全品原創(chuàng)月考試題四（B)課標(biāo)數(shù)學(xué)

1、試卷類型：B2014屆高三全品原創(chuàng)月考試題四數(shù)學(xué)適用地區(qū)：新課標(biāo)地區(qū) 考查范圍：集合、邏輯、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角、向量、數(shù)列、不等式、立體幾何、解析幾何、統(tǒng)計、統(tǒng)計案例、計數(shù)原理（僅理科有），概率、隨機變量及其分布（僅理科有）建議使用時間：2013年11月底本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分.考生作答時，將答案答在答題卡上.在本試卷上答題無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，認(rèn)真核對條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它

2、答案標(biāo)號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.2013·新課標(biāo)全國卷 已知集合Mx|(x1)24，xR，N1，0，1，2，3，則MN()A0，1，2 B1，0，1，2C1，0，2，3 D0，1，2，3【答案】A解析 集合Mx|1<x<3，則MN0，1，22.2013·湖北卷 已知點A(1，1)，B

3、(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，則向量在方向上的投影為()A. B. C D【答案】A解析 (2，1)，(5，5)，|·cos，選A.3. 2013·山東卷 將函數(shù)ysin(2x)的圖像沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖像，則的一個可能取值為()A. B. C0 D【答案】B解析 方法一：將函數(shù)ysin(2x)的圖像沿x軸向左平移個單位后得到f(x)sin的圖像，若f(x)sin為偶函數(shù)，必有k，kZ，當(dāng)k0時，.方法二：將函數(shù)ysin(2x)的圖像沿x軸向左平移個單位后得到f(x)sin的圖像，其對稱軸所在直線滿足2xk，kZ，又f(x)sin為偶函數(shù)，y

4、軸為其中一條對稱軸，即k，kZ，當(dāng)k0時，.4.（理）2013·天津卷 已知下列三個命題：若一個球的半徑縮小到原來的，則其體積縮小到原來的；若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等；直線xy10與圓x2y2相切其中真命題的序號是()A BC D【答案】C解析 由球的體積公式VR3知體積與半徑是立方關(guān)系，正確平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的所有信息，標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的離散程度，不正確圓心到直線的距離為r，即直線與圓相切，正確（文）（河南省許昌新鄉(xiāng)平頂山2012屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)文）一個總體分為A,B,C三層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為50的樣本，已知B層中每個個體被抽到的概率都為，則

5、總體中的個數(shù)為（ ）A.150 B.200 C.500 D.600【答案】D【解析】設(shè)總體個數(shù)為，由分層抽樣的定義得所以.5.（東北三省四市教研協(xié)作體等值診斷聯(lián)合考試（2012長春三模）數(shù)學(xué)文）現(xiàn)有2名女教師和1名男教師參加說題比賽，共有2道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機選出一道題進行說題，其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】設(shè)兩道題分別為AB題，所以抽取情況共有：AAA,AAB,ABA, ABB,BAA, BAB,BBA,BBB，其中第1個，第2個分別是兩個女教師抽取的題目，第3個表示的男教師抽取的題目，一共有8種；其中滿足恰有一男一女抽到同一題

6、目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4種；故所求事件的概率為.6.（理）【2012高考真題湖北理5】設(shè)，且，若能被13整除，則（ ）A.0 B.1 C.11 D.12【答案】D【解析】,顯然當(dāng),即時，的各項都是13的倍數(shù)，故能被13整除.又，所以.故選D. （文）（海南省瓊海市2012年高考模擬測試一數(shù)學(xué)文）為了了解某校高三400名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試成績，制成樣本頻率分布直方圖如圖，規(guī)定不低于60分為及格，不低于80分為優(yōu)秀，則及格率與優(yōu)秀人數(shù)分別是（ ）A.60%，60 B.60%，80 C.80%，80 D.80%，60900.0100.0250.0050.0150.0355

7、040607080100分?jǐn)?shù)頻率/組距【答案】C【解析】由頻率分布直方圖可知，及格率為，優(yōu)秀人數(shù)為.7. 2013·新課標(biāo)全國卷 等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知S3a210a1，a59，則a1()A. B C. D【答案】C解析 S3a210a1a1a2a3a210a1a39a1q29，a59a3q29a31a1，故選C.8.（理）（云南昆明一中2012屆高三第二次摸底測試數(shù)學(xué)理）某學(xué)習(xí)小組共12人，其中有五名是“三好學(xué)生”，現(xiàn)從該小組中任選5人參加競賽，用表示這5人中“三好學(xué)生”的人數(shù)，則下列概率中等于的是（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】.（文）2013·山東

