百度文庫小學數(shù)學奧數(shù)方法講義40講(二)

1、A thesis submitted toin partial fulfillment 第十一講 份數(shù)法姚老師數(shù)學樂園廣安岳池 姚文國把應用題中的數(shù)量關系轉化為份數(shù)關系，并確定某一個已知數(shù)或未知數(shù)為1份數(shù)，然后先求出這個1份數(shù)，再以1份數(shù)為基礎，求出所要求的未知數(shù)的解題方法，叫做份數(shù)法。 （一）以份數(shù)法解和倍應用題已知兩個數(shù)的和及兩個數(shù)的倍數(shù)關系，求這兩個數(shù)的應用題叫做和倍應用題。例1某林廠有楊樹和槐樹共320棵，其中楊樹的棵數(shù)是槐樹棵數(shù)的3倍。求楊樹、槐樹各有多少棵？（適于四年級程度）解：把槐樹的棵數(shù)看作1份數(shù)，則楊樹的棵數(shù)就是3份數(shù)，320棵樹就是（3+1）份數(shù)。因此，得：320÷

2、;（3+1）=80（棵）槐樹80×3=240（棵）楊樹答略。例2 甲、乙兩個煤場共存煤490噸，已知甲煤場存煤數(shù)量比乙煤場存煤數(shù)量的4倍少10噸。甲、乙兩個煤場各存煤多少噸？（適于四年級程度）解：題中已經(jīng)給出兩個未知數(shù)之間的倍數(shù)關系：甲煤場存煤數(shù)量比乙煤場存煤數(shù)量的4倍少10噸。因此可將乙煤場的存煤數(shù)量看作1份數(shù)，甲煤場的存煤數(shù)量就相當于乙煤場存煤數(shù)量的4倍（份）數(shù)少10噸，兩個煤場所存的煤490噸就是（1+4）份數(shù)少10噸，（490+10）噸就正好是（1+4）份數(shù)。所以乙場存煤：（490+10）÷（1+4）=500÷5=100（噸）甲場存煤：490-100=39

3、0（噸）答略。例3 媽媽給了李平10.80元錢，正好可買4瓶啤酒，3瓶香檳酒。李平錯買成3瓶啤酒，4瓶香檳酒，剩下0.60元。求每瓶啤酒、香檳酒各是多少錢？（適于五年級程度）解：因為李平用買一瓶啤酒的錢買了一瓶香檳酒，結果剩下0.60元，這說明每瓶啤酒比每瓶香檳酒貴0.60元。把每瓶香檳酒的價錢看作1份數(shù)，則4瓶啤酒、3瓶香檳酒的10.80元錢就是（4+3）份數(shù)多（0.60×4）元，（10.80-0.60×4）元就正好是（4+3）份數(shù)。每瓶香檳酒的價錢是：（10.80-0.60×4）÷（4+3）=8.4÷7=1.2（元）每瓶啤酒的價錢是：1.2

4、+0.60=1.80（元）答略。（二）以份數(shù)法解差倍應用題已知兩個數(shù)的差及兩個數(shù)的倍數(shù)關系，求這兩個數(shù)的應用題叫做差倍應用題。例1 三灣村原有的水田比旱田多230畝，今年把35畝旱田改為水田，這樣今年水田的畝數(shù)正好是旱田的3倍。該村原有旱田多少畝？（適于五年級程度）解：該村原有的水田比旱田多230畝（圖11-1），今年把35畝旱田改為水田，則今年水田比旱田多出230+35×2= 300（畝）。根據(jù)今年水田的畝數(shù)正好是旱田的3倍，以今年旱田的畝數(shù)為1份數(shù)，則水田比旱田多出的300畝就正好是2份數(shù)（圖11-2）。今年旱田的畝數(shù)是：（230+35×2）÷ 2=300&#

5、247;2=150（畝）原來旱田的畝數(shù)是：150+35=185（畝）綜合算式：（230+35×2）÷2+35=300÷2+35=150+35=185（畝）答略。*例2 和平小學師生步行去春游。隊伍走出10.5千米后，王東騎自行車去追趕，經(jīng)過1.5小時追上。已知王東騎自行車的速度是師生步行速度的2.4倍。王東和師生每小時各行多少千米？（適于五年級程度）解：根據(jù)“追及距離÷追及時間=速度差”，可求出王東騎自行車和師生步行的速度差是10.5÷1.5=7（千米/小時）。已知騎自行車的速度是步行速度的2.4倍，可把步行速度看作是1份數(shù)，騎自行車的速度就是

6、2.4份數(shù)，比步行速度多2.4-1=1.4（份）。以速度差除以份數(shù)差，便可求出1份數(shù)。10.5÷1.5÷（2.4-1）=7÷1.4=5（千米/小時）步行的速度5×2.4=12（千米/小時）騎自行車的速度答略。（三）以份數(shù)法解變倍應用題已知兩個數(shù)量原來的倍數(shù)關系和兩個數(shù)量變化后的倍數(shù)關系，求這兩個數(shù)量的應用題叫做變倍應用題。變倍應用題是小學數(shù)學應用題中的難點。解答這類題的關鍵是要找出倍數(shù)的變化及相應數(shù)量的變化，從而計算出“ 1”份（倍）數(shù)是多少。*例1大、小兩輛卡車同時載貨從甲站出發(fā)，大卡車載貨的重量是小卡車的3倍。兩車行至乙站時，大卡車增加了1400千克

7、貨物，小卡車增加了1300千克貨物，這時，大卡車的載貨量變成小卡車的2倍。求兩車出發(fā)時各載貨物多少千克？（適于五年級程度）解：出發(fā)時，大卡車載貨量是小卡車的3倍；到乙站時，小卡車增加了1300千克貨物，要保持大卡車的載貨重量仍然是小卡車的3倍，大卡車就應增加1300×3千克。把小卡車增加1300千克貨物后的重量看作1份數(shù)，大卡車增加1300×3千克貨物后的重量就是3份數(shù)。而大卡車增加了1400千克貨物后的載貨量是2份數(shù)，這說明3份數(shù)與2份數(shù)之間相差（1300×3-1400）千克，這是1份數(shù)，即小卡車增加1300千克貨物后的載貨量。1300×3-1400=

