東第三節(jié)冪級(jí)數(shù)ppt課件

1、1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義定義在區(qū)間定義在區(qū)間I上的一列函數(shù)上的一列函數(shù)),(,),(),(),(321xuxuxuxun那么由這一列函數(shù)構(gòu)成的表達(dá)那么由這一列函數(shù)構(gòu)成的表達(dá)式式 稱為定義在區(qū)間稱為定義在區(qū)間I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。)()()()()(1321xuxuxuxuxunnn 1一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.3 冪冪 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散 對(duì)于每一個(gè)確定的值對(duì)于每一個(gè)確定的值 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就成函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就成為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):,0Ix 100030201)()()()()(nnnxuxuxuxuxu1假如假如1收斂，收斂

2、， 稱點(diǎn)稱點(diǎn)x0是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1的收斂點(diǎn)；的收斂點(diǎn)； 假如假如1發(fā)散，發(fā)散， 那么稱點(diǎn)那么稱點(diǎn)x0是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1的發(fā)散點(diǎn)的發(fā)散點(diǎn)此級(jí)數(shù)可能收斂可能發(fā)散此級(jí)數(shù)可能收斂可能發(fā)散 由所有的收斂點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)由所有的收斂點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的收斂域，由所有的發(fā)散點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為函數(shù)的收斂域，由所有的發(fā)散點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為函數(shù) 項(xiàng)級(jí)數(shù)的發(fā)散域項(xiàng)級(jí)數(shù)的發(fā)散域 顯然，在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是顯然，在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函的函 數(shù)，記作數(shù)，記作 稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，即稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，即),(xS)()()()()()(1321xuxuxuxux

3、uxSnnn和函數(shù)的定義域就是級(jí)數(shù)的收斂域和函數(shù)的定義域就是級(jí)數(shù)的收斂域函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和)()()()()(321xuxuxuxuxSnn稱為它的部分和函數(shù)，且在收斂域上有稱為它的部分和函數(shù)，且在收斂域上有)()(limxSxSnn 稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，在收斂稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，在收斂 域上有域上有)()()(xSxSxrnn0)(limxrnn)1(02210 nnnnnxaxaxaxaa形如形如的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)，其中的常數(shù)的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)，其中的常數(shù),210naaaa稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù).二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1 冪級(jí)數(shù)定義冪級(jí)數(shù)定

4、義)2()()()(0202010 nnxxaxxaxxaa或或xxxxn 1112如冪級(jí)數(shù)如冪級(jí)數(shù)nxxx21的收斂域是的收斂域是(-1,1)，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)有時(shí)有) 1 , 1(x即當(dāng)即當(dāng) 時(shí)時(shí),收斂；當(dāng)收斂；當(dāng) 時(shí)時(shí),發(fā)散發(fā)散.1 x1 x);1 , 1( )., 11,( 收斂域收斂域發(fā)散域發(fā)散域 一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和是定義在它們的收斂域內(nèi)的一一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和是定義在它們的收斂域內(nèi)的一個(gè)函數(shù)，即和函數(shù)個(gè)函數(shù)，即和函數(shù) 0nnx定理定理1 (阿貝爾阿貝爾Abel定理定理)(1)假如級(jí)數(shù)假如級(jí)數(shù) 在在 處收斂處收斂, 那么它在滿足不等式那么它在滿足不等式 的一切的一切 處絕處絕對(duì)對(duì) 收斂；收斂； 0n

5、nnxa)0(00 xxx|0 xx x(2)假如級(jí)數(shù)假如級(jí)數(shù) 在在 處發(fā)散處發(fā)散,那么它在那么它在滿滿 足不等式足不等式 的一切的一切 處發(fā)散處發(fā)散. 0nnnxa0 xx |0 xx x阿貝爾阿貝爾 18021829 推論推論 假如冪級(jí)數(shù)假如冪級(jí)數(shù) 不是僅在不是僅在 一點(diǎn)收斂一點(diǎn)收斂, 也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂,那么必有一個(gè)完全確定那么必有一個(gè)完全確定 的正數(shù)的正數(shù) 存在存在,使得使得 0nnnxa0 xR當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；Rx |當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,冪級(jí)數(shù)發(fā)散；冪級(jí)數(shù)發(fā)散；Rx |當(dāng)當(dāng) 與與 時(shí)時(shí), 冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級(jí)數(shù)可能收斂也可

6、能發(fā)散Rx Rx xo R R幾何意義幾何意義收斂區(qū)域收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域 正數(shù)正數(shù)R R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. .),RR ,(RR .,RR ),(RR 從而決定了收斂域?yàn)橐韵滤膫€(gè)區(qū)間之一從而決定了收斂域?yàn)橐韵滤膫€(gè)區(qū)間之一: :, 0 R規(guī)定規(guī)定收斂域收斂域; 0 x(1) 冪級(jí)數(shù)只在冪級(jí)數(shù)只在 處收斂處收斂,0 x, R收斂域收斂域).,(2)冪級(jí)數(shù)對(duì)一切冪級(jí)數(shù)對(duì)一切 都收斂都收斂,x2 收斂半徑收斂半徑收斂域也稱為收斂區(qū)間收斂域也稱為收斂區(qū)間冪級(jí)數(shù)收斂域舉例冪級(jí)數(shù)收斂域舉例(先不證明先不證明): ; 0 ,0 ! )1(0 Rxnnn收斂半徑收斂