8、卷 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則直線OM斜率的最小值為()A2 B1 C D【答案】C解析 不等式組表示的可行域如圖，聯(lián)立解得P，當(dāng)M與P重合時，直線OM斜率最小，此時kOM.9. 2013·全國卷 若函數(shù)f(x)x2ax在是增函數(shù)，則a的取值范圍是()A1，0 B1，)C0，3 D3，)【答案】D解析 f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立，由于y2x在上單調(diào)遞減，所以y<3，故只要a3.10.（山東省濰坊市2012屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)文）已知雙曲線的左、右焦點分別為為的右支上一點，且，則等于（ ）A.24 B.48 C.50 D

9、.56【答案】C【解析】由雙曲線的方程，得，所以.又由雙曲線的定義，得，所以.所以.11.（河南省許昌新鄉(xiāng)平頂山2012屆高三第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)文）已知四棱錐P-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，點是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)棱長都為1，連接AC,BD交于點O，連接OE.因為所有棱長都相等，不放設(shè) ABCD是正方形，所以O(shè)是BD的中點，且OE/PD，故為異面直線AE與PD所成的角.易知 .在中，由余弦定理得.PABCDEO12.（理）(河北省石家莊市2012屆高中畢業(yè)班第二次模擬考試數(shù)學(xué)理)已知長方形ABCD，拋物線以CD的中點E為頂

10、點，經(jīng)過A、B兩點，記拋物線與AB邊圍成的封閉區(qū)域為M.若隨機向該長方形內(nèi)投入一粒豆子，落入?yún)^(qū)域M的概率為P.則下列結(jié)論正確的是（ ）A.不論邊長如何變化，P為定值； B.若-的值越大，P越大；C.當(dāng)且僅當(dāng)時，P最大； D.當(dāng)且僅當(dāng)時，P最小.【答案】A【解析】以E為原點，CD為x軸，過點E垂直于CD的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示.設(shè)正方形的長為2a，寬為b，則，設(shè)拋物線方程為，代入點B，得，所以.陰影面積，矩形ABCD的面積,故由幾何概型得，所求事件的概率為為常數(shù).故選A.ABCDxyO（文）(寧夏銀川一中2012屆高三年級第三次月考數(shù)學(xué)文)曲線在點處的切線為，則上的點到圓上的點的

11、最近距離是( )A. B.2 C. D.2【答案】B 【解析】因為，所以.所以曲線在點處的切線方程為，即：.圓的圓心為，半徑為1，且圓心到直線：的距離為，所以上的點到圓上的點的最近距離是.第II卷二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卷相應(yīng)位置上.13. 【2012高考湖南文12】不等式x25x60的解集為_【答案】x|2x3【解析】解不等式得 (x2)(x3)0，即2x3，所以不等式的解集是x|2x314.（理）（云南昆明一中2012屆高三第二次摸底測試數(shù)學(xué)理）設(shè)曲線，直線軸所圍成的平面區(qū)域為M，向區(qū)域內(nèi)隨機設(shè)一點A，則點A落在M內(nèi)的概率為 .【答案】【解析】如圖，

12、的面積為，的面積為，故由幾何概型得，所求的概率為.（文）（云南昆明一中2012屆高三第二次摸底測試數(shù)學(xué)文）小華的媽媽經(jīng)營一家飲品店，經(jīng)常為進貨數(shù)量而煩惱，于是小華帶媽媽進行統(tǒng)計，其中某種飲料的日銷售量y（瓶）與當(dāng)天的氣溫x（）的幾組對照數(shù)據(jù)如下： 根據(jù)上表得回歸方程中的，據(jù)此模型估計當(dāng)氣溫為35時，該飲料的日銷售量為 瓶.【答案】244【解析】由已知，得，將點代入回歸方程中，得，所以回歸方程為.所以當(dāng)時，.15. 2013·江蘇卷 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0，b>0)，右焦點為F，右準(zhǔn)線為l，短軸的一個端點為B.設(shè)原點到直線BF的距離為d1，F(xiàn)

13、到l的距離為d2.若d2d1，則橢圓C的離心率為_【答案】解析 由題意知F(c，0)，l：x，不妨設(shè)B(0，b)，則直線BF：1，即bxcybc0.于是d1，d2c.由d2d1，得6，化簡得6c4a2c2a40，即6e4e210，解得e2或e2(舍去)，故e，故橢圓C的離心率為.16.（理）（黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)2012屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)理）將標(biāo)號為的個小球放入個不同的盒子中.若每個盒子放個，其中標(biāo)號為的小球不能放入同一盒子中，則不同的方法共有 種.【答案】72【解析】將6個小球放入3個盒子，每個盒子中2個，有種情況.其中標(biāo)號為1,2的球放入同一個盒子中有種，所以滿足題意的方法共有9