8、3900-1400=2500（千克）出發(fā)時，小卡車的載貨量是：2500-1300=1200（千克）出發(fā)時，大卡車的載貨量是：1200×3=3600（千克）答略。*例2甲、乙兩個班組織體育活動，選出15名女生參加跳繩比賽，男生人數(shù)是剩下女生人數(shù)的2倍；又選出45名男生參加長跑比賽，最后剩下的女生人數(shù)是剩下男生人數(shù)的5倍。這兩個班原有女生多少人？（適于五年級程度）解：把最后剩下的男生人數(shù)看作1份數(shù)，根據(jù)“最后剩下的女生人數(shù)是男生人數(shù)的5倍”可知，剩下的女生人數(shù)為5份數(shù)。根據(jù)45名男生未參加長跑比賽前“男生人數(shù)是剩下女生人數(shù)的2倍”，而最后剩下的女生人數(shù)是5份數(shù)，可以算出參加長跑前男生人數(shù)

9、的份數(shù)：5×2=10（份）因為最后剩下的男生人數(shù)是1份數(shù)，所以參加長跑的45名男生是：10-1=9（份）每1份的人數(shù)是：45÷9=5（人）因為最后剩下的女生人數(shù)是5份數(shù)，所以最后剩下的女生人數(shù)是：5×5=25（人）原有女生的人數(shù)是：25+15=40（人）綜合算式：45÷（5×2-1）×5+15=45÷9×5+15=25+15=40（人）答略。（四）以份數(shù)法解按比例分配的應用題把一個數(shù)量按一定的比例分成幾個部分數(shù)量的應用題，叫做按比例分配的應用題。例1一個工程隊分為甲、乙、丙三個組，三個組的人數(shù)分別是24人、21人、

10、18人。現(xiàn)在要挖2331米長的水渠，若按人數(shù)的比例把任務分配給三個組，每一組應挖多少米？（適于六年級程度）解：甲、乙、丙三個組應挖的任務分別是24份數(shù)、21份數(shù)、18份數(shù)，求出1份數(shù)后，用乘法便可求出各組應挖的任務。2331÷（24+21+18）=37（米）37×24=888（米）甲組任務37×21=777（米）乙組任務37×18=666（米）丙組任務答略。例2生產(chǎn)同一種零件，甲要8分鐘，乙要6分鐘。甲乙兩人在相同的時間內(nèi)共同生產(chǎn)539個零件。每人各生產(chǎn)多少個零件？（適于六年級程度）解：由題意可知，在相同的時間內(nèi)，甲、乙生產(chǎn)零件的個數(shù)與他們生產(chǎn)一個零件所

11、需時間成反比例。把甲生產(chǎn)零件的個數(shù)看作1份數(shù)，那么，乙生產(chǎn)零件的個數(shù)就是：生產(chǎn)零件的總數(shù)539個就是：甲生產(chǎn)的個數(shù)：乙生產(chǎn)的個數(shù)：答略。（五）以份數(shù)法解正比例應用題成正比例的量有這樣的性質：如果兩種量成正比例，那么一種量的任意兩個數(shù)值的比等于另一種量的兩個對應的數(shù)值的比。含有成正比例關系的量，并根據(jù)正比例關系的性質列出比例式來解的應用題，叫做正比例應用題。這里是指以份數(shù)法解正比例應用題。例1某化肥廠4天生產(chǎn)化肥32噸。照這樣計算，生產(chǎn)256噸化肥要用多少天？（適于六年級程度）解：此題是工作效率一定的問題，工作量與工作時間成正比例。以4天生產(chǎn)的32噸為1份數(shù)，256噸里含有多少個32噸，就有多少

12、個4天。4×（256÷32）=4×8=32（天）答略。例2每400粒大豆重80克，24000粒大豆重多少克？（適于六年級程度）解：每400粒大豆重80克，這一數(shù)量是一定的，因此大豆的粒數(shù)與重量成正比例。如把400粒大豆重80克看作1份數(shù)，則24000粒大豆中包含多少個400粒，24000粒大豆中就有多少個80克。24000÷400=60（個）24000粒大豆的重量是：80×60=4800（克）綜合算式：80×（24000÷400）=4800（克）答略。（六）以份數(shù)法解反比例應用題成反比例的量有這樣的性質：如果兩種量成反比例，

13、那么一種量的任意兩個數(shù)值的比，等于另一種量的兩個對應數(shù)值的比的反比。含有成反比例關系的量，并根據(jù)反比例關系的性質列出比例式來解的應用題，叫做反比例應用題。這里是指以份數(shù)法解反比例應用題。例1有一批水果，每箱裝36千克，可裝40箱。如果每箱多裝4千克，需要裝多少箱？（適于六年級程度）解：題中水果的總重量不變，每箱裝的多，則裝的箱數(shù)就少，即每箱裝的重量與裝的箱數(shù)成反比例。如果把原來要裝的40箱看做1份數(shù)，那么現(xiàn)在需要裝的箱數(shù)就是原來要裝箱數(shù)的：現(xiàn)在需要裝的箱數(shù)是：答略。天的用煤量看做1份數(shù)，那么改進爐灶后每天的用煤量是原來每天用煤量的：用煤天數(shù)與每天用煤量成反比例，原來要用24天的煤，現(xiàn)在可以用的

14、天數(shù)是：答略。（七）以份數(shù)法解分數(shù)應用題分數(shù)應用題就是指分數(shù)的三類應用題，即求一個數(shù)的幾分之幾是多少；求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾；已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)。例1長征毛巾廠男職工人數(shù)比女職工人數(shù)少1/3，求女職工人數(shù)比男職工人數(shù)多百分之幾？（適于六年級程度）解：從題中條件可知，男職工人數(shù)相當于女職工人數(shù)的：如果把女職工人數(shù)看作3份，那么男職工人數(shù)就相當于其中的2份。所以，女職工人數(shù)比男職工人數(shù)多：（3-2）÷2=50答略。那么黃旗占：如果把21面黃旗看作1份數(shù)，總數(shù)量“1”中包含有多少個7/45，旗的總面數(shù)就是21的多少倍。答略。棉花谷多少包？（適于六年級程度）解：由題意