7、半徑的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?; 1 ),1 , 1( )2(0 Rxnn收收斂斂半半徑徑的的收收斂斂域域?yàn)闉?; 1 ,1 , 1( )1( )3(11 Rxnnnn收收斂斂半半徑徑的的收收斂斂域域?yàn)闉?; 1 ),1 , 1 1 )4(1 Rxnnn收斂半徑收斂半徑的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)? ), ,( !1 )6(0 Rxnnn收收斂斂半半徑徑的的收收斂斂域域?yàn)闉?; 1 ,1 , 1 1 )5(12 Rxnnn收收斂斂半半徑徑的的收收斂斂域域?yàn)闉槎ɡ矶ɡ? 設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù) 的所有系數(shù)的所有系數(shù) , 0nnnxa0 na假假設(shè)設(shè) nnnaa1lim(1)(1)那么當(dāng)那么當(dāng) 時(shí)時(shí), ,0 ;1

8、R(2)(2)那么當(dāng)那么當(dāng) 時(shí)時(shí), ,0 ; R(3)(3)那么當(dāng)那么當(dāng) 時(shí)時(shí), , . 0 R例例1 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 的收斂域。的收斂域。 02nnnxn解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)閚nnaa1lim 又當(dāng)又當(dāng) 時(shí)，時(shí)，2 x級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為 ，發(fā)散；，發(fā)散； 0) 1(nnn 0nn當(dāng)當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)為時(shí)，級(jí)數(shù)為 ，發(fā)散。，發(fā)散。2 x所以這個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)樗赃@個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。)2, 2( ,2121lim nnn; , 1 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, , 1 級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x.1 , 1( 收收斂斂域域?yàn)闉?. ,( 收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?()(1xuxunn nnxnnx2)1(2

9、121)1(2 )(2 nx 例例5 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 的收斂域的收斂域. 1212)1(nnnnx解解級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 缺少奇次冪的項(xiàng)缺少奇次冪的項(xiàng), 1212)1(nnnnx對(duì)級(jí)數(shù)用比值判別法對(duì)級(jí)數(shù)用比值判別法 112)1(nnn當(dāng)當(dāng) 級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為 , ,收斂收斂. ., 1 x.1 , 1 故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楣试?jí)數(shù)的收斂域?yàn)楫?dāng)當(dāng) 即即 時(shí)時(shí), ,原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂. ., 12 x1 x當(dāng)當(dāng) 即即 時(shí)時(shí), ,原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散. ., 12 x1 x解解令令t =x 1, 那么級(jí)數(shù)變那么級(jí)數(shù)變?yōu)闉?22)1(11 nnnnnnntnx1lim nnnaaR發(fā)散；發(fā)散；時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 12 2

10、11 nnnnnntt收斂，收斂，時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) )1(2 211 nnnnnnntt；，的的收收斂斂域域?yàn)闉?2 2 21 nnnnt).3 1 , 212 ，即即原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域?yàn)闉椋?xnnnnn 2)1(2lim1; 2 解解)1(nnnaa1lim 12lim nnn2 21 R 求以下冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間求以下冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間:;2)1(1 nnnnx;)!1()2(1 nnxn.)1()3(1 nnnnnx21 x,11 nn該級(jí)數(shù)發(fā)散；該級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為21 x,)1(1 nnn該級(jí)數(shù)收斂；該級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為故收斂域是故收斂域是).21

11、,21 練習(xí)練習(xí)1 1nnnaa1lim 0)11(111lim nnnn,)2(lim nn, 0 Rnnnaa1lim , R故收斂域是故收斂域是).,(級(jí)數(shù)只在級(jí)數(shù)只在 處收斂處收斂.0 xnnxn! )1()2(1 1)1()3(nnnnnx解解解解 11nn當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 發(fā)散發(fā)散,2 t1 x 1)1(nnn當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), , ,級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 收斂收斂, ,2 t1 x原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)樵?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.1 , 3 的收斂域?yàn)?.2 , 2 12nnnnt,21)1(2limlim1 nnaannnn 解解令令 ,原級(jí)數(shù)化為原級(jí)數(shù)化為1 xt.21 nnnnt 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)

12、 的收斂域的收斂域. 1)1(21nnnxn練習(xí)練習(xí)2 21. 1. 運(yùn)算運(yùn)算(1) (1) 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中)nnnbac RRx, 21,minRRR 21,RR設(shè)設(shè) 和和 的收斂半徑分別為的收斂半徑分別為 0nnnxa 0nnnxb三三 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算及其性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算及其性質(zhì)(2) (2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, ( (其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘

13、乘積積321xxx2.2.冪級(jí)數(shù)的分析運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的分析運(yùn)算: :冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù) 在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .)(xs 0nnnxa(2)(2)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù) 在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間 內(nèi)可積內(nèi)可積. .其積分可通過對(duì)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分求得其積分可通過對(duì)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分求得. . 0nnnxa)(xs 00nxnndxxa.110 nnnxna收斂半徑不變收斂半徑不變. . xnnnxdxxadxxs000)()(即即 0)(nnnxa.11 nnnxna收斂半徑不變收斂半徑不變. . 0)()(nnnxaxs即即(3)(3)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù) 在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且對(duì)且對(duì) 可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次. . )(xs 0nnnxa),(RRx 兩邊積分得兩邊積分得)1ln()(0 xdttsx ,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s設(shè)設(shè)顯然顯然)11(