高中數(shù)學——恒成立與存在性問題(教案)

1、1、恒成立問題的轉化:2、能成立問題的轉化:恒成立與存在性問題a f x恒成立a f X max ； a f X恒成立a f X a f x能成立 a f x min ； a f x能成立 a f x13、恰成立問題的轉化:a f x在M上恰成立a f x的解集為Maf x在M上恒成立af x在CrM上恒成立另一轉化方法：若 x D,f(x)A在D上恰成立，等價于 f (x)在D上的最小值fmin (x) A,若x D,f (x) B在D上恰成立，則等價于f (x)在D上的最大值fmax(x) B.4、設函數(shù)f x、g x ,對任意的5、設函數(shù)f x、g x ,對任意的6、設函數(shù)f x、g x

2、 ,存在x17、設函數(shù)f x、g x ,存在x1Xia , b ,存在x2 c , d ,使得Xi a , b ,存在x2c, d ,使得a , b ,存在X2 c,d ,使得fa , b ,存在X2 c, d ,使得ffX1gX2,則fmin XgminXfX1gX2,則fmax XgmaxXX1gX2,則fmaxXgminXX1gX2,貝UfminXgmaxX8、設函數(shù)f X、g X ,對任意的X1a ,b，存在X2c,d，使得f %g X2，設f X在區(qū)間a,b上的值域為 A, g x在區(qū)間c,d上的值域為B,則A B .9、若不等式f xg x在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間 D上函數(shù)

3、y f x和圖象在函數(shù)y g x圖象上方；10、若不等式f x g x在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間 D上函數(shù)y f x和圖象在函數(shù) y g x 圖象下方；專題訓練：1.函數(shù)f X ax2 2x 1,若對任意X 1, f x0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 。12【答案】當x 1時，由f x 0,利用參變量分離法得出 a -,X X1 一 ，2 一2 一，2,令 t 一,則 0 t 1 ,則 a t2 2t ,構造函數(shù) y t2 2t t 11 ,x該函數(shù)在t 0.1上單調遞減，所以 3 y 0,所以，a 0.因此，實數(shù)a的取值范圍是 0,故答案為0,f(x)2、/loga(2x x)(a0,

4、 a，一一 11)在區(qū)間 0 2內恒有f(x)0 ,則f (x)的單調遞增區(qū)間為(A)(B) L4(C)0,(D)因為函數(shù)f(x) loga(2x2x)(a0,a1)在區(qū)間0,2內恒有f (x) 0 ,則f (x)的單調遞增區(qū)間3.已知函數(shù)f x對一切實數(shù)x, yR都有2y成立，且f 10.(1)求 f0的值;(2)的解析式;【答案】(1) f 02.(1)解:因為函數(shù)f x對一切實數(shù)x, y R都有f x2y1成立x 1,y 0代入上式得f 12,所以2。(2)解:因為函數(shù)f x對一切實數(shù)x, yR都有2y1成立所以令y 0代入上式得f x f 0又由(1)知f 02,所以f x x4.已知

5、定義域為 R的奇函數(shù)f (x)滿足f (log 2 x)(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)判斷并證明f (x)在定義域R上的單調性;(3)若對任意的t R ,不等式-2-_ _ 2f(t2t)f (2tk)求實數(shù)k的取值范圍;【答案】解:(1)函數(shù)f x的定義域為R,滿足f所以f 0Ja中，令x 1得出fa 1在 f (log2 x)0 ,所以a 10x 123令 log2 x t ,則 x 2t2t 1y f t - t R 2t 1所以f x2x 12x(2)減函數(shù),證明：任取 X1 ,X2R , X1x2 , xx X1X20,2均12X212 2x1 2X2由 f X1f x2-2X