15、可知，甲、乙兩個倉庫各運走了一些棉花之后，甲倉庫剩下成8份時，甲倉庫剩下的是2份；把乙倉庫的棉花分成5份時，乙倉庫剩下的也是2份。但是，乙倉庫剩下的2份比甲倉庫剩下的2份多130包?？梢钥闯觯覀}庫的1份比甲倉庫的1份多出：130÷2=65（包）如果把乙倉庫原有的棉花減少5個65包，再把剩下的棉花平均分成5份，這時乙倉庫的每一份棉花就與甲倉庫的每一份同樣多了。這樣，從兩倉庫棉花的總數(shù)2600包中減去5個65包，再把剩下的棉花平均分成13份（其中甲倉庫8份，乙倉庫5份），其中的8份就是甲倉庫原有的包數(shù)。（2600-65×5）÷（8+5）×8=2275

16、47;13×8=1400（包）甲倉庫原有的包數(shù)2600-1400=1200（包）乙倉庫原有的包數(shù)答略。（八）以份數(shù)法解工程問題工程問題就是研究工作量、工作時間及工作效率之間相互關系的問題，這種問題的工作量常用整體“1”表示。例1一輛快車和一輛慢車同時從甲、乙兩站相對開出，經(jīng)12小時相遇。相遇后，快車又行8小時到達乙站。相遇后慢車還要行幾小時才能到達甲站？（適于六年級程度）解：由“相遇后快車又行8小時到達乙站”可知，慢車行12小時的路程快車只需行8小時。把快車行這段路程所需的8小時看作1份數(shù)，則慢車所需的份數(shù)是：答略。*例2加工一批零件，甲單獨完成需要30天，乙單獨完成的時間比甲少解：

17、由題意可知，甲單獨完成需要30天，乙單獨完成所需天數(shù)是：如果把乙工作的6天看作1份數(shù)，那么甲完成相同的工作量所需時間就答略。（九）以份數(shù)法解幾何題*例1一個正方形被分成了大小、形狀完全一樣的三個長方形（如圖11-3）。每個小長方形的周長都是16厘米。這個正方形的周長是多少？（適于五年級程度）解：在每個長方形中，長都是寬的3倍。換句話說，如果寬是1份，則長為3份，每個長方形的周長一共可分為：3×2+1×2=8（份）因為每個長方形的周長為16厘米，所以每份的長是：16÷8=2（厘米）長方形的長，也就是正方形的邊長是：2×3=6（厘米）正方形的周長是：6

18、15;4=24（厘米）答略。*例2長方形長寬的比是73。如果把長減少12厘米，把寬增加16厘米，那么這個長方形就變成了一個正方形。求原來這個長方形的面積。（適于六年級程度）解：根據(jù)題意，假設原來長方形的長為7份，則寬就是3分，長與寬之間相差：7-3=4（份）由于長方形的長要減少12厘米，寬增加16厘米，長方形才能變成正方形，因此原長方形長、寬之差為：12+16=28（厘米）看得出，4份與28厘米是相對應的，每一份的長度是：28÷4=7（厘米）原來長方形的長是：7×7=49（厘米）原來長方形的寬是：7×3=21（厘米）原來長方形的面積是：49×21=102

19、9（平方厘米）答略。第十二講 消元法在數(shù)學中，“元”就是方程中的未知數(shù)?！跋ā笔侵附柚ノ粗獢?shù)去解應用題的方法。當題中有兩個或兩個以上的未知數(shù)時，要同時求出它們是做不到的。這時要先消去一些未知數(shù)，使未知數(shù)減少到一個，才便于找到解題的途徑。這種通過消去未知數(shù)的個數(shù)，使題中的數(shù)量關系達到單一化，從而先求出一個未知數(shù)，然后再將所求結果代入原題，逐步求出其他未知數(shù)的解題方法叫做消元法。 （一）以同類數(shù)量相減的方法消元例 買1張辦公桌和2把椅子共用336元；買1張辦公桌和5把椅子共用540元。求買1張辦公桌和1把椅子各用多少錢？（適于四年級程度）解：這道題有兩類數(shù)量：一類是辦公桌的張數(shù)、椅子的把數(shù)

20、，另一類是錢數(shù)。先把題中的數(shù)量按“同事橫對、同名豎對”的原則排列成表12-1。這就是說，同一件事中的數(shù)量橫向對齊，單位名稱相同的數(shù)量上下對齊。表12-1從表12-1第組的數(shù)量減去第組對應的數(shù)量，有關辦公桌的數(shù)量便消去，只剩下有關椅子的數(shù)量：5-2=3（把）3把椅子的錢數(shù)是：540-336=204（元）買1把椅子用錢：204÷3=68（元）把買1把椅子用68元這個數(shù)量代入原題，就可以求出買1張辦公桌用的錢數(shù)是：336-68×2=336-136=200（元）答略。（二）以和、積、商、差代換某數(shù)的方法消元解題時，可用題中某兩個數(shù)的和，或某兩個數(shù)的積、商、差代換題中的某個數(shù)，以達到

21、消元的目的。1.以兩個數(shù)的和代換某數(shù)*例 甲、乙兩個書架上共有584本書，甲書架上的書比乙書架上的書少88本。兩個書架上各有多少本書？（適于四年級程度）解：題中的數(shù)量關系可用下面等式表示：甲+乙=584     甲+88=乙      把式代入式（以甲與88的和代換乙），得：甲+甲+88=584甲×2+88=5842甲=584-88=496甲=496÷2=248（本）乙=248+88=336（本）答略。2.以兩個數(shù)的積代換某數(shù)*例 3雙皮鞋和7雙布鞋共值242元，一雙皮鞋的錢數(shù)與5雙布

