生物統(tǒng)計學教案

1、生物統(tǒng)計學教案第九章 兩因素及多因素方差分析教學時間：5學時教學方法：課堂板書講授教學目的：重點掌握固定模型、隨機模型兩因素方差分析的方法步驟，掌握混合模型的方差分析，了解多因素的方差分析方法。講授難點：固定模型、隨機模型兩因素方差分析的方法步驟9.1 兩因素方差分析中的一些根本概念9.1.1 模型類型穿插分組設計：A因素的a個水平和B因素的b個水平穿插配合，共構成ab 個組合，每一組合重復n次，全部實驗共有abn次。固定模型：A、B兩因素均為固定因素。隨機模型：A、B兩因素均為隨機因素。混合模型：A、B兩因素中，一個是固定因素，一個是隨機因素。9.1.2 主效應和交互作用主效應：由于因素水平

2、的改變所造成的因素效應的改變。A1A2A1A2 B11824B11828B23844B23022 先看左邊的表。A因素的主效應應為A2水平的平均效應減A水平的平均效應, B的主效應類似。A2B1A2B2A2A1B1A1B2224 44218 362A1B2A2B2A1B1A2B1238 44 18 24 2022當 AB + A2B2= A1B2 + A2B1 時，A、B 間不存在交互作用。這里 A1B1 + A2B2=62, A1B2 + A2B1 = 62,因此A、B間不存在交互作用。交互作用：假設一個因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應不同，那么它們之間存在交互作用現(xiàn)在看右邊的表。A在

3、 Bi水平上=A2B1 AiBi = 28 18= 10A在 B2水平上=A2B2AiB2=22 30= -8顯然A的效應依B的水平不同而不同，故 A、B間存在交互作用。交互作用的大小 為AB=A1B1 + A2B2一A1B2+A2B19.1.3 兩因素穿插分組實驗設計的一般格式假設A因素有a水平,B因素有b水平，那么每一次重復包含ab次實驗，實 驗重復n次，總的實驗次數(shù)為abn次。以涿表示A因素第i水平，B因素第j水平和 第k次重復的觀測值。一般格式見下表。因素 Bj=1,2,bX21nX22nx2bnX2.B1B2Bb總計. word.zl-As11n* * X12nX1bn X1.A2X

4、211X221X2b1AX212X222X2b2al1Xa21Xab1Xal2Xa22Xat2XainXa2nXabnXa .總計X.1. X.2.X.bX上表中的各種符號說明如下:Xi A因素第i水平的所有觀察值的和，其平均數(shù)為 Xi.X.j. B因素第j水平所有觀察值的和，其平均數(shù)為X.j.X ij . A因素第i水平和B因素的第j水平和所有觀察值的和,其平均數(shù)為X ij .X.所有觀察值的總和,其平均數(shù)為x.XijXijXij1,2, ,a1,2, ,bXijk ,Xabn關于實驗重復的正確理解:這里的“重復是指重復實驗，而不是重復觀測。9.2 固定模型9.2.1 線性統(tǒng)計模型X ijk

5、ij ijk jk1,2,1,2,1,2,a,b,n對于固定模型，處理效應是各處理平均數(shù)距總平均數(shù)的離差，因此交互作用的效應也是固定的ij 0,球是相互獨立且服從N（0 ,（2）的隨機變量固定模型方差分析的零假設為：0102H 03b1,2,1,2,9.2.2 平方和與自由度的分解與單因素方差分析的根本思想一樣，把總平方和分解為構成總平方和各個分量根據(jù)均方的數(shù)學平方和之和，將總自由度做相應的分解，由此得到各分量的均方。期望，得出各個分量的檢驗統(tǒng)計量，從而確定各因素的顯著性。_2xijk xXiXixjxijkbni 1j 1 k 1 axi上述各項分別為Aanj 1因素、xjXXijXixj因

