第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2ppt課件

1、第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1 2.1 概述概述 2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程 2.3 2.3 拉普拉斯變換與拉普拉斯反變換拉普拉斯變換與拉普拉斯反變換 2.4 2.4 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 2.5 2.5 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其連接系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其連接 2.6 2.6 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型本章教學(xué)大綱本章教學(xué)大綱本章教學(xué)大綱本章教學(xué)大綱1. 1. 掌握機(jī)械、電氣系統(tǒng)微分方程的建立方法；掌握機(jī)械、電氣系統(tǒng)微分方程的建立方法；2. 2. 了解非線性方程的線性化；了解非線性方程的線性化；3. 3. 熟悉拉氏

2、變換及反變換、線性定常微分方程的解法；熟悉拉氏變換及反變換、線性定常微分方程的解法；4. 4. 掌握傳遞函數(shù)基本概念及典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)；掌握傳遞函數(shù)基本概念及典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)；5. 5. 掌握系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖的化簡(jiǎn)。掌握系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖的化簡(jiǎn)。u教學(xué)重點(diǎn)：微分方程建立、傳遞函數(shù)概念與求法、典教學(xué)重點(diǎn)：微分方程建立、傳遞函數(shù)概念與求法、典u 型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)、方框圖等效變換型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)、方框圖等效變換第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1 2.1 概概 述述2.1 2.1 概概 述述一、數(shù)學(xué)模型一、數(shù)學(xué)模型 1. 定義定義 2. 品種品種 3. 研究領(lǐng)域研究領(lǐng)域 定量地描述系統(tǒng)的動(dòng)

3、態(tài)性能，揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參定量地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，揭示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動(dòng)態(tài)性能之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。數(shù)與動(dòng)態(tài)性能之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 微分方程、差分方程、統(tǒng)計(jì)學(xué)方程、傳遞函數(shù)、頻微分方程、差分方程、統(tǒng)計(jì)學(xué)方程、傳遞函數(shù)、頻率特性、各種響應(yīng)式等。率特性、各種響應(yīng)式等。 時(shí)間域時(shí)間域微分方程、差分方程、狀態(tài)方程；微分方程、差分方程、狀態(tài)方程； 復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域傳遞函數(shù)、脈沖傳遞函數(shù)；傳遞函數(shù)、脈沖傳遞函數(shù)； 頻率域頻率域頻率特性。頻率特性。第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 反映系統(tǒng)在恒定載荷或緩變載反映系統(tǒng)在恒定載荷或緩變載荷作用下或在系統(tǒng)平衡狀態(tài)下的特性；荷作用下或在

4、系統(tǒng)平衡狀態(tài)下的特性；靜態(tài)模型靜態(tài)模型 用于研究系統(tǒng)在迅變載荷作用用于研究系統(tǒng)在迅變載荷作用下或在系統(tǒng)不平衡狀態(tài)下的特性；下或在系統(tǒng)不平衡狀態(tài)下的特性；動(dòng)態(tài)模型動(dòng)態(tài)模型 在一定條件下，動(dòng)態(tài)模型可以轉(zhuǎn)換為靜態(tài)模型。在一定條件下，動(dòng)態(tài)模型可以轉(zhuǎn)換為靜態(tài)模型。 動(dòng)態(tài)模型是描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)歷程的，機(jī)械工程控動(dòng)態(tài)模型是描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)歷程的，機(jī)械工程控制論研究的是機(jī)械工程技術(shù)中廣義系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題，制論研究的是機(jī)械工程技術(shù)中廣義系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題，所以往往需要采用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，即需要建立微分方所以往往需要采用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，即需要建立微分方程或差分方程來描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。程或差分方程來描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。2.

