第一章 傅里葉分析

1、普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材傅里葉光學(xué)主講教師：劉 毅 太原理工大學(xué)物理與光電工程學(xué)院第一章第一章 傅里葉分析傅里葉分析本章主要內(nèi)容常用函數(shù)函數(shù)卷積相關(guān)傅里葉級數(shù)傅里葉變換本章教學(xué)目標(biāo)1、本章及下一章內(nèi)容都將介紹傅里葉光學(xué)中基礎(chǔ)理論，包括常用函數(shù)、常見的光學(xué)運(yùn)算，以及傅里葉變換方法2、本章主要介紹傅里葉變換方法，使學(xué)生掌握一些常用函數(shù)的傅里葉變換傅里葉變換；3、理解常見光學(xué)運(yùn)算，特別是卷積卷積和相關(guān)運(yùn)算相關(guān)運(yùn)算的基本概念，并將兩者與傅里葉變換聯(lián)系起來。復(fù)習(xí) 常用函數(shù)的變型xf(x)xf(x- x0)x0 xf(x/a)xf(-x)x-f(x)xbf(x)平移平移(原點(diǎn)移至原點(diǎn)移至x0)

2、折疊折疊與與f(x)關(guān)于關(guān)于y軸軸鏡像對稱鏡像對稱取反取反與與f(x)關(guān)于關(guān)于x軸軸鏡像對稱鏡像對稱倍乘倍乘y方向幅度變方向幅度變化化比例縮放比例縮放a1, 在在x方向展寬方向展寬a倍倍a1, 在在x方向壓縮方向壓縮a倍倍復(fù)習(xí) 常用函數(shù)的變型xf(x)01x, 0 x10 其它例: f(x)=求 f(-2x+4)解： f(-2x+4) 包含折疊、壓縮、平移xf(-x)0-1先折疊xf(-2x)0-1/2再壓縮x0f(-2x+4)3/2最后平移第一節(jié) 一些常用函數(shù)1）階躍函數(shù) (Step function)定義 1010200 xstep xxx應(yīng)用如同一個(gè)“開關(guān)”，可在某點(diǎn)“開啟”或“關(guān)閉”另

3、一個(gè)函數(shù)，常用來表示直邊（或刀口）的透過率。第一節(jié) 一些常用函數(shù)2）符號函數(shù) (Sign function)定義應(yīng)用Sgn(x-x0)表示間斷點(diǎn)移到x0的符號函數(shù)，當(dāng)它與某函數(shù)相乘，可使函數(shù)x1; g(x) = 0-1 x 0; g(x) = 1x+1/2-(-1/2)=1+x0 x 1; g(x) = 11/2-( x-1/2)= 1- x卷積通常具有展寬展寬的作用rect()1 -1/20 1/2rect()1 -1/20 1/2 x-1/2 x x+1/2rect()1 -1/20 1/2 tri xrect xrect x1xxxtrirectrectaaaa第三節(jié) 卷積卷積運(yùn)算的兩個(gè)

4、效應(yīng)（1）展寬（2）平滑化平滑化第三節(jié) 卷積例題1.8 用寬度為 a 的狹縫，對平面上光強(qiáng)分布 f(x)=2+cos(2f0 x)掃描，在狹縫后用光電探測器記錄。求輸出光強(qiáng)分布。0( )( )* ( )2cos 2xg xf xh xf xrecta ( )xh xrecta 令狹縫后用光電探測器記錄的光強(qiáng)分布為 g x h x設(shè)狹縫的透過率函數(shù)為第三節(jié) 卷積二、卷積的性質(zhì)( , )* ( , )( , )* ( , )f x yh x yh x yf x y交換律交換律( , )( , )* ( , ) ( , )* ( , ) ( , )* ( , )af x ybg x yh x ya