6、素、AB交互作用和誤差平方和,即:n2XX八ijk八ijaSS AbnXii 1bSS BanaSS ABSS exijXix ijkxij自由度可做相應的分解:df tdf ABabndf a1dfdfab n由此得出各因素的均方:9.2.3均方期望與統(tǒng)計量E MS Abna 1 iSS bb 1MSABSS ABMSSSab nF確實定MS Banb 1MS eE MS ab對上式E(MSa)、E(MSb)和E(MSe)事的第二項，分別記為:于是：E MSAbne msbanMS AB這時，零假設還可以寫為:H 0102H 03用F作為檢驗統(tǒng)計量，以對 A因素的檢驗為例:F MS aMS

7、e2 bn的估計2的估計當F >Fa時拒絕H01。對B因素和AB交互作用的推斷類似。變差來源平方和自由度 均方F均方期望A因素SS.a-122MSAMSA/ MSe(t+ bn ”B因素SSb-1MSBMSs/MSe J+an ”：AB交互作用SSb(a-1)(b-1)MSabMSab/ MSe(2+n 電2誤差總和SSab(n-1)MSe 2SSrabn-1兩因素固定模型的方差分析表如下:9.2.4 平方和的簡易計算法為了簡化計算過程，實際計算時各平方和是按以下各式計算的2SST2X ijkXabnSSa1bn i2XiabnSSb anabn2X其中abn稱為校正項，用C表示。SSe

8、 e2x ijki 1 j 1 k 112x ijn i 1 j 1不管從上式還是前面給出的誤差平方和的公式，都可以看出，平方和是通過重復問平方和得到的。為了得到誤差平方和，必須設置重復。由總平方和減去A因素、B因素和誤差平方和之后，所得剩余項即交互作用平方和。如果不設置重復，無法得 到誤差平方和，其誤差平方和是用剩余項估計的。即使實驗存在交互作用也無法獨 立獲得，這時的交互作用與誤差混雜。這一點在設計實驗時一定要特別注意。交互 平方和：SSABSSt SS A SS B2 xij2 xabnSS eSS a SSb例 為了從三種不同原料和三種不同發(fā)酵溫度中，選出最適宜的條件，設計 了一個兩因

9、素試驗，并得到以下結果。原料種類123溫30C41 49 23 2547 59 50 4043 35 53 5035 c11 13 25 2443 38 33 3655 38 47 44度40C6 22 26 188 22 18 1430 33 26 19在這個實驗中，溫度和原料都是固定因素，每一處理都有4次重復。將每一數(shù)據(jù)都減去30,列成表9-1原料(A)溫度(B)xij 1xij2xij3xij4xij .xij 2xijkkt301119-7-518324556135-19-17-5-6-47220971140-24-8-4-12-4823048003017292010765776163

10、0235138363090027840-22-8-12-16-5833649483013523206137211123335258171464409611744003-4 -11-12144146和84228387366利用xj列,列成表92溫度(B)303540xi.2 X.原11847一 48-775929料2763058482304(A)361541211312769x.j.15547 1188421022x.j.22402522091392440158從表91中可以計算出：x842C 196.00abn 3 3 4a b n2xSSTxi2k 7366 196 7170.001 ijk

11、i 1 j 1 k 1abnabna bSSexi2kxi27366 -228381656.50eijknij4i 1 j 1 k 1n i 1 j 14及由表9 2中可以計算出:SSabn i2xiabn210221961554.17SSban j 1x2x2abn1401584196 3150.58SSAB SST AAA SSB SSe7170.00 1554.173150.58 1656.50 808.75 ,.word.zl-列成方差分析表變差來源平方和自由度F原料A1554.172777.09*12.67*溫度B3150.5821575.29*25.68AB808.754202.1