5、1 2.1 概概 述述第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二、建立數(shù)學(xué)模型建模的方法二、建立數(shù)學(xué)模型建模的方法 一個(gè)一個(gè)“合理的數(shù)學(xué)模型應(yīng)該以最簡(jiǎn)化的形式、準(zhǔn)合理的數(shù)學(xué)模型應(yīng)該以最簡(jiǎn)化的形式、準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。確地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。2.1 2.1 概概 述述建建模模方方法法1. 1. 分析法解析法）分析法解析法） 根據(jù)系統(tǒng)或元件所遵循的有關(guān)定律來建立數(shù)學(xué)根據(jù)系統(tǒng)或元件所遵循的有關(guān)定律來建立數(shù)學(xué)模型的方法列寫數(shù)學(xué)表達(dá)式）。模型的方法列寫數(shù)學(xué)表達(dá)式）。2. 2. 實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法 根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，并擬合出比較接近實(shí)根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，并擬合出比較接近實(shí)際的數(shù)學(xué)模型。際的數(shù)學(xué)模型

6、。第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型三、線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)三、線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 1. 定義定義 能用線性微分方程描述的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，否則為非能用線性微分方程描述的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，否則為非線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)。2. 2. 分類分類線性定常系統(tǒng)：線性定常系統(tǒng)：線性時(shí)變系統(tǒng)：線性時(shí)變系統(tǒng)：非線性系統(tǒng)：非線性系統(tǒng)：2.1 2.1 概概 述述第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 3. 3. 特性特性 線性系統(tǒng)滿足疊加原理，即具有疊加性；非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)滿足疊加原理，即具有疊加性；非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。不滿足疊加原理。 疊加原理：線性系統(tǒng)在多個(gè)輸入的作用下，其總輸出疊加原理：線性

7、系統(tǒng)在多個(gè)輸入的作用下，其總輸出等于各個(gè)輸入單獨(dú)作用而產(chǎn)生的輸出之和。等于各個(gè)輸入單獨(dú)作用而產(chǎn)生的輸出之和。 和的響應(yīng)等于響應(yīng)之和。和的響應(yīng)等于響應(yīng)之和。2.1 2.1 概概 述述第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程微分方程微分方程 在時(shí)域中描述系統(tǒng)或元件動(dòng)態(tài)特性的在時(shí)域中描述系統(tǒng)或元件動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型，或稱為運(yùn)動(dòng)方程。利用微分方程數(shù)學(xué)模型，或稱為運(yùn)動(dòng)方程。利用微分方程可得到描述系統(tǒng)或元件動(dòng)態(tài)特性的其他可得到描述系統(tǒng)或元件動(dòng)態(tài)特性的其他形式的數(shù)學(xué)模型。形式的數(shù)學(xué)模型。如：如：)()()()(txtk

8、ytyctym )()()(00tututuRCi一、列寫微分方程的一般方法一、列寫微分方程的一般方法第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程1. 1.確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量；確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量；2. 2.按信號(hào)傳遞的順序，從系統(tǒng)輸入端出發(fā)，根據(jù)各變量按信號(hào)傳遞的順序，從系統(tǒng)輸入端出發(fā)，根據(jù)各變量所遵循的物理定律列寫系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)微分方程；所遵循的物理定律列寫系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)微分方程；3. 3.消除中間變量消除中間變量, ,得到只包含輸入量和輸出量微分方程；得到只包含輸入量和輸出量微分方程；4. 4.整理所得到的微分方程，將與輸出有關(guān)

9、的項(xiàng)放在方程整理所得到的微分方程，將與輸出有關(guān)的項(xiàng)放在方程的左側(cè)，與輸入有關(guān)的項(xiàng)放在方程的右側(cè)，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的左側(cè)，與輸入有關(guān)的項(xiàng)放在方程的右側(cè)，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪方式排列。按降冪方式排列。 如：如：)()()()()()()()(01)1(01)(0001)1(01)(0txbtxbtxbtxbtxatxatxatxaiimmmimnnnn二、系統(tǒng)微分方程的列寫二、系統(tǒng)微分方程的列寫 1. 機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程 遵循的定律：牛頓第二定律或達(dá)朗貝爾原理遵循的定律：牛頓第二定律或達(dá)朗貝爾原理 maF0maF 直線運(yùn)動(dòng)直

