北師大版八年級(jí)(下)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、八年級(jí)下冊(cè)第一章三角形的證明第1節(jié)等腰三角形一、全等三角形的性質(zhì)與判定1、全等三角形的性質(zhì)定理1全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等。定理2全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。推論1全等三角形的而枳相等。推論2全等三角形的周長(zhǎng)相等。2、全等三角形的判定公理工兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）公理2兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（4SA）公理3三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）定理1兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等定理2斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等。（HL）二、等腰三角形的性質(zhì)與判定1、等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個(gè)底角相等。（等邊對(duì)等角）推論1等腰三角形頂角平分線、

2、底邊上的中線和底邊上的高互相重合。（三線合一）推論2等腰三角形兩腰上的中線、兩腰上的高、兩個(gè)底角的平分線都相等，并且它們 的交點(diǎn)到底邊兩端點(diǎn)距離相等。【說明】等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45。等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角或直角，但頂角可為鈍角或直角。f等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為。，底邊長(zhǎng)為從周長(zhǎng)為&則;等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為N C,底角為N A、N B,則N C=180。-2N A180-ZA= 1802Z B, Z 4 = Z B=22、等腰三角形的判定定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。（等角對(duì)等邊）三、等邊三角形的

3、性質(zhì)與判定1、等邊三角形的性質(zhì)定理1等邊三角形的三條邊都相等。定理2等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60。推論：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30。，那么它所對(duì)直角邊等于斜邊一半。 2、等邊三角形的判定定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。定理：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。推論：有一個(gè)角等于60。的等腰三角形是等邊三角形。四、反證法小明認(rèn)為，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等。你 認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎如果成立，你能證明它嗎小明是這樣想的：如圖LL1S ,在MAC中，已 知/AK/C,此時(shí)與/C要 么相等，要么不相等.這與已知條件NC相矛盾，因

4、d匕關(guān)/C.假設(shè)4E=/C,那么根據(jù)“等邊對(duì)等角“定理可得NC=N4,你能理解他的推理過程嗎小明在證明時(shí)，先假設(shè)州題的結(jié)迨丕先文、然卮由此攫曼出X與定義工基本事實(shí)已直 定理或已知條件相矛盾的結(jié)果上叢而證明命題的結(jié)論一定成立。這耳證明方法叫施反證法、第2節(jié)直角三角形一、直角三角形的性質(zhì)與判定1、直角三角形的性質(zhì)定理1：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。（角的特征）定理2：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。（勾股定理）（邊的特征） 2、直角三角形的判定定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形。定理1:有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。定理2：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三

5、角形是直角三角形。二、已知一條直角邊和斜邊作直角三角形1、尺規(guī)作圖1一-,已知：如圖1216所示，線段a, c （a（或“”）連接的式子叫做不等式。需要說明 的是，用。連接的式子也是不等式?！菊f明】“不大于”指的是“等于或小于”, 于或大于，通常用符號(hào)“2”表示。二、不等式的分類1、絕對(duì)不等式：2、矛盾不等式：3、條件不等式：通常用符號(hào)表示：“不小于”指的是“等在任何條件下都成立的不等式。如53, x220,等。在任何條件下都不成立的不等式。如23, aZVO等。在一定條件下才能成立的不等式。如X20,當(dāng)x2時(shí)不等式成立：當(dāng)xW2時(shí)不等式不成立。三、常見的不等式基本語言的含義1、若x0,則x是

6、正數(shù)3、若xO,則x是非負(fù)數(shù)5、若x-y0,則x大于y7若xy20,則x不小于y2、若xVO,則x是負(fù)數(shù)4、若xWO,則x是非正數(shù)6、若xyVO,則x小于y8、若x-yW。，則x不大于y9、若 xy0 （或.0）,則 x, y 同號(hào);y10、若 xyVO （或二 b,那么acbc；如果ab,那么acb, c0.那么-如果 aVb. c0,那么 acVbc,-不等式的基本性質(zhì)3：如果eVO,那么acVbe,-bc. c c二、不等式的其他性質(zhì)1、如果ab,那么bb, bc,那么ac；如果ab, bb, cd,那么 a+eb+d：如果 ab, cb0, cd09 那么 acbd：如果 ab0, c