22、鞋的錢數(shù)相同。求每雙皮鞋、布鞋各值多少錢？（適于四年級程度）解：因為1雙皮鞋與5雙布鞋的錢數(shù)相同，所以3雙皮鞋的錢數(shù)與5×3=15（雙）布鞋的錢數(shù)一樣多。這樣可以認為242元可以買布鞋：15+7=22（雙）每雙布鞋的錢數(shù)是：242÷22=11（元）每雙皮鞋的錢數(shù)是：11×5=55（元）答略。3.以兩個數(shù)的商代換某數(shù)*例 5支鋼筆和12支圓珠筆共值48元，一支鋼筆的錢數(shù)與4支圓珠筆的錢數(shù)一樣多。每支鋼筆、圓珠筆各值多少錢？（適于五年級程度）解：根據(jù)“一支鋼筆的錢數(shù)與4支圓珠筆的錢數(shù)一樣多”，可用12÷4=3（支）的商把12支圓珠筆換為3支鋼筆。現(xiàn)在可以認為

23、，用48元可以買鋼筆：5+3=8（支）每支鋼筆值錢：48÷8=6（元）每支圓珠筆值錢：6÷4=1.5（元）答略。4.以兩個數(shù)的差代換某數(shù)*例 甲、乙、丙三個人共有235元錢，甲比乙多80元，比丙多90元。三個人各有多少錢？（適于五年級程度）解：題中三個人的錢數(shù)有下面關系：甲+乙+丙=235                        &

24、#160;     甲-乙=80                               甲-丙=90             

25、;                  由、得：乙=甲-80                            丙=甲-90   

26、;                          用、分別代替中的乙、丙，得：甲+（甲-80）+（甲-90）=235甲×3-170=235甲×3=235+170=405甲=405÷3=135（元）乙=135-80=55（元）丙=135-90=45（元）答略。（三）以較小數(shù)代換較大數(shù)的方法消元在用較小數(shù)量代換較大數(shù)量

27、時，要把較小數(shù)量比較大數(shù)量少的數(shù)量加上，做到等量代換。*例 18名男學生和14名女學生共采集松樹籽78千克，每一名男學生比每一名女學生少采集1千克。每一名男、女學生各采集松樹籽多少千克？（適于五年級程度）解：題中說“每一名男學生比每一名女學生少采集1千克”，則18名男生比女生少采集1×18=18（千克）。假設這18名男生也是女生（以小代大），就應在78千克上加上18名男生少采集的18千克松樹籽。這樣他們共采集松樹籽：78+18=96（千克）因為已把18名男學生代換為女學生，所以可認為共有女學生：14+18=32（名）每一名女學生采集松樹籽：96÷32=3（千克）每一名男學生

28、采集松樹籽：3-1=2（千克）答略。（四）以較大數(shù)代換較小數(shù)的方法消元在用較大數(shù)量代換較小數(shù)量時，要把較大數(shù)量比較小數(shù)量多的數(shù)量減去，做到等量代換。*例 勝利小學買來9個同樣的籃球和5個同樣的足球，共付款432元。已知每個足球比每個籃球貴8元，籃球、足球的單價各是多少元？（適于五年級程度）解：假設把5個足球換為5個籃球，就可少用錢：8×5=40（元）這時可認為一共買來籃球：9+5=14（個）買14個籃球共用錢：432-40=392（元）籃球的單價是：392÷14=28（元）足球的單價是：28+8=36（元）答略。（五）通過把某一組數(shù)乘以一個數(shù)消元當應用題的兩組數(shù)量中沒有數(shù)值

29、相等的兩個同類數(shù)量時，應通過把某一組數(shù)量乘以一個數(shù)，而使同一類數(shù)量中有兩個數(shù)值相等的數(shù)量，然后再消元。*例 2匹馬、3只羊每天共吃草38千克；8匹馬、9只羊每天共吃草134千克。求一匹馬和一只羊每天各吃草多少千克？（適于五年級程度）解：把題中條件摘錄下來，排列成表12-2。表12-2把第組中的數(shù)量乘以3得表12-3。表12-3第組的數(shù)量中，羊的只數(shù)是9只；第組的數(shù)量中，羊的只數(shù)也是9只。這樣便可以從第組的數(shù)量減去第組的數(shù)量，從而消去羊的只數(shù)，得到2匹馬吃草20千克。一匹馬吃草：20÷2=10（千克）一只羊吃草：（38-10×2）÷3=18÷3=6（千克）

30、答略。（六）通過把兩組數(shù)乘以兩個不同的數(shù)消元當應用題的兩組數(shù)量中沒有數(shù)值相等的兩個同類的數(shù)量，并且不能通過把某一組數(shù)量乘以一個數(shù)，而使同一類的數(shù)量中有兩個數(shù)值相等的數(shù)，而達到消元的目的時，應當通過把兩組數(shù)量分別乘以兩個不同的數(shù)，而使同一類的數(shù)量中有兩個數(shù)值相等的數(shù)，然后再消元。*例1 買3塊橡皮和6支鉛筆用1.68元錢，買4塊橡皮和7支鉛筆用2元錢。求一塊橡皮和一支鉛筆的價格各是多少錢？（適于五年級程度）解：把題中條件摘錄下來排列成表12-4。表12-4要消去一個未知數(shù)，只把某一組數(shù)乘以一個數(shù)不行，要把兩組數(shù)分別乘以兩個不同的數(shù)，從而使兩組數(shù)中有對應相等的兩個同一類的數(shù)。因此，把第組中的各數(shù)都

31、乘以4，把第組中的各數(shù)都乘以3，得表12-5。表12-5-得：3支鉛筆用錢0.72元，一支鉛筆的價格是：0.72÷3=0.24（元）一塊橡皮的價格是：（1.68-0.24×6）÷3=（1.68-1.44）÷3=0.24÷3=0.08（元）答略。*例2 有大杯和小杯若干個，它們的容量相同?，F(xiàn)在往5個大杯和3個小杯里面放滿砂糖，共420克；又往3個大杯和5個小杯里面放滿砂糖，共380克。求一個大杯和一個小杯分別可以放入砂糖多少克？（適于五年級程度）解：摘錄題中條件排列成表12-6。表12-6把表12-6中組各數(shù)都乘以5，組各數(shù)都乘以3，得表12-7

