初中數(shù)學(xué)專題講義-二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

1、初中數(shù)學(xué)專題講義-二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)課題二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1 .會用描點(diǎn)法和平移法畫二次函數(shù)的圖像；2 .會用配方法確定二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸；3 .理解一次函數(shù) y ax bx c（a,b,c是常數(shù)，a 0）的圖像和性質(zhì)4 .會求y ax2 bx c（a,b,c是常數(shù),a 0）與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，并會判斷拋物線與 x軸的交點(diǎn)情況。5 .會利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決簡單的實(shí)際問題重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)。 難點(diǎn)：二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用考點(diǎn)及考試要求利用二次函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想、待定系數(shù)法、配方法、轉(zhuǎn)化思想、 分類討論思想解決問題教學(xué)內(nèi)容知識框架一、二次函數(shù)的基本

2、形式 2 2 _21.二次函數(shù)基本形式：y ax的性質(zhì)：2. y ax c的性質(zhì) 3. y ax h的性質(zhì)：24. y a x h k的性質(zhì)：二、二次函數(shù)圖象的平移三、二次函數(shù)y a x h 2 k與y ax2 bx c的比較四、二次函數(shù)y ax2 bx c圖象的畫法五、二次函數(shù)y ax2 bx c的性質(zhì)六、二次函數(shù)解析式的表示方法七、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系八、二次函數(shù)圖象的對稱九、二次函數(shù)與一元二次方程：考點(diǎn)一：二次函數(shù)的定義相關(guān)典型例題【例1】卜列曲數(shù)中，是二次函數(shù)的是 ."-fl；"紜；，二魯4，y = 一"1知識概括、方法總結(jié)與易錯點(diǎn)分析【解析

3、】、【方法總結(jié)】結(jié)合二次函數(shù)的定義解決此類問題。需要注意X3的系數(shù)不為0.【例2】如果函數(shù)y=（k-3） 點(diǎn)+kx+1是二次函數(shù)，則k的值一定是.知識概括、方法總結(jié)與易錯點(diǎn)分析【方法總結(jié)】解決此類為題首先由最高次項(xiàng)的次數(shù)為2列出一個方程，在根據(jù)爐的系數(shù)不為。討論方程的解的取舍.【例3】 二次函數(shù)y=x2+2x7的函數(shù)值是8,那么對應(yīng)的x的值是（）A . 3 B .5 C 3和 5 D.3 和一5 .針對性練習(xí)1,已知二次函數(shù)P=多“3+5工-2 ,當(dāng)立二時2 .下列各式中，y是上的二次函數(shù)的是（）A 號+/=1 B 米-2=0 C /一皿二-2 D. drF=o.3,若V =田-2是二次函數(shù)，

4、則刑=.4.若函數(shù),=（e=+Ne與亡+4工+5是關(guān)于*的二次函數(shù)，則m的取值范圍為5,已知函數(shù)/二勤工是二次函數(shù)，則m =.考點(diǎn)二：一般式化為頂點(diǎn)式典型例題【例4】分別運(yùn)用公式法和配方法將二次函數(shù)y=x24x+ 6化為y式x h）2+k的形式：y二知識概括、方法總結(jié)與易錯點(diǎn)分析【方法總結(jié)】如果題目沒有特殊要求，建議學(xué)生用公式法解決相關(guān)問題，以減少解題時間.但是教師在講解此題時需重視配方法的講解，很多學(xué)生在配方的過程中經(jīng)常出現(xiàn)錯誤 .針對性練習(xí):1、分別用配方法和公式法把二次函數(shù)y=x2 4x+5化成y=（x h） 2+k的形式.222、（2011山東濟(jì)寧，12, 3分）將二次函數(shù) y x 4

5、x 5化為y （x h） k的形式，則y考點(diǎn)三：二次函數(shù)的性質(zhì)典型例題了 =-+3x2【例5】拋物線 3與,二的形狀相同，則=±1【解析】3 .【方法總結(jié)】 。決定拋物線開口的方向和開口大小.口 >0拋物線開口向上；口40拋物線開口向下.“越小拋物線開口越大.【學(xué)生易錯點(diǎn)】忽略開口向上的情況.v = or5 加/上【例6】二次函數(shù)r的圖象，如圖所示，根據(jù)圖象可得a、b、c與0的大小關(guān)系是()A . a>0, b<0, c<0 B . a>0, b>0, c>0C. a<0, b<0, c<0 D , a<0, b>