7、d0.那么 aebd：5、如果 aVbd0,那么 acbd：如果 ab0, cdbd：6、如果 ab0,那么 |a|b|：如果 aVbVO,那么 |a|b|：7、如果ab0,那么/（r為正整數(shù)）；8、如果aVbVO,那么/（為正奇數(shù)）：如果ab5的解，7, 8, 9, 10也是不等式x5的解“【說明】不等式的解可能是有限個(gè)，也可能是無限個(gè)，還可能不存在，即無解。例如，不等 式/W。的解只有一個(gè)為x=0,不等式X-221的解有無數(shù)個(gè)，而不等式/V0無解。）二、不等式的解集1、定義一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解組成這個(gè)不等式的解集，例如，不等式x+l5的解 集是4,不等式/。的解集是“0,不等式/

8、V0的解集是空集。2、表示方法（1）用不等式表示一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個(gè)解，它的解集是某個(gè)范圍，這個(gè)范圍可以用 一個(gè)簡(jiǎn)單的不等式（x2。）或（xWa）的形式表示出來。（2）用數(shù)軸表示在數(shù)軸上表示不等式的解集的步驟4、畫數(shù)軸8、定界點(diǎn)：若解集包含界點(diǎn)”，則用實(shí)心圓點(diǎn)：若解集不包含“界點(diǎn)”，則用空心圓圈。C、定方向：相對(duì)于“界點(diǎn)”而言，大于向右畫，小于向左畫。在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法(J-10圖1y=5x-10解法1:原不等式可化為5.L10AO,在平面直角坐 標(biāo)系中畫出直線j=5x10的囹氧 如囹1.所示. 由圖象可知，當(dāng).v2時(shí)，直線上的點(diǎn)在a軸上方， 此時(shí) F0,即 &v

9、-100,.所以不等式一 2a+3VTv7的解集為x 2.解法工 在直角坐標(biāo)系中國出直線以=一入+3和 找=八一7的圖象，如圖2所示。由圖象可知， 兩條直線的交點(diǎn)為（2, -1）當(dāng)1A2時(shí)，直線口=一小+3在直線J2=3a7的下方，即TiVq 即一2v+3Vh一： 所以，不等式一2A+3V3A-7的解集為122、歸納總結(jié)在同一直角坐標(biāo)系畫出一次函數(shù)yi=k/+d與yz=kzx+b2的圖象，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是 一元一次方程的Ax+bl=Azx+b2解：yz的部分所對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍就是一元 一次不等式女/+兒。+/的解集；y】yz的部分所對(duì)應(yīng)的自變量x的取值范圍就是一元 一次不等式kix+b

10、i丫2 時(shí)，150x160x-160,解得 xV16；當(dāng) yiVyz 時(shí),150x160x-160,解得因?yàn)閰⒓勇糜蔚娜藬?shù)為1025人，所以當(dāng)x=16時(shí)，甲乙兩家旅行社的收費(fèi)相同：當(dāng)10WxW15時(shí)，選擇乙旅行社；當(dāng)17W”W25時(shí)，選擇甲旅行社，第6節(jié) 一元一次不等式組一、一元一次不等式組一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，組成一個(gè)一元一次不等式組.【說明】（1）不等式組中的所有的不等式必須都是一元一次不等式。（2）不等式組中的所有的一元一次不等式都只含有同一個(gè)未知數(shù)。（3）不等式組中的一元一次不等式的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上。二、一元一次不等式組的解集1、概念一元一次不等式組中

11、各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等組的解集。 2、表示方法確定一個(gè)不等式組的解集的方法是先將幾個(gè)不等式的解集在同一個(gè)數(shù)軸上表示出來，然 后再找出它們的公共部分。不等式組(ab)散軸表示*窠記憶口魂(1) a xbd a bxb同大取大(2)x a x b-lia bx ax vbbS-k a bax:b小大大小中間找(4)xZ b3 J , . a 1無解大大小小找不到三、解不等式組1、概念求解不等式組解集的過程，叫做解不等式組,2、例題2a- 137 1解：(1)解不等式，得x2 在同一條數(shù)軸上表示不等 式的解集為：妾 2A，+3L4xlA+S (2)解不等式，得x3 解不等式

12、，得xW3 在同一條數(shù)軸上表示不等 式的解集為：-1012 34012 34所以，原不等式組的解集無解。所以，原不等式組的解集為x=3四、一元一次不等式組的應(yīng)用【例】某高一新生中有若干住宿生，分若干間宿舍。若每間住4人，則有21人無處?。喝?每間住7人，則還有1間沒住滿。求住宿生的人數(shù)。解：設(shè)有宿舍X間，則住宿生人數(shù)為(4x+21)人，根據(jù)題意得尸 1+21V7XL4a-+217 (a1)解這個(gè)不等式組，得7Vx913因?yàn)榉块g數(shù)只能取正整數(shù)，所以x只能取8或9當(dāng) x=8 時(shí)，4x4-21=53：當(dāng) x=9 時(shí)，4x+21=57答：住宿生的人數(shù)為53人或57人,第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)第1節(jié)圖形的