32、。表12-7-得：16大杯放砂糖960克，所以，一個大杯里面可以放入砂糖：960÷16=60（克）一個小杯里面可以放入砂糖：（420-60×5）÷3=（420-300）÷3=40（克）答略。第十三講 比較法通過對應用題條件之間的比較，或難解題與易解題的比較，找出它們的聯(lián)系與區(qū)別，研究產(chǎn)生聯(lián)系與區(qū)別的原因，從而發(fā)現(xiàn)解題思路的解題方法叫做比較法。 在用比較法解應用題時，有些條件可直接比較，有些條件不能直接比較。在條件不能直接比較時，可借助畫圖、列表等方法比較，也可適當變換題目的陳述方式及數(shù)量的大小，創(chuàng)造條件比較。（一）在同一道題內(nèi)比較在同一道題內(nèi)比較，就是在

33、同一道題的條件與條件、數(shù)量與數(shù)量之間的比較，不涉及其他題目。1.直接比較例1 五年級甲班要種一些樹。如果每人種5棵，則剩下75棵；如果每人種7棵，則缺15棵。問這個班有多少人？這批樹苗有多少棵？（適于四年級程度）解：將兩種分配方案進行比較，就會發(fā)現(xiàn)，第二次比第一次每人多種：7-5=2（棵）第二次比第一次多種：75+15=90（棵）90棵中含有多少個2棵就是全班的人數(shù)：90÷2=45（人）這批樹苗的棵數(shù)是：5×45+75=300（棵）或7×45-15=300（棵）答略。*例2 四季茶莊購進兩批茶葉，第一批有35箱綠茶和15箱紅茶，共重2925千克。第二批有35箱綠茶

34、和28箱紅茶，共重3640千克。兩種茶葉每箱各重多少千克？（適于五年級程度）解：將前后兩批茶葉的箱數(shù)與箱數(shù)、重量與重量分別比較，可發(fā)現(xiàn)，第二批紅茶箱數(shù)比第一批紅茶箱數(shù)多：28-15=13（箱）第二批紅茶比第一批紅茶多：3640-2925=715（千克）因此，可得每一箱紅茶重量：715÷13=55（千克）每一箱綠茶重量：（2925-55×15）÷35=（2925-825）÷35=2100÷35=60（千克）答略。2.畫圖比較有些應用題由于數(shù)量關系復雜、抽象，不便于通過直接推理、比較看出數(shù)量關系，可借助畫圖作比較，就容易看出數(shù)量關系。解：作圖13-

35、1，比較已修過米數(shù)與未修過米數(shù)的關系?？煽闯?，這段公路一共分為（7+2）份。答略。3.列表比較有些應用題適于借助列表的方法比較條件。在用列表的方法比較條件時，要把題中的條件摘錄下來，盡量按“同事橫對，同名豎對”的格式排列成表。這就是說，要盡量使同一件事情的數(shù)量橫著對齊，使單位名稱相同的數(shù)量豎著對齊。例 趙明準備買2千克蘋果和3千克梨，共帶6.8元錢。到水果店后，他買了3千克蘋果和2千克梨，結果缺了0.4元錢。求每千克蘋果、梨各多少元錢？（適于五年級程度）解：摘錄已知條件排列成表13-1。表13-1比較、兩組數(shù)量會看出：由于多買了1千克蘋果，少買了1千克梨，才缺了0.4元?？梢?千克蘋果比1千克

36、梨貴0.4元。從買2千克蘋果、3千克梨的6.8元中去掉買2千克蘋果多用的錢，便可以把買2千克蘋果當成買2千克梨，則一共買梨（2+3）千克，用錢：6.8-0.4×2=6（元）每千克梨的價錢是：6÷（2+3）=1.2（元）每千克蘋果的價錢是：1.2+0.4=1.6（元）答略。（二）和容易解的題比較當一道應用題比較復雜時，可先回憶過去是不是學過類似的、較容易解的題，回憶起來后，可進行比較，找出聯(lián)系，從而找到解題途徑。1.與常見題比較例 4名騎兵輪流騎3匹馬，行8千米遠的路程，每人騎馬行的路程相等。求每人騎馬行的路程是多少？（適于四年級程度）小學生對這類題不易理解，如與下面的常見題

37、作比較就容易理解了。有3籃蘋果，每籃8個，平均分給4人，每人得幾個？把這兩道題中的條件都摘錄下來，一一對應地排列起來：3匹馬3籃蘋果每匹馬都行8千米每籃都裝8個蘋果4人騎馬行的路程相等4人得到的蘋果一樣多解答“蘋果”這道題的方法是：8×3÷4通過這樣的比較，自然會想出解題的方法。解：8×3÷4=6（千米）答：每人騎馬行的路程是6千米。2.與基本題比較例 甲、乙兩地相距10.5千米，某人從甲地到乙地每小時走5千米，從乙地到甲地每小時走3千米。求他往返于甲、乙兩地的平均速度。（適于五年級程度）在解答此題時，有的同學可能這樣解：（5+3）÷2=4（千

38、米）。這是錯誤的。把上題與下面的題作比較，就會發(fā)現(xiàn)問題。甲、乙兩地相距12千米，某人從甲地到乙地走了4小時，他每小時平均走多少千米？解此題的方法是：12÷4=3（千米）。這是總路程÷總的時間=平均速度。前面的解法不符合“總路程÷總時間=平均速度”這個公式，所以是錯誤的。解：本題的總路程是：10.5×2總時間是：10.5÷5+10.5÷3所以他往返的平均速度是：10.5×2÷（10.5÷5+10.5÷3）=3.75（千米/小時）答略。3.把逆向題與順向題比較例 王明與李平共有糖若干塊。王明的糖比李

