高二圓錐曲線中的最值和范圍問(wèn)題(教師版)

1、戴氏精品堂學(xué)?？傂?紫荊校區(qū) 電話(huà)：85972577 教師版 吳老師 圓錐曲線中的最值和范圍問(wèn)題高考在考什么【考題回放】1已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是(C )A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+)2 P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x5)2y24和(x5)2y21上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最大值為（ B ）A. 6 B.7 C.8 D.93拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0距離的最小值是( A )A B C D4已知雙曲線的左、右焦

2、點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|=4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為：（B）(A) (B) (C) (D)5已知拋物線y2=4x,過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，則y12+y22的最小值是 32 .6設(shè)橢圓方程為，過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）的最小值與最大值.【專(zhuān)家解答】（1）法1：直線l過(guò)點(diǎn)M（0，1）設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=kx+1.記A(x1,y1),B(x2,y2)，由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo) (x1,y1

3、)、 (x2,y2)是方程組 的解. 將代入并化簡(jiǎn)得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以于是設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y), 則消去參數(shù)k得4x2+y2-y=0 當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），也滿(mǎn)足方程，所以點(diǎn)P的軌跡方程為4x2+y2-y=0 解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，因A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上，所以 得，所以當(dāng)時(shí)，有 并且 將代入并整理得 4x2+y2-y=0 當(dāng)x1=x2時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（0，2）、（0，2），這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0）也滿(mǎn)足，所以點(diǎn)P的軌跡方程為 （2）由點(diǎn)P的軌跡方程知所以 故當(dāng)，取得最小值，最小值為當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為

4、高考要考什么【考點(diǎn)透視】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問(wèn)題，因其考查的知識(shí)容量大、分析能力要求高、區(qū)分度高而成為高考命題者青睞的一個(gè)熱點(diǎn)。【熱點(diǎn)透析】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問(wèn)題的討論常用以下方法解決：（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；（2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點(diǎn)在曲線內(nèi)等）列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過(guò)解不等式組得出參數(shù)的變化范圍；（3）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)、一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來(lái)表示這個(gè)函數(shù)，通過(guò)討論函數(shù)的值域來(lái)求參數(shù)的變化范圍。（4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思；（5）結(jié)合參

5、數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個(gè)共同特點(diǎn)是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價(jià)值在于： 通過(guò)參數(shù)簡(jiǎn)明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)； 利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來(lái)幫助求解諸如最值、范圍等問(wèn)題；（6）構(gòu)造一個(gè)二次方程，利用判別式D³0。突破重難點(diǎn)【范例1】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2的距離之和為定值，且cosÐF1PF2的最小值為（）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程； （）若已知D(0,3)，M、N在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上且，求實(shí)數(shù)l的取值范圍講解()由題意c2=5設(shè)|PF1|+|PF2|=2a（），由余弦定理, 得 又·， 當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF

6、2|時(shí)，|PF1|·|PF2| 取最大值，此時(shí)cosÐF1PF2取最小值，令，解得a2=9，b2=4，故所求P的軌跡方程為. （）設(shè)N(s,t)，M(x,y)，則由，可得(x，y-3) =l(s，t-3)，故x=ls，y=3+l(t-3). M、N在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上，且，消去s可得，解得，又|t|£2，解得，故實(shí)數(shù)l的取值范圍是【點(diǎn)晴】為了求參數(shù)的取值范圍，只要列出關(guān)于參數(shù)的不等式，而建立不等式的方法有多種方法，諸如：判別式法、均值不等式法、有界性法等等【文】已知點(diǎn)M(-2，0)，N(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足條件.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為W.（）求W的方程；（）若A，B是W上的不

7、同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.解：（）依題意，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，所求方程為： （x>0）（）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為xx0，此時(shí)A（x0，），B（x0，），2 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxb，代入雙曲線方程中，得：(1k2)x22kbxb220依題意可知方程1°有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則解得|k|>1，又x1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）（1k2）x1x2kb（x1x2）b2>2綜上可知的最小值為2【范例2】給定點(diǎn)A(-2,2)，已知B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)