13、平移一、平移的相關(guān)概念1、平移的定義在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移。2、平移的條件（1）方向（任意方向）（2）距離3、平移的實(shí)質(zhì)圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都沿著同一個(gè)方向移動(dòng)了相同的距離。4、平移的性質(zhì)平移改變了圖形的位置，但不改變圖形的形狀和大小。這說明平移前后的兩個(gè)圖形是全 等的，因此得到了如下性質(zhì)：（1）平移前后的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或在同一條直線上）且相等。（2）平移前后的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等。（3）平移前后的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)角相等。0）(x+a, y)向左(x-a, y)）沿y軸方向向上(x, y+a)向下(x, y-a)【

14、說明】左右平移縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)左減右加；上下平移橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)上加下減。（2）坐標(biāo)的變化引起圖形的變化縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)分別增加（或減少）。時(shí)，圖形向右（或向左）平移a個(gè)單位;橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)分別增加（或減少）a時(shí)，圖形向上（或向下）平移a個(gè)單位。2、一個(gè)圖形依次沿x軸方向、y軸方向平移（1）圖形的平移引起坐標(biāo)的變化原圖形的坐標(biāo)平移方向與平移距離對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)(X, y)向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度(x+a, y+b)向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移b個(gè)單位長(zhǎng)度(x+a, y-b)向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度(*-a, y+b)向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移b個(gè)

15、單位長(zhǎng)度(*a, y 6)【說明】一個(gè)圖形依次沿X軸方向、y軸方向平移后所得的圖形，可以看作是由原圖形經(jīng)過 一次平移得到的。平移的距離等于向x軸、y軸平移距離的平方和的算術(shù)平方根平移的方 向是起始位置到終止位置時(shí)每對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的方向。圖形先向右平移。個(gè)單位,圖形先向右平移。個(gè)單位,圖形先向左平移a個(gè)單位,圖形先向左平移a個(gè)單位,再向上平移b個(gè)單位。 再向下平移6個(gè)單位。 再向上平移6個(gè)單位。 再向下平移b個(gè)單位。（2）坐標(biāo)的變化引起圖形的變化 橫坐標(biāo)增加a，縱坐標(biāo)增加b時(shí),橫坐標(biāo)增加a，縱坐標(biāo)減少b時(shí), 橫坐標(biāo)減少a，縱坐標(biāo)增加b時(shí), 橫坐標(biāo)減少縱坐標(biāo)減少b時(shí),第2節(jié)圖形的旋轉(zhuǎn)一、旋轉(zhuǎn)的相關(guān)概念1

16、、旋轉(zhuǎn)的定義在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞著某一個(gè)定點(diǎn)按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)（rotation ）（2、旋轉(zhuǎn)的三要素（1）旋轉(zhuǎn)中心：旋轉(zhuǎn)時(shí)的定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心。圖1（2）旋轉(zhuǎn)方向：順時(shí)針、逆時(shí)針（3）旋轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角?！菊f明】如圖1所示，aAB。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到CD。，則: 點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)C ,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D : 線段g的對(duì)應(yīng)線段是線段0C ： 線段的對(duì)應(yīng)線段是線段3; 線段AB的對(duì)應(yīng)線段是線段CD ：N A的對(duì)應(yīng)角是N C : Z B的對(duì)應(yīng)角是ND : Z AOB的對(duì)應(yīng)角是N ： 旋轉(zhuǎn)中心是直。；旋轉(zhuǎn)的角是N AOC或N 8?？谌鐖D2所示， 48c繞點(diǎn)。順時(shí)

17、針旋轉(zhuǎn)得到 DEF, 點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D ,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn) ;點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)F :線段A8的對(duì)應(yīng)線段是線段DE :線段BC的對(duì)應(yīng)線段是線段EF : 線段AC的對(duì)應(yīng)線段是線段DF ； Z A的對(duì)應(yīng)角是N D :z B的對(duì)應(yīng)角是:N C的對(duì)應(yīng)的是/ F ;旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)。;旋轉(zhuǎn)的角是/ A。或N BOE或N COF。旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)過程中保持不動(dòng)，旋轉(zhuǎn)中心可以在圖形上，可以在圖形外，還可 以在圖形內(nèi)。旋轉(zhuǎn)角的角度范圍為0x360%3、旋轉(zhuǎn)的實(shí)質(zhì)圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向旋轉(zhuǎn)了相同的角度。4、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)改變了圖形的位置，但不改變圖形的形狀和大小，這說明旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形是全 等的，