6、;0, c<0知識概括、方法總結(jié)與易錯點(diǎn)分析【解析】C.【方法總結(jié)】根據(jù)拋物線的開口方向判斷 11的正負(fù)：拋物線開口向上，義>0 ；拋物線開口向下，a<0根據(jù)拋物線與尸軸的交點(diǎn)判斷仁的正負(fù)：拋物線交了軸于正半軸，；拋物線交了軸于正半軸，仁)0；拋物線交了軸于遠(yuǎn)點(diǎn)，c=°.結(jié)合"，根據(jù)對稱軸判斷&的正負(fù)：左同右異.【例71、二次函數(shù)y=2(x+3)(x-1)的x軸的交點(diǎn)的個數(shù)有 個，交點(diǎn)坐標(biāo)為 .【解析】2； lqi/j。).知識概括、方法總結(jié)與易錯點(diǎn)分析【學(xué)生易錯點(diǎn)】誤以為交點(diǎn)坐標(biāo)為(后面講解的二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)也是需要注意的.例8 y=x2-3x

7、-4與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 ,與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是 .知識概括、方法總結(jié)與易錯點(diǎn)分析【解析】【方法總結(jié)】求函數(shù)圖像與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，另 y=0,求出區(qū)即可；求函數(shù)圖像與 y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，另x=0即可.【例9】二次函數(shù)y=-x2+6x+3的圖象頂點(diǎn)為 對稱軸為 .知識概括、方法總結(jié)與易錯點(diǎn)分析4知識概括、方法總結(jié)與易錯點(diǎn)分析【解析】（3, 12）;直線X = 3 .c bd【方法總結(jié)】頂點(diǎn)坐標(biāo)12a4" J ;對稱軸為直線 溫.bx=-【學(xué)生易錯點(diǎn)】對稱軸為“外 ”，經(jīng)常忘記寫直線.在教學(xué)時需強(qiáng)調(diào)答題的規(guī)范性【例10二次函數(shù)y=（x-1）（x+2）的頂點(diǎn)為,對稱軸為 知識概括、方法總結(jié)與易錯點(diǎn)

8、分析【解析】12. 41x=【方法總結(jié)】先求出對稱軸，然后將2代入，求出頂點(diǎn)縱坐標(biāo).【例11】二次函數(shù)戶一（五一邛一2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為知識概括、方法總結(jié)與易錯點(diǎn)分析【解析】（2,-2）【學(xué)生易錯點(diǎn)】誤以為頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,-2）.已知頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)、已知兩根式求拋物線與工軸的交點(diǎn)坐標(biāo)需重點(diǎn)講解.【例12二次函數(shù)y=-x2+6x-5,當(dāng)* 時，?隨工的增大而減小.知識概括、方法總結(jié)與易錯點(diǎn)分析【解析】3【方法總結(jié)】拋物線開口向下，則在對稱軸右側(cè)部分的函數(shù)圖像了隨其的增大而減小.【例13】已知點(diǎn)A （2,居），B （4,%）在二次函數(shù)串二提%勺圖像上，則八 八.【解析】【方法總結(jié)】解決此類問題虛線考慮給

9、出的點(diǎn)是否在對稱軸的同側(cè)，如果不在須求出其中一點(diǎn)關(guān)于 對稱軸的對稱點(diǎn)，再根據(jù) 了隨上的變化情況進(jìn)行判斷；如果在對稱軸的同一側(cè)可直接判斷【鞏固練習(xí)】的形狀大小開口方向相同，只有位置不同的拋物線是（-7x4-8A.=jc3 4-fa J-1022.在函數(shù)3d = .工串=一q中,其圖像的對稱軸是y軸的有（）A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個3.若拋物線了=“上+嚙、”的開口向下，頂點(diǎn)是（1y隨*的增大而減小，則h的取值26范圍是（A.Q3B3 c.h>1D.k< 口4 .二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖1,則點(diǎn)m (b,) aA .第一象限 B .第二象限 C.第三象限 D

10、 .第四象限5 .已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c （aw 0）的圖象如圖2所示，？則下列結(jié)論：a、b同號；當(dāng)x=1和x=3時，函數(shù)值相等； 4a+b=0;當(dāng)y=2時，xA. 1個的值只能取0.其中正確的個數(shù)是（）D . 4個D、6.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則在a<0,b >0,cv 0,b24ac>0”中，正確的 判斷是()A.B.C.7 .如果函數(shù)y = ax 2+4x-6的圖像的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,則a的值為-8 .已知拋物線y = ax 2+12x-19的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 3,則a= .考點(diǎn)四：二次函數(shù)圖像的平移典型例題【例14】把函數(shù)=的圖象向右平移3個單位，再向

