自動控制系統(tǒng)期末作業(yè)

1、北京交通大學(xué)自動控制系統(tǒng)期末作業(yè)交通運輸轉(zhuǎn)動控制仿真大作業(yè)自動控制系統(tǒng)建模（2）第一部分：理論支持車輛跟馳仿真車輛跟馳模型（Car-Following Model）將交通中的車輛看成分散的、存在相互作用的粒子，在假設(shè)沒有超車的情況下，通過研究后車跟隨前車的動力學(xué)過程，進(jìn)而分析單車道上交通流的演化特性。車輛跟馳理論將整個系統(tǒng)視為一種質(zhì)點系動力學(xué)系統(tǒng)，它假設(shè)車隊中的每輛車必須與前車保持一定的距離以免碰撞，通過考慮跟隨車輛對頭車間距、速度差等刺激因素的反應(yīng)，建立描述車輛運動規(guī)律的微分方程，進(jìn)而通過求解微分方程就可以確定車輛的演化過程。車輛跟馳理論著重討論非自由行駛狀態(tài)下車隊的行駛特性，并用數(shù)學(xué)模型加

2、以闡明，對現(xiàn)代交通的模擬、評價及管理控制有著重要的理論價值和實際意義。1、 車輛跟馳模型的基本假設(shè) 主要進(jìn)行單車道車輛跟馳仿真?；炯僭O(shè)條件如下： 1、道路平直，無交叉口或匝道，不允許超車； 2、當(dāng)前方車輛較遠(yuǎn)時，車輛自由行駛，當(dāng)車頭間距在100200米時，車輛間存在相互硬性，后車處于跟馳狀態(tài)。 3、在跟馳行駛時，后方車輛根據(jù)前方車輛的運行來調(diào)整本車的運動狀態(tài)。從控制論的角度來看，單個車輛段額跟馳模型是一個不可分解的持續(xù)調(diào)整反饋控制系統(tǒng)（Feedback Control System）,而整個車隊的跟馳模型是一個可分解為單個車輛模型的序貫級聯(lián)系系統(tǒng)（Cascade System）； 4、駕駛?cè)?/p>

3、根據(jù)當(dāng)前時刻之前的信息進(jìn)行判斷，不能采取違反因果律的行為； 5、駕駛?cè)丝梢杂胁煌鸟{駛習(xí)慣，駕駛?cè)说鸟{駛行為不一定總是及時、精確或正確的。車輛跟馳模型是對駕駛?cè)说姆磻?yīng)特性深入分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)行簡化抽象得到關(guān)于刺激-反應(yīng)的關(guān)系式： 反應(yīng)=×刺激 （1）式中，為駕駛?cè)藢Υ碳さ姆磻?yīng)參數(shù)，稱為敏感度系數(shù)。通常，駕駛?cè)耸艿降拇碳ひ蛩厥侵盖败嚨募铀倩驕p速行為，以及隨之產(chǎn)生的速度差和車頭間距的變化。駕駛?cè)藢Υ碳さ姆磻?yīng)是指根據(jù)交通條件變化及車輛進(jìn)行相應(yīng)的操縱控制。二、線性車輛跟馳模型 圖1線性車輛跟馳模型是基于刺激-反應(yīng)關(guān)系原理的最簡單模型。圖一為線性跟馳模型原理示意圖。圖中，和分別表示t時刻車輛n

4、-1和其他跟隨車n的位置，為t時刻車輛間的車頭間距，T表示駕駛?cè)说姆磻?yīng)時間，表示駕駛?cè)嗽诜磻?yīng)時間T內(nèi)車輛n行駛的距離，表示車輛n的制動距離，表示車輛n-1的制動距離，L表示停車距離安全。 根據(jù)圖一，可以得到如下基本關(guān)系式： （2） （3）假設(shè)兩車的制動距離相等，即，可得 （4）結(jié)合（3）和（4），得 （5）在式（5）兩邊對時間t求導(dǎo)，可得 （6）令=1/T，將式（6）整理為如下形式， （7）與式（1）對比，可以看出式（7）是刺激-反應(yīng)關(guān)系的一種近似數(shù)學(xué)描述。的量綱為。3、 車輛跟馳一般過程的理論框圖表示 圖2由圖看出，車輛跟馳過程包括三個部分：信息輸入，駕駛?cè)说姆磻?yīng)和控制，以及狀態(tài)輸出。首先，