10、線運(yùn)動(dòng)元素：質(zhì)量元素：質(zhì)量m m、彈簧、彈簧k k、粘性阻尼器、粘性阻尼器c c 質(zhì)量元件：質(zhì)量元件： xmmaF 阻尼元件：阻尼元件：cxccvFc，c粘性阻尼系粘性阻尼系數(shù)數(shù) 彈性元件：彈性元件：kxFk，k彈彈性系性系數(shù)數(shù)例例2-1 2-1 列寫下圖所示機(jī)械系統(tǒng)的微分方程列寫下圖所示機(jī)械系統(tǒng)的微分方程kmcf( t)x ( t)解：解： 1) 1)明確系統(tǒng)的輸入與輸出，明確系統(tǒng)的輸入與輸出， 輸入輸入f(t) f(t) ， 輸出輸出x(t) x(t) 2) 2)進(jìn)行受力分析，列寫微分方程，進(jìn)行受力分析，列寫微分方程，kmf(t)x(t)x(t)c利用利用 ，得，得 maF)()()()(

11、txmtxctkxtf 3) 3)整理微分方程，得整理微分方程，得)()()()(tftkxtxctxm 第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程例例2-2 2-2 下圖所示為一簡(jiǎn)化了的機(jī)械系統(tǒng)，求其輸入下圖所示為一簡(jiǎn)化了的機(jī)械系統(tǒng)，求其輸入x(t)x(t)與輸出與輸出y(t)y(t)之間的微分方程。之間的微分方程。解：在不同的元素之間，一定會(huì)有中解：在不同的元素之間，一定會(huì)有中間變量。間變量。 設(shè)中間變量設(shè)中間變量x1，且假設(shè)，且假設(shè)xx1y。取分離體阻尼活塞和缸體部分，并取分離體阻尼活塞和缸體部分，并進(jìn)行受力分析，進(jìn)行受力分析，第二章第二章 系

12、統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程根據(jù)受力分析，列寫微分方程組，根據(jù)受力分析，列寫微分方程組，)()()()(111tytxctxtxk)()()(21tyktytxc(1)(2)消去中間變量消去中間變量x1(t)x1(t)，得，得，)()()()()()(121211tykktxtxtyktxtxk將將x1(t)x1(t)代入代入(2)(2)，整理得系統(tǒng)微分方程為，整理得系統(tǒng)微分方程為，)()()(1212txctyktykkc第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程(2)(2)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)元素：慣量元素：慣量J

13、J、扭轉(zhuǎn)彈簧、扭轉(zhuǎn)彈簧kJkJ、回轉(zhuǎn)粘性阻尼器、回轉(zhuǎn)粘性阻尼器cJ cJ慣量元件：慣量元件： kJ)(tJT ，J轉(zhuǎn)動(dòng)慣轉(zhuǎn)動(dòng)慣量量回轉(zhuǎn)彈性元件：回轉(zhuǎn)彈性元件：)(tkTJkJ，kJ回回轉(zhuǎn)彈轉(zhuǎn)彈性系性系數(shù)數(shù)回轉(zhuǎn)阻尼元件：回轉(zhuǎn)阻尼元件：cJ)(tcTJcJ，cJ回轉(zhuǎn)粘性阻尼系數(shù)第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程例例2-3 2-3 下圖所示為一齒輪傳動(dòng)鏈，輸入量為軸下圖所示為一齒輪傳動(dòng)鏈，輸入量為軸的輸入轉(zhuǎn)的輸入轉(zhuǎn)矩矩T T，輸出量為軸，輸出量為軸角位移角位移11，試寫出其微分方程。，試寫出其微分方程。解：為了便于列寫微分方程，我們解：為了便于列寫

14、微分方程，我們?cè)谙到y(tǒng)上增加一些中間變量在系統(tǒng)上增加一些中間變量T1T1，T2T2，它們分別是軸它們分別是軸的輸出轉(zhuǎn)矩與軸的輸出轉(zhuǎn)矩與軸的輸入轉(zhuǎn)矩，即如下圖所示，的輸入轉(zhuǎn)矩，即如下圖所示，Z2Z12T2T11TJ2、B2J1、B1第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程根據(jù)達(dá)朗貝爾原理列寫微分方程組為，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理列寫微分方程組為，消去中間變量消去中間變量T1 、T2、2，得到系，得到系統(tǒng)的微分方程為根據(jù)達(dá)朗貝爾原理統(tǒng)的微分方程為根據(jù)達(dá)朗貝爾原理列寫微分方程組為，列寫微分方程組為， 由此可知，減速器的速比越大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、粘性由此可知，減速器的速比