18、因此得到如下性質(zhì)：(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。(2)任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，它們都相等。(3)對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等。二、旋轉(zhuǎn)作圖1、旋轉(zhuǎn)作圖的類型(1)已知原圖、旋轉(zhuǎn)中心和一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作旋轉(zhuǎn)后的圖形?！纠?】如圖1所示， A8c繞。點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到了點(diǎn)D,試確定旋 轉(zhuǎn)后的三角形.作法：(1)連接 04、OB. oa 0D(2)分別以。亂0C為一運(yùn) 按逆。寸針方向作N6GA NCOM使/&?1/=/.40心ZC0A - XA0D(3)分別在射線QM C.M上裁取。石=。8 0F= 0C(4)順次連接 2)、E、F,得到/)五, 一.如圖2所示

19、，則就是繞點(diǎn)。校逆時(shí)針方向戰(zhàn):轉(zhuǎn)后的三允形口Z X【例2】如圖1所示，48C繞。點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，AC邊旋轉(zhuǎn)到了。的位置，試確 定旋轉(zhuǎn)后的三角形。作法：(1)連接。且、0& 0D(2)以O(shè)jB為一選3按逆時(shí)針方向作N6OM 、E、E 得到/)/； 如囹2所示，則bDEF就是 ABC 統(tǒng)。點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后的三角形。(3)已知原圖、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角，作旋轉(zhuǎn)后的圖形。【例3】已知如圖1所示，A A8c和旋轉(zhuǎn)中心。，請(qǐng)作出48C繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。后的 三角形ABU 作法：(1)連接。4、OB. OC(2)分別以Q4、0、OC為一邊，按時(shí)針方向作乙OR UjBOM Z CO9住乙

20、40P= BOM= N COX=60a(3)分別在射線OR。工、O.V上截取。/=。50B= 0B OCr=OC(4)順次連接.、B C, A得到.4&C,如圖2所示，剜.T5-C 就是 AjSC/統(tǒng)點(diǎn)o校順時(shí)甘方向旋b N轉(zhuǎn)60,后的三角彩.圖12、旋轉(zhuǎn)作圖的條件(1)原圖形的位置 (2)旋轉(zhuǎn)中心(3)旋轉(zhuǎn)方向(4)旋轉(zhuǎn)角度三、鐘表的旋轉(zhuǎn)1、秒針勻速旋轉(zhuǎn)一周需要1分鐘，恰好轉(zhuǎn)過360。，即每分鐘轉(zhuǎn)過360。；2、分鐘勻速旋轉(zhuǎn)一周需要60分鐘,恰好轉(zhuǎn)過360。，即每分鐘轉(zhuǎn)過6。； 3、時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)一大格需要60分鐘，恰好轉(zhuǎn)過30。，即每分鐘轉(zhuǎn)過。第3節(jié)中心對(duì)稱一、中心對(duì)稱1、中心對(duì)稱的概念如果

21、把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180%它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖 形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱。這個(gè)點(diǎn)叫做它們的對(duì)稱中心?！菊f明】中心對(duì)稱是對(duì)兩個(gè)圖形來說的，它表示兩個(gè)圖形之間的對(duì)稱關(guān)系。2、中心對(duì)稱的性質(zhì)因?yàn)槌芍行膶?duì)稱的兩個(gè)圖形能夠重合，所以這兩個(gè)圖形是全等的，因此有如下性質(zhì)：（1）成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段經(jīng)過對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分。（2）成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)線段平行（或在一條直線上）且相等。（3）成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)角相等。3、確定成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱中心的方法（1）連接任意一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，取這條線段的中點(diǎn)，這個(gè)中點(diǎn)即為對(duì)稱中心。（2）連接任意兩對(duì)

