正弦曲線擬合若干問(wèn)題探討

1、，第 29 卷 第 14 期計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)Computer Engineering and Design2008 年 7 月July 2008Vol . 2 9No . 1 4正弦曲線擬合若干問(wèn)題探討齊國(guó)清 1， 呂健 2(1. 大連海事大學(xué) 信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116024；2. 大連海事大學(xué) 航海學(xué)院，遼寧 大連 116024)摘 要：研究了測(cè)量噪聲較小情況下正弦曲線的最小二乘多項(xiàng)式擬合誤差與擬合階數(shù)的關(guān)系，分別采用均方誤差和誤差平 方和分析了測(cè)量噪聲以及測(cè)量數(shù)據(jù)有效位數(shù)對(duì)擬合誤差的影響，對(duì)多周期正弦曲線擬合以及正弦曲線的外推存在的問(wèn)題進(jìn) 行了探討，指出了正弦曲線的最小二乘多項(xiàng)式擬

2、合方法的局限性。最后，提出了一種基于傅利葉變換的頻率已知正弦曲線 擬合方法, 仿真結(jié)果表明其性能優(yōu)于最小二乘多項(xiàng)式擬合方法。關(guān)鍵詞：曲線擬合; 最小二乘擬合; 正弦曲線; 誤差分析; 傅利葉變換中圖法分類號(hào)：TP311.11文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1000-7024 (2008) 14-3677-04Investigation of sine wave fitting algorithms. .QI Guo-qing1,LU Jian2(1. College of Information Engineering, Dalian Maritime University, Dalian 11602

3、4, China;2. College of Navigation, Dalian Maritime University, Dalian 116024, China)Abstract：The relation between the order of the polynomials and fitting error of LS sine-wave fitting algorithm is discussed. The effects of measurement noise and the significant digits of the measured data on fitting

4、 error are also studied in terms of mean square error and sum of squared error. Problems encountered in fitting multi-cycle sine wave and extrapolation of sine-wave are investigated. The limitations of applying LS fitting to sine-wave fitting are pointed out. Finally, a simple fitting algorithm base

5、d on Fourier transform for sine wave withknown frequency is proposed. Simulation results show that the performance of the proposed method is better than LS polynomial fitting.Key words：curve fitting; LS fitting; sine wave; error analysis;Fourier transform多于所需要的最小數(shù)目。前者只是一般建立和求解方程的過(guò)0引言程，得到解析表達(dá)式 =的目的僅僅

6、是為了得到不在采樣根據(jù)有限的離散測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合是工程實(shí)踐中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。設(shè)變量 與自變量 ( 通常為時(shí)間) 之間的關(guān)系點(diǎn)上的 所對(duì)應(yīng)的 值，沒(méi)有濾除測(cè)量噪聲的作用，也不涉及最小二乘法或其它優(yōu)化準(zhǔn)則；只有后者(當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)多于擬合所 選定的曲線的階數(shù)所需要的最小數(shù)目時(shí)) 才涉及最小二乘曲 線擬合問(wèn)題。而對(duì)于第 3 種情況，即采樣數(shù)據(jù)的平滑處理，為 了有效地濾除測(cè)量噪聲一般采樣數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)擬合曲線 的階數(shù)，通常采用最小二乘法(或其它優(yōu)化準(zhǔn)則)?？梢杂?=來(lái)表示，實(shí)際當(dāng)中一般無(wú)法直接得到該解析表達(dá)式，通常只能通過(guò)測(cè)量獲得自變量 離散采樣點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 ，而且測(cè)量值一般都不同程度的帶有測(cè)量噪

