二階常微分方程解法--求解表格.

1、二階微分方程：2ydy， f ( x)時為齊次d0dx2P( x)Q( x) yf (x)時為非齊次dxf ( x)0二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*) ypy qy0，其中 p, q為常數(shù)；求解步驟：1、寫出特征方程： ( )r 2pr q 0，其中 r 2， r的系數(shù)及常數(shù)項恰好是(*) 式中 y , y , y的系數(shù)；2、求出 ( )式的兩個根 r1 ,r23、根據(jù) r1 ,r2的不同情況，按下表寫 出(*) 式的通解：r1，r2的形式(*) 式的通解兩個不相等實根(240)r1 xr2 xpyc1ec2 eq(240)r1 x兩個相等實根pqy(c1c2 x) e(240)x一

2、對共軛復(fù)根pqye (c1 cos x c2 sinx)r1i，r2ip，4qp222二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypyqyf ( x)， p,q為常數(shù)f ( x)e x Pm ( x)型， 為常數(shù)；f ( x)e x Pl ( x) cosx Pn ( x)sin x型二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式是ypyqyf ( x)（ 1）其中 p , q 是常數(shù)。方程（ 1）的通解為對應(yīng)的齊次方程ypyqy0（2）的通解 Y 和方程（ 1）的一個特解y * 之和。即 yYy * . 我們已解決了求二階常系數(shù)齊次線性方程通解的問題，所以，我們只需討論求二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解y *的

3、方法。下面我們只介紹當(dāng)方程（1）中的 f (x) 為如下兩種常見形式時求其特解y * 的方法。一、f ( x)ex P ( x) 型m由于方程 （1）右端函數(shù) f ( x ) 是指數(shù)函數(shù) ex 與 m次多項式 Pm (x) 的乘積， 而指數(shù)函數(shù)與多項式的乘積的導(dǎo)數(shù)仍是這類函數(shù)，因此，我們推測：方程（ 1）的特解應(yīng)為 yex Q( x) (Q( x ) 是某個次數(shù)待定的多項式)ye x Q ( x) e xQ ( x)ye x 2 Q ( x) 2 Q ( x ) Q ( x ) 代入方程（1），得ex Q( x)(2p)Q (x)(2p q)Q(x) e xP ( x)m消去 ex ，得Q(

4、x)(2p)Q ( x)(2pq)Q( x)P ( x)（ 3）m討論、如果不是特征方程 r 2prq0 的根。2pq0即由于 Pm ( x) 是一個 m次的多項式， 欲使（ 3）的兩端恒等， 那未 Q ( x) 必為一個 m次多項式，設(shè)為Qm( x) b xmb xm 1bx b01m 1m將之代入（3），比較恒等式兩端x的同次冪的系數(shù)，就得到以b0 ,b1 , bm1 ,bm 為未知數(shù)的 m 1個線性方程的聯(lián)立方程組，解此方程組可得到這m1個待定的系數(shù)，并得到特解yex Q( x)m20 、如果是特征方程 r 2prq0 的單根。即2pq0，但 2p0欲使（ 3）式的兩端恒等，那么Q (

5、x) 必是一個 m次多項式。因此，可令Q( x)x Qm ( x)并且用同樣的方法來確定Q ( x) 的系數(shù) b0 ,b1 ,bm1 ,bm 。30、如果是特征方程 r 2prq0 的二重根。即2pq0，且 2p0。欲使（ 3）式的兩端恒等，那么Q ( x) 必是一個 m次多項式因此， 可令 Q ( x)x2 Qm ( x)并且用同樣的方法來確定Q ( x) 的系數(shù) b0 ,b1 ,bm1 ,bm 。綜上所述，我們有結(jié)論如果f ( x) ex P( x)，則方程（ 1）的特解形式為myx k Q( x)exm其中 Qm ( x ) 是與 Pm ( x) 同次的多項式，k 的取值應(yīng)滿足條件0k

6、12不是特征方程的根是特征方程的單根是特征方程的二重根例 1 求 y5y6 yxe2x的通解。解 特征方程為r 25r60特征根為r12, r23齊次方程的通解為Y C1e2 xC2 e3x因為2 是特征單根，所以，設(shè)非齊次方程的特解為yx(b xb )e2x01則y * 2b0 x2( 2b02b1) xb1e2 xy * 4b0x 2(8b04b1) x2b04b1e2 x將上述三式代入原方程，得( 2b0 x 2b0b1) e2 xxe2x ，比較恒等式兩端的系數(shù)，得2b012b01b10b0， b11解得2y*x(1 x1)e2 x因此2所以方程的通解為y c1e2 xc2e3xx(

7、1 x 1)e2x2二、f ( x)e x P ( x) cosxP ( x) sinx 型ln由于方程（ 1）右端函數(shù)為e xpl(x) cos xpn ( x) sin x ，這種形式得到非齊次方程的特解 y * 的過程稍微復(fù)雜些，所以我們這里就只給出結(jié)論yx ke x Rm(1) ( x) cosxRm(2) ( x) sin x其中， Rm(1) ( x) 、 Rm(2) ( x) 是兩個 m次多項式， mmax l , n ，k0若i不是特征方程的根1若i是特征方程的根且例 2 求方程 yyx cos2 x的通解。解 特征方程r 210特征根r1, 2i齊次方程的通解為YC1 cosxC2 sin x這里0,2, m1 ，由于i2i 不是特征方程的根，所以設(shè)方程的特解為y(axb) cos2x(cxd ) sin 2x代入原方程，得( 3ax3b4C ) cos 2x(3Cx3d4a) sin 2xx cos2x