15、越大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、粘性阻尼系數(shù)等折算到電動(dòng)機(jī)軸上的等效值越小，因此在阻尼系數(shù)等折算到電動(dòng)機(jī)軸上的等效值越小，因此在一般分析中常可忽略不計(jì)，但第一級(jí)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般分析中常可忽略不計(jì)，但第一級(jí)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和粘性阻尼系數(shù)影響較大，應(yīng)該考慮。和粘性阻尼系數(shù)影響較大，應(yīng)該考慮。第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程 2. 電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng) 遵循的定律：克希荷夫電流定律、克希荷夫電壓定律遵循的定律：克希荷夫電流定律、克希荷夫電壓定律Ati0)(iRE 元素：電阻元素：電阻R R、電感、電感L L、電容、電容C C 電阻元件：電阻元件： RUiRiUR

16、RRR, 電感元件：電感元件：dtULidtdiLULLLL1, 電容元件：電容元件：dtdUCidtiCUCCCC,1第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程(1)(1)克希荷夫電流定律克希荷夫電流定律 若電路有分支路，它就有節(jié)點(diǎn)，則會(huì)聚到某節(jié)點(diǎn)的所若電路有分支路，它就有節(jié)點(diǎn)，則會(huì)聚到某節(jié)點(diǎn)的所有電流之代數(shù)和應(yīng)等于有電流之代數(shù)和應(yīng)等于0 0即所有流出節(jié)點(diǎn)的電流之即所有流出節(jié)點(diǎn)的電流之和等于所有流進(jìn)節(jié)點(diǎn)的電流之和），和等于所有流進(jìn)節(jié)點(diǎn)的電流之和），Ati0)(如右圖所示，如右圖所示，Ai1i2i3Aiiiti0)(321第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

17、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程例例2-4 2-4 下圖所示為一電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，其輸入為電壓下圖所示為一電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，其輸入為電壓ui ui，輸出為電壓輸出為電壓uouo，列寫該系統(tǒng)微分方程。，列寫該系統(tǒng)微分方程。解：根據(jù)克希荷夫電流定律，有解：根據(jù)克希荷夫電流定律，有 iL iRiC = 0又又RuuRuioiRRdtuuLdtuLioiLL)(11dtduCdtduCioCCuiiRRLiCiLuoC以上以上4 4個(gè)方程聯(lián)立求解，并整理得，個(gè)方程聯(lián)立求解，并整理得，)()()()()(tRutuLtRutuLtuRLCiiooo 第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模

18、型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程(2)(2)克希荷夫電壓定律克希荷夫電壓定律 網(wǎng)絡(luò)的閉合回路中電勢(shì)的代數(shù)和等于沿回路的電壓降網(wǎng)絡(luò)的閉合回路中電勢(shì)的代數(shù)和等于沿回路的電壓降的代數(shù)和的代數(shù)和 。即。即例例2-5 2-5 下圖所示為一電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，其輸入為電壓下圖所示為一電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，其輸入為電壓ui ui，輸出為電壓輸出為電壓uouo，列寫該系統(tǒng)微分方程。，列寫該系統(tǒng)微分方程。LRCuiuoi解：根據(jù)克希荷夫電壓定律，有解：根據(jù)克希荷夫電壓定律，有 dttiCtRidttdiLtui)(1)()()(dttduCtidttiCtuoo)()()(1)(（1 1）（2 2）將將2 2代入代

19、入1 1式，整理得，式，整理得， )()()()(tuRCtutuRCtuLCiooo iRE第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程例例2-6 2-6 下圖所示為一電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，其輸入為電壓下圖所示為一電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，其輸入為電壓u(t)u(t)，輸出為電容器的電量輸出為電容器的電量q(t)q(t)，列寫該系統(tǒng)微分方程。，列寫該系統(tǒng)微分方程。iLRCu解：根據(jù)克希荷夫電壓定律，得解：根據(jù)克希荷夫電壓定律，得dttiCtRidttdiLtu)(1)()()(dttdqti)()(消去中間變量消去中間變量i(t)，并整理得，并整理得，)()()()(tCu