39、平的糖多 題，不易找出解題方法。把這道題與類似的一道順向思維的題比較一下，就可得出解題方法。答略。（三）創(chuàng)造條件比較對那些不能以題中現(xiàn)有條件與相關條件進行比較的應用題，應適當變換條件，創(chuàng)造可以比較的條件，再進行比較。*例1 學校食堂第一次買來2袋大米和3袋面粉，共275千克；第二次買來5袋大米和4袋面粉，共600千克。求1袋大米和1袋面粉各重多少千克？（適于五年級程度）解：摘錄題中條件，列成表13-2。表13-2從表13-2中的條件看，題中條件不能直接比較。此時要創(chuàng)造條件比較。因為大米袋數(shù)2和5的最小公倍數(shù)是10，所以把第一次買來的袋數(shù)2乘以5（把面粉的袋數(shù)3，重量275也要乘以5），把第二次

40、買來的袋數(shù)乘以2（把面粉的袋數(shù)4，重量600也要乘以2），得表13-3。此時題中條件便可以比較了。表13-3看表13-3，把兩次買來糧食的數(shù)量比較一下，大米的袋數(shù)相同，面粉第一次比第二次多買：15-8=7（袋）因此，第一次買的糧食比第二次多：1375-1200=175（千克）每袋面粉重：175÷7=25（千克）每袋大米重：（275-25×3）÷2=（275-75）÷2=100（千克）答略。*例2 1支鉛筆、2塊橡皮、3把卷筆刀共值2.35元；2支鉛筆、3塊橡皮、4把卷筆刀共值3.30元；3支鉛筆、3塊橡皮、5把卷筆刀共值4.05元。求1支鉛筆、1塊橡皮、

41、1把卷筆刀各值多少錢？（適于五年級程度）解：摘錄題中條件排列成表13-4。表13-4從表13-4看，題中條件不能直接比較。因此，要創(chuàng)造條件比較。因為橡皮的塊數(shù)2、3、3的最小公倍數(shù)是6，所以×3，×2，×2，得表13-5。此時題中條件便可以比較了。表13-5-，得：2支鉛筆價錢+2把卷筆刀價錢=1.5（元），即，1支鉛筆價錢+1把卷筆刀價錢=0.75（元）-，得：3支鉛筆價錢+1把卷筆刀價錢=1.05（元）-，得：2支鉛筆價錢=0.30（元）1支鉛筆價錢=0.15（元）把1支鉛筆價錢0.15元代入，得出1把卷筆刀的價錢是：0.75-0.15=0.60（元）根據(jù)可求

42、出一塊橡皮的價錢數(shù)：（2.35-0.15-0.6×3）÷2=0.4÷2=0.2（元）答略。*例3 甲、乙兩人共需做140個零件，甲做了自己任務的80，乙做了自己任務的75，這時甲、乙共剩下32個零件未完成。求甲、乙兩人各需做多少個零件？（適于六年級程度）解：已知“甲做了自己任務的80，乙做了自己任務的75”后共剩下32個零件，甲、乙兩人所做零件個數(shù)不相等，因此，甲所做零件的80與乙所做零件的75不可直接比較。此時就要創(chuàng)造條件比較了。已知甲做自己任務的80，假設乙也做自己任務的80，那么甲乙就共剩下零件：140×（1-80）=28（個）這比原來已知的“甲、

43、乙共剩下32個零件”少：32-28=4（個）這4個所對應的分率是：80-75=5所以，乙需做的零件是：4÷5=80（個）甲需做的零件是：140-80=60（個）答略。第十四講 演示法對于那些不容易理解和分析數(shù)量關系的應用題，利用身邊現(xiàn)成的東西，如鉛筆、橡皮、小刀、文具盒等，進行演示，使應用題的內(nèi)容形象化，數(shù)量關系具體化，這種解題的方法叫做演示法。 例1 一根繩子正好圍成一個邊長為5分米的正方形。如果用它圍成長是8分米的長方形，問其寬應當是多少分米？（適于三年級程度）解：對這道題一般同學都會用這樣的方法解答：5×4÷2-8=2（分米）然而這并不是最簡捷的解法，要用更

44、簡捷的解法，我們可以做下面的試驗：（1）用一根細鐵絲圍成一個邊長是5分米的正方形（圖14-1）。（2）把正方形的細鐵絲從C點斷開。這時ABC部分、CDA部分都是正方形邊長的2倍。（3）把ABC那部分（或CDA部分）拉直，折出8分米長的一段與另一段成90°的角（圖14-2）。此時會看到8分米長的這一段是長方形的長，與8分米長的邊成直角的那一段是長方形的寬。到此，很容易得出，求長方形的寬也可以用下面的方法：5×2-8=2（分米）答略。*例2 有一列火車，長120米，以每小時18千米的速度通過一座長150米的隧道。求從火車頭進隧道到火車尾部離開隧道共需要多長時間？（適于五年級程度

45、）解：求火車過隧道的時間，必須知道過隧道的速度和所行的路程。速度已知，因此，解此題的關鍵是求出火車頭從進隧道到火車尾部離開隧道所行的路程。為弄清這個問題，我們做下面的演示。用文具盒當隧道，用鉛筆當火車。用圖14-3表示火車剛剛要進隧道時的情景，用圖14-4表示火車車尾正好離開隧道時的情景。從圖14-4可看出：火車從車頭進隧道，到車尾離開隧道，所行的路程等于隧道長與車身長之和。到此，便可求出火車頭從進隧道到車尾離開隧道所用的時間。分步列式計算：（1）火車每秒行：1000×18÷3600=5（米）（2）火車通過隧道共行的米數(shù)：150+120=270（米）（3）火車通過隧道需時間

