二次根式的加減 (2)

1、二次根式的加減(1)第一課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 二次根式的加減 教學(xué)目標(biāo) 理解和掌握二次根式加減的方法 先提出問(wèn)題，分析問(wèn)題，在分析問(wèn)題中，滲透對(duì)二次根式進(jìn)行加減的方法的理解再總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，用它來(lái)指導(dǎo)根式的計(jì)算和化簡(jiǎn) 重難點(diǎn)關(guān)鍵 1重點(diǎn)：二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)根式 2難點(diǎn)關(guān)鍵：會(huì)判定是否是最簡(jiǎn)二次根式 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 學(xué)生活動(dòng)：計(jì)算下列各式 （1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3 教師點(diǎn)評(píng)：上面題目的結(jié)果，實(shí)際上是我們以前所學(xué)的同類項(xiàng)合并同類項(xiàng)合并就是字母不變，系數(shù)相加減 二、探索新知 學(xué)生活動(dòng)：計(jì)算下列各式（1）2+3 （2）2-3+5

2、 （3）+2+3 （4）3-2+ 老師點(diǎn)評(píng)： （1）如果我們把當(dāng)成x，不就轉(zhuǎn)化為上面的問(wèn)題嗎？ 2+3=（2+3）=5 （2）把當(dāng)成y； 2-3+5=（2-3+5）=4=8 （3）把當(dāng)成z； +2+ =2+2+3=（1+2+3）=6 （4）看為x，看為y 3-2+ =（3-2）+ =+ 因此，二次根式的被開(kāi)方數(shù)相同是可以合并的，如2與表面上看是不相同的，但它們可以合并嗎？可以的 （板書(shū)）3+=3+2=5 3+=3+3=6 所以，二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并 例1計(jì)算 （1）+ （2）+ 分析：第一步，將不是最簡(jiǎn)二次根式的項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式

3、；第二步，將相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并 解：（1）+=2+3=（2+3）=5 （2）+=4+8=（4+8）=12 例2計(jì)算 （1）3-9+3 （2）（+）+（-） 解：（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）=15 （2）（+）+（-）=+- =4+2+2-=6+ 三、鞏固練習(xí) 教材P19 練習(xí)1、2 四、應(yīng)用拓展 例3已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值 分析：本題首先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3其次，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先把各項(xiàng)化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式，最后代入求值 解

4、：4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 （2x-1）2+（y-3）2=0 x=，y=3 原式=+y2-x2+5x =2x+-x+5 =x+6 當(dāng)x=，y=3時(shí)， 原式=×+6=+3 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握：（1）不是最簡(jiǎn)二次根式的，應(yīng)化成最簡(jiǎn)二次根式；（2）相同的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并 六、布置作業(yè) 1教材P21 習(xí)題213 1、2、3、52選作課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)3.課后作業(yè):同步訓(xùn)練 第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1以下二次根式：；中，與是同類二次根式的是（ ） A和 B和 C和 D和 2下列各式：3+3=6；=1；+=2；=2，其中錯(cuò)誤的有（ ）

5、A3個(gè) B2個(gè) C1個(gè) D0個(gè) 二、填空題 1在、3、-2中，與是同類二次根式的有_ 2計(jì)算二次根式5-3-7+9的最后結(jié)果是_ 三、綜合提高題 1已知2.236，求（-）-（+）的值（結(jié)果精確到0.01） 2先化簡(jiǎn)，再求值 （6x+）-（4x+），其中x=，y=27答案: 一、1C 2A 二、1 26-2 三、1原式=4-=×2.2360.452原式=6+3-（4+6）=（6+3-4-6）=-，當(dāng)x=，y=27時(shí)，原式=-=-21.3 二次根式的加減(2)第二課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 利用二次根式化簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想解應(yīng)用題 教學(xué)目標(biāo) 運(yùn)用二次根式、化簡(jiǎn)解應(yīng)用題 通過(guò)復(fù)習(xí)，將二次根式化成被開(kāi)方數(shù)相

