1998考研數(shù)二真題及解析

1、1998年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題、填空題(本題共5小題，每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)、(1 x22 .(2)曲線yxx3 x2 2x與x軸所圍成的圖形的面積A .(4) 設f (x)連續(xù),則(5) 曲線的漸近線方程為.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,共15分 .在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題 目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)設數(shù)列xn與yn滿足imxnyn0,則下列斷言正確的是()(A)若xn發(fā)散,則yn發(fā)散(B)若人無界,則yn必有界1(C)若xn有界,則yn必為無窮小(D)若為無窮小，則yn必為無窮小xn函數(shù)f (x)(x

2、2 x 2)3x x的不可導點的個數(shù)是()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3已知函數(shù)yy(x)在任意點x處的增量其中是比x( x0)高階的無窮小，且y(0),則 y(1)()(A)e4(B)2(C)(D)e4max)a X /(. oILimatX 設函數(shù)f(x)在x a的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且f (a)為其極大值，則存在 0 ,當x (a,a)時,必有()(A) (xa)f(x)f(a)0(B)(x a)f(x) f (a)00, 1,則必有(5)設A是任一 n(n 3)階方陣，A是其伴隨矩陣，又k為常數(shù)，且k(kA)1 / 19（A） kA（B）kn1A（C）knA （D）k 1A（本題

3、滿分5分）求函數(shù)在區(qū)間（0,2 ）內(nèi)的間斷點，并判斷其類型四、（本題滿分5分）確定常數(shù)a,b,c的值,使limx 0ax sin x3xln(1 t )b tc(c 0).dt五、（本題滿分5分）利用代換將方程y cosx 2y sinx 3ycosx ex化簡，并求出原方程的通解六、（本題滿分6分） 計算積分.七、（本題滿分6分）從船上向海中沉放某種探測儀器，按探測要求，需確定儀器的下沉深度 y（從海平面算起）與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系.設儀器在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛直下沉，在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用.設儀器的質(zhì)量為 m,體積為B ,海水比重為，儀器所受的阻力與下沉速度成正

4、比，比例系數(shù)為k（k 0）.試建立y與v所滿足的微分方程，并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)= f v .八、（本題滿分8分）設y f （x）是區(qū)間0,1上的任一非負連續(xù)函數(shù).（1）試證存在x （0,1）,使得在區(qū)間0,x。上以f（x。）為高的矩形面積，等于在x°,1上以y f （x）為曲邊的梯形面積. 又設f （x）在區(qū)間（0,1）內(nèi)可導，且，證明（1）中的冷是唯一的.九、（本題滿分8分）設有曲線y 、！，過原點作其切線，求由此曲線、切線及 x軸圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.十、（本題滿分8分）設y y(x)是一向上凸的連續(xù)曲線，其上任意一點(x, y)處的曲率為，且此曲

5、線上點 (0,1)處的切線方程為y x 1,求該曲線的方程,并求函數(shù)y y(x)的極值.(本題滿分8分)設x (0,1),證明:(1) (1 x)l n2(1 x)x2;In 21 1 ln(1 x) x十二、(本題滿分5分)1 23212 010 12301 20B,C10 01200 120 00100 01求A.十三、(本題滿分8分)已知 1(1,4,0,2)t,2(2,7,1,3)I 3(0,1,1,a)T設(2E C 1 B)At C 1,其中E是4階單位矩陣，A是4階矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣(1)a, b取何值時,不能由1,2,3線性表示?(3,10,b,4)T，問:a, b取何值時,可由

6、1 , 2 , 3線性表示？并寫出此表達式1998年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題解析一、填空題(本題共5小題，每小題3分,滿分15分,把答案填在題中橫線上.)1(1)【答案】丄4【解析】方法1:用四則運算將分子化簡，再用等價無窮小替換，寸2/r_x 2原式 limx 0 2.1 x , 1 x 4 lim x 02x.11 2x122x lim 廠2 x 0 2x方法2:采用洛必達法則.原式洛limx 0x2112" x21 x411洛 0x 2_1 lim 2d.x 0x2xlimx 0 2 1 x 21 x4方法3:將分子按佩亞諾余項泰勒公式展開至x2從而.1 x 1 1