46、是：270÷5=54（秒）綜合算式：（150+120）÷（1000×18÷3600）=270÷5=54（秒）答略。*例3 兄弟二人早晨五點鐘各推一車菜，同時從家里出發(fā)去集市。哥哥每分鐘走100米，弟弟每分鐘走60米。哥哥到達集市后5分鐘卸完菜，立即返回，途中遇到弟弟，這時是5點55分。問集市離他們家有多遠？（適于五年級程度）解：本題可用橡皮、瓶蓋分別代表“家”與“集市”，放在桌面的兩端，用兩支鉛筆代表兄弟二人實際走一走。如（圖14-5）。圖14-5實線表示弟弟走的路程，虛線表示哥哥走的路程。從演示中可以看出兄弟二人共走的路程是從家到集市路程的2

47、倍。因此，只要求出兄弟二人共走了多少路，就可求出家到集市的路程。60×55+100×（55-5）÷2=3300+5000÷2=4150（米）答略。*例4 一個5分米高的圓柱體，它的側面積是62.8平方分米，求圓柱體的體積。（適于六年級程度）解：要求圓柱體的體積就要知道圓柱底面圓的半徑是多少。從表面看，題中沒有告訴圓柱底面圓的半徑是多少，這可怎么辦呢？做了下面的演示，問題就得到解決了。用一張長方形的紙卷成一個圓柱形，再把圓柱形展開，展開后看到圓柱形的側面是個長方形。長方形的寬就是圓柱的高，長方形的長就是圓柱底面圓的周長。知道了圓柱底面圓的周長，就能算出圓柱

48、體底面圓的半徑。（1）圓柱體底面圓的周長是：62.8÷5=12.56（分米）（2）圓柱體底面圓的半徑是：12.56÷3.14÷2=2（分米）（3）圓柱體的體積是：3.14×2×2×5=62.8（立方分米）答略。*例5 從三點鐘到四點鐘之間，鐘面上時針和分針什么時刻會重合？什么時刻成一直線？（適于高年級程度）解：此題很抽象，可用有活動指針的時鐘教具做演示來理解題中的數(shù)量關系?？磮D14-6，因為鐘的指針是順時針方向轉動的，所以在3點鐘時，時針在分針前面。要使兩針重合，分針就要追上時針。我們把分針轉動一圈，即分針走60小格，時針才走5個小格

49、，因此，在分針要與時針成一條直線，分針不僅要追上時針15格的距離，還要超過30格的距離，總計要“追”（15+30）格的距離。“追”（15+30）格的路程要用多長時間呢？時針成一條直線。答略。*例6 一列快車全長151米，每秒鐘行15米，一列慢車全長254米，每秒鐘行12米。兩車相對而行，從相遇到離開要用幾秒鐘？（適于五年級程度）解：要求兩車從相遇到離開要用幾秒鐘，必須知道兩車從相遇到離開走多長的路程。為弄清這個問題，我們做下面的演示：用一支鉛筆作慢車，用另一支鉛筆作快車。先讓它們相遇（圖14-7），再讓它們從相對運行到正好離開（圖14-8）?？磮D14-8會想到：兩車共行的路程是兩個車身長的和。

50、到此，可算出：                    （151+254）÷（15+12）=405÷27=15（秒）答：兩車從相遇到離開需要15秒鐘。第十五講 列表法把應用題中的條件簡要地摘錄下來，列表分類整理、排列，并借助這個表格分析、解答應用題的方法叫做列表法。 在用列表法解題時，要仔細判斷題中哪些數(shù)量是同一件事中直接相關聯(lián)的，哪些數(shù)量是同一類的。排列數(shù)量時，要盡量做到“同事橫對”，“

51、同名豎對”。這就是說，要使同一件事中直接相關聯(lián)的數(shù)量橫向排列，使同一類的、單位名稱相同的數(shù)量豎著排列，還要使它們的數(shù)位上、下對齊。這樣就可以在讀題、列表的過程中正確識別數(shù)量，選擇數(shù)量，理解數(shù)量之間的聯(lián)系、區(qū)別，理清思路，為下一步的分析、推理作好準備。（一）通過列表突出題目的解法特點有些應用題的解法具有一定的特點，如果把題中的條件按一定的格式排列，整理成表，則表格會起到突出題目解法特點的作用。例1 桌子上放著黃、紅、綠三種顏色的塑料碗。3只黃碗里放著51個玻璃球，5只紅碗里放著75個玻璃球，2只綠碗里放著24個玻璃球。要使每只碗里玻璃球的個數(shù)相同，每只碗里應放多少個玻璃球？（適于四年級程度）解：

52、摘錄題中條件，排列成表15-1。表15-1求每只碗里應放多少個球，要先求出一共有多少個碗，和在這些碗中一共放了多少個球。由于表15-1中把碗的只數(shù)排列在前一豎行，把球的個數(shù)排列在另一豎行，所以只要看著表15-1中豎著排列的碗的只數(shù)和球的個數(shù)，便可算出碗的總數(shù)和玻璃球的總數(shù)，從而使問題得以解決。（51+75+24）÷（3+5+2）=150÷10=15（只）答：平均每只碗里應放15個玻璃球。例2 荒地村砂場用3輛汽車往火車站運送砂子，5天運了180噸。照這樣計算，用4輛同樣的汽車15天可以運送多少噸砂子？（適于四年級程度）解：摘錄題中條件，排列成表15-2。表15-2解此題的要

53、點是先求出單位數(shù)量。表15-2中，由于汽車的輛數(shù)、運送的天數(shù)和噸數(shù)這三個直接相關聯(lián)的數(shù)量排在同一橫行，因此便于想到，180÷5得到3輛車1天運多少噸，180÷5÷3就得到一輛車一天運多少噸；接著便可想到求出4輛車1天運多少噸，15天運多少噸。求4輛車15天運送多少噸砂子的方法是：180÷5÷3×4×15=12×4×15=720（噸）答略。例3 甲校買8個排球，5個籃球，共用415元，乙校買同樣的4個排球、5個籃球，共用295元。求買一個排球需要多少錢？（適于四年級程度）解：摘錄題中條件，排列成表15-3。