22、對(duì)稱點(diǎn)，兩條線段的交點(diǎn)即為對(duì)稱中心。二、中心對(duì)稱圖形1、中心對(duì)稱圖形的概念把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè) 圖形叫做中心對(duì)稱圖形。這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心?！菊f明】中心對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形來的說的。2、中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)（1）中心對(duì)稱圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對(duì)稱中心平分。（2）任何一條經(jīng)過對(duì)稱中心的直線都把一個(gè)中心對(duì)稱圖形分成全等的兩部分。3、作中心對(duì)稱圖形的步驟（1）確定對(duì)稱中心（2）找出所給圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)（3）作出這些關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)（4）按原圖順序連接所作的對(duì)稱點(diǎn)，完成中心對(duì)稱圖形。三、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形1、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的概念把

23、一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么 這個(gè)圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心。旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角?！菊f明】（1）一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形旋轉(zhuǎn)后與自身重合，旋轉(zhuǎn)的角度不一定是唯一的。如圓繞著 圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合。（2）旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形不一定是中心對(duì)稱圖形，但中心對(duì)稱圖形一定是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。2、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的性質(zhì)（1）旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱中心的距離都相等。（2）任意相鄰的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與對(duì)稱中心所連線段的夾角都相等。第4節(jié)簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì)一、欣賞圖案1、從美觀的角度來欣賞體會(huì)圖形的藝術(shù)美及其蘊(yùn)涵的設(shè)計(jì)意義。2、從數(shù)學(xué)的角度觀察與思考把圖案分解成

24、一些簡(jiǎn)單的圖案，如三角形、圓、線段、多邊形等，再看它們經(jīng)過怎樣的圖形變換可得到原圖案?！纠?】欣賞圖1中的圖案，并分析這個(gè)圖案形成的過程。圖1解：圖1中的圖案是由三個(gè)范本圖案組成的，它 們分別是三種影狀、大小完全相同只是顏色不同 的勺幄蟲”。在囹中，同色的“爬蟲”之間是平移 關(guān)系，所有同色的“爬蟲”都可以通過其中一只 經(jīng)過平移而得到；相鄰的不同色的“爬蟲”之間 可以通過愛轉(zhuǎn)而得到，其中，效轉(zhuǎn)角為120。，就 轉(zhuǎn)中心為“爬蟲”頭上、腿上或腳趾上一點(diǎn)。二、圖案的設(shè)計(jì)1、依據(jù)：軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱2、步驟（1）整體構(gòu)思圖案的設(shè)計(jì)要突出“主題”，即設(shè)計(jì)圖案的意圖，要求簡(jiǎn)捷、自然、別致。確定整幅

25、圖案的形狀和“基本圖案”。構(gòu)思圖案的形成過程：首先構(gòu)思該圖案由哪幾部分構(gòu)成，再構(gòu)思如何運(yùn)用平移、旋 轉(zhuǎn)、對(duì)稱等方法實(shí)現(xiàn)由“基本圖案”到各部分圖案的組合，并作出草圖。（2）具體作圖根據(jù)草圖，運(yùn)用尺規(guī)作圖的方法準(zhǔn)確地作出圖案，有條件的可用幾何畫板或用專業(yè)的畫 圖軟件在電腦上繪制出滿意的圖案。（3）對(duì)圖案進(jìn)行適當(dāng)?shù)男揎?，如著色等?！纠?】如圖2所示，用給定的幾種圖形設(shè)計(jì)圖案。要求設(shè)計(jì)的圖案至少要能體現(xiàn)平移、旋 轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱的關(guān)系，并簡(jiǎn)單說明圖案所表示的含義。解：如下圖所示，既體現(xiàn)平移關(guān)系，又能體現(xiàn)軸對(duì)稱關(guān)系：反映軸對(duì)稱關(guān)系： 體現(xiàn)的是旋轉(zhuǎn)關(guān)系。RR AA 、介II （J tj o o兩個(gè)棒髓 兩年電燈

26、 第四章第1節(jié)$ 因式分解因式分解一、因式分解的概念把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做因式分解C【說明】（1）因式分解的對(duì)象必須是多項(xiàng)式，即只有多項(xiàng)式才有可能因式分解。（2）因式分解的結(jié)果要用幾個(gè)整式的積的形式表示。如a2-b2+l = （a+b）（a-b）+ 1是恒等變形，而不是因式分解“又如必+X=X2（1+1）也不是因式分解，因?yàn)?X1+L不是整式，而是分式。X（3）因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能再分解為止。如。一=92+反乂，一/） 就沒分解完畢，因?yàn)闃?biāo)一片還能再分解，正確應(yīng)為-54=92+廿）9+6）9一幼二、因式分解與整式乘法的關(guān)系（互逆）a一二一（a + b）（a