5、f x yh x yb g x yh x y分配律分配律結(jié)合律結(jié)合律 ( , )* ( , )* ( , )( , )* ( , )* ( , )f x yg x yh x yf x yg x yh x y平移不變性平移不變性00( )* ()()* ( )f xh xxf xxh x第三節(jié) 卷積定標(biāo)性質(zhì)定標(biāo)性質(zhì)若 )()(*)(xgxhxf)()(*)(bxgbbxhbxf則注意：)()(*)(bxgbxhbxfxxxrectrectatriaaa三、包含三、包含 函數(shù)的卷積函數(shù)的卷積( , )* ( , )( , )f x yx yf x y0000( , )* (,)(,)f x yxx

6、yyf xxyy （1）任意函數(shù)與函數(shù)的卷積是其本身 （2）任意函數(shù)與發(fā)生某一平移的函數(shù)的卷積，則是該函數(shù)平移到脈沖函數(shù)平移到的空間位置。第三節(jié) 卷積f(x)與脈沖陣列的卷積可在每個(gè)脈沖位置產(chǎn)生f(x)的函數(shù)波形,用于描述各種重復(fù)性的結(jié)構(gòu).(雙縫、多縫、光柵的透過率)=*bbaaa復(fù)制復(fù)制第三節(jié) 卷積例題1.10 利用梳狀函數(shù)與矩形函數(shù)的卷積表示光柵光柵的透過率。假定 縫寬為a，光柵常數(shù)為d，縫數(shù)為N。d1( )xxxt xrectcombrectaddNd第三節(jié) 卷積(光學(xué)意義)設(shè)：物平面光軸上的單位脈沖在像平面產(chǎn)生的分布為h(x)像平面上的分布是物平面上各點(diǎn)產(chǎn)生的分布疊加以后的結(jié)果. 需用

7、卷積運(yùn)算來描述f()成像x 0 1f( 1)h(x- 1)2f( 2)h(x- 2)f(0)h(x)物面分布物面分布成像系統(tǒng)成像系統(tǒng)像平面分布像平面分布第四節(jié) 相關(guān)相關(guān)運(yùn)算包括互相關(guān)互相關(guān)和自相關(guān)自相關(guān)運(yùn)算兩種一、互相關(guān)1.互相關(guān)的定義,fgrx yf x yg x yfgxy d d 互相關(guān)與卷積的關(guān)系互相關(guān)與卷積的關(guān)系與卷積運(yùn)算比較差別在于：相關(guān)運(yùn)算函數(shù)g取復(fù)共軛，但不需要折疊，而位移、相乘和積分三個(gè)步驟是同樣的?；ハ嚓P(guān)運(yùn)算不滿足交換律互相關(guān)運(yùn)算不滿足交換律,f x yg x yf x ygxy當(dāng)且僅當(dāng)為實(shí)偶函數(shù)時(shí)，兩者相等,fggfrx yrx y,fggfrx yrxy第四節(jié) 相關(guān)互相

8、關(guān)運(yùn)算的含義互相關(guān)是兩個(gè)信號之間存在多少相似性的量度互相關(guān)是兩個(gè)信號之間存在多少相似性的量度，兩個(gè)完全不同的、毫無關(guān)系的信號，對所有位置，它們互相關(guān)的值應(yīng)為零。假如兩個(gè)信號因?yàn)槟撤N物理上的聯(lián)系在一些部位存在相似性，在相應(yīng)位置上就存在非零的互相關(guān)值。第四節(jié) 相關(guān),ffrx yfx yfx yffxy d d ,ffffrx yrxy二、自相關(guān)自相關(guān)的性質(zhì)：（1）自相關(guān)函數(shù)是厄米的，即（2）自相關(guān)函數(shù)在原點(diǎn)的模最大（用施瓦茲不等式關(guān)系），即,0,0ffffrx yr1、自相關(guān)的定義第四節(jié) 相關(guān) 自相關(guān)運(yùn)算的含義自相關(guān)函數(shù)是自變量相差某一大小時(shí)，函數(shù)值間相關(guān)的量度；當(dāng)函數(shù)相對本身有平移時(shí)，就改變了位

