數(shù)列的極限經(jīng)典習(xí)題

1、Chapl數(shù)列的極限1.設(shè) Xn >0(n =1,2, III)及 lim Xn 二 a，用 n：N語(yǔ)言,證明：lim_ /云=JW .,Xn0 , a 0.當(dāng)a =0時(shí)，那么lim Xn =0 ,下證limXn - 0 .n二：n_2Vs >0，則存在 N > 0 , 當(dāng) n > N 時(shí)，0 < Xn = Xn - 0 < s .-可編輯修改Xn <君,此即Xn 0名.(2)limn 一當(dāng)a>0時(shí)，V s > 0,存在N > 0 ,當(dāng)n > N時(shí),Xn - aXn - aXnXna alimn.d)nim 3Xn綜上兩方面,即

2、證.2 已知lim Xn = a ,用£ - N語(yǔ)言,證明： n ,:證（1）當(dāng)a =0時(shí)，那么lim Xn =0 , n 經(jīng)Vs>0,存在 N >0 ,當(dāng) n >N 時(shí),XnVXnXn =0 = Va .（2）當(dāng)a #0時(shí)，因?yàn)? Xn0 ,存在N > 0,當(dāng)n > N時(shí)，有3 3 -2=一(壯)，"im x n 二 a,則對(duì) Pw >4 n iXn aXn - a兩百+（扣）2limn 一.：3a.（算術(shù)平均收斂公式）設(shè)lim xn = a .令n ：Lnxix2I I I xn,求證：lim t n = a .n 2由施篤茲公式li

3、mxix2lim-n n j .xn十四十nx 2 |4 - x i x 2 |ll xn i-li mx n - a . n證法2 由lim xn n一 .：,則V6 > 0 ,存在Ni > 0 ,使當(dāng)n > Ni時(shí)，有Xi + X2 +| + Xn a+ 111 +xNi-aNi" a +)11 +1(1 +x N1 -a ,那么Xix2|lnxn-an Ni存在N 2 >0 ,使當(dāng)nc> N 2時(shí)，有一n再令N = max Ni , N2 ),故當(dāng)n > N時(shí)，由，有xi x2 1,1 xn an - Ni<+- <2 n 24.

4、lim nn 一.：limn 一卷（幾何平均收斂公式xix2111 x)設(shè)為>0 (n=i,2,iii).且nimx n = a .證明：nim ,nxixzlll xnlimln xn - In a . n 二再由算術(shù)平均收斂公式可知Ymn/Xi x2 H"iln x 11n I/n x n=lim e nn ;證令a，n _1 =a ，則a >0 ,依伯努利不等式,有1 a 1 J-a n 1 -an,只要白<名.所以，有n >上.取N =a 11，則當(dāng)n > N 時(shí)，就有 1a - v s ,即 nfa -16 證明：若lim ann:二 a ,則

5、 lim an 一 ：a .當(dāng)且僅當(dāng)a為何值時(shí)逆命題也成立證 由題設(shè) lim an = a n ,n知Va A0,3N >0 ,當(dāng)n > N時(shí)，皆有an從而當(dāng)n > N時(shí)總有an - a所以lim a n-?<當(dāng)且僅當(dāng)a =0時(shí)，逆命題也成立7.設(shè) a ER,且 a >1，用_ N語(yǔ)言，證明：lim -n- -, 0 .n an一.7n1 a 1-二2 (由二項(xiàng)展開(kāi)式得n n-1 a-12 n- 1 a - 1要使只需即若取2a -1,則當(dāng)n AN時(shí)，就有n- na n2n-1 a-1所以limn=0.數(shù)列,a >1，aw R是無(wú)窮小序列8利用單調(diào)有界性證明

6、y i = b > 0 ,且 Xn 上二yn ,.n -1,2, Hl .貝U lim Xn _ lim yn .Xn >0 , yn > 0是顯然的.由Xnynyn a1 a2 IP an n -2 -Xn 1 - Xn Vn 至Xn Xn一Xnyn 1 *Xn C yn24單調(diào)增加,yn 單調(diào)減少,又Xnynyi ,yn 占 Xn Xi ,存在.所以Xn , yn 有界.即 lim Xn 二 A, lim yn對(duì)yn 1 Xn , yn兩邊取極限2，得9 證明：數(shù)列1 + IIk n Jn1單調(diào)增加證 記Xn =n11 + n ,數(shù)列J1 1工調(diào)減少1 n11，由平均值不

7、等式，兩者收斂于同一極限na1a2|-nil n 1 Sn 1一 Xnynyn 14單調(diào)增加,yn 單調(diào)減少,且1 - X1 Xnyny1 4 .所以Xn , yn 單調(diào)有界，必定收斂.由yn二Xn11 + 2 ),知它們有相同的極限.即nJ )nJ1Q證明：若a =1+2_ln n .則數(shù)列an 收斂. n證 由上例知11(1- n11 ；11 + n n j,兩邊取對(duì)數(shù)得即有不等式n ln 11 +_n1an 1 -an - In n 1 in nn 11 _1n 11 +_an21n_ +1n11ln n n3-Il1 ln2ln n一 In n 1 - In n 0即an )單調(diào)減少有

8、下界,所以an 收斂11.設(shè)數(shù)列Xn 滿足：X0 =1 , Xn +n = 1,2,3 HI .證明：數(shù)列%收斂,弁求nimx13證X0 = 1 , X12 一 22, X2 =.2 X1 = 24 .用數(shù)學(xué)歸納法可證2n 111 一 cXn - 2 2- 2 2 , n - 0,1, 2|llllln 1n2 12 一 1 、 n 1n .22由式知Xn .<Xn(n =0,1IHHI )即Xn)單調(diào)遞增再由式知1 < xn <2，二xn 收斂.設(shè)lim x n = a ,則a 1 1. n .；Xn 1 2. j2Xn,兩邊取極限有：a = >/2a .二 a 22a ,又；a 0 0 .12a =2 ,即 lim Xn = 2 .n -Xr出 c 0 , 0 x a, x x 2以 a >V，V < xi < a , n += n an =1,2,3 hi .證明：數(shù)列 x 收斂，弁求n 其極限 證先用數(shù)學(xué)歸納法證明0 < xn < a , n 匚 NCl當(dāng)n =1時(shí)，結(jié)論成立，歸納假設(shè)結(jié)論對(duì)n成立，再證n +1時(shí)，因?yàn)閤n1xxn.設(shè)為 lim x n = b .由 xn +=xn 2田；a J式解得b 一 a .二0 V xn + <a .即式成