12、9*3.30誤差1656.502761.35總和7170.00359.2.5無重復實驗時的兩因素方差分析如果根據(jù)一定的理由，可以判斷兩因素間確實不存在交互作用，這時也可以不設重復n =1。無重復實驗的方差分析,只需將前一節(jié)公式中所有的n都改為1,即可完成計算。不同點只是計算更容易一些。這里不再詳述。. word.zl-9.3隨機模型9.3.1 線性統(tǒng)計模型x ijkijk1,2,1,2,1,2,a,b,n對于隨機模型:i : NID 0, 2NID 0,:NID0,ijk:NID 0, 2因此，任何觀察值的方差var x ijk零假設為：h 0120,0220,H 039.3.2 均方期望與統(tǒng)

13、計量F確實定隨機模型中各平方和的計算與固定模型一樣，這里不再重復。但均方期望不同,因此檢驗統(tǒng)計量也不同E MSAE MSbE MSabE MSe e22n22n2bn2 an從均方期望中可以看出，交互作用均方是用誤差均方檢驗的，假設MSab不顯著，說明它也是誤差的估計，應與 MSe合并，用合并后的均方對主效應做檢驗。合并的方法是MS eSSB_SS士假設交互作用顯著，那么可以直接用它檢驗主效應。隨df AB df e機模型的方差分析表如下:隨機模型的方差分析表如下:變差來源平方和自由度F均方期望A因素saa-1MSaMSa/ MSab22.2nbnB因素ssb-1MSbMSb/MSab222n

14、anAXBSSb(a-1)(b-1)MSabMSab/MSe22n誤差ssab(n-1)MSe總和ssabn-1例 為了研究不同地塊中，施用不同數(shù)量的農(nóng)家肥對作物產(chǎn)量的影響，設計一個兩因素實驗，實驗結果如下:地B二#M三號地施100Kg8.698.478.808.749.499.37月巴200Kg8.888.729.689.549.399.59量300Kg10.8210.8611.0010.9211.0711.01A400Kg11.1611.4210.9711.1311.0010.90解：Xjk9.5 ,列成表 9.1:施肥量地塊X -八ij 1Xij 2xj2 xij22x ijkk 1一-

15、0.81-1.03-1.843.38561.7170100二-0.70-0.76-1.462.13161.0676二-0.10-0.13-0.040.01960.0170一-0.62-0.78-1.401.96000.9928200二0.180.040.220.04840.0340二-0.110.09-0.020.00040.0202一1.321.362.687.18243.5920300二1.501.422.928.52044.2664二1.571.513.089.48644.7450一1.661.923.5812.81646.4420400二1.471.633.109.61004.8178

16、二1.501.402.908.41004.210013.6263.577232.9218利用Xj歹1,列成表9.22地塊為xi一二三施100-1.84-1.46-0.14-3.4411.8336月巴200-1.400.22-0.02-1.201.4400量3002.682.923.088.6875.34244003.583.102.909.5891.7764x j3.024.785.8213.62180.39242xj9.120422.848433.872465.8412由表9.1計算出abnaSSri 1aSSei 1136224 3 2b n2 xijkj 1 k 1b n2X .ijkj

17、 1 k 17.7294C 32.9218 7.7294 25.1924 xijn i 1 j 132.921863.577221.1332由表9.2計算出SSaSSbbn i 1X2ab j 1x2180.39243 265.84124 27.7294 22.33607.7294 0.5008AAabSST SSA SSB SSe 1.2224 iBe變差來源平方和自由度F施肥量A22.336037.445336.63*地塊B0.500820.25041.23AB1.222460.20372.16誤差1.1332120.0944總和25.192423方差分析表* = 0.019.4混合模型9

18、.4.1線性統(tǒng)計模型一個因素是固定的如A,另一因素是隨機的如B,該模型稱為混合模型x ijkijki1,2,aj1,2,bk1,2,n其中a是固定效應，§是隨機效應，（a ）j是隨機效應0,3：nid(0,72),2(a )j： NID (0, oa b)MSABbn2 an9.4.2均方期望與統(tǒng)計量F確實定各均方期望如下:MSE MS bMS相應的檢驗統(tǒng)計量為:MS AMS abFbMS bMS eeF ABMS ABMS ee混合模型的方差分析表為:平方和自由度方FA因素SSAa 1MSamsaMS AB222nbnB因素SSBb-1MSbMS b MSe22 anABSSAB(