9、移為零時(shí)具有的逐點(diǎn)相似性，自相關(guān)的模越小。但是只要信號本身在不同部位存在相似性，相應(yīng)部位還會(huì)產(chǎn)生不為零的自相關(guān)值。第五節(jié) 傅里葉級數(shù)1）19世紀(jì)初，傅里葉在向巴黎科學(xué)院提交的關(guān)于熱傳導(dǎo)的著名論文中首次提出了傅里葉級數(shù)的概念；經(jīng)過不斷發(fā)展，在今天，傅里葉分析的方法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于物理及工程學(xué)科的各個(gè)領(lǐng)域。一、三角傅里葉級數(shù)一、三角傅里葉級數(shù) 0001cos 2sin 22nnnag xanf xbnf x其中， 002ag x dx 002cos 2nag xnf x dx 002sin 2nbg xnf x dx1,2,n 2 2）傅里葉級數(shù)的思想就是用一正交函數(shù)系中各函數(shù)的線性組合來表示某）

10、傅里葉級數(shù)的思想就是用一正交函數(shù)系中各函數(shù)的線性組合來表示某一函數(shù)。常用的正交函數(shù)系包括三角函數(shù)系和復(fù)指數(shù)函數(shù)系。一函數(shù)。常用的正交函數(shù)系包括三角函數(shù)系和復(fù)指數(shù)函數(shù)系。 條件 周期函數(shù)（周期為 ） 狄里赫利狄里赫利條件：在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)和第一類不連續(xù)點(diǎn)。第五節(jié) 傅里葉級數(shù)二、指數(shù)傅里葉級數(shù)二、指數(shù)傅里葉級數(shù) 0exp2nng xcjnf x 001exp20, 1, 2,ncg xjnf x dxn L其中，兩種表達(dá)形式之間的聯(lián)系兩種表達(dá)形式之間的聯(lián)系002ac 12nnncajb12nnncajb1,2,3,n ncnfnc0, 2 , 3 ,fff傅里葉系數(shù)是頻率的函數(shù)，稱為頻

11、譜函數(shù)頻譜函數(shù)。一般是復(fù)函數(shù)，等頻率分量，頻率取值是離散的，所以只有離散譜離散譜。 它包括振幅頻譜和相位頻譜。由于周期性函數(shù)只包含* * 空間域的函數(shù)可以看作是不同頻率的復(fù)指數(shù)分量的線性組合?？臻g域的函數(shù)可以看作是不同頻率的復(fù)指數(shù)分量的線性組合。如果njnncA e其中，An稱為振幅頻譜， n稱為相位頻譜。第五節(jié) 傅里葉級數(shù) ,40,42Axg xx舉例：下圖所示的周期為舉例：下圖所示的周期為 =1/f=1/f0 0的矩形波函數(shù)，在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)解析式為的矩形波函數(shù)，在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)解析式為（1）展開為三角傅里葉級數(shù)形式為 00002111cos2cos23cos25cos272357AA

12、g xf xfxfxfx矩形波的傅里葉綜合矩形波的傅里葉綜合第五節(jié) 傅里葉級數(shù)（2）展開為指數(shù)傅里葉級數(shù)形式 0000002323252522235jfxjfxjfxjfxjf xjf xAAAAg xeeeeee對應(yīng)的頻譜為卷積定義第二節(jié)課復(fù)習(xí) 函數(shù)的卷積性質(zhì)相關(guān)定義 ( , )( , )* ( , ),g x yf x yh x yfh xyd d ,fgrx yf x yg x yfgxy d d 0000( , )(,)(,)( , )( , )( , )f x yxxyyf xxyyf x yx yf x y卷積滿足交換律( , )* ( , )( , )* ( , )f x yh