11、下平移 2個單位，得到的二次函數(shù)解析式 是 【鞏固練習(xí)】y = fjc- 2)3y = -j1 .拋物線 3的圖象可由拋物線 3 向 平移 個單位得到，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是,對稱軸是 2 .拋物線,=32的圖象可由拋物線/ = 的圖象向 平移 個單位得到，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是,對稱軸是.3 .直角坐標(biāo)平面上將二次函數(shù)y=-2(x 1)22的圖象向左平移1個單位，再向上平移1個單位，則其頂點(diǎn)為()A.(0 , 0)B.(1, - 2)C.(0, 1)D.(-2, 1)學(xué)生易錯點(diǎn)題目1：如果函數(shù)y=(k-3) "St：+kx+1是二次函數(shù)，則k的值一定是.【正解】【錯解】上=3, * = 0【學(xué)生易

12、錯點(diǎn)】 學(xué)生經(jīng)常忽略, 一次函數(shù)和反比例函數(shù)的相關(guān)題型也可列出，提醒學(xué)生重視題目2：下列函數(shù)中，二次函數(shù)有 上./-4工+1"犯；，=油"、y = 一"【正解】3【錯解】4; 5【學(xué)生易錯點(diǎn)】 學(xué)生誤以為、都是二次函數(shù).學(xué)生比較容易忽略值二口 .而且要提醒學(xué)生注意：判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)，需先將函數(shù)化簡，再作判斷.否則容易誤認(rèn)為也是二次函數(shù).題目3:函數(shù)¥ = 3（工-2） +2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.【正解】（0, 14）【錯解】（0,2 ）【學(xué)生易錯點(diǎn)】學(xué)生易將一般是和頂點(diǎn)式弄混.講解時需提醒學(xué)生求函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)時,要看清題目中給出的是二次函數(shù)

13、的一般式還是頂點(diǎn)式題目4:已知點(diǎn)A （ 2,女），B （4, M ）在二次函數(shù)中二皿”口 下6的圖像上，則M g【正解】【學(xué)生易錯點(diǎn)】 學(xué)生經(jīng)常忘記對稱軸兩側(cè) 了隨工的變化情況是不同的.題目5:y = x3 +3x5將函數(shù)2向左平移兩個單位，得到函數(shù)y=-1(+2)a+3r-5+3(jt+2)-5【學(xué)生易錯點(diǎn)】平移時不能夠全面考慮.可以建議學(xué)生在頂點(diǎn)式的基礎(chǔ)上平移【當(dāng)堂檢測】二次函數(shù)中考題練習(xí)1.（山東濱州,7, 3分）拋物線y-22x 23可以由拋物線y x平移得到，則下列平移過程正確的是（）A.先向左平移2個單位，再向上平移3個單位B.先向左平移2個單位，再向下平移3個單位C.先向右平移2

14、個單位，再向下平移3個單位D.先向右平移2個單位，再向上平移3個單位2.（廣東廣州市,3分）下列函數(shù)中，當(dāng)x>0時y值隨x值增大而減小的是（).2A. y = xB. y = x- 11 D. y = x3.（湖北鄂州,153分）已知函數(shù)1 x0 3,則使y=k成立的x值恰好有三個,171 x >3則k的值為（A. 0 B.C. 2D. 34.（山東德州6,3分）已知函數(shù)y(xa)(x b)（其中ab）的圖象如下面右圖所示，則函數(shù)yaxL第6題圖b的圖象可能正確的是y*yOO-1(A)(B)1y-ix(C)(D)C為拋物線與坐標(biāo)軸的交C的圖像,-1-15.（山東荷澤，8, 3分）如

15、圖為拋物線2axbxA、B、點(diǎn)，且OA=OC=1,則下列關(guān)系中正確的是b<2aac<0A. a + b= - 10（山東泰安，20 ,6.3分）若二次函數(shù)2y=ax+bx+c的x與y的部分對應(yīng)值如下表:-7-6-5-4-3-2-27-13-37.A.8.則當(dāng)x=1時，y的值為A.5B.-3C.-13D.-27（山東威海,時，自變量-1<x<3（山東煙臺,對稱軸,A.C.7, 3分）二次函數(shù)x的取值范.圍是（B. x< - 1).C.2xx >33的圖象如圖所示.當(dāng)D. xv 1 或yv 0x> 310,4分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，兩條則下列關(guān)系正確的