7、 x21 1x lim 2 x 0原式1 2x81 2x8。1x2【答案】3712求曲線與此曲線與x軸交點【分析】【解析】y為 x 1,0,2.2o1 x1x22x1x21 2x82o2 xo2 x21 2 2 2x o1 xo2 xlim 4x 0X2x軸圍成的圖形的面積，應分清楚位于x軸上方還是下方，為此，要先求X3x2 2x與x軸的交點，即x3 x2 2x x(x 2)(x 1)0的根0 ;當0 x 2時，y 0,從而【答案】【解析】【答案】0 tf (x2dxx4x3cot x In sin因為 cotxInsinxf(x2)dud x2t2)dt u2ydx001)(4cotx2 c

8、scx cotx分部t2x2t20tf(X2 5 攔【相關(guān)知識點】階可導，則【答案】01(xx4x34)x C.x,所以dx2x)dx512In sin xd cot xcot x In sincot xcotxIn sin xIn sin x2320( x x 2x)dx3712x cot xd In sin x, cos x,cot x dxsin x2 cos x 2- sin xcot xIn sin x2 sin xdxcotxIn sin xdx1dx2 sin xcotxInsin xcotxdxcotxIn sin xcot x xC .2 xt2,t:0x u :x2【解析】

9、作積分變量代換0,u2tdt ,x1 sin2x0x2丄 f (u)du2x20 f (u)du .1.對積分上限的函數(shù)的求導公式：若F (t)(t) f (t)(t) f(t)x20 f (u)du,F(t)(t) f (x)dx ,(t),(t)均一【解析】題中未說什么漸近線 ,所以三類漸近線都要考慮由曲線方程知，鉛直漸近線可能在兩處：及x 0,但題設x 0,所以不予考慮，考慮x 0的情況.當x 0時,lim xln(e 丄)x 1 t lim洛 lim0,x 0xt =t e t所以無鉛直漸近線；因lim y(x) lim xln(e ) lim x lnexxx X故無水平漸近線.再考

10、慮斜漸近線：limXxlimxln(e丄)1,xlim yxxlimx1x ln(e )x11lim x lne ln(1) 1xexlimx1 xln(1)ex.11lim x,xex e(x時,)所以有斜漸近線y.【相關(guān)知識點】1.鉛直漸近線：如函數(shù) y f (x)在其間斷點x x0處有l(wèi)im f(x) ,則x xgx x是函數(shù)的一條鉛直漸近線；水平漸近線：當lim f(x) a,(a為常數(shù))，則y a為函數(shù)的水平漸近線.x斜漸近線：若有a lim f (x) ,b lim f (x) ax存在且不為，則y ax b為斜漸近線x x x二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,共15分,在每小

11、題給出的四個選項中，只有一項符合題 目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)【答案】(D)【解析】方法1:直接利用無窮小量的性質(zhì)可以證明(D)是正確的.由及可知yn為兩個無窮小之積，故yn亦為無窮小，應選(D).方法2:排除法.(A)的反例:xn不發(fā)散；n, yn A,lim Xnynlim1 n n1 .lim0滿足題設,但lim y 0n nnnnn2k 1,n 2k 1,0,n 2k 1,(B)的反例:xnYnk 1,2，,0,n 2k,2k,n 2k,滿足nim Xn yn 0,但yn不是有界數(shù)列;(C)的反例：有界數(shù)列，yn1(n 1,2,-)，滿足,但y不是無窮小;排除掉

12、(A)、(B)、(C),故選(D).【答案】(B),就有可能出現(xiàn)不可導的“尖點”，因為這時的函數(shù)是分段函數(shù) f (x) (x2 x 2)x x21 ,當x 0, 1時f (x)可導,因而只需在x 0, 1 處【解析】當函數(shù)中出現(xiàn)絕對值號時考察f (x)是否可導在這些點我們分別考察其左、右導數(shù)f ( 1)f ( 1)(x2x2)x(1x2),x 1,(x2x2)x(x21),1 x 0,(x2x2)x(1x2),0x1,(x2x2)x(x21),1 x,f(x)1xlimx 1limx 1(x2 x 2)x(1 x2) 0x 10,limx 1limx 1(x2 x 2)x(1 x2) 00,即