13、x yh x yf x y互相關(guān)不滿足交換律,fggfrx yrx y,fggfrx yrxy傅里葉級數(shù) 第二節(jié)課復(fù)習(xí) 三角三角 周期函數(shù)可以表示為無窮多不同頻率的余弦波分量余弦波分量的線性組合指數(shù)指數(shù) 周期函數(shù)可以表示為無窮多不同頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)復(fù)指數(shù)函數(shù)的線性組合滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)周期函數(shù) 0exp2nng xcjnf x頻譜頻譜 頻率的分布曲線頻率的分布曲線 頻率譜密度頻率譜密度 001exp20, 1, 2,ncg xjnf x dxn L第六節(jié) 傅里葉變換 思想：思想：將非周期函數(shù)看作是周期無限大的周期函數(shù)。將非周期函數(shù)看作是周期無限大的周期函數(shù)。0111( )lim( )e

14、xp(2 )exp( 2 )ng xg xjnx dxjnx( )( )exp(2 )exp( 2 )g xdfg xjfx dxjfx展開系數(shù)展開系數(shù),或頻率或頻率f分量的權(quán)重分量的權(quán)重, G(f), 相當(dāng)于分立情形的相當(dāng)于分立情形的Cn0111( )( )exp(2 )exp( 2 )ng xg xjnx dxjnx展開系數(shù)Cn頻率為n/的分量第六節(jié) 傅里葉變換 一、傅里葉變換定義及存在條件一、傅里葉變換定義及存在條件空間域頻率域這就是傅里葉變換和傅里葉逆變換( )( )exp(2 )( )( )exp( 2 )G fg xjfx dxg xG fjfx df第六節(jié) 傅里葉變換,exp2F

15、,xyxyxyxyg x yG ffjf xf ydf dfG ff -1將該定義推廣到二維形式，有,exp2F,xyxyG ffg x yjf xf ydxdyg x y 思考題：在什么情況下傅里葉積分才有意義？思考題：在什么情況下傅里葉積分才有意義？（1）g在整個(gè)積分區(qū)域內(nèi)絕對可積；（2）在任一區(qū)域內(nèi)，g必須只有有限個(gè)間斷點(diǎn)和有限個(gè)極大和極小值；（3）g必須沒有無窮大間斷點(diǎn),g x y dxdy第六節(jié) 傅里葉變換,limxyg x yrectrect2Fsinsinxyxyrectrectcfcf二、廣義傅里葉變換二、廣義傅里葉變換 某些函數(shù)并不滿足傅里葉積分的條件，若希望用傅里葉分析討論

16、它們，必須將傅里葉變換定義進(jìn)行推廣，即進(jìn)行廣義傅里葉變換。 所謂的廣義傅里葉變換就是將函數(shù)看作某個(gè)可變換函數(shù)所組成的序列序列的極限的極限，對序列中每一函數(shù)進(jìn)行變換，組成一個(gè)新的變換式序列，這個(gè)新序列的極限就是原來函數(shù)的廣義傅里葉變換。舉例：舉例：求函數(shù)求函數(shù)g(x,y)=1的傅里葉變換的傅里葉變換不難求出該矩形函數(shù)的傅里葉變換為顯然該函數(shù)不滿足傅里葉變換的條件，但它可以定義為矩形函數(shù)序列的極限，即第六節(jié) 傅里葉變換2sinsinxyxyrectrectcfcfF2,limsinsin,xyxyg x ycfcfffF根據(jù)廣義傅里葉變換的定義根據(jù)廣義傅里葉變換的定義 1,xyffF/2/2/2/

17、2F rectrectexp2 exp21 exp221 2sin xxxxxxxjfjfxxjf x dxjf x dxjf xjfeejfffsinxcf重要結(jié)論：重要結(jié)論： Fsinxrect xc f第六節(jié) 傅里葉變換三、三、 虛、實(shí)、奇、偶傅里葉變換的性質(zhì)虛、實(shí)、奇、偶傅里葉變換的性質(zhì) ( )exp(2 )G fg xjfx dx( )cos(2 )( )sin(2 )g xfx dxjg xfx dx rig xgxjgx ( )cos(2 )( )sin(2 ) ( )cos(2 )( )sin(2 ) riirG fgxfx dxg xfx dxjg xfx dxgxfx dx