6、同的最簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)行合并后解應(yīng)用題 重難點(diǎn)關(guān)鍵 講清如何解答應(yīng)用題既是本節(jié)課的重點(diǎn)，又是本節(jié)課的難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn) 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 上節(jié)課，我們已經(jīng)講了二次根式如何加減的問(wèn)題，我們把它歸為兩個(gè)步驟：第一步，先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式；第二步，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，下面我們講三道例題以做鞏固二、探索新知例1如圖所示的RtABC中，B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)問(wèn)：幾秒后PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示） 分析：設(shè)x秒后PBQ的面積為3

7、5平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根據(jù)三角形面積公式就可以求出x的值 解：設(shè)x 后PBQ的面積為35平方厘米 則有PB=x，BQ=2x 依題意，得：x·2x=35 x2=35 x= 所以秒后PBQ的面積為35平方厘米 PQ=5 答：秒后PBQ的面積為35平方厘米，PQ的距離為5厘米 例2要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）？分析：此框架是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材，只需知道這四段的長(zhǎng)度 解：由勾股定理，得 AB=2 BC= 所需鋼材長(zhǎng)度為 AB+BC+AC+BD =2+5+2 =3+7 3×2.24+713.7（m） 答：要焊

8、接一個(gè)如圖所示的鋼架，大約需要13.7m的鋼材 三、鞏固練習(xí) 教材P19 練習(xí)3 四、應(yīng)用拓展 例3若最簡(jiǎn)根式與根式是同類二次根式，求a、b的值（同類二次根式就是被開(kāi)方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式） 分析：同類二次根式是指幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同；事實(shí)上，根式不是最簡(jiǎn)二次根式，因此把化簡(jiǎn)成|b|·，才由同類二次根式的定義得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b 解：首先把根式化為最簡(jiǎn)二次根式： =|b|· 由題意得 a=1，b=1 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握運(yùn)用最簡(jiǎn)二次根式的合并原理解決實(shí)際問(wèn)題 六、布置作業(yè) 1教材P21 習(xí)題213 72選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)3.課

9、后作業(yè):同步訓(xùn)練 作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1已知直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5和5，那么斜邊的長(zhǎng)應(yīng)為（ ）（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式） A5 B C2 D以上都不對(duì) 2小明想自己釘一個(gè)長(zhǎng)與寬分別為30cm和20cm的長(zhǎng)方形的木框，為了增加其穩(wěn)定性，他沿長(zhǎng)方形的對(duì)角線又釘上了一根木條，木條的長(zhǎng)應(yīng)為（ ）米（結(jié)果同最簡(jiǎn)二次根式表示） A13 B C10 D5 二、填空題 1某地有一長(zhǎng)方形魚(yú)塘，已知魚(yú)塘的長(zhǎng)是寬的2倍，它的面積是1600m2，魚(yú)塘的寬是_m（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式） 2已知等腰直角三角形的直角邊的邊長(zhǎng)為，那么這個(gè)等腰直角三角形的周長(zhǎng)是_（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式） 三、綜合提高題 1若最簡(jiǎn)二次根式

10、與是同類二次根式，求m、n的值 2同學(xué)們，我們以前學(xué)過(guò)完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟練掌握了吧!現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了二次根式，那么所有的正數(shù)（包括0）都可以看作是一個(gè)數(shù)的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是誰(shuí)的二次根式呢？下面我們觀察： （-1）2=（）2-2·1·+12=2-2+1=3-2 反之，3-2=2-2+1=（-1）2 3-2=（-1）2 =-1求：（1）；（2）；（3）你會(huì)算嗎？ （4）若=，則m、n與a、b的關(guān)系是什么？并說(shuō)明理由答案:一、1A 2C二、120 22+2三、1依題意，得 ， ， 所以或 或 或2（1