6、1 12、 12均1 2X21.，* XX2 ,Xx20 22 2 ,x xXiX22220,21 210f x1f x20該函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)(3)由 f(t2 2t) f(2t2 k) 0,得 f (t2 2t)f(2t2 k),f x是奇函數(shù)，22f(t2 2t) f (k 2t2),f x是減函數(shù)，2_ 2. 一 2原問題轉化為t 2t k 2t ,即3t 2t k 0對任意t R恒成立，一.一 ,14 12k 0,得k 3即為所求5 .已知函數(shù)f t log2t,t亞8 .(1)求f t的值域G ;(2)若對于G內的所有實數(shù)x ,不等式 x2 2mx m2 2m 1恒成立，求實

7、數(shù) m的取值范圍【答案】(1)1,3 ; (2)解：(l)：f t log2t在tJ2,8上是單調遞增,log22 log2 t log2 83,1即一f x 2f t的值域G 為 1,322(2)由題知 x22mx m1，一 一2m 1在x ,3上恒成立22mx2m1，、-,3上恒成立.22mx2m 11-,32min0即可2m12,312時,x min3m2m 12m 50,解得勺或m 21m -2(ii)當工 m23時，gx min2m0,解得m1 -1 c一與一 m 3矛盾22(iii)當 m 3 時,g x min10m2 8m0 ,解得 m 4 76 或 m 4 76,而 m 3,

8、綜上，實數(shù)m的取值范圍是1 ,2U 46,6.已知函數(shù)f x x2 4xg(x) mx5 2m9102x 12x 12x 1349(1)若 yf(x)在1,1上存在零點，求實數(shù) a的取值范圍;0時，若對任意的Xi 1,4,總存在x2 1,4，使f (Xi) = g(x2)成立，求實數(shù)m的取值范圍;【答案】(1)8 a 0； (2) m 3或m 6解：(1) f x的對稱軸為x 2 ,所以f x在 1,1 =上單調遞減，且函數(shù) f x在 1,1存在零點，f 10 a 0所以即，解得a 8,0f 10 a 8 0故實數(shù)a的取值范圍為8,0 ,(2)由題可知函數(shù)f x的值域為函數(shù)g x的值域的子集

9、2f x x 4x 3, x 1,4 , f x 1,3 ,以下求函數(shù) g(x) mx 5 2m的值域：m 0時，g x 5 2m為常函數(shù)，不符合題意；5 m 1, /口 m 0時，g x 5 m,5 2m ,解信 m 6;5 2m 3 m 0 時，g x 5 2m,5 2m ,解得 m 3.綜上所述，m的取值范圍為 ，3 U 6,2 _八2.27.已知函數(shù) f(x) 3x2 2(k2 k 1)x 5, g(x) 2k2x k,其中 k R .(1)設函數(shù)p x f x gx,若px在0,3上有零點，求k的取值范圍；Xi ),g(x), x 0,(2)設函數(shù)q(x) ”是否存在k,對任意給定的

10、非零實數(shù) x1,存在惟一的非零實數(shù) x2( x2f(x),x 0.使得q(xz) q(x1) ?若存在，求k的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1) k 5, 2 ； (2) k 5p x 0在0,3上有實數(shù)解，且無重根,解：(1)因p x在0,3上有且只有一個零點，所以由 p x 0得 k 2x 1“、一9令 t 2x 1,有 t 1,7 ,記 h t t t則h t在1,3上單調遞減，在 3,7上單調遞增，所以有 h t 6,10 ,9_于是 2x 1 6,10，得 k ( 5, 2；2x 1而當k 2時有p x在0,3上有兩個相等的實根 x 1 ,故舍去，所以k 5, 2 ；22(2)當 x 0 時有 q x f x 3x2 k k 1 x 5；當x 0時有q x g x 2k2x k,因為當k 0時不合題意，因此 k 0 ；下面討論k 0的情形，記A k, , B 5,(i)當x, 0時，q x在0,上單調遞增，所以要使 q(x2) q(x1)成立只能x2 0且A B ,因此有k 5；(ii)當x1 0時，q x在0,上單調遞減，所以要使 q(