7、聲。曲線擬合的目的就是根據(jù)有限的測(cè)量值( , )得到解析表達(dá)式=(或者是表達(dá)式中的參數(shù))，或者得到最小二乘法的思想是尋找合適的函數(shù)之間的誤差平方和使其與測(cè)量值的多項(xiàng)式近似表達(dá)式。根據(jù)獲得解析表達(dá)式的目的不同曲線擬合通常分以下幾種情況：插值：為了根據(jù)離散的測(cè)量數(shù)據(jù)獲得位于 離散采樣點(diǎn) 之間的任意點(diǎn)的 值；或者由于某種原因致使測(cè)量過(guò)程中 的 取值不準(zhǔn)確(不均勻)，根據(jù)擬合曲線經(jīng)過(guò)插值獲得所需要的 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 值；外推：利用測(cè)量的某一范圍的 對(duì)應(yīng)的 值， 根據(jù)擬合曲線獲得測(cè)量范圍之外的 對(duì)應(yīng)的 值；濾波 (平 滑)：通過(guò)曲線擬合減小測(cè)量噪聲的影響，獲得離散采樣點(diǎn) 對(duì) 應(yīng)的 的更精確的值。上述第 1 和

8、第 2 種情況，擬合過(guò)程中所 利用的測(cè)量數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)可以正好滿足擬合所選定的曲線的階數(shù) 所需要的最小數(shù)目，如利用 3 個(gè)測(cè)量值擬合二次曲線，也可以(1)2 =2= 0達(dá)到最小1。當(dāng)信號(hào)模型為正弦函數(shù)時(shí)(考慮到初始相位可以任意，在信處理中通常余弦和正弦統(tǒng)稱為正弦)，即= sin2 是和 的高度非線性函數(shù)，無(wú)法求出使 2 最小的閉+合解，通常只能通過(guò)搜索或迭代最小化法1，如三參數(shù)法2-3 和四參數(shù)3-5。搜索迭代法雖然精度較高，但當(dāng)未知參數(shù)較多時(shí)，速度較慢。當(dāng)?shù)臏?zhǔn)確表示式未知或直接擬合困難時(shí)，也可以采用多項(xiàng)式擬合方法。即在一定范圍之內(nèi)用一個(gè) 階多項(xiàng)收稿日期：2007-08-07E-mail：qgq作者

9、簡(jiǎn)介：齊國(guó)清 (1960)， 男， 遼寧凌海人，博士，教授，研究方向?yàn)槔走_(dá)、通信及圖像信號(hào)處理； 呂健 (1957)，男，北京人，副教授，研究方向?yàn)殡娮雍D及船舶導(dǎo)航雷達(dá)。：，-式來(lái)近似，并將帶入式(1)求出使 2 達(dá)到最=1.510.50-0.5-1-1.51.510.50-0.5-1-1.5= 0小的多項(xiàng)式系數(shù)= 0。此時(shí)問(wèn)題的求解過(guò)程簡(jiǎn)化為求解線性方程組，復(fù)雜程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于直接用正弦函數(shù)擬合。最小二乘法多項(xiàng)式擬合是一種常用的方法，當(dāng)測(cè)量誤差可以用高 斯白噪聲來(lái)表示時(shí)，最小二乘準(zhǔn)則與最大似然準(zhǔn)則等價(jià)7。文 獻(xiàn)6對(duì)最小二乘法多項(xiàng)式擬合應(yīng)用于正弦曲線的擬和進(jìn)行了 研究。本文對(duì)最小二乘法正弦曲線擬

10、合中的一些問(wèn)題進(jìn)行研 究和分析。02460246(a) 3 次擬合(b) 5 次擬合1.510.50-0.5-1-1.51.510.50-0.5-1-1.51無(wú)測(cè)量噪聲情況下擬合多項(xiàng)式階數(shù)對(duì)誤差的影響02460246文獻(xiàn) 6 中給出了正弦曲線 19 階多項(xiàng)式擬合系數(shù)，其中9 階擬合系數(shù)是錯(cuò)誤的，對(duì)應(yīng)的擬合曲線和擬合誤差都是錯(cuò)誤 的，并由此得出了(無(wú)測(cè)量噪聲條件下，正弦曲線)擬合多項(xiàng)式 階數(shù)越高擬合效果不一定越好的錯(cuò)誤結(jié)論。按照文獻(xiàn)6中給 出的原始數(shù)據(jù)計(jì)算出的 9 次擬合系數(shù)為：a0 = 0.000 000 56，a1 =0.999 88，a2 = 0.001 121 9，a3 = -0.169

