圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問(wèn)題之歐陽(yáng)家百創(chuàng)編

1、歐陽(yáng)家白創(chuàng)編周運(yùn)動(dòng)中的臨界問(wèn)題歐陽(yáng)家百(2021.03.07)1、在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的臨界冋題如圖1、圖2所示，沒(méi)有物體支承的小球，在豎直平直作圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)最高點(diǎn)的情況 臨界條件：繩子或軌道對(duì)小球沒(méi)有力的作用 臨界=/ 能過(guò)最高點(diǎn)的條件：v>Ri ,當(dāng)v>何時(shí)， 繩對(duì)球產(chǎn)生拉力，軌道對(duì)球產(chǎn)生壓力。 不能過(guò)最高點(diǎn)的條件：VVV臨界(實(shí)際上球沒(méi) 到最高點(diǎn)時(shí)就脫離了軌道)。如圖3所示情形，小球與輕質(zhì)桿相連。桿與繩不 同，它既能產(chǎn)生拉力，也能產(chǎn)生壓力能過(guò)最高點(diǎn)V臨界=0,此時(shí)支持力N = mg 當(dāng)0<v<VR時(shí)，N為支持力，有OvNvmg, 且N隨v的增大而減小 當(dāng)¥

2、; =辰時(shí)，N = O 當(dāng)v>辰,N為拉力，有N>0, N隨v的增 大而增大例1（99年高考題）如圖4所示，細(xì)桿的一端與一小球相連，可繞過(guò)O的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)給小球一初速度，使它做圓周運(yùn)動(dòng)。圖中a、b分別表示小球軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，則桿對(duì)球b圖4A、a處為拉力,b處為拉力B、a處為拉力,b處為推力作用力可能杲 （b處為拉力D、a處為推力,b處為推力圖5例2 長(zhǎng)度為L(zhǎng) = O.5m的輕質(zhì)細(xì)桿OA, A端有一質(zhì)量為m = 3.0kg的小球，如圖5所示，小球以0 點(diǎn)為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最高點(diǎn) 時(shí)小球的速率是2.0m / s, g取10m/s2,則此 時(shí)細(xì)桿0A受到（）A

3、、6.0N的拉力 B、6.0N的壓力C、24N的拉力 D、24N的壓力例3長(zhǎng)L = 0.5m,質(zhì)量可以忽略的的桿，其下端固定 于O點(diǎn)，上端連接著一個(gè)質(zhì)量m = 2kg的力球A, A繞 O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)（同圖5）,在A通過(guò)最高點(diǎn)，試討論在 下列兩種情況下桿的受力： 當(dāng)A的速率vl = lm/s時(shí) 當(dāng)A的速率v2 = 4m/s時(shí)2、在水平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的臨界冋題在水平廂上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)角速度co變化時(shí),物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運(yùn)動(dòng)的（半徑有變化）趨 勢(shì)。這時(shí)，要根據(jù)物體的受力情況，判斷物體受 某個(gè)力是否存在以及這個(gè)力存在時(shí)方向朝哪（特 別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等）。例4如圖6所示，兩繩

4、系一質(zhì)量為m = 0.1kg的小球，上廂繩長(zhǎng)L = 2m,兩端都拉直時(shí)與軸的夾角分別為30。與45。，叵）球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩始終 張緊，當(dāng)角速度為3rad/s時(shí)，上、下兩繩拉力分別為 多大？例5如圖7所示，細(xì)繩一端系著質(zhì)量M = 0.6kg的物體, 歐陽(yáng)家百創(chuàng)編?kù)o止在水平肌，另一端通過(guò)光滑的小孔吊著質(zhì)量m = 0.3kg的物體，M的中與圓孔距離為0.2m,并知M和水 平廂的最大靜摩擦力為2N?，F(xiàn)使此平廂繞中心軸線轉(zhuǎn) 動(dòng)，問(wèn)角速度co在什么范圍m合處于靜止?fàn)顟B(tài)？ （g = 10m/s2）說(shuō)明：一般求解“在什么范圍內(nèi)”這一類 的冋題就是要分析兩個(gè)臨界狀態(tài)。3圖7橋的壓力為車重的o如果使汽

5、車駛至橋頂時(shí)對(duì)橋恰無(wú)壓力，則汽車的速度為（）A、15 m/ s B、20 m / s C、25 m / sD、30m/ s2、如圖8所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m的 物塊，當(dāng)物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r時(shí)，連接物塊和 轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直（繩上張力為零）。物體和 轉(zhuǎn)盤間最大靜摩擦力杲其下壓力的卩倍。求：當(dāng)轉(zhuǎn)盤角速度曲=時(shí)，細(xì)繩的拉力T1。歐陽(yáng)家白創(chuàng)編當(dāng)轉(zhuǎn)盤角速度32 =寸券時(shí)，細(xì)繩的拉力T2。 三、小結(jié)1、解圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題時(shí)，一定要注意找準(zhǔn)圓心，繩 子的懸點(diǎn)不一定是圓心。2、把臨界狀態(tài)下的某物理量的特征抓住是關(guān)鍵。如 速度的值是多大、某個(gè)力恰好存在還杲不存在以及這個(gè) 力的方向如何。答案例1分析：答案A杲正