18、R fjIf第六節(jié) 傅里葉變換三、三、 虛、實(shí)、奇、偶傅里葉變換的性質(zhì)虛、實(shí)、奇、偶傅里葉變換的性質(zhì)1 1）g(x)g(x)是實(shí)函數(shù)是實(shí)函數(shù) ( )cos(2 )( )sin(2 )G fg xfx dxjg xfx dx *G fGf厄米型函數(shù)厄米型函數(shù)2 2）g(x)g(x)是實(shí)值偶函數(shù)是實(shí)值偶函數(shù) 02( )cos(2 )G fg xfx dx G fGfG(f)G(f)也是實(shí)值偶函數(shù)也是實(shí)值偶函數(shù)3 3）g(x)g(x)是實(shí)值奇函數(shù)是實(shí)值奇函數(shù) 02( )sin(2 )G fjg xfx dx GfG f G(f)G(f)也是實(shí)值奇函數(shù)也是實(shí)值奇函數(shù)傅里葉變換不改變函數(shù)的奇偶性，稱為傅

19、里葉變換的對稱性傅里葉變換不改變函數(shù)的奇偶性，稱為傅里葉變換的對稱性第六節(jié) 傅里葉變換四、四、 傅里葉變換定理或基本性質(zhì)傅里葉變換定理或基本性質(zhì)若假設(shè)：若假設(shè)：,xyxyg x yG ffh x yHffFF1 1）線性定理）線性定理,xyxyag x ybh x yaG ffbHffF2 2）相似性定理）相似性定理1,yxffg ax byGababF3 3）平移定理）平移定理,exp2xyxyg xa ybG ffjf af bF均勻性均勻性 疊加性疊加性空域的擴(kuò)展空域的擴(kuò)展頻域的壓縮頻域的壓縮空域平移頻域相移空域相移頻域位移,exp2,abxaybg x yjf xf yG ffffFe

20、xp2,abxaybjf xf yffffF第六節(jié) 傅里葉變換4 4）ParsevalParseval定理定理22|( , )|(,)|xyxyg x ydxdyG ffdf df 空頻域變換空頻域變換 能量守恒能量守恒功率譜功率譜2( )( ) *( )( )exp( 2)*()exp(2 )g xdxg x gx dxG fjfx dfGfjf x dfdx交換積分順序交換積分順序,先對先對x求積分求積分:( )*()exp( 2)exp(2 )G f Gfdfdfjfxjf x dx 利用復(fù)指函數(shù)的利用復(fù)指函數(shù)的F.T. ) () (*)(dfdffffGfG利用利用 函數(shù)的篩選性質(zhì)函數(shù)

21、的篩選性質(zhì)dffGfG)(*)(證明：22sin ( )Parseval:( )xdxx思考：利用定理求積分第六節(jié) 傅里葉變換5) 5) 卷積定理卷積定理 F,F,xyxyxyxyg x yh x yG ffHffg x y h x yG ffHff空域的卷積/乘積頻域的乘積/卷積( ) ()exp(2)gh xdjfx dx左交換積分順序:ddxfxjxhg)2exp()()(應(yīng)用位移定理dfjfHg)2exp()()(dfjgfH)2exp()()(應(yīng)用F.T.定義右第六節(jié) 傅里葉變換6) 6) 自相關(guān)定理自相關(guān)定理22F,F,xyxyxyg x yg x yG ffg x yG ffG

22、ff7) 7) 互相關(guān)定理互相關(guān)定理( , )( , ),xyxyF g x yh x yGffH ff第六節(jié) 傅里葉變換yxgFffGyx,)(,( , ),F F g x ygxyyxffgyxGF,),(8 8）傅里葉積分定理）傅里葉積分定理,g x yg x yg x y-1-1FFF F9 9）迭次傅里葉變換）迭次傅里葉變換1010）對稱性）對稱性設(shè)則有1111）體積對應(yīng)關(guān)系）體積對應(yīng)關(guān)系)(,yxffGyxgF設(shè)則有yxyxgGdd),(0 , 0yxyxffffGgdd),(0 , 0例 1.19（1）第六節(jié) 傅里葉變換1212）復(fù)共軛函數(shù)的傅里葉變換）復(fù)共軛函數(shù)的傅里葉變換yx