11、 729 6，a4 = 0.004 017 2，a5 =0.005 361 59，a6 = 0.001 331 4，a7 = -0.000 566 5，a8 = 0.000 060 4，a9 = -0.000 002 14。擬合結(jié)果如圖 1 所示。另外，文獻(xiàn)6中的7 次擬合系數(shù)略有誤差，因此造成擬合效果較差?？梢?jiàn)高階擬 合要求系數(shù)精度非常高。表 1 給出了文獻(xiàn)6中的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的311 次擬合的誤差平方和( 2)。(c) 7 次擬合(d) 9 次擬合* 測(cè)量值；理想正弦曲線；擬合曲線圖 2 加噪聲時(shí)擬合結(jié)果 (= 0.1 )正弦曲線。為了定量描述擬合曲線與理想正弦曲線 (真值曲線)的偏離程度，定義

12、擬合曲線與真值曲線之間的誤差平方和 2(2)2 =2= 0式中 擬合曲線上的點(diǎn) 不含有噪聲測(cè)量值(真值)。表 2 列出的是加入 = 0.01高斯白噪聲時(shí)擬合誤差的 1000 次平均結(jié)果，其中 2 為擬合曲線與測(cè)量值(包括測(cè)量噪聲)的誤差平 方和 2 為擬合曲線與正弦曲線真值的誤差平方和( 2 的多次平1.510.50-0.5-1-1.5均值相當(dāng)于均方誤差)?？梢?jiàn)在有噪聲的情況下，盡管正弦曲線擬合的誤差平方和隨擬合階數(shù)的增加而減小，但階數(shù)過(guò)高 時(shí)擬合曲線的均方誤差反而增加( 當(dāng)然，實(shí)際當(dāng)中由于并不知 道正弦曲線的真值 ，因此并不能利用 2 判斷擬合效果)。在表2 給定的條件下 7 次擬合效果最好

13、。01234567o 測(cè)量值圖 1 正弦曲線 9 次擬合結(jié)果表 2 有噪聲情況下的擬合誤差( = 0.01，1000 次平均)表 1 利用文獻(xiàn) 6 數(shù)據(jù)的擬合誤差測(cè)量數(shù)據(jù)的有效位數(shù)同樣會(huì)影響擬合精度，表 3 分別列出了對(duì)文獻(xiàn) 6 的測(cè)量數(shù)據(jù)只保留小數(shù)點(diǎn)后 3 位以及增加到 5 位的擬合誤差。可見(jiàn) 7 階以下擬合精度受測(cè)量數(shù)據(jù)有效位數(shù) 影響不大，測(cè)量數(shù)據(jù)有效位數(shù)較少時(shí)，擬合階數(shù)太高沒(méi)有意義?？梢?jiàn)，在不考慮測(cè)量噪聲(或測(cè)量噪聲很小) 的情況下，對(duì)于正弦曲線的擬合多項(xiàng)式的階數(shù)越高，擬合誤差平方和 2越小。 并不存在文獻(xiàn)6所得到的階數(shù)高了擬合效果反而不好的情況。表 3 測(cè)量數(shù)據(jù)有效位數(shù)對(duì)擬合誤差的影響

14、2有測(cè)量噪聲情況下擬合多項(xiàng)式階數(shù)對(duì)誤差的影響一般來(lái)說(shuō)，擬合誤差平方和 2 隨擬合多項(xiàng)式階數(shù)的提高而減小。但應(yīng)當(dāng)注意最小二乘法的核心思想是擬合多項(xiàng)式階數(shù) 不變的情況下尋找使得 2 達(dá)到最小的多項(xiàng)式系數(shù)。在給定多 項(xiàng)式階數(shù)并且沒(méi)有關(guān)于測(cè)量噪聲的任何先驗(yàn)知識(shí)的前提下， 可以認(rèn)為 2 越小擬合效果越好。但多項(xiàng)式階數(shù)不同的情況下，2 小不等于擬合效果就一定好。在有測(cè)量噪聲存在的情況下， 多項(xiàng)式階數(shù)越高濾除噪聲的性能越差。圖 2 為在文獻(xiàn)6所用 原始數(shù)據(jù)中加入 = 0.1高斯白噪聲時(shí)的擬合結(jié)果，可見(jiàn)有噪聲 的情況下，隨著擬合階數(shù)的增加，擬合曲線越來(lái)越明顯的偏離3正弦曲線擬合的外推誤差根據(jù)擬合曲線進(jìn)行內(nèi)插一