27、-b）整式象d【說明】（1）積化和差是乘法，整式乘法是運(yùn)算；和差化積是分解，因式分解非運(yùn)算。（2）利用整式乘法可以檢驗(yàn)因式分解的結(jié)果是否正確c第2節(jié)提公因式法一、公因式1、公因式的概念多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式?！菊f明】（1）公因式可以是數(shù)字，可以是字母，也可以是單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。（2）公因式與各項(xiàng)的符號(hào)沒有關(guān)系。2、公因式的確定（1）確定公因式的數(shù)字因數(shù)。當(dāng)多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)是整數(shù)時(shí)，各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)就是公因式的系數(shù)。（2）確定公因式的字母及其指數(shù)。公因式的字母應(yīng)是多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的字母，其指數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)中最低的。二、提公因式法1、提公因式法的概念如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)

28、含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化 成兩個(gè)因式乘積的形式，這種因式分解的方法叫做提公因式法。2、提公因式法的步驟（1）確定多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式， （2）用多項(xiàng)式的各項(xiàng)分別去除以公因式，所得的商作為另一個(gè)因式的各項(xiàng)。（3）把多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的積的形式?！菊f明】多項(xiàng)式有幾項(xiàng)，提公因式后所剩的因式也有幾項(xiàng)。多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相同時(shí)，提公因式后該項(xiàng)保留因式是1而不是0.3、提公因式法與單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的關(guān)系i 建：ab + be提公曲式注卓旗式集多笈式如 ba + c)第3節(jié)公式法一、公式法的概念根據(jù)因式分解與整式乘法的關(guān)系，我們可以利用乘法公式把某些多項(xiàng)式因式分解，

29、這種 因式分解的方法叫做公式法。二、因式分解中的公式內(nèi)容1、平方差公式(1)字母表示：a2b2=(a-b)(ab)(2)文字表述：兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，2、完全平方公式(1)字母表示：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab-b2=(a-bYa22ab+b2=(ab)2(2)文字表述：兩個(gè)數(shù)的平方和，加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的 和(或差)的平方。三、公式的運(yùn)用1、平方差公式：系數(shù)能開方，指數(shù)要成雙，減號(hào)在中央2、完全平方公式：首平方，尾平方，積的2倍加(減)在中央。*第4節(jié)其他方法因式分解一、分組法因式分解例1 +3，+3葉2方法：a3

30、+3a2+3a+2= a3+2a2+a2+2a+a+2= a2(a+2)+a(a+2) + (a+2)= (+2)(a2+a+l)二、十字相乘法因式分解【例2】W+lOx+21= (1x1)x2+(3+7)x+3x7)=(x+3)(x+7):Xm2+5m 14= (lxl) m2+(-2+7)m + (-2)x7=(m2)(m+7)：x;三、換元法因式分解例 3 (x2+5x+6)(x2+7x+6)-3x2方法：令+5犬+6=，則原式=m(m+2x)3/方法：a3+3a2+3a+2= a342a24-a24-2a-4-a+2= (a3+a2+a)+(2a2+2a+2)= cr(a2+a+l)+

31、2(a2+a+l)= (cr+2)(a2+a+l) “25x+6=(八1)必+(2)+(3)x+( 2)x(3)= (x-2)(x-3)Xis(4)m2-4m12= (lxl) m2+( 6+2)m+( 6)x2= (m6)(m+2)12=m2+2mx3x1= (mx)( m+3x)= (x2+5x+6-x)( W+5x+6+3x)= (x2+4x+6)(x2+8x+6)四、配方法因式分解方法：令W+6=m,則原式= (m + 5x)(m+7x)3必= m2+12mx+32x2= (m+4x)( m+8x)= (W+4x+6)( x2+8x+6)【例4】爐+0+1=a5-a2+a2+a+l=

32、a2(a3-l) + (a2+a+l)=a2(al)(a2+o+l)+(a2+a+l)= (q3/Mo+a+U+C+a+i)/+4=m4+4+4m2-4m2= (/n4+4n?2+4)4m2= (m2+2)2-(2m)2= (m2+2m+2)(m22m+2)= (a2+a+l)(a3-a2+l)【說明】立方差公式：a3-b3=(a-b) (a2+ab4-b2)立方和公式：a3+b3=a+b) (a2ab+b2)完全立方公式：(a4-b)3=a3+3a2b+3ab24-b3(ab)3=a33a2b+3ab2b3五、拆項(xiàng)法因式分解【例 5】x3+9x2+26x+24=x3+2x2+7x2+14x+