13、f (x)在x 1處可導又f (0) limx 0limx 0(x2x 2)x(x2 1) 022 2f (0) limx 0limx 0(x x 2)x(1 x ) 02x所以f (x)在x 0處不可導.類似，函數(shù)f(X)在x 1處亦不可導因此f(x)只有2個不可導點，故應選(B).評注：本題也可利用下列結(jié)論進行判斷:設函數(shù)f (x) x a (x),其中(x)在x a處連續(xù)，則f (x)在x a處可導的充要條件是(a)0.【答案】(A)【解析】由有令x 0,得是x的高階無窮小，則,即分離變量，得兩邊積分,得 In y arctanx C ,即 y C1earctanx.代入初始條件y(0)

14、,得 y0Gearctan0Ci.所以,yarcta nxey(i)x 1arcta n1eed【相關(guān)知識點】arcta nx e設在同一個極限過程中，(x),(x)為無窮小且存在極限(1)若I 0,稱(x),(x)在該極限過程中為同階無窮??； 若I 1,稱(X), (X)在該極限過程中為等價無窮小，記為(X)(X)； 若I0,稱在該極限過程中(X)是(X)的高階無窮小，記為(x) o (x)右不存在(不為),稱(x),(x)不可比較.【答案】(C)【解析】由Xa是f (x)的極大點,知存在即 f(x)f(a)0.因此，當Xa,a 時,(x a) f (x)f(a)當Xa, a時,(x a)

15、f (x)f (a)0,當 x a ,a 時，f (x) f (a),0；0.所以,(A)與(B)都不正確.已知f (x)在x a處連續(xù)，由函數(shù)在一點連續(xù)的定義可知 ，limf(x)f(a),再由極限x a四則運算法則可得4 t a (tf(x)X)2f(a) f(x)(a x)20( x a).應選(C).【答案】(B)【解析】對任何n階矩陣都要成立的關(guān)系式，對特殊的n階矩陣自然也要成立.那么，當A可逆時，由A A A 1,有(kA) kA (kA) 1 kn|A A 1 kn 1 A A 1 kn 1A .k故應選(B).一般地，若A (aj)n n,有kA (kj)n n,那么矩陣kA的

16、第i行j列元素的代數(shù)余子式(1)j(1)i匕ka1,j 1kai,j 1kamkai 1,1ka 1,j 1ka 1,j 1ka 1,nkai 1,1ka 1,j 1ka 1 ka 1,nkaMBkan,j 1kan,j 1kna11a1,j1a1,j 1Cnjkn1ai 1,1ai 1,j1ai 1,j 1ai 1,nai 1,1ai 1,j1ai 1,j 1ai 1,nan1an,j1an, j 1ann即kA中每個元素的代數(shù)余子式恰好是A相應元素的代數(shù)余子式的kn 1倍,因而，按伴隨矩陣的定義知(kA)*的元素是A*對應元素的kn 1倍.【相關(guān)知識點】1.行列式的性質(zhì)：若 A是n階矩陣,

17、則kA kn A.2.矩陣A可逆的充要條件是A 0,且.三、(本題滿分5分)【分析】由間斷點的定義可知，函數(shù)無定義的點一定是間斷點 ，故可以先找出函數(shù)無定義的點 再討論判斷出間斷點的類型 .【解析】f(x)在區(qū)間(0,2 )內(nèi)的間斷點為無定義的點,即各點.在處，；在處”故為f (x)的第二類間斷點;在處,;在處”但相應的函數(shù)值在該點無定義,故f (x)在處為可去間斷點,則 lim f (x)g(x)x a0,0 A 1,A 1【相關(guān)知識點】設lim f(x) A,lim g(x)x ax a2.函數(shù)f (x)的間斷點或者不連續(xù)點的定義：設函數(shù) f (x)在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義 只要滿足一

18、下三種情況之一即是間斷點(1) 在x xo沒有定義；(2) 雖在x x0有定義，但lim f (x)不存在；x xo(3) 雖在 x x0 有定義,且 lim f (x)存在，但 lim f (x) f (x0);x xox xo3.通常把間斷點分成兩類：如果 怡是函數(shù)f（X）的間斷點,但左極限f（X0）及右極限f（X（） 都存在，那么Xo稱為函數(shù)f （X）的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點 ，稱為第二 類間斷點 四、（本題滿分5分）【分析】解決這類問題，原則上與求極限差不多，但是因為其中含有某些參數(shù) ,比如在用洛必達法則前，極限是否為“ 0”型或“”型,要先行討論，通過討論，有時就