15、般不會(huì)帶來(lái)太大的誤差，但是 外推的情況要復(fù)雜得多。如果是對(duì)直線或二次曲線進(jìn)行擬合， 小范圍的外推可以得到滿意的結(jié)果。但對(duì)于正弦曲線根據(jù)擬 合多項(xiàng)式進(jìn)行外推效果較差。圖 3 是根據(jù)文獻(xiàn)6中所用的一 個(gè)周期 17 個(gè)點(diǎn)的測(cè)量數(shù)據(jù)分別進(jìn)行 5、7、9 和 11 階擬合然后 根據(jù)擬合曲線外推 6 點(diǎn)的仿真結(jié)果?？梢?jiàn)即使 11 階擬合外推-擬合次數(shù)3579112(3 位有效數(shù))0.10594.30e-045.45e-073.12e-071.89e-072(5 位有效數(shù))0.10594.30e-044.23e-076.66e-113.29e-11擬合次數(shù)35791120.10604.3e-044.03e-

16、072.39e-091.43e-09擬合次數(shù)35791120.10730.00158.96e-047.07e-045.12e-0420.10640.00118.25e-040.00100.0013-/-：，：利用參數(shù)估計(jì)方法計(jì)算出正弦信號(hào)的頻率、幅度及相位等參數(shù)，從而獲得其表達(dá)式。在一些應(yīng)用當(dāng)中，正弦信號(hào)的頻率是 已知的，只有幅度和初始相位是未知的。針對(duì)這種頻率已知 的正弦波形可以采用下面基于傅利葉變換的擬合方法 (FT 擬 合)。設(shè)正弦信號(hào)可以表示為221100-1-1-2-2(3)= sin0 +，0< 0246802468(a) 5 次擬合(b) 7 次擬合的傅利葉變換為(只考慮頻

17、率正半軸)式中0 已知=在22sin/2=0 處的值0/2+ 0 /2(4)110=00(5)-1-10 =/22-2-2于是可根據(jù)0 分別得到幅度和相位的估計(jì)值0246802468= 2= 2(c) 9 次擬合(d) 11 次擬合(6)0表示外推值(7)0 可0圖 3正弦曲線外推結(jié)果式中0 0 在0 處的相角。在實(shí)際當(dāng)中=到第 6 點(diǎn)已經(jīng)出現(xiàn)明顯偏差。以用數(shù)值方法計(jì)算4多周期正弦曲線的擬合(8)0 =0= 1將幅度和相位的估計(jì)值帶入原表達(dá)式，得到擬合正弦曲線對(duì)于單個(gè)周期的正弦波形用 5 階或者 7 階多項(xiàng)式擬合誤差已經(jīng)很小。但是對(duì)于多個(gè)周期的正弦波形則需要用較高階 數(shù)來(lái)擬合。圖 4 所示的兩

18、個(gè)周期的正弦波形至少需要 9 階多 項(xiàng)式來(lái)擬合。從表 4 所列的 2 個(gè)周期正弦曲線擬合誤差可見(jiàn) 多周期正弦曲線擬合的誤差明顯高于(相同階數(shù)) 的單周期正 弦曲線情況 (即使排除波形周期數(shù)增加帶來(lái)的測(cè)量點(diǎn)數(shù)增加 對(duì) 2 的影響)。仿真結(jié)果表明隨著正弦波的周期數(shù)的進(jìn)一步增 加，擬合誤差迅速增加。因此實(shí)際當(dāng)中多項(xiàng)式擬合方法不適 合多周期的正弦波形的擬合。= sin0 +(9)表 5 列出的為正弦信號(hào)頻率已知，A = 1，加 = 0.1 的測(cè)量噪聲時(shí)，利用 FT 擬合的結(jié)果和多項(xiàng)式擬和的 2 對(duì)比。 = 0.01時(shí) FT 擬合 2 = 2.35e-04(同條件下多項(xiàng)式擬和結(jié)果見(jiàn)表 2)?？梢?jiàn)噪聲背景