5、輸入前車運行狀態(tài)，通常包括前車的速度、加速度及車頭間距等；其次，駕駛?cè)烁兄败嚨臓顟B(tài)信息并進(jìn)行分析判斷，進(jìn)而做出決策并控制車輛狀態(tài)；最后，車輛根據(jù)駕駛?cè)说目刂聘S前車運行，輸出跟隨車的運行狀態(tài)。在這個過程中，還存在一個反饋過程，即車輛運行的動力學(xué)特性會反過來影響駕駛?cè)说男畔⒏兄蜎Q策控制過程。4、 交通流的穩(wěn)定性交通流的穩(wěn)定性是考察當(dāng)前處于平衡狀態(tài)的車輛受到擾動后交通流狀態(tài)最終是否會演化到初始的平衡狀態(tài)。如果系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，小擾動會沿著車流向上游傳播，逐漸使暢行車流演化為交通阻塞。如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，小擾動在傳播過程中會逐漸縮小并消失或最終控制在一定的小范圍內(nèi)，使得系統(tǒng)中的車輛仍然能夠暢行。道路

6、上的一個車隊按照相同的車頭間距和相同的車速行駛，假定這種均勻的車流狀態(tài)就是車隊系統(tǒng)的平衡態(tài)。Herman等人（1995）最早研究了線性車輛跟馳模型的穩(wěn)定性，給出了車輛跟馳模型穩(wěn)定性的兩種基本類型：（1）局部穩(wěn)定性（Local Stability）:主要研究跟隨車輛對前車速度波動的反應(yīng)，關(guān)注兩車之間的局部行為；（2）漸進(jìn)穩(wěn)定性（Asymptotic Stability）:主要研究車隊的整體動態(tài)特性隨頭車速度波動的變化，關(guān)注車隊中波動在所有車之間的傳播過程。（1） 局部穩(wěn)定性 基于式（7）給出的線性車輛跟馳模型，因為=1/T，則<（=T=1)<。根據(jù)Herman等人給出的局部穩(wěn)定性條件

7、，可知，題設(shè)模型車頭間距發(fā)生震蕩，但振幅呈指數(shù)衰減。 考慮一般的跟馳現(xiàn)象，假定跟馳車輛的初始速度和最終速度分別為和，則有 （8）式中，表示跟馳車輛的加速度。從式（7）可得 （9）即 （10）式中，表示車頭間距的變化量，和分別表示頭車和跟馳車輛的速度。（二）漸進(jìn)穩(wěn)定性以線性跟馳模型（7）為例，對穩(wěn)定車隊中頭車的速度施行傅里葉擾動，之后分析擾動在車隊中的演化狀態(tài)?？紤]N輛車組成的車隊，每輛車的運動方程如下 n=1,2,3N （11）這些方程的任何解都取決于頭車的速度，以及兩個參數(shù)和T。對于任何車頭間距的擾動，都可能在車隊中傳播；在此過程中，車頭間距擾動的幅度可能增大、也可能減小，或者保持不變。漸進(jìn)

8、穩(wěn)定性分析的目的就是判斷振幅變化趨勢的參數(shù)條件。通常，車輛速度的任何模式都可以表達(dá)為傅里葉分析單頻部分的線性組合，因此，頭車的速度可以表示成為如下形式： （12）式中，是常數(shù)，是頭車單頻振蕩的振幅，是頻率。第n輛車的速度可以表示為 （13）式中，（n=1,2,3N）是第n輛車單頻振蕩的振幅。將式（12）和式（13）代入式（11），可得 （14）式中 （15）如果 >1,也就是說，如果 則F隨著n的增大而減小。因此得到的穩(wěn)定性條件如下 （16）根據(jù)理論分析的結(jié)果式（16），一列行駛的車隊僅當(dāng)時，模型是漸進(jìn)穩(wěn)定的，即車隊中車頭間距波動的幅度是逐漸減小。根據(jù)題意，當(dāng)時，該跟馳模型不是漸進(jìn)穩(wěn)定的

9、。五，駕駛員認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)框架示意圖第二部分系統(tǒng)建模題一，問題：以前車車速為后車的輸入，后車車速作為輸出，構(gòu)建后車車輛的駕駛模型分析：根據(jù)查閱的資料得到公式：在式子的左右兩邊有拉普拉斯變換得到Y(jié)(s)=R(s)Ts+1 傳遞函數(shù)G(s)= 1Ts+1V后(s)G(s)=1sT+1V前(s)R(s)是前車的車速，Y(s)是后車的車速輸出值。如圖：二， 問題：假設(shè)該系統(tǒng)有5輛車，以第一輛車的速度作為該系統(tǒng)的輸入，以第5輛車的速度作為系統(tǒng)的輸出，建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。分析：仿照第一個問題，令G1(s)= 1Ts+1則此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)=G1s4系統(tǒng)建模如圖V5(s)G(s)=1sT+1G(s)=