19、可以推斷出其中0參數(shù)的特點，然后再求極限，這是一類?？嫉念}目【解析】當x 0時axsin xax sin x0,又由題設lim3 c(c 0),所以應有(否x 0 xln(1 t3)亠dtb t則與xm°空b tc(c0）矛盾），從而只有b 0，因此滿足洛必達法則的條件，用洛必達法則求其極限(當 x 0 時，ln(1丿即x)axsin x3x9_)dtbx)如果a 1，則右邊極限為c1 cosx 等 10 c limx 0x2洛洛,. a cosx lim亍x 0 ln(1 x )x，與原設左邊矛盾，故a等1-.（當 x 0 時，） 2等 limax 0cosx2x上述等式成為所以最

20、后得.五、(本題滿分5分)【解析】方法1:由,有y u secx u secx tanx,y u secx 2u secxtanx u (secx tan2x sec x),代入原方程 y cosx 2y sinx 3ycosx ex,得u 4u ex.(*)先求其相應齊次方程的通解，由于其特征方程為40 ,則特征方程的根為2i .所以通解為u(x) G cos2x C2 sin 2x, ( G,C2為任意常數(shù)).再求非齊次方程的特解，特解應具有形式U (x) Aex，代入(*)式,得xxxxx xAe 4Ae Ae 4Ae 5Ae e解得”因此 故(*)的通解為1 xu(x) G cos2x

21、 C2sin2xe ,( C1, C2 為任意常數(shù))5所以,原微分方程的通解為ycos2xC1-cosx2C2 sin xx e5cos x方法2：由,于是uy cosxysin x,uy cosx2y sin xycosx,原方程化為u 4u ex(以下與方法1相同).【相關(guān)知識點】兩函數(shù)乘積的求導公式：f(x) g(x) f (x) g(x) f(x) g (x).六、(本題滿分6分),故所給的是廣義積【解析】當x 1時，被積函數(shù)的極限，即x 1是被積函數(shù)的無窮間斷點 分.x x2x(1 x)x x2, 0 x 1, x2 x,x 0 或 x 1.3 dx1 dxI dxdxarcsi n

22、(2x 1)|In (sect tan t), ln(2 73).2 2其中,求:dxidx(X y1 2dx2 J (2x 1)21arcsin (2x 1)21 d(2x 1)2 , 1(2x 1)2sect, x:123,則 t:02,dx3d(21 sect)2sect tan tdt,214.(2sect)21 1 s"廠132dxsect tantdtdx3 20 1tant203 seddtIn (sect tan t)|3 七、(本題滿分6分)O,鉛直向下作為 Oy軸正向，探測器在下沉過程中【解析】先建立坐標系，取沉放點為原點受重力、浮力和阻力的作用 ，其中重力大小：

23、 mg,浮力的大?。篎浮B ；阻力： kv ,則由牛頓第二定律得md2ydt2mg Bg kv, yt 00, vt 0°.(*)由 dy v,d2ydtdvdvdt2dtdydydtdv v -dyv/魚，代入(*)得y與v之間的微分方程 dvmv史dvmgB kv, vy 0°.分離變量得兩邊積分得dymvdv,mg B kvmvBm2m gBm2m gkkkk dmgBkvm k(mgBkv)Bmk2m gkymg B kvm2g Bmdvkdvmg B kvdv km(mg B ) dv k(mg B kv)1m(mg B )(-)k d(mg Bk(mg B kv

24、)kv)( 第一類換元法)m(mg B)ln(mgk2kv)再根據(jù)初始條件v |y 0 0,即m(mg B )k2故所求y與v函數(shù)關(guān)系為ln(mgm(mg B )k2ln(mg B ).m mg Bk2Inmg mg Bkv八、(本題滿分8分)【解析】(1)要證Xo(0,1),使 Xof (Xo)X)f (x)dx ;令(X)1xf (x) f (t)dt,要證XX。(0,1),使(Xo)0.可以對(X)的原函數(shù)(X)(t)dt使用羅爾定理:又由(0) 0,1(1)0 (x)dx分部 1xf010xf (x)dx(X)dX10(x 1f (t)dt)dX1o xf (x)dx 0,f (x)在