6、確的，只要小球在最高點(diǎn)b 的速度大于個(gè)，其中L是桿的長(zhǎng)；答案B也是正確 的，此時(shí)小球的速度有0<v<VgL ;答案C、D肯定是 錯(cuò)誤的，因?yàn)樾∏蛟谧畹忘c(diǎn)時(shí)，桿對(duì)小球一定是拉力。例2解法：小球在A點(diǎn)的速度大于個(gè)時(shí)，桿受到 拉力，小于倔時(shí)，桿受壓力。VO=/gL =710x0.5 m / s = -/5 m / s由于v = 2.0 m/sv邁m/s,我們知道：過(guò)最 高點(diǎn)時(shí)，球?qū)?xì)桿產(chǎn)生壓力。小球受重力mg和細(xì)桿的支持力N由牛頓第二定律mg-N = m#歐陽(yáng)家百創(chuàng)編mv217=6.0N由牛頓第二定律mg-N = m *mgN = mg mv2T= 16N故應(yīng)選Bo例3解法一：（同上例）

7、 小球的速度大于審m/s時(shí)受 拉力，小于審m/s時(shí)受壓力。當(dāng)vl = lm/s</5 m/s時(shí)，小球受向下的重力mg和向上的支持力N即桿受小球的壓力16NOOf mgfF當(dāng)v2 = 4m/s>逅m/s時(shí)，小球受向下的重力mg和向下的拉力F由牛頓第二定律 mg + F = mv2F = m 1 mg = 44N即桿受小球的拉力44N。解法二：小球在最高點(diǎn)時(shí)既可以受拉力也可以受支持力，因此桿受小球的作用力也可以杲拉力或者杲壓力。我們可不去做具體的判斷而假設(shè)一 個(gè)方向。如設(shè)桿豎直向下拉小球A,則小球的受力就是上廂解法中的的情形。由牛頓第二定律mg + F = mv2L得到F = m (匸

8、-g)當(dāng) vl = lm/s 時(shí)，F(xiàn)1 = 16NFl為負(fù)值，說(shuō)明它的實(shí)際方向與所 設(shè)的方向相反，即小球受 力應(yīng)向上，為支持力。則 桿應(yīng)受壓力。當(dāng) v2 = 4m/s 時(shí)，F(xiàn)2 = 44NOF2 為正值，說(shuō)明它的實(shí)際方向與所 設(shè)的方向相同，即小球受 力就是向下的，是拉力。 則桿也應(yīng)受拉力。例4解析：當(dāng)角速度co很小時(shí)，AC和BC與軸的夾角都很小，BC并不張緊。當(dāng)co逐漸增大到30。時(shí)，歐陽(yáng)家百創(chuàng)編BC才被拉直（這杲一個(gè)臨界狀態(tài)），但BC繩中的 張力仍然為零。設(shè)這時(shí)的角速度為col,則有：TACcos30° = mgTACsin30° = mcol2Lsin3O°將

9、己知條件代入上式解得col = 2.4 rad / s當(dāng)角速度3繼續(xù)增大時(shí)TAC減小，TBC增大。 設(shè)角速度達(dá)到0）2時(shí)，TAC = 0 （這又是一個(gè)臨界狀 態(tài)），則有：TBCcos45° = mgTBCsin45° = ma）22Lsin30o將己知條件代入上式解得co2 = 3.16 rad / s所以 當(dāng) co 滿足 2.4 rad / s<co<3.16 rad / s, AC、BC 兩繩始終張緊。本題所給條件co = 3 rad/s,此時(shí)兩繩拉力TAC、TBC都存在。TACsin30° + TBCsin45° = mco2Lsin3

10、O° TACcos30° + TBCcos45° = mg將數(shù)據(jù)代入上兩式解得TAC = 0.27N, TBC =1.09N注意：解題時(shí)注意圓心的位置（半徑的大?。Ｅ?cov2.4 md/s 時(shí)，TBC = 0, AC 與軸的歐陽(yáng)家百創(chuàng)編夾角小于30。如果co>3.16rad/s肘,TAC = 0, BC與軸的夾角大 于45例5解析：要使m靜止，M也應(yīng)與平相對(duì)靜止。而M與平靜止時(shí)有兩個(gè)臨界狀態(tài)：當(dāng)co為所求范圍最小值時(shí)，M有向著圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，水平廂對(duì)M的靜摩擦力的方歹克 圓心，大小等于最大靜摩擦力2N。此時(shí)，對(duì)M運(yùn)用牛頓第二定律。有 T-fm = Mcol2r 且 T = mg解得 col =2.9