16、是（m= n, k> hk< hn, k= hk= h9.（浙江溫州，9, 4分）已知二次函數(shù)的圖象（0w xW3）如圖所示.關(guān)函數(shù)在所給自變量取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是A .有最小值0,有最大值3B.有最小值-1,有最大值0C .有最小值1,有最大值3D.有最小值-1 ,無最大值10.（四川重慶，7, 4分）已知拋物線y = ax2+ bx+ c( a w 0)在平面直角拋物線有相同的9L 15坐標(biāo)系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是A. a>0c<0Da+ b+ c>011.（甘肅蘭州,4分）拋物線y2x 2x1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A. (1, 0)B. (-1

17、, 0)C.(2, 1)D. (2, 1)12.（甘肅蘭州,4分）如圖所示的二次函數(shù)_ 2,y ax bxc的圖象中，劉星同學(xué)觀察得出了下面四條信息：（1）b24ac 0 ； c>1 ；(3)2ab<0； (4)a+b+c<0。你認(rèn)為其中錯誤的有 13、A. 2個B.C. 4個D. 1個（江蘇宿遷,8,3分）已知二次函數(shù)y=ax2+ bx+ c (a的圖象如圖,則下列結(jié)論中正確的是（）A. a>0C. c< 014.（山東濟(jì)寧,O-1豐0)（第8題）。c中,B.當(dāng)x> 1時，y隨x的增大而增大.3是方程ax2+ bx+ c= 0的一個根3分）已知二次函數(shù)y2

18、axbx數(shù)y與自變量x之間的部分對應(yīng)值如下表所示:點(diǎn) A ( x1y1)、B ( X2,y2）在函數(shù)的圖象上，則當(dāng)Xi2,x24時，y1與y2的大小關(guān)系正確的是y2 by1y2yy215.（山東聊城，9, 3分）卜列四個函數(shù)圖象中，當(dāng)x<0時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小的R是（）16.（山東濰坊，12, 3分）已知一元二次方程 ax2 bx c 0 （a 0）的兩個實(shí)數(shù)根x1、x2滿足2xi x2 4和xgx2 3,那么二次函數(shù) y ax bx c（a 0）的圖象有可能是（）217.（四川廣安，10, 3分）若一次函數(shù) y （x m） 1 .當(dāng)xwi時，y隨x的增大而減小，則的取值范

19、圍是（18.（上海，44分）拋物線y= （x + 2）23的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（).(A)(2, 3);(B)(2, 3);(C)(2, 3);(D)(2, 3)19.（四川樂山5, 3分）將拋物線yx2向左平移2個單位后,得到的拋物線的解析式是20、22. y (x 2) B . y x（四川涼山州，12, 4分）二次函數(shù)2axbx(x 2)2 Dx2 2C的圖像如圖所示,反比列函數(shù)a -y 一與正比x列函數(shù)y bx在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖像是y第12題yOxAa與一次bx c的圖象如圖所示,則反比例函數(shù)21.（安徽蕪湖,10,4分）二次函數(shù)2axy函數(shù)v hv c在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（0y b

20、x c22. r （江蘇無錫,A.9, 3分）下列二次函數(shù)中，圖象以直線 x = 2為對稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)（0,1）的是A. y = ( x - 2) 2 + 1C. y = ( x - 2) 2 - 3（第21題圖）二、填空題1.（浙江省舟山,15, 4分）如圖，已知二次函數(shù) yx2 bx c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（一1,0）,(1,2）,當(dāng)y隨x的增大而增大時,x的取值范圍是（只要求填寫(1,-2(第15y2,y x bx2.（山東日照，17, 4分）如圖，是二次函數(shù)2y= ax+ bx+c （aw0）的圖象的一部分，給出下列命題：2a+b+c=0；b>2a；ax+bx+c=0的兩根分另1J為-3和1；a-2b+c>0.其中正確的命題是正確命題的序號）4.（浙江湖州，154）如圖，已知拋物線x2 bx c經(jīng)過點(diǎn)（0, 3）,請你確定一個 b的值,使該拋物線與x軸的一個交點(diǎn)在（10）和（3 , 0）之間你所確定的b的值是3 r的拋物線的解析式為5.（寧波市，166.（浙江義烏，16點(diǎn)B （1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)O-3分）將拋物線y=x的圖象向上平移1個單位，則平移后4分）