19、中基于 FT 的擬和方法精度優(yōu)于多項(xiàng)式擬合。表 5 頻率已知利用 FT 擬合與多項(xiàng)式擬合誤差對(duì)比(= 0.1，單周期 17 點(diǎn)，1000 次平均結(jié)果)1.510.50-0.5-1-1.51.510.50-0.5-1-1.5在頻率已知情況下利用 FT 擬合正弦曲線，不僅算法簡(jiǎn)單、擬合精度高，而且外推精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于多項(xiàng)式擬合方法。 在測(cè)量過(guò)程中不僅存在高斯分布的白噪聲，有時(shí)還存在脈沖干擾。與多項(xiàng)式擬合相比，F(xiàn)T 擬合抗脈沖噪聲的能力更 強(qiáng)。圖 5 所示為在第 5 個(gè)測(cè)量點(diǎn)出現(xiàn)一個(gè)較大的噪聲時(shí)，F(xiàn)T 擬合和多項(xiàng)式擬合 (7 階) 結(jié)果，表 6 所示為 FT 擬合與多項(xiàng)式 擬合 (311 階) 受脈沖干

20、擾引起的誤差對(duì)比結(jié)果，可見(jiàn)多項(xiàng)式 擬合受影響較大。05(b) 5 次擬合1005(a) 3 次擬合101.510.50-0.5-1-1.51.510.50-0.5-1-1.505(c) 7 次擬合1005(d) 9 次擬合101100圖 4 兩個(gè)周期正弦波的擬合結(jié)果 (無(wú)測(cè)量噪聲)-1-10 12 3 4 5 (a) FT 擬合6 70 1 2 3 4 56 7 (b) 7 階多項(xiàng)式擬合表 4 2 個(gè)周期正弦曲線擬合誤差圖 5 脈沖噪聲對(duì)擬和效果的影響5頻率已知正弦曲線的擬合表 6脈沖干擾引起 FT 擬合與多項(xiàng)式擬合偏差對(duì)比對(duì)于正弦曲線的擬合，除了上面討論的最小二乘多項(xiàng)式擬合方法外，常用的方法

21、還有基于參數(shù)估計(jì)的擬合方法。即-<<-<<<-FT 擬合3 次擬合5 次擬合7 次擬合9 次擬合11 次擬合20.020.13630.03840.05880.07690.0879擬合次數(shù)357911215.47622.26030.07438.27e-043.91e-06-FT 擬合3 次擬合5 次擬合7 次擬合9 次擬合11 次擬合20.020.14480.05910.07920.09870.1119-基于 FT 的擬合方法在頻率較低( 即測(cè)量數(shù)據(jù)包含的正弦波周期數(shù)較少時(shí))時(shí)應(yīng)盡量采用整數(shù)個(gè)周期的測(cè)量值，否則正 弦信號(hào)傅利葉變換的負(fù)頻率成分的頻譜泄漏對(duì)幅度和相位的

22、 估計(jì)精度影響較大。的多項(xiàng)式系數(shù)計(jì)算誤差所引起，因?yàn)楦唠A多項(xiàng)式對(duì)系數(shù)誤差非常敏感。7結(jié)束語(yǔ)最小二乘多項(xiàng)式曲線擬合是一種常用的曲線擬合方法。 這種方法用于正弦曲線擬合時(shí)具有一定的局限性。對(duì)于一個(gè) 周期的正弦曲線擬合，采用最小二乘多項(xiàng)式曲線擬合可以取 得滿意的效果，在測(cè)量精度較高情況下，可以采用 7 階或 9 階 擬合，達(dá)到較高的擬合精度。測(cè)量數(shù)據(jù)有效位數(shù)對(duì)高階擬合 的效果影響較大，測(cè)量數(shù)據(jù)有效位數(shù)較少時(shí)，擬合階數(shù)不宜太 高。在有測(cè)量噪聲存在的情況下，擬合誤差平方和 2 不能完全 反映擬合效果，均方誤差能更好地反映擬合曲線與理想曲線 的偏差情況。有較明顯測(cè)量噪聲時(shí)，不宜采用 9 階以上多項(xiàng) 式擬合