20、tqtqRCtqLC 第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程例例2-7 2-7 下圖所示為一個(gè)兩級(jí)串連的下圖所示為一個(gè)兩級(jí)串連的RCRC電路組成的濾波電路組成的濾波網(wǎng)絡(luò)，輸入為電壓網(wǎng)絡(luò)，輸入為電壓ui ui，輸出為電壓，輸出為電壓uouo。分析。分析ui ui， uouo與與系統(tǒng)之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，列寫該系統(tǒng)微分方程。系統(tǒng)之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，列寫該系統(tǒng)微分方程。C1uiR1C2uoR2解：設(shè)中間變量，令解：設(shè)中間變量，令回路中流過回路中流過R1的電流為的電流為i1；令；令回路中流過回路中流過R2和和C2的電流為的電流為i2。根據(jù)克希荷夫電流定律，流過根據(jù)

21、克希荷夫電流定律，流過C1的電流為的電流為i1-i2，方向朝下。，方向朝下。對(duì)對(duì)回路，根據(jù)克希荷夫電壓定律，有回路，根據(jù)克希荷夫電壓定律，有dttitiCtiRtui)()(1)()(21111對(duì)對(duì)回路，根據(jù)克希荷夫電壓定律，有回路，根據(jù)克希荷夫電壓定律，有dttiCtiRdttitiC)(1)()()(12222211第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程dttitiCtiRtui)()(1)()(21111dttiCtiRdttitiC)(1)()()(12222211另外，另外，)()(122tudttiCo消去中間變量消去中間變量i1、i

22、2，整理得，整理得，)()()()()(2221112121tututuCRCRCRtuCCRRiooo C1uiR1C2uoR2第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程負(fù)載效應(yīng)負(fù)載效應(yīng): : 是指對(duì)于由兩個(gè)物理元件組成的系統(tǒng)而是指對(duì)于由兩個(gè)物理元件組成的系統(tǒng)而言，若其中一個(gè)元件的存在，使另一元件在相同輸言，若其中一個(gè)元件的存在，使另一元件在相同輸入下的輸出受到影響，則有如前者對(duì)后者施加了負(fù)入下的輸出受到影響，則有如前者對(duì)后者施加了負(fù)載，這一影響就稱為負(fù)載效應(yīng)。載，這一影響就稱為負(fù)載效應(yīng)。上例中，兩個(gè)上例中，兩個(gè)RCRC電路串聯(lián)，存在著負(fù)載效應(yīng)。回

23、路電路串聯(lián)，存在著負(fù)載效應(yīng)?；芈分械碾娏鲗?duì)回路中的電流對(duì)回路有影響，即存在著內(nèi)部信息的有影響，即存在著內(nèi)部信息的反饋?zhàn)饔?，流?jīng)反饋?zhàn)饔?，流?jīng)C1C1的電流為的電流為i1 i1和和i2 i2的代數(shù)和。不能簡(jiǎn)的代數(shù)和。不能簡(jiǎn)單地將第一級(jí)單地將第一級(jí)RCRC電路的輸出作為第二級(jí)電路的輸出作為第二級(jí)RCRC電路的輸電路的輸入，否則就會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果。入，否則就會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果。 第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程 一般液壓控制系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的具有分布參數(shù)的控一般液壓控制系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的具有分布參數(shù)的控制系統(tǒng)，分析研究它有一定的復(fù)雜性，在工程實(shí)際中制系

24、統(tǒng)，分析研究它有一定的復(fù)雜性，在工程實(shí)際中通常用集中參數(shù)系統(tǒng)近似地描述它，即假定各參數(shù)僅通常用集中參數(shù)系統(tǒng)近似地描述它，即假定各參數(shù)僅為時(shí)間的變量而與空間位置無關(guān)，這樣就可用常微分為時(shí)間的變量而與空間位置無關(guān)，這樣就可用常微分方程來描述它，此外，液壓系統(tǒng)中的元件有明顯的非方程來描述它，此外，液壓系統(tǒng)中的元件有明顯的非線性特性，在一定條件下需進(jìn)行線性化處理，這樣使線性特性，在一定條件下需進(jìn)行線性化處理，這樣使分析問題大為簡(jiǎn)化。分析問題大為簡(jiǎn)化。 一般液壓系統(tǒng)要應(yīng)用流體連續(xù)方程，即流體的質(zhì)量一般液壓系統(tǒng)要應(yīng)用流體連續(xù)方程，即流體的質(zhì)量守恒定律：守恒定律：qi = 0qi = 0 3. 液壓系統(tǒng)液壓