23、g,)(,yxffGyxgF設(shè))(,yxffGyxgF)(,yxffGyxgF則有若為實(shí)數(shù))()(,yxyxffGffG)(,yxffG此時(shí)具有厄米對稱性第六節(jié) 傅里葉變換 ,xyg x ygxgy1313）可分離變量函數(shù)的變換）可分離變量函數(shù)的變換在某個(gè)坐標(biāo)系中，若某個(gè)二維函數(shù)可表示為兩個(gè)一維函數(shù)的乘積，則稱此函數(shù)在該坐標(biāo)系中是可分離的，即其對應(yīng)的傅里葉變換為 ,xyg x ygxgyxyFFF即是兩一維函數(shù)傅里葉變換式的乘積。第六節(jié) 傅里葉變換四、傅里葉四、傅里葉- -貝塞爾變換貝塞爾變換 極坐標(biāo)極坐標(biāo)下的二維傅里葉變換依F.T.定義: (,)( , )exp2 ()xyxyG ffg x

24、 yjf xf y dxdy極坐標(biāo)變換sincos )(tan122yxxyyxffffff頻域sincos )(tan122ryrxxyyxr空域第六節(jié) 傅里葉變換四、傅里葉四、傅里葉- -貝塞爾變換貝塞爾變換令:( , )( cos , sin )( , )( cos , sin )GGg rg rr 在極坐標(biāo)中:200( cos ,sin ) ( cos , sin )exp2cos()Gdg rrjrrdr 則極坐標(biāo)下的的二維傅里葉變換定義為：200200)cos(2exp),(),()cos(2exp),(),(drjGdrgdrrjrrgdG第六節(jié) 傅里葉變換四、傅里葉四、傅里葉-

25、 -貝塞爾變換貝塞爾變換0000)2()(2)()2()(2)(drJGrgdrrJrrgG圓對稱函數(shù)的F.T.仍是圓對稱函數(shù), 稱為F-B (傅-貝)變換,記為drdrjrrgG020)cos(2exp)( ),( 當(dāng) f 具有圓對稱性，即僅是半徑r的函數(shù): g(r,) = g (r). 利用貝塞爾函數(shù)關(guān)系利用貝塞爾函數(shù)關(guān)系)(2)cos(exp020aJdja第六節(jié) 傅里葉變換四、傅里葉四、傅里葉- -貝塞爾變換貝塞爾變換G(r) = Bg(r), g(r) = B-1G(r)F.T.的性質(zhì)完全適用于F-B變換相似性定理：21B()() g arGaa傅里葉積分定理：1BB( )( )BB

26、( )g rg rg r第六節(jié) 傅里葉變換例: 利用F-B變換求圓域函數(shù)的F.T.定義: 是圓對稱函數(shù)作變量替換, 令r =2r, 并利用:xxxJdJ010)()( 221, 1circ( ) 0, rrrxy其它100Bcirc( )2(2)rrJrdr 21020(2)1Bcirc( )( )2Jrr Jr dr第六節(jié) 傅里葉變換五、一些常用函數(shù)的傅里葉變換式（三角函數(shù)）五、一些常用函數(shù)的傅里葉變換式（三角函數(shù)）2.Ftri(x)= F rect(x)*rect(x)= F rect(x) F rect(x) = sinc(f) sinc(f) = sinc2(f) rect(x)x01