23、，否則不但增加計(jì)算量，而且造成擬合均方誤差上升、 曲線平滑程度下降。采用最小二乘多項(xiàng)式擬合正弦曲線的外 推精度較差，不宜作多點(diǎn)外推。對(duì)于多周期的正弦曲線需要 較高階數(shù)的多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，例如 2 個(gè)周期的正弦波至少需 要 11 階多項(xiàng)式，才能取得較好的擬合效果。對(duì)于非正弦曲線， 根據(jù)曲線的具體類型不同，擬合多項(xiàng)式的階數(shù)越高不一定性 能越好。在實(shí)際當(dāng)中經(jīng)常遇到頻率已知的正弦曲線的擬合問(wèn) 題。針對(duì)這種特定條件可以利用傅利葉變換估計(jì)其幅度和相 位實(shí)現(xiàn)曲線擬合，這種方法不但算法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)，而且精 度高、適應(yīng)性強(qiáng)。6非正弦曲線擬合階次的影響以上討論的都是正弦曲線的擬合情況。根據(jù)上面分析，對(duì)于正弦曲線，

24、在不考慮測(cè)量噪聲和計(jì)算誤差的情況下，擬合 多項(xiàng)式的階數(shù)越高，擬合曲線與實(shí)際測(cè)量值越接近。但如果 測(cè)量曲線本身并不是正弦曲線，而是一個(gè)多項(xiàng)式曲線，則如文 獻(xiàn) 8 所驗(yàn)證的，并非擬合多項(xiàng)式的階數(shù)越高越好。以下面 5 次曲線為例110005= +332768根據(jù) 從 0 到 20，按上式計(jì)算的 值進(jìn)行 39 階多項(xiàng)式擬合。擬合多項(xiàng)式系數(shù)及擬合誤差如表 7 所示，圖 6 為 5 階擬合 結(jié)果，11 次擬合的誤差為 1.6226e-013?？梢?jiàn) 5 次擬合效果最 好。由于曲線本身為 5 階多項(xiàng)式，當(dāng)用高于 5 階的多項(xiàng)式擬 合時(shí)，高于 5 階的系數(shù)并不為零，因此造成擬合誤差增加。100-10-20-30

25、-40-50-60-70參考文獻(xiàn):051015201Steven M Kay. 統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理基礎(chǔ)-估計(jì)與檢測(cè)理論M. 羅鵬飛,譯.北京:電子工業(yè)出版社,2003:182-225.IEEE Std 1057-1994, IEEE Standard for digitizing waveform re- cordersS.IEEE Standards Board,1994.Peter Handel.Properties of the IEEE-STD-1057 four-parameter sine wave fit algorithmJ.IEEE Transactions on Instrume

26、ntation and Measurement,2000,49(6):1189-1193.梁志國(guó). 四參數(shù)正弦波曲線擬合的快速算法 J. 計(jì)測(cè)技術(shù),2006,26(1):4-7. 吳義華.正弦信號(hào)四參數(shù)的高精度估計(jì)算法J.中國(guó)科技大學(xué) 學(xué)報(bào),2006,35(6):625-629. 司少玲,關(guān)永.三角函數(shù)曲線數(shù)據(jù)擬合最佳次數(shù)的確定J.計(jì)算 機(jī)工程與設(shè)計(jì),2006,27(24):4660-4662.István Kollár,Jerome J Blair.Improved determination of the best fitting sine wave in ADC testingJ.IEEE Transactions on Instru- mentation and Measurement,2005,54(5):1978-1983