8、，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，試求B點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：因?yàn)闄E圓的，所以，而為動(dòng)點(diǎn)B到左準(zhǔn)線的距離。故本題可化為，在橢圓上求一點(diǎn)B，使得它到A點(diǎn)和左準(zhǔn)線的距離之和最小，過(guò)點(diǎn)B作l的垂線，垂點(diǎn)為N，過(guò)A作此準(zhǔn)線的垂線，垂點(diǎn)為M，由橢圓定義于是 為定值其中，當(dāng)且僅當(dāng)B點(diǎn)AM與橢圓的定點(diǎn)時(shí)等點(diǎn)成立，此時(shí)B為所以，當(dāng)取得最小值時(shí)，B點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)晴】在處理許多與焦點(diǎn)有關(guān)的距離和差最值問(wèn)題時(shí)，常常用圓錐曲線的定義化折為直，是一種簡(jiǎn)便而有效的好方法?！疚摹奎c(diǎn)A（3，2）為定點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線y2=4x上移動(dòng)，若|PA|+|PF|取得最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程

9、為x=-1，設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d，則|PA|+|PF|=|PA|+d。要使|PA|+|PF|取得最小值，由圖3可知過(guò)A點(diǎn)的直線與準(zhǔn)線垂直時(shí)，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2代入y2=4x，得P（1，2）?！痉独?】已知P點(diǎn)在圓x2+(y-2)2=1上移動(dòng)，Q點(diǎn)在橢圓上移動(dòng),試求|PQ|的最大值。解：故先讓Q點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過(guò)圓心O1時(shí)|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.設(shè)Q(x，y)，則|O1Q|2= x2+(y-4)2 因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2) 將代入得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因?yàn)镼在橢圓上移動(dòng)，所以-1

10、63;y£1，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)【點(diǎn)晴】1.與圓有關(guān)的最值問(wèn)題往往與圓心有關(guān)；2.函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問(wèn)題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見(jiàn)的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視。【文】設(shè)P是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，Q為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最大值。解: 依題意可設(shè)P(0,1), Q(x,y),則 |PQ|=,又因?yàn)镼在橢圓上,所以x2=a2(1y2) , |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2 =(1a2)(y )2+1+a2 .因?yàn)閨y|1,a>1, 若a, 則|1, 當(dāng)y=時(shí), |PQ|取最大值;若1<

11、;a<,則當(dāng)y=1時(shí), |PQ|取最大值2.【范例4】已知OFQ的面積為，（1）設(shè)，求ÐOFQ正切值的取值范圍；（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（如圖）， 當(dāng) 取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程。解析：（1）設(shè)ÐOFQ =q （2）設(shè)所求的雙曲線方程為，又，當(dāng)且僅當(dāng)c=4時(shí)，最小，此時(shí)Q的坐標(biāo)是或 ，所求方程為 【點(diǎn)晴】當(dāng)題中的條件和結(jié)論體現(xiàn)出一種明顯的函數(shù)關(guān)系時(shí)，可通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù)，求其目標(biāo)函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有：一元二次函數(shù)法、基本不等式法、判別式法、定義法、函數(shù)單調(diào)性法等?！疚摹恳阎獧E圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(0,-2)，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為，且離心率

12、e滿(mǎn)足：成等差數(shù)列。（1）求橢圓方程；（2）是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN恰被直線平分，若存在，求出l的傾斜角的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（1）解：依題意e ， a3，c2，b1， 又F1(0，2)，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為 橢圓中心在原點(diǎn)，所求方程為 (2)假設(shè)存在直線l，依題意l交橢圓所得弦MN被平分直線l的斜率存在。 設(shè)直線l：ykxm由消去y，整理得 (k29)x22kmxm290l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，4k2m24(k29)(m29)0 即m2k290設(shè) M(x1,y1),N(x2,y2) 把代入式中得k或k直線l傾斜角自我提升1設(shè)AB是過(guò)橢圓中心的弦，橢