27、/21/21rect(x)x01/21/21*tri(x)x0111fsinc(f)01-11fsinc(f)01-11 xsinc2(x)01-11F.T.F.T.F.T.F tri(x) = sinc2(f )第六節(jié) 傅里葉變換五、一些常用函數(shù)的傅里葉變換式（五、一些常用函數(shù)的傅里葉變換式（sincsinc函數(shù)）函數(shù)） FF rectF sincrectrectxfxx Frect( )sincxfFFg( )xgx rectrectxx F sincrectxfrect函數(shù)和sinc函數(shù)互為傅里葉變換第六節(jié) 傅里葉變換五、一些常用函數(shù)的傅里葉變換式（余弦函數(shù)）五、一些常用函數(shù)的傅里葉變換

28、式（余弦函數(shù)）2Fcos2cos2 jfxaaf xf xedx指數(shù)函數(shù)的F.T.1Fsin22aaaf xffffj22222121 FF21 2aaaajf xjf xjfxjf xjf xaaeeedxeeffff第六節(jié) 傅里葉變換五、一些常用函數(shù)的傅里葉變換式（梳狀函數(shù)）五、一些常用函數(shù)的傅里葉變換式（梳狀函數(shù)） 0/220/201comb111 11combnjnf xnnnxg xxncx edxenF g xfnfff周期函數(shù)的變換 02jnf xnng xc e 0nnG fcfnf combcombFxf第六節(jié) 傅里葉變換五、一些常用函數(shù)的傅里葉變換式五、一些常用函數(shù)的傅里葉

29、變換式 1. 1 與與 函數(shù)互為函數(shù)互為F.T. 4. 高斯函數(shù)的高斯函數(shù)的F.T.仍為高斯函數(shù)仍為高斯函數(shù) 3. rect與與sinc 函數(shù)互為函數(shù)互為F.T. 2.梳狀函數(shù)的梳狀函數(shù)的F.T.仍為梳狀函數(shù)仍為梳狀函數(shù)F comb( )comb( )1Fcomb( )comb()xfxf2. F 1,xyffF,1x y Frect( )sincxf F sincrectxf FGaus( )Gausxf常用的傅里葉變換對常用的傅里葉變換對 6.第六節(jié) 傅里葉變換五、一些常用函數(shù)的傅里葉變換式五、一些常用函數(shù)的傅里葉變換式 5. 8. 7. 2Fxjf axae2Fajf xxaeff 2F

30、tri( )sincxf常用的傅里葉變換對常用的傅里葉變換對1Bcirc( )(2) /rJ1Fcos221Fsin22aaaaaaf xfffff xffffj第七節(jié) 空間頻率及空間頻譜 傅里葉分析的方法在“信號與處理”、“通信系統(tǒng)”等課程中都有涉及，只是在通信理論中處理的是一維時(shí)間變化電信號，而在傅里葉光學(xué)中要處理的是二維空間變化圖二維空間變化圖像信息像信息。即在傅里葉光學(xué)中，我們研究的是隨空間位置變化的圖像信息，對應(yīng)的頻率則稱為“空間頻率”，對應(yīng)的頻譜則稱為“空間頻譜”。在傅里葉光學(xué)中把圖像看作是由緩慢變化的背景、粗的輪廓等比較低的“空間頻率”成分和急劇變化的細(xì)節(jié)等比較高的“空間頻率”成分構(gòu)成的，用頻率的分布和變化頻率的分布和變化來描述光學(xué)圖像。本節(jié)介紹介紹一下空間頻率和空間頻譜的基本概念。第七節(jié) 空間頻率及空間頻譜1.一幅圖像必然是各處明暗色彩不同，這是一種光的強(qiáng)度和顏色按空間的分布。這種空間分布的特征可以用空間頻率來表明。2.用用傅立葉分析傅立葉分析的方法求出一幅圖象的明暗所組成的各個(gè)空間頻率及的方法求出一幅圖象的明暗所組成的各個(gè)空間頻率及相應(yīng)的相應(yīng)的“振幅振幅”，也就是“空間頻譜”。 明暗具有空間周期性的圖象的頻譜中各空間頻率（包括 fx 和 fy）具有分立的值，而非周期性圖象的頻譜中的頻率值是連續(xù)的。 頻譜中