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于有兩個(gè)不等于-1的不等實(shí)根。題型二：切線的條數(shù)問(wèn)題=以切點(diǎn)為未知數(shù)的方程的根的個(gè)數(shù)例7、已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值4，使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為，求：（1）的解析式；（2）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍（1）由題意得：在上；在上；在上因此在處取得極小值，由聯(lián)立得：， （2）設(shè)切點(diǎn)Q，過(guò)令，求得：，方程有三個(gè)根。需：故：；因此所求實(shí)數(shù)的范圍為：題型三：已知在給定區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個(gè)數(shù)解法：根分布或判別式法例8、解：函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ┊?dāng)m4

19、時(shí)，f (x) x3x210x，x27x10，令 ， 解得或.令 ， 解得可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和（5，），單調(diào)遞減區(qū)間為（）x2(m3)xm6, 1要使函數(shù)yf (x)在（1，）有兩個(gè)極值點(diǎn),x2(m3)xm6=0的根在（1，）根分布問(wèn)題：則， 解得m3例9、已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）令x4f（x）（xR）有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍解：（1） 當(dāng)時(shí)，令解得，令解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)=0有3個(gè)根，則或，方程有兩個(gè)非零實(shí)根，所以或而當(dāng)或時(shí)可證函數(shù)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)其它例題：（一）最值問(wèn)題與主

20、元變更法的例子.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是11.（）求函數(shù)的解析式；（）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（） 令=0,得 因?yàn)?，所以可得下表?+0-極大因此必為最大值,因此， ， 即， （），等價(jià)于， 令，則問(wèn)題就是在上恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，為此只需，即， 解得，所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是0，1.（二）根分布與線性規(guī)劃例子例：已知函數(shù)() 若函數(shù)在時(shí)有極值且在函數(shù)圖象上的點(diǎn)處的切線與直線平行, 求的解析式；() 當(dāng)在取得極大值且在取得極小值時(shí), 設(shè)點(diǎn)所在平面區(qū)域?yàn)镾, 經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分, 求直線L的方程.解： (). 由, 函數(shù)在時(shí)

21、有極值 , 又 在處的切線與直線平行, 故 . 7分 () 解法一: 由 及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點(diǎn)所在平面區(qū)域S為如圖ABC, 易得, , , , , 同時(shí)DE為ABC的中位線, 所求一條直線L的方程為: 另一種情況設(shè)不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分, 設(shè)直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G, 則 , 由 得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為: 由 得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為: 即 解得: 或 (舍去) 故這時(shí)直線方程為: 綜上,所求直線方程為: 或 .12分() 解法二: 由 及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點(diǎn)所在平面區(qū)域S為如圖ABC, 易得, , , , , 同時(shí)DE為ABC的中位線, 所求一條直線L的