13、圓的左焦點(diǎn)為F1(-c，0)，則F1AB的面積最大為（ A ）AbcBabCacDb22已知A（3，2）、B（4，0），P是橢圓上一點(diǎn)，則|PA|PB|的最大值為（ C ）A10B CD3已知雙曲線，過(guò)其右焦點(diǎn)F的直線l交雙曲線于AB，若|AB|=5，則直線l有（ B ）A1條 B2條 C3條 D4條4已知點(diǎn)P是拋物線y2=4x上一點(diǎn)，設(shè)P到此拋物線的準(zhǔn)線的距離為d1, 到直線x+2y+10=0的距離為d2,則d1+d2的最小值為 （ C ）A5B4C（D）5設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi（i=1，2，3，），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，組成公差為d的等差數(shù)列，

14、則d的取值范圍為_(kāi) .6拋物線y2=2x上到直線x-y+3=0距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)，1）7如圖，已知A、B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，C、D是橢圓上兩點(diǎn)，且分別在AB兩側(cè)，則四邊形ABCD面積的最大值是_8如圖3，拋物線y2=4x的一段與橢圓的一段圍成封閉圖形，點(diǎn)圖3ABNOxyN（1，0）在x軸上，又A、B兩點(diǎn)分別在拋物線及橢圓上，且AB/x軸，求NAB的周長(zhǎng)l的取值范圍。解：易知N為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，又為橢圓的右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線l1：x=-1，橢圓的右準(zhǔn)線l2：x=4，過(guò)A作ACl1于C，過(guò)B作BDl2于D，則C、A、B、D在同一條與x軸平行的直線上。由，得拋物線與橢圓的交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)而|

15、BN|=e|BD|=|BD|,|AN|=|AC|NAB的周長(zhǎng)l=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN|=|BC|+|BD|=|BC|+|BD|-|BD|=|CD|-|BD|=5-|BD|，即，即l的取值范圍為（，4）9求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使拋物線y2=x上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=m(x-3)對(duì)稱(chēng)解法1：設(shè)拋物線上兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線y=m(x-3)對(duì)稱(chēng)，A，B中點(diǎn)M(x,y)，則當(dāng)m=0時(shí)，有直線y=0，顯然存在點(diǎn)關(guān)于它對(duì)稱(chēng)。當(dāng)m¹0時(shí)，所以，所以M的坐標(biāo)為，M在拋物線內(nèi)，則有，得且m¹0，綜上所述，解法2：設(shè)兩點(diǎn)為A(x1，y1),B(x2

16、，y2)，它們的中點(diǎn)為M(x，y)，兩個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線的方程為x=-my+b，與方程y2=x聯(lián)立，得y2+my-b=0 所以 y1+y2= -m，即，又因?yàn)橹悬c(diǎn)M在直線y=m(x-3)上，所以得M的坐標(biāo)為又因?yàn)橹悬c(diǎn)M在直線x=-my+b上，對(duì)于，有D=m2+4b=10-m2>0，所以。10已知A（2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)連線的斜率分別為kPA和kPB，且滿(mǎn)足kPA·kPB=t (t0且t1).（）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（）當(dāng)t0時(shí)，曲線C的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點(diǎn)Q使得F1QF2=120O，求t的取值范圍解：() 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y),依題意得=ty2=t(x24)+=1，軌跡C的方程為+=1（x2）. () 當(dāng)1t0時(shí)，曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2, 則r1+ r2=2a=4.在F1PF2中，|F1F2|=2c=4, F1PF2=120O，由余弦定理得4c2=r+r2r1r2cos120°= r+r+ r1r2= (r1+r2)2r1r2(r1+r2)2()2=3a2, 16（1+t）12, t.所以當(dāng)t0時(shí)，曲線上存在點(diǎn)Q使F1QF2