10、1sT+1G(s)=1sT+1G(s)=1sT+1V1(s)三， 問題：假設(shè)該系統(tǒng)有10輛車，以第一輛車的速度作為該系統(tǒng)的輸入，以第5輛車的速度作為系統(tǒng)的輸出，建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。分析：仿照第一個問題，令G1(s)= 1Ts+1則此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)對最后那一輛車G(s)=G1s9則此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)對第五輛車G5(s)=G1s4輸出V5系統(tǒng)建模如圖V10(s)G(s)=1sT+1G(s)=1sT+1G(s)=1sT+1G(s)=1sT+1G(s)=1sT+1V1(s)四， 問題：分析5輛車的系統(tǒng)和10輛車系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件：利用Bode圖，令a=0.2T=0.2 ; num=1;den=T 1;s

11、ys1=tf(num,den);sys2=series(sys1,sys1);sys3= series(sys2,sys1);sys4=series(sys3,sys1);bode(sys4);margin(sys4);nyqiust(sys4);系統(tǒng)是穩(wěn)定的。奈圭斯特圖可知 ，圖沒有包含（-1,0）這個點，可以認(rèn)為系統(tǒng)是穩(wěn)定的。五， 問題：假定第一輛車按恒定的速度V0行駛，5輛車的系統(tǒng)的輸出響應(yīng)？10輛車系統(tǒng)的輸出響應(yīng)？分析：（1）因為假定第一輛車按恒定的速度V0行駛，根據(jù)拉普拉斯變換V1(s)=V0s, (在這道題中我們?nèi)0=1)相當(dāng)于單位階躍響應(yīng)為輸入。（2）利用Matlab寫程序代碼

12、：T=0.2 ; num=1;den=T 1;sys1=tf(num,den);sys2=series(sys1,sys1);sys3= series(sys2,sys1);sys4=series(sys3,sys1)step(sys4);由圖知，系統(tǒng)的最終穩(wěn)定速度1m/s六， 問題：假定第一輛車按單位斜坡V0行變化，5輛車的系統(tǒng)的輸出響應(yīng)？10輛車系統(tǒng)的輸出響應(yīng)？分析：（1）因為假定第一輛車按按單位斜坡V0行變化，根據(jù)拉普拉斯變換V1(s)=1s2（2）利用Matlab寫程序代碼：T=0.2; num=1;den=T 1; sys1=tf(num,den); sys2=series(sys1

13、,sys1);sys3= series(sys2,sys1);sys4=series(sys3,sys1);impulse(sys4);七， 問題：假定第一輛車按單位加速度V0行變化，5輛車的系統(tǒng)的輸出響應(yīng)？10輛車系統(tǒng)的輸出響應(yīng)？分析：（1）因為假定第一輛車按按單位加速度V0行變化，根據(jù)拉普拉斯變換V1(s)=1s3（2）利用Matlab寫程序代碼：T=0.2; num=1;den=T 1;sys1=tf(num,den);sys2=series(sys1,sys1);sys3= series(sys2,sys1);sys4=series(sys3,sys1);SYS=ss(sys4);t=

14、0:0.01:5;V=0.5*(t.2);lsim(SYS,V,t)必做仿真三題仿真作業(yè)1系統(tǒng)仿真實驗步驟（1），分析題意，由于要畫出開環(huán)對數(shù)頻率特性圖。因而先寫出開環(huán)的傳遞函數(shù)。令f1(x)=1s+2(s+8) f2(x)=1sG1(x)=f1(x)1+5f1(x)=1s2+10s+21在K1=200時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(x)=K1*G1(x)*f2(x)=K1s3+10s2+21s=200s3+10s2+21s也可以用MATlAB中的函數(shù)寫出sys1=200;num=1;den=1 10 16;sys2=tf(num,den);sys3=5;sys4=feedback(sys2,sys

15、3,-1);num1=1;den1=1 0;sys5=tf(num1,den1);%得到開環(huán)傳遞函數(shù)sys6sys6=series(sys1,series(sys4,sys5);(2)畫出開環(huán)系統(tǒng)的Bode圖由Bode圖的閉環(huán)系統(tǒng)得穩(wěn)定裕度：增益裕度0.424dB 相角裕度：1.29度Bode圖結(jié)果分析：增益裕度和相角裕度太小，系統(tǒng)的穩(wěn)定性不好（為了驗證結(jié)論我們用simulink做了一次仿真，輸入階躍函數(shù)）當(dāng)K=200時以階躍函數(shù)為輸入的輸出響應(yīng)可以看出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)時間很長，K=200時系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)需要達(dá)到穩(wěn)定值得時間很長。當(dāng)K=150時K=150時達(dá)到穩(wěn)定的時間變短了。超條量較的K=2