25、系統(tǒng)第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程例例2-8 2-8 右下圖是一液壓缸，其輸入為流量右下圖是一液壓缸，其輸入為流量q q，輸出為，輸出為液壓缸活塞的位移液壓缸活塞的位移x x，試列寫該系統(tǒng)微分方程。，試列寫該系統(tǒng)微分方程。解：根據(jù)分析，其微分方程為，解：根據(jù)分析，其微分方程為， q=Av=A ，整理后得，整理后得， A =qdtdxdtdxxqA第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程三、非線性微分方程的線性化三、非線性微分方程的線性化 非線性方程線性化的條件非線性方程線性化的條件 非線性函數(shù)

26、是連續(xù)函數(shù)即非線性不是本質(zhì)非線性）非線性函數(shù)是連續(xù)函數(shù)即非線性不是本質(zhì)非線性） 系統(tǒng)在預(yù)定工作點(diǎn)附近作小偏差運(yùn)動(dòng)，即變量的變化系統(tǒng)在預(yù)定工作點(diǎn)附近作小偏差運(yùn)動(dòng)，即變量的變化范圍很小。范圍很小。 非線性方程線性化的方法非線性方程線性化的方法 確定預(yù)定工作點(diǎn)；確定預(yù)定工作點(diǎn)； 在工作點(diǎn)附近將非線性方程展開成泰勒級(jí)數(shù)形式；在工作點(diǎn)附近將非線性方程展開成泰勒級(jí)數(shù)形式； 忽略高于一階項(xiàng)；忽略高于一階項(xiàng)； 表示成增量方程的形式。表示成增量方程的形式。第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程泰勒中值定理：如果函數(shù)泰勒中值定理：如果函數(shù)f(x)f(x)在含有在含有

27、x0 x0的某個(gè)開區(qū)間的某個(gè)開區(qū)間(a (a，b)b)內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到(n+1)(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x x在在(a (a，b)b)內(nèi)時(shí)，內(nèi)時(shí)，f(x)f(x)可可以表示為以表示為(x-x0)(x-x0)的一個(gè)的一個(gè)n n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)Rn(x)Rn(x)之和之和 200000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xRxxnxfnnn10)1()()!1()()(nnnxxnfxR這里這里 是是x x與與x0 x0之間的某個(gè)值。之間的某個(gè)值。第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微

28、分方程例例2-9 2-9 教材教材P:12-14P:12-14圖圖2-42-4液壓伺服機(jī)構(gòu)課外自習(xí)內(nèi)容）液壓伺服機(jī)構(gòu)課外自習(xí)內(nèi)容）討論：討論：1非線性項(xiàng)線性化后得到的微分方程是增量形式的微非線性項(xiàng)線性化后得到的微分方程是增量形式的微分方程；分方程；2線性化的結(jié)果與系統(tǒng)的預(yù)定工作點(diǎn)有關(guān)；線性化的結(jié)果與系統(tǒng)的預(yù)定工作點(diǎn)有關(guān)；3非線性項(xiàng)線性化必須滿足連續(xù)性和小偏差的條件。非線性項(xiàng)線性化必須滿足連續(xù)性和小偏差的條件。第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2 2.2 系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的微分方程2.3 2.3 拉普拉斯變換與拉普拉斯反變換拉普拉斯變換與拉普拉斯反變換第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系