11、）=+1 （2）=+1 （3）=-1 （4） 理由：兩邊平方得a±2=m+n±2 所以21.3 二次根式的加減(3)第三課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 含有二次根式的單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、相除；多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、相除；多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、相除；乘法公式的應(yīng)用 教學(xué)目標(biāo) 含有二次根式的式子進(jìn)行乘除運(yùn)算和含有二次根式的多項(xiàng)式乘法公式的應(yīng)用 復(fù)習(xí)整式運(yùn)算知識(shí)并將該知識(shí)運(yùn)用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運(yùn)算 重難點(diǎn)關(guān)鍵 重點(diǎn)：二次根式的乘除、乘方等運(yùn)算規(guī)律； 難點(diǎn)關(guān)鍵：由整式運(yùn)算知識(shí)遷移到含二次根式的運(yùn)算 教學(xué)過(guò)程 一、復(fù)習(xí)引入 學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題: 1計(jì)算 （1）（2x+y）&#

12、183;zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy 2計(jì)算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2 老師點(diǎn)評(píng)：這些內(nèi)容是對(duì)八年級(jí)上冊(cè)整式運(yùn)算的再現(xiàn)它主要有（1）單項(xiàng)式×單項(xiàng)式；（2）單項(xiàng)式×多項(xiàng)式；（3）多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的運(yùn)用 二、探索新知 如果把上面的x、y、z改寫(xiě)成二次根式呢？以上的運(yùn)算規(guī)律是否仍成立呢？仍成立 整式運(yùn)算中的x、y、z是一種字母，它的意義十分廣泛，可以代表所有一切，當(dāng)然也可以代表二次根式，所以，整式中的運(yùn)算規(guī)律也適用于二次根式 例1計(jì)算: （1）（+）× （

13、2）（4-3）÷2 分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律，所以直接可用整式的運(yùn)算規(guī)律 解：（1）（+）×=×+× =+=3+2 解：（4-3）÷2=4÷2-3÷2 =2- 例2計(jì)算 （1）（+6）（3-） （2）（+）（-） 分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算在乘法公式運(yùn)算中仍然成立 解：（1）（+6）（3-） =3-（）2+18-6 =13-3 （2）（+）（-）=（）2-（）2 =10-7=3 三、鞏固練習(xí) 課本P20練習(xí)1、2 四、應(yīng)用拓展例3已知=2-，其中a、b是實(shí)數(shù)，且a+b0，化簡(jiǎn)

14、+，并求值 分析：由于（+）（-）=1，因此對(duì)代數(shù)式的化簡(jiǎn)，可先將分母有理化，再通過(guò)解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到x的值，代入化簡(jiǎn)得結(jié)果即可解：原式=+=+ =（x+1）+x-2+x+2 =4x+2 =2- b（x-b）=2ab-a（x-a） bx-b2=2ab-ax+a2 （a+b）x=a2+2ab+b2 （a+b）x=（a+b）2 a+b0 x=a+b 原式=4x+2=4（a+b）+2 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握二次根式的乘、除、乘方等運(yùn)算 六、布置作業(yè) 1教材P21 習(xí)題213 1、8、9 2選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)3.課后作業(yè):同步訓(xùn)練作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1（-3+2）×的值是（

15、 ） A-3 B3- C2- D- 2計(jì)算（+）（-）的值是（ ） A2 B3 C4 D1 二、填空題 1（-+）2的計(jì)算結(jié)果（用最簡(jiǎn)根式表示）是_2（1-2）（1+2）-（2-1）2的計(jì)算結(jié)果（用最簡(jiǎn)二次根式表示）是_ 3若x=-1，則x2+2x+1=_ 4已知a=3+2，b=3-2，則a2b-ab2=_ 三、綜合提高題 1化簡(jiǎn) 2當(dāng)x=時(shí)，求+的值（結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示） 課外知識(shí) 1同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，它們的被開(kāi)方數(shù)相同，這些二次根式就稱為同類二次根式，就是本書(shū)中所講的被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式 練習(xí)：下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（ ）A與 B與C與 D與 2互為有理化因式：互為有理化因式是指兩個(gè)二次根式的乘積可以運(yùn)用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同時(shí)它們的積是有理數(shù)，不含有二次根式：如x+1-與x+1+就是互為有理化因式；與也