14、0-18=72種.（文）（湖北省武漢市2012屆高三四月調(diào)研測試數(shù)學(xué)文）為了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學(xué)利用假期分別對三個社區(qū)進行了“家庭每月日常消費額”的調(diào)查.他們將調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），記甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1、s2、s3，則它們的大小關(guān)系為 .（用“”連接）【答案】【解析】甲數(shù)據(jù)的平均值為，同理，乙數(shù)據(jù)的平均值為，丙數(shù)據(jù)的平均值為，可見甲乙丙三者的平均值都處在頻率分布直方圖的最中間一列，此時，若越靠近中間列所占的頻率越大，則相應(yīng)的方差越小，明顯丙的中間列及附近列所占的頻率最大，其次是乙，甲中間列及附近列所占的頻率最小，故.三、解

15、答題：本大題共6小題，滿分70分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟17.（本小題滿分10分）2013·江西卷 正項數(shù)列an的前n項和Sn滿足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)令bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn，證明：對于任意的nN*，都有Tn<.【解】(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正項數(shù)列，所以Sn>0，Snn2n.于是a1S12，n2時，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.綜上，數(shù)列an的通項為an2n.(2)證明：由于an2n，bn，則bn.Tn<.18.（本小題

16、滿分12分）2013·山東卷 設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值【解】(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1cosB)，又b2，ac6，cos B，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sin B.由正弦定理得sin A.因為ac，所以A為銳角，所以cos A.因此sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.19.（本小題滿分12分）（理）2013·湖北卷 假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800，502)的隨機變量

17、，記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為P0.(1)求P0的值；(參考數(shù)據(jù)：若XN(，2)，有P(<X)0.682 6，P(2<X2)0.954 4，P(3<X3)0.997 4)(2)某客運公司用A，B兩種型號的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務(wù)，每車每天往返一次，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求B型車不多于A型車7輛若每天要以不小于P0的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？【解】(

18、1)由于隨機變量X服從正態(tài)分布N(800，502)，故有800，50，P(700<X900)0.954 4.由正態(tài)分布的對稱性，可得P0P(X900)P(X800)P(800<X900)P(700<X900)0.977 2.(2)設(shè)A型、B型車輛的數(shù)量分別為x，y輛，則相應(yīng)的營運成本為1 600x2 400y，依題意，x，y還需滿足：xy21，yx7，P(X36x60y)P0.由(1)知，P0P(X900)，故P(X36x60y)P0等價于36x60y900，于是問題等價于求滿足約束條件且使目標(biāo)函數(shù)z1 600x2 400y達(dá)到最小的x，y值作可行域如圖所示，可行域的三個頂點

19、坐標(biāo)分別為P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)由圖可知，當(dāng)直線z1 600x2 400y經(jīng)過可行域的點P時，直線z1 600x2 400y在y軸上截距最小，即z取得最小值，故應(yīng)配備A型車5輛，B型車12輛（文）2013·北京卷 下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天圖16(1)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率；(2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差

20、最大？(結(jié)論不要求證明)【解】設(shè)Ai表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”(i1，2，13)根據(jù)題意，P(Ai)，且AiAj(ij)(1)設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染”，則BA5A8.所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8).(2)由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2，且P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)，P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)，P(X0)1P(X1)P(X2).所以X的分布列為X012P故X的期望E(X)0×1×2×.(3)從3月5日開始連續(xù)三天的空

21、氣質(zhì)量指數(shù)方差最大20.（本小題滿分12分）（理）2013·山東卷 如圖14所示，在三棱錐PABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ2BD，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，聯(lián)結(jié)GH.(1)求證：ABGH；(2)求二面角DGHE的余弦值【解】(1)證明：因為D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，所以EFAB，DCAB，所以EFDC.又EF平面PCD，DC平面PCD，所以EF平面PCD.又EF平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，所以EFGH.又EFAB，所以ABGH.(2)方法一：在ABQ中，AQ2BD，ADDQ

22、，所以ABQ90°，即ABBQ.因為PB平面ABQ，所以ABPB.又BPBQB，圖15所以AB平面PBQ.由(1)知ABGH，所以GH平面PBQ.又FH平面PBQ，所以GHFH.同理可得GHHC，所以FHC為二面角DGHE的平面角設(shè)BABQBP2.聯(lián)結(jié)FC，在RtFBC中，由勾股定理得FC，在RtPBC中，由勾股定理得PC.又H為PBQ的重心，所以HCPC.同理FH.在FHC中，由余弦定理得cosFHC.即二面角DGHE的余弦值為.方法二：在ABQ中，AQ2BD，ADDQ，所以ABQ90°.又PB平面ABQ，所以BA，BQ，BP兩兩垂直以B為坐標(biāo)原點，分別以BA，BQ，BP