33、12x+24x3+2x+3=x3x+3x+3= (x3+2x2)+(7x2+14x) + (12x+24)=X2(x+2) + 7x(x+2) + 12(x+2)= (/x) + (3x+3)=x(x2l) + 3(x+l)= (x+2)(x2+7x+12)=(x+2)(x+3)(x+4)=x(x-l)(x+l)+3(x+l)= (x2x) (x+l)+3(x+l)= (x+l) (x2x+3)第五章分式與分式方程第1節(jié)認(rèn)識(shí)分式一、分式的概念A(yù)一般地，用A、8表示兩個(gè)整式，4+8可以表示成的形式。如果8中含有字母，那么 B稱人為分式,其中4稱為分式的分子，8稱為分式的分母。B【說明】（1）分?jǐn)?shù)

34、線起到除號(hào)和括號(hào)的作用。（2）對(duì)于任意一個(gè)分式，分母都不能為零。（3）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母中必須要含有字 母。（4） 7T是常數(shù)不是字母，因此上是整式而不是分式。冗（5）判斷一個(gè)代數(shù)式是否為分式，不能把原式變形后再判斷，必須依據(jù)原來的形式進(jìn)行判斷，如型的分母中含有字母，我們認(rèn)定它為分式，而不能看化簡(jiǎn)后的結(jié)果。 y二、分式有、無意義及分式的值為。的條件1、分式有意義的條件：分母不等于02、分式無意義的條件：分母等于03、分式的值為。的條件：分子等于0且分母不等于0三、分式的基本性質(zhì)1、內(nèi)容：分式的分子與分母都乘(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變。 八b

35、b rn z 八、b bun, 八、2、公式：=(? W 0) =(m W 0)a a ina am【說明】m可以是數(shù)字，可以是字母，也可以是單項(xiàng)式，還可以是多項(xiàng)式，只要不為。即 可。四、分式的約分1、分式的約分：把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形叫做分式的約分。2、最簡(jiǎn)分式：當(dāng)分式的分子和分母沒有公因式時(shí)，這樣的分式稱為最簡(jiǎn)分式。3、約分的要求：使結(jié)果成為最簡(jiǎn)分式或整式。第2節(jié)分式的乘除法一、分式的乘法法則1、文字表述兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的枳作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。2、字母表示b d bd一一=a c ac二、分式的乘方法則1、文字表述分式乘方要把分子、分母分

36、別乘方。2、字母表示(-)=4 5為正整數(shù))a a三、分式的除法法則1、文字表述兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘。2、字母表示b d b c be4- = 一=a c a (1 ad四、分式的乘除法的混合運(yùn)算1、在一個(gè)算式中含有分式的乘方、乘法、除法時(shí)，先算乘方，再算乘除，有多項(xiàng)式時(shí)應(yīng)先 因式分解，再約分。2、一般情況下，分式乘除法混合運(yùn)算的順序?yàn)椋喊磸淖蟮接业捻樞蜻M(jìn)行，有括號(hào)時(shí)，應(yīng)先 算括號(hào)里面的?！菊f明】結(jié)果中的分母，既可以是乘積的形式，也可以是多項(xiàng)式。負(fù)因式的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果符號(hào)為正：負(fù)因式的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果符號(hào)為 負(fù)。如果分式的分子(或分母)的符號(hào)是負(fù)號(hào)時(shí)，

37、應(yīng)把負(fù)號(hào)提到分式的前而。分式運(yùn)算的結(jié)果必須是最簡(jiǎn)分式或整式。第3節(jié)分式的加減法 一、同分母分式的加減法法則1、文字表述同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。2、字母表示b t c hc一 =二、異分母分式的加減法法則1、異分母分式的通分（1）通分的定義根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母分式可以化為同分母分式，這一過程稱為分式的通分。（2）通分的方法（步驟）將所有分式的分母化成積的形式，當(dāng)分母為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)因式分解。確定最簡(jiǎn)公分母，即各分母的所有因式的最高次事的積。2、異分母分式的加減法法則（1）文字表述異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法法則 進(jìn)行計(jì)算。（2）字