19、a-1)(b-1)MSabMSabMSe22 n誤差SSab(n-1)MSe2總和SSabn-19.5兩個以上因素的方差分析9.5.1 平方和與自由度分解的一般規(guī)律平方和的分解，可根據(jù)兩因素方差分析平方和分解方法，推展出來。如一個三因素固定模型實驗，線性統(tǒng)計模型為:i 1,2, ,axijkli j kijikjkijk ijklj 1,2, ,bk 1,2, ,c l 1,2, ,n各因素的平方和如下:ssabcn、，2x2Ti 1 j1 k 1l 1xijkl,_abcnss1a2Xi2XAbcni 1abcnss1b2X j2XBacnj 1abcnss1c22XCabnk 1x kab

20、cnss1abX22XSSaABcni 1j 1ijabcnss1acX22Xss aACbni 1k 1i kabcnss1bcX22XSSbBCanj 1k 1jkabcnabcn21 aijkln i 1bcssei 1 j1 k1 l1Xj 1 k 1SSbSScSSc剩余項為三因素交互作用SSbc= SSr-SSA SSB SSC SSAb SSAc SSc- SSE自由度的分解:主效應自由度是其水平數(shù)減1交互作用自由度是相關因素自由度的乘積誤差自由度各因素水平數(shù)乘以重復數(shù)減1。2ijk由三因素平方和與自由度的分解的規(guī)律，可以很容易得到更多因素時的平方和與自FFR因素abnijka0

21、j0(a j )00qij)k111FFR因素abnijka由度。不過，在實際應用時，三個因素實驗根本上可以滿足需要了。9.5.2 均方期望的表格化推演方法平方和與自由度的分解并不很困難，困難的是需要得到可靠的檢驗統(tǒng)計量， 也就是說需要得到各個分量的均方期望。表格法推演是簡單可靠的，下面以兩因素 為例，說明其方法。幾個規(guī)定：誤差物寫成 冊，括號的下標稱為死下標，沒有括號的下標都是活下標。222固定模型中各因素的效應分量，分別用, 表示。222隨機模型中各因素的方差分量，分別用,，表示?；旌夏Ｐ椭?，交互作用的兩個因素中只要有一個是隨機因素，那么交互作 用即被認為是隨機的。誤差方差記為（20以固定

22、模型為例，說明其推演步驟：首先列出右表，線性統(tǒng)計模型中的每個分量占 據(jù)一行，每個下標占一列。表頭上寫上因素的類型，固 定型記為F,隨機型記為R,重復屬于隨機的，記為 Ro 寫上各因素的水平數(shù)a、b、n以及每一分量的下標i、j、 ko在行分量中，假設某個死下標與列中的該下標 致，那么寫上“ 1。假設每一行分量上的一個活下標與列上的下標一致，且列是以固定因素為表頭的，那么寫上“ 0，列 是以隨機因素為表頭的，那么寫上“ 1。&ij)k在其余空白行位置上寫上各列表頭所標明的水平數(shù)為了求某一模型分量因素的的均方期 望，用紙條蓋上以其活下標為表頭的那一列，然后 找出包含該下標的那些行。把未蓋上的字母和數(shù)字 相乘，再乘上相應的固定因素的效應分量或隨機模 型的方差分量。這些乘積的和，即為該因素的均方 期望。例如求EMSa，蓋上列i,剩下的列是列jFFR因素abnijk0bn3a0n(a j )00n(j)k111數(shù)字和或字母的乘積為1、0、和bn,由此得出因素A的均方期望:E MS abn2 bn 2和列k,包含i的行是4、3、1。這三行中未蓋上的同理可以