23、所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)BABQBP2，則E(1，0，1)，F(xiàn)(0，0，1)，Q(0，2，0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)所以(1，2，1)，(0，2，1)，(1，1，2)，(0，1，2)設(shè)平面EFQ的一個法向量為m(x1，y1，z1)，由m·0，m·0，得取y11，得m(0，1，2)設(shè)平面PDC的一個法向量為n(x2，y2，z2)，由n·0，n·0，得取z21，得n(0，2，1)所以cosm，n.因為二面角DGHE為鈍角，所以二面角DGHE的余弦值為.（文）2013·江蘇卷 如圖12

24、，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.過A作AFSB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點求證：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.圖12證明：(1)因為ASAB，AFSB，垂足為F，所以F是SB的中點又因為E是SA的中點，所以EFAB.因為EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEGE，所以平面EFG平面ABC.(2)因為平面SAB平面SBC，且交線為SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC.因為BC平面SBC，所以AFBC.又因為ABBC，AFABA，AF，AB平面SAB，所以BC平面SAB.因為SA

25、平面SAB，所以BCSA.21.（本小題滿分12分）（理）【2012高考真題福建理19】如圖14，橢圓E：1(ab0)的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e，過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且ABF2的周長為8.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)動直線l：ykxm與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x4相交于點Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.圖14【解】解法一：（1）因為|AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8，又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，所以4a8，a2.又因為e，即，所以

26、c1，所以b.故橢圓E的方程是1.（2）由得(4k23)x28kmx4m2120.因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化簡得4k2m230.(*)此時x0，y0kx0m，所以P.由得Q(4,4km).假設(shè)平面內(nèi)存在定點M滿足條件，由圖形對稱性知，點M必在x軸上.設(shè)M(x1,0)，則·0對滿足(*)式的m、k恒成立.因為，(4x1,4km)，由·0，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130.(*)由于(*)式對滿足(*)式的m，k恒成立，所以解得x11.故存在定點M(1,0)，使得以PQ為

27、直徑的圓恒過點M.解法二：（1）同解法一.（2）由得(4k23)x28kmx4m2120.因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化簡得4k2m230.(*)此時x0，y0kx0m，所以P.由得Q(4,4km).假設(shè)平面內(nèi)存在定點M滿足條件，由圖形對稱性知，點M必在x軸上.取k0，m，此時P(0，)，Q(4，)，以PQ為直徑的圓為(x2)2(y)24，交x軸于點M1(1,0)，M2(3,0)；取k，m2，此時P，Q(4,0)，以PQ為直徑的圓為22，交x軸于點M3(1,0)，M4(4,0).所以若符合條件的點M存在，則

28、M的坐標(biāo)必為(1,0).以下證明M(1,0)就是滿足條件的點：因為M的坐標(biāo)為(1,0)，所以，(3,4km)，從而·330，故恒有，即存在定點M(1,0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點M.（文）【2012高考真題福建文21】如圖14所示，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個頂點均在拋物線E：x22py(p0)上.圖14（1）求拋物線E的方程；（2）設(shè)動直線l與拋物線E相切于點P，與直線y1相交于點Q，證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點.【解】解法一：（1）依題意，|OB|8，BOy30°.設(shè)B(x，y)，則x|OB|sin30°4，y|OB|cos30°

29、12.因為點B(4，12)在x22py上，所以(4)22p×12，解得p2.故拋物線E的方程為x24y.（2）由（1）知yx2，yx.設(shè)P(x0，y0)，則x00，且l的方程為yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q.假設(shè)以PQ為直徑的圓恒過定點M，由圖形的對稱性知M必在y軸上，設(shè)M(0，y1)，令·0對滿足y0x(x00)的x0，y0恒成立.由于(x0，y0y1)，.由·0，得y0y0y1y1y0.即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式對滿足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0,1).解法二：（1）同解法一.（2）由（1）知yx2，yx，設(shè)P(x0，y0)，則x00，且l的方程為yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q.取x02，此時P(2,1)，Q(0，1)，以PQ為直徑的圓為(x1)2y22，交y軸于點M1(0,1)或M2(0，1)；取x01，此時P，Q，以PQ為直徑的圓為22，交y軸于M3(0,1)或M4.故若滿足條件的點M存在，只能是M(0,1).以下證明點M(0,1)就是所要求的點.因為(x0，y01)，·2y022y022y020.故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M.22.（本小題滿分12分）（理）201