54、表15-3從表15-3可以看出，甲、乙二校所買籃球的個數(shù)一樣多，甲校比乙校多用錢：415-295=120（元）甲校比乙校多買排球數(shù)是：8-4=4（個）所以，每個排球的賣價是：120÷4=30（元）答略。例4 要把賣5角錢500克的紅辣椒和賣3角5分錢500克的青辣椒混合起來，賣4角1分錢500克，應按怎樣的比例混合，賣主和顧客才都不吃虧？（適于六年級程度）解：摘錄題中條件，排列成表15-4（為便于計算，表中錢數(shù)都以“分”為單位）。表15-4要使賣主與買主都不吃虧，就要使紅辣椒損失的錢數(shù)與青辣椒多收入的錢數(shù)一樣多。由表15-4可看出，當紅辣椒損失18分，青辣椒多收入18分時，恰好達到要

55、求。因為每500克紅辣椒與青辣椒混合時，紅辣椒要少賣9分錢，當損失18分時，則有500×2克紅辣椒；同理，青辣椒與紅辣椒混合時，每500克青辣椒要多賣6分錢，要多賣18分時，就要有3個500克才行，即500×3克青辣椒。所以，紅辣椒與青辣椒混合的比應是：500×2500×3=23答略。*例5 甲種酒每500克賣1元4角4分，乙種酒每500克賣1元2角，丙種酒每500克賣9角6分?，F(xiàn)在要把三種酒混合成每500克賣1元1角4分的酒，其中乙種酒與丙種酒的比是32。求混合酒中三種酒的重量比。（適于六年級程度）解：設混合酒中甲種酒占的份數(shù)是x，為便于計算題中錢數(shù)都

56、以“分”為單位。摘錄題中條件，排列成表15-5。表15-5從表15-5可以看出，當三種酒的混合比是x32，混合酒的價錢是114分時，混合酒中每500克甲種酒要損失（少賣）30分錢，每500克乙種酒要損失6分錢，而每500克丙種酒要收益（多賣）18分錢。當乙、丙兩種酒的混合比是32時，假設乙、丙兩種酒分別是1.5千克、1千克，則這兩種酒的混合液可以多賣錢：18×2-6×3=18（分）當三種酒按x32的比例混合時，收益的18分錢應與甲種酒的損失抵消。因為三種酒混合時，每500克甲種酒損失30分，所以18分是30分的幾分之幾，甲種酒在三種酒的混合液中就占500克的幾分之幾：答：混

57、合酒中三種酒的重量比是31510。（二）通過列表暴露題目的中間問題解答復合應用題的關鍵，是找出解答最后問題所需要的中間問題（隱藏量），應用題的步驟越多，需要找出的中間問題就越多，解答的過程就越復雜。在用列表法解應用題時，由于題中數(shù)量是按“同事橫對，同名豎對”的規(guī)律排列在表中，所以便于思考求最后的問題需要哪些數(shù)量，這些數(shù)量中哪些是已知的、哪些是未知的中間問題。同時也便于思考怎樣求出中間問題，并在必要時把求中間問題的算式寫在表中。這樣，中間問題便暴露于表格中，和已知數(shù)處于平等的地位，從而排除了思維道路上的障礙，減輕了解題的難度。*例1 張老師買了2千克蘋果，3千克梨，共用5元錢。王老師買的蘋果是張

58、老師的2倍，買的梨是張老師的3倍，比張老師多用6.8元。問每一千克蘋果、每一千克梨的價錢各是多少元？（適于五年級程度）解：摘錄題中條件，排列成表15-6。表15-6中，由于張老師買的蘋果是2千克、梨是3千克，共用5元錢，都已寫在表中，因此很容易在表中寫出王老師買的蘋果是2×2千克，王老師買的蘋果恰好是張老師的2倍，也很容易寫出王老師買的梨是3×3千克，王老師買的梨比張老師的2倍多3×（3-2）千克，即多3千克。表15-6王老師共用錢（5+6.8）元，王老師買水果用的錢比張老師買水果用的錢的2倍多：（5+6.8）-5×2=1.8（元）這1.8元就是買3千克

59、梨用的錢，所以1千克梨的價錢是：1.8÷3=0.6（元）1千克蘋果的價錢是：（5-0.6×3）÷2=（5-1.8）÷2=1.6（元）答略。*例2 有甲、乙、丙三桶油，先取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙兩桶中；再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙兩桶中；最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙兩桶中。這時3桶油正好都是16千克。問原來每桶中各有油多少千克？（適于高年級程度）解：此題的中間量比較多，需要從題中最后的結果逐步往前推理，把推出的結果寫在表中，就能求出原來每桶各有多少千克油?？幢?5-7。表15-7（1）由于最后取出丙桶油的一半，平均倒在甲、乙兩桶中，3

60、桶油正好都是16千克，因此在表15-7中，橫向寫上甲、乙、丙三桶油都是16千克。而在丙桶未向甲、乙兩桶倒油之前，丙桶中有油：16×2=32（千克）丙桶油的一半是16千克，把這16千克平均倒在甲乙兩桶中時，倒入每一桶的油是：16÷2=8（千克）所以，在丙桶未向甲、乙兩桶倒油時，即“再取出乙桶油的一半，平均倒在甲、丙兩桶中”后，甲、乙兩桶中分別有油8千克。在表15-7中，乙倒完后一欄的后面橫向寫上甲、乙、丙三桶分別有油8千克、8千克、32千克。（2）根據(jù)取出乙桶油的一半平均倒在甲、丙兩桶中后，乙桶中還剩8千克油，甲桶中有油8千克，丙桶中有油32千克，可以推出原來乙桶中有油16千克，乙桶油的一半是：16÷2=8（千克）8千克的一半是4千克。所以，在乙桶未向甲、丙兩桶倒油之前，即“取出甲桶油的一半，平均倒在乙、丙兩桶中”后，甲桶中有油：8-4=4（千克）丙桶中有油：32-4=28（千克）在表15-7中，甲倒完后一欄的后面橫向寫上甲、乙、丙三桶分別有油：4千克、16千克、28千克。（3）由