25、0,1連續(xù)(x)在0,1連續(xù),(X)在0,1連續(xù),在(0,1)可導.根據(jù)羅爾定理，x (0,1),使(X0)(X0) 0.接對(x)用零點定理遇到麻煩時,不妨對 (x)的原函數(shù)使用羅爾定理 由(x) xf (x) f(x) f (x) xf (x) 2f(x)0 ,知(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)增,故中的xo是唯一的 評注：若直接對 (x)使用零點定理，會遇到麻煩:1(0) of(t)dt 0, (1)f(1) 0.當f (x)0時,對任何的冷(0,1)結(jié)論都成立;當 f(x) 0 時，(0)0,但(1)0 ,若(1)0,則難以說明在(0,1)內(nèi)存在 心 當直【相關(guān)知識點】1.羅爾定理：如果函數(shù)

26、f (x)滿足(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導; 在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(a) f(b),那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(a b),使得f ( ) 0.【解析】先求切線方程：(x),y0)處的切線為九、(本題滿分8分)以x 0,y 0代入切線方程，解得x0 2, y0. x0 1切線方程為.(見右圖)由曲線段y x 1(1 x 2)繞x軸的旋轉(zhuǎn)面面積2広13dx22 ,x 111嚴3)2dx4(x 1)1).6而由曲線段繞x軸的旋轉(zhuǎn)面面積2S2 02-2"-y、.1 y dx2xdx 空2由此,旋轉(zhuǎn)體的表面積為S S S26(1151).十、(本題滿分

27、8分)【解析】由題設及曲率公式(因曲線y y( x)向上凸,y 0, y改寫為 ， 兩邊積分得，解得arcta nyxC1.由題設，曲線上點(0,1)處的切線方程為以x 0代入上式,得.于是有，故有0220.5 .),化簡得.1 x,可知 y(0)1,y (0)1 .34tan( x), x44(上式中注明區(qū)間是的原因：本題中使正切函數(shù)有意義的區(qū)間有很多3般可以寫成2n x2n ,本題選擇是因為題設曲線在x 0處有值，又已知曲線是一條44連續(xù)曲線，因此解的范圍應該包含x0在內(nèi)并且使y(x)連續(xù)的一個區(qū)間.)再積分得tan (4x)dxsin(x)4 dxcos(x)4d cos( x) In

28、cos( x) C2. cosq x) 44又由題設可知y(0)1,代入確定C21 In cos 4丄In 2,于是所求的曲線方程為2y In cos x4iln2, 4由于且ln x在定義域內(nèi)是增函數(shù),所以當且僅當時,即時y取得最大值,由于，所以此時也是y取極大值,極大值為；顯然y在沒有極小值.【相關(guān)知識點】曲線 y y(x)在其上任意一點(x, y)處的曲率公式:十一、(本題滿分8分)【分析】不等式的證明一般用單調(diào)性來證明，除此之外，還可以用拉格朗日中值公式、拉格朗日余項泰勒公式、最大(小)值來證明.【解析】(1)方法1:利用單調(diào)性證明令(x)X2(1 x)l n2(1 x),則(x)(x

29、)(x)2x ln2(1 x) 2ln(1 呂 x ln(1 x),1 x2l n(1 x)(1 x)20(0x),1).(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，(x)(0)0(0 x 1)；(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，(x)(0)0(0 x 1)；(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，(x)(0)0(0 x 1),即(1 x)ln2(1 x)方法2：改寫原不等式(0,1)時，1 x0 ,故可在不等式兩邊同時除以(1x),有兩邊開平方,.令 g(x) ln(1 x)g(x)11 x2、1 x 2 x32 1 x 2x 1 2dx 132 1 x 2 2.1x13 2 1 x 20,(當 x0)故函數(shù)g(x)在

30、區(qū)間0,1上單調(diào)減少,由g(0)0,可知當x 0時,g(x) g(0)0 ,即,從而原不等式成立，證畢.2 2方法 3：由方法 1,(x) x (1 x)ln (1 x),已證(0)0,(0)0,(x)0, (x 0)于是由（X）的1階麥克勞林公式（拉格朗日余項）有即(1由(1),（X）x)l n2(1 X)f(x)f (x)1(0) (0)x 2x2ln(1 x)f (x)0(0f(0 )()x21( )x20.x ln(1 x)xln(1 x)(1 x)l n2(1 x)(1 x)l n2(1 x)x22x(1x)l n2(1 x)1) f(x)在(0,1)單調(diào)減f(1)f(x) f (0 )(0 x 1),而,lim f (x) limxi x ln(1 x)0 xln(1 x)等limx 0x ln(1 x)x2limx 01丄1 x2xlim-x 0 2(1 x)故即ln 2ln(1 x)十二、（本題滿分5分）【