38、母表示b ,（1 be , ad be ad- = =a c ac ac ac三、分式的化簡(jiǎn)求值【例1】先化簡(jiǎn)，再求值xX + （1）二一+（+ 1），其中X = 2 a 2x +1x 1（2） 一（ + l） + f 二一,。從一 1, 1和2三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)合適的代入求值。 4-1廠一 2。+ 1解:原式二品+-+1（2）原式= + - 7 -a+1（6C-1）22 a + 1=+a-1 2一1a+3,當(dāng)時(shí)，a1 = 0，分式?jīng)]有意義 當(dāng)。=1時(shí)，+1=0,除式不能為0只能取22+3當(dāng)。=2時(shí)，原式=士 = 52-1【例2】已知? 2 = 0,求代數(shù)式（1 +己-/一）+ （1-4-/一）

39、的值。 m m - nm in + n解：國- 2m = 0/. m = 2n 原式=Q+-）-（1-）2n 2- 2n 2n第4節(jié)分式方程一、分式方程1、概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。2、解分式方程（1）基本思路：化分式方程為整式方程（一元一次方程）（2） 一般步驟：“一去二解三驗(yàn)”去分母：方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，將其化為整式方程。解這個(gè)整式方程：得到未知數(shù)的值。檢驗(yàn)：有兩個(gè)方法。4把求得的值代入原方程，看方程的左邊與右邊是否相等。若相等，則是原方程 的根，若不相等，則不是原方程的根。8、把求得的值代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母是否為零。若等于零，則是增根， 若不等于零，則是原

40、方程的根?！菊f明】在將分式方程化為整式方程時(shí)，產(chǎn)生的使原分式方程的分母為零的解，我們稱它 為原分式方程的增根。產(chǎn)生增根的原因是，我們?cè)诜匠虄蛇呁肆艘粋€(gè)使分母為零的整式。因?yàn)榻夥质椒匠炭赡墚a(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)。二、分式方程的應(yīng)用1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟（1）審：審題。分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間的關(guān)系。（2）設(shè)：設(shè)未知數(shù)。一般求什么，就設(shè)什么為x （其他未知數(shù)也可以）。（3）找：找等量關(guān)系。找出能夠表示應(yīng)用題全部題意的一個(gè)等量關(guān)系。（4）歹於列方程。根據(jù)所找的等量關(guān)系列出方程。（5）解：解方程。解所列方程，求出未知數(shù)的值。（6）驗(yàn)：檢驗(yàn)。檢驗(yàn)所求得的值是否為所列

41、方程的根。（7）答：檢驗(yàn)所求的根是否符合題意，寫出答案（包括單位）。2、應(yīng)用舉例【例1】賈奇同學(xué)借了一本書，共280頁，要在兩周的借期內(nèi)讀完，當(dāng)她讀了正好一半時(shí)發(fā) 現(xiàn)，平均每天要多讀21頁才能在借期內(nèi)正好讀完，求她讀前一半時(shí)，平均每天讀多少頁 解：設(shè)她讀前一半時(shí)平均每天讀X頁，則她讀后一半時(shí)平均每天讀(x+21)頁，根據(jù)題意得140140+= 14x x + 21A解這個(gè)方程，得 x = 14經(jīng)檢驗(yàn)，x = 14是所列方程的根，且符合題意答：她讀前一半時(shí)，平均每天讀14頁?！纠?】從甲地到乙地共100km,其中開始的30km是平路，接下來的30km是上坡路，余 下的又是平路。小剛騎自行車從甲地

42、出發(fā)經(jīng)過2b到達(dá)甲乙兩地的中點(diǎn)，再經(jīng)過曲50mM到 達(dá)乙地，求小剛在平地上的速度。解：設(shè)小剛在平地上的速度為xkm/b,根據(jù)題意，得2- -= 2(1 -)解這個(gè)方程，得X = 30x 60 x經(jīng)檢驗(yàn)，x = 30是所列分式方程的根且符合題意。答：小剛在平地上的速度是30 km/從第六章平行四邊形第1節(jié)平行四邊形的性質(zhì)一、認(rèn)識(shí)平行四邊形1、定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，2、表示方法：四邊形A8CD是平行四邊形，記作“D4BCD”，讀作“平行四邊形A8CD，。3、對(duì)角線：平行四邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)連成的線段叫做它的對(duì)角線?！菊f明】一個(gè)平行四邊形有_0_條對(duì)角線。4、面積公式：3=ah (a表示平行四邊形的邊長(zhǎng)，A表示這條邊上的高)二、平行四邊形的性質(zhì)1、平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心。2、平行四邊形的對(duì)邊平行且相等。3、平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)。4、平行四邊形的對(duì)角線互相平分。第2節(jié)平行四邊形的