29、統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.3 2.3 拉氏變換與拉氏反變換拉氏變換與拉氏反變換一、一、 拉氏變換的定義拉氏變換的定義若若f(t)f(t)為實(shí)變數(shù)為實(shí)變數(shù)t t的單值函數(shù)，且的單值函數(shù)，且t t0 0時(shí)，時(shí)，f(t)f(t)0 0；當(dāng)；當(dāng)t0t0時(shí)，時(shí)，f(t)f(t)在任一有限區(qū)間上是連續(xù)的或至少是分段連續(xù)在任一有限區(qū)間上是連續(xù)的或至少是分段連續(xù)的，則函數(shù)的，則函數(shù)f(t)f(t)的拉氏變換記作的拉氏變換記作Lf(t)Lf(t)或或F(s)F(s)，并定義為，并定義為 Lf(t)Lf(t)F(s)F(s) (2.3.1)(2.3.1)式中，式中，LL拉氏變換的符號(hào)；拉氏變換的符號(hào)；ss復(fù)變數(shù)，復(fù)變數(shù)，s

30、 s jj 、 均為實(shí)數(shù)）；均為實(shí)數(shù)）；F(s)F(s)是函數(shù)是函數(shù)f(t)f(t)的拉氏變換，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)，通的拉氏變換，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)，通常稱常稱F(s)F(s)為為f(t)f(t)的象函數(shù)，而的象函數(shù)，而f(t)f(t)為為F(s)F(s)的原函數(shù)；的原函數(shù)； dttfest0)(表表1 拉氏變換對(duì)照表拉氏變換對(duì)照表第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.3 2.3 拉氏變換與拉氏反變換拉氏變換與拉氏反變換二、拉氏變換的定理二、拉氏變換的定理線性定理線性定理 和的拉氏變換等于拉氏變換之和。和的拉氏變換等于拉氏變換之和。設(shè)設(shè)Lf1(t)F1(s)，Lf2(t)F2(s)，那么，

31、那么 Laf1(t)bf2(t)例例 已知已知f(t)f(t)1 12cost2cost，求，求F(s)F(s)。2. 平移定理復(fù)數(shù)域的位移定理）平移定理復(fù)數(shù)域的位移定理）若若Lf(t)F(s)，對(duì)任一常數(shù)，對(duì)任一常數(shù)a實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)），則有實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)），則有 L f(t)F(s + a)例：求例：求L cost。eateat第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.3 2.3 拉氏變換與拉氏反變換拉氏變換與拉氏反變換3. 延時(shí)定理實(shí)數(shù)域的位移定理）延時(shí)定理實(shí)數(shù)域的位移定理）若若Lf(t)F(s)，且，且t0時(shí)，時(shí)，f(t)0，那么，那么 Lf(t-T)e-Ts F(s)其中，其中，T為任一正

32、實(shí)數(shù)，函數(shù)為任一正實(shí)數(shù)，函數(shù)f(t-T)為原函數(shù)為原函數(shù)f(t)沿時(shí)沿時(shí)間軸平移了時(shí)間間軸平移了時(shí)間T。例例 求求f(t) 1(t-T)的拉氏變換的拉氏變換4. 微分定理微分定理 若若Lf(t)F(s)，則有，則有L s F(s) - f(0) 初始狀態(tài)為初始狀態(tài)為0時(shí)，時(shí)，L F(s) 第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.3 2.3 拉氏變換與拉氏反變換拉氏變換與拉氏反變換5. 積分定理積分定理若若Lf(t)F(s)，則有，則有L F(s)L dttf)(dtf)0()()(dttfn )0() 1(fsn1F(s) sn1sn 11)0()2(f )0()(fn 初始狀態(tài)為初始狀

33、態(tài)為0時(shí)，時(shí)，L F(s) )()(dttfn sn16. 終值定理終值定理limtlim0sf(t) = sF(s)7. 初值定理初值定理lim0tf(t) =limssF(s) 第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.3 2.3 拉氏變換與拉氏反變換拉氏變換與拉氏反變換三、拉氏反變換三、拉氏反變換1. 定義定義 拉氏反變換是指由已知的象函數(shù)拉氏反變換是指由已知的象函數(shù)F(s)求解與之對(duì)應(yīng)求解與之對(duì)應(yīng)的原函數(shù)的原函數(shù)f(t)的過程。拉氏反變換的符號(hào)為的過程。拉氏反變換的符號(hào)為 ， 可表示為可表示為 F(s)f(t)L1L12. 拉氏反變換的數(shù)學(xué)方法拉氏反變換的數(shù)學(xué)方法查表法查表法有理函

34、數(shù)法有理函數(shù)法部分分式法：通過代數(shù)運(yùn)算，先將一個(gè)復(fù)雜的象函部分分式法：通過代數(shù)運(yùn)算，先將一個(gè)復(fù)雜的象函數(shù)化為數(shù)個(gè)簡(jiǎn)單的部分分式之和，再分別求出各個(gè)數(shù)化為數(shù)個(gè)簡(jiǎn)單的部分分式之和，再分別求出各個(gè)分式的原函數(shù)，總的原函數(shù)即可求得。分式的原函數(shù)，總的原函數(shù)即可求得。 第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.3 2.3 拉氏變換與拉氏反變換拉氏變換與拉氏反變換四、用拉氏變換解常微分方程四、用拉氏變換解常微分方程對(duì)給定的微分方程等式兩端取拉氏變換，變微分對(duì)給定的微分方程等式兩端取拉氏變換，變微分方程為方程為s變量的代數(shù)方程；變量的代數(shù)方程；用拉氏變換解常微分方程的步驟為：用拉氏變換解常微分方程的步驟

35、為：對(duì)以對(duì)以s為變量的代數(shù)方程加以整理，得到微分方程求為變量的代數(shù)方程加以整理，得到微分方程求解的變量的拉氏表達(dá)式。對(duì)這個(gè)變量求拉氏反變解的變量的拉氏表達(dá)式。對(duì)這個(gè)變量求拉氏反變換，即得在時(shí)域中以時(shí)間換，即得在時(shí)域中以時(shí)間t為參變量微分方程為參變量微分方程的解。的解。 第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.3 2.3 拉氏變換與拉氏反變換拉氏變換與拉氏反變換2.4 2.4 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 對(duì)于線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)是常用的一種數(shù)學(xué)模對(duì)于線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)是常用的一種數(shù)學(xué)模型，它是在拉氏變換的基礎(chǔ)上建立的，用傳遞函數(shù)描型，它是在拉氏變換的基礎(chǔ)上建立的，用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)

36、可以免去求解微分方程的麻煩，間接地分析系述系統(tǒng)可以免去求解微分方程的麻煩，間接地分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及參數(shù)與系統(tǒng)性能的關(guān)系，并且可以根據(jù)傳遞統(tǒng)結(jié)構(gòu)及參數(shù)與系統(tǒng)性能的關(guān)系，并且可以根據(jù)傳遞函數(shù)在復(fù)平面上的曲線形狀，直接判斷系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性函數(shù)在復(fù)平面上的曲線形狀，直接判斷系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，找出改變系統(tǒng)品質(zhì)的方法。能，找出改變系統(tǒng)品質(zhì)的方法。 l 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論的基礎(chǔ)，是一個(gè)極其重要傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論的基礎(chǔ)，是一個(gè)極其重要的基本概念，是復(fù)數(shù)域中描述系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)模型。的基本概念，是復(fù)數(shù)域中描述系統(tǒng)特性的數(shù)學(xué)模型。一、傳遞函數(shù)的概念與定義一、傳遞函數(shù)的概念與定義第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模

37、型2.4 2.4 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 1. 傳遞傳遞函函數(shù)數(shù)的定的定義義零初始條件零初始條件線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng) 在在 下，下， 輸出的輸出的Laplace變換與變換與輸入的輸入的Laplace變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)。即即)()()(L)(L)(0sXsXtxtxsGioi零初始條件：零初始條件：q t0 t0時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0 0；q 輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的狀態(tài)，輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的狀態(tài)，即即t0時(shí)，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為時(shí)，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為0；第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.4 2.4 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 2. 傳遞傳遞函函數(shù)數(shù)的一般形式的一般形式線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式為，線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式為，)()()()()()()()()(1111011110mntxbdttdxbdttxdbdttxdbtxadttdxadttxdadttxdaimimmimmimononnonnon在零初始條件下，分別對(duì)方程兩邊進(jìn)行在零初始條件下，分別對(duì)方程兩邊進(jìn)行LaplaceLaplace變換，有變換，有)()()()(01110111sXbsbsbsbsXasasasaim