16、00時也變小了。當(dāng)K=100時K=50時K=20時說明隨著K值漸漸減小系統(tǒng)的穩(wěn)定性漸漸加大。（3）閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡圖1先寫出閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G3=K1s3+10s2+21s+K1也可以用MATLAB得到：sys7=1;sys8=series(sys7,series(sys4,sys5);sys9=feedback(sys8,1,-1)2得到得到特征方程是s3+10s2+21s+K1將方程化作1+K1s3+10s2+21s 再利用MATLAB中的rlocus函數(shù)得到根軌跡根軌跡圖結(jié)果分析：由開環(huán)傳遞函數(shù)得K1ss+2(s+8)(i) 開環(huán)傳遞函數(shù)有三個極點0，-2，-8(ii) 由根軌跡圖得：

17、根軌跡與虛軸的交點w4.57,得到增益K1209系統(tǒng)才可以出于穩(wěn)定狀態(tài)。仿真作業(yè)2系統(tǒng)仿真實驗步驟K=5.3(1) 當(dāng)人的反應(yīng)時間為0時把e-ST用pade函數(shù)代替e-ST=-s3+120s2-6000s+120000s3+120s2+6000s+120000令f1(x)=e-sTs f2(x)=Ks2 f3(x)=s2+0.8s+0.32閉環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=f1*f21+f1*f2*f3寫出頻率響應(yīng)函數(shù)G(jw)=f1jwf2(jw)1+f1jwf2(jw)f3(jw)在w在0.1-103之間選200個點畫出閉環(huán)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（2）開環(huán)傳遞函數(shù)F(x)=f1x*f2x*f3xF(x)=Ks

18、3*(s2+0.8s+0.32)得到開環(huán)系統(tǒng)的T=0時的Bode圖得到增益裕度Gm=-22.4dB 相角裕度 Pm=81.3度（3）在T=0.1時得到開環(huán)函數(shù)F(x)=e-0.1sKs3*(s2+0.8s+0.32)得到增益裕度Gm=9.14dB相角裕度Pm=51度（4）當(dāng)相角裕度Pm=0時用Bode圖不斷試驗得到使Pm=0的T值。在T=0.2677s時Pm=0.00285度0由上圖可知在T=2.651585時，Gm=2.23*10-5 Pm=3.9*10-50分析：根據(jù)查閱的資料人的反應(yīng)時間一般為0.10.5s左右。而在復(fù)雜情況下人的反應(yīng)時間是13s所以T0.2677s仿真作業(yè)3系統(tǒng)仿真實驗

19、步驟假定司機(jī)的反應(yīng)時間T=0.2s(1) 問題：確定增益K的取值，時閉環(huán)系統(tǒng)的諧振峰Mp2分析:1先寫出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)f1(x)=e-sT f2(x)=Ks(0.1s+1)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：G1(x)=e-sTK0.1s2+s系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：G(x)=G1(x)1+G1(x)2經(jīng)過不斷的嘗試發(fā)現(xiàn)當(dāng)K3.439時 畫出閉環(huán)頻率響應(yīng)圖，再利用公式計算最大幅值處的諧振峰Mp1.99962(2) 問題:根據(jù)Mp估計系統(tǒng)的阻尼系數(shù)分析：根據(jù)公式=0.5(1-1-1Mp2)得到=0.2589(3) 問題:根據(jù)相角裕度估計系統(tǒng)的阻尼系數(shù)分析：1根據(jù)自動控制原理的課本第325頁第326頁在典型的四節(jié)開

20、換系統(tǒng)中，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的超調(diào)量%與相角裕度以及諧振峰Mp之間關(guān)系的經(jīng)驗公式%=2000-20 100(Mp-1) Mp1.25% 50Mp-1 Mp>1.25假設(shè)在諧振峰附近，開環(huán)相頻特性隨頻率的變化比較緩慢，擇優(yōu)文獻(xiàn)證明：閉環(huán)諧振峰Mp與相角裕度之間有如下近似關(guān)系：Mp1sin2利用開環(huán)傳遞函數(shù)的Bode圖得到相角裕度為=33.4409度3利用階躍響應(yīng)得到超調(diào)量%=43%利用公式Mp1sin，sin33.4409=0.5510765473Mp1.814629936,再利用公式=0.5(1-1-1Mp2)得到=0.2877023674分析：比較由Mp得到得1=0.2589和先由相角裕度

21、得到Mp再由Mp得到2=0.2877023674得到=1-2=-0.02880236738 兩者相差不大，說明可以認(rèn)為在諧振峰附近，開環(huán)相頻特性隨頻率的變化比較緩慢?？梢苑辖乒組p1sin而且計算超調(diào)量%=2000-20=39.8070028%與43%相差不大。(4)問題:估計閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬分析：1系統(tǒng)帶寬：閉環(huán)系統(tǒng)的輸入信號，頻率從零開始，從零頻率衰減到0.707時頻率范圍。WB是系統(tǒng)可通過的頻率帶寬稱為帶寬。得到系統(tǒng)帶寬w=6,64rad/s源程序代碼系統(tǒng)仿真實驗題目1 %做K=200的bode圖sys1=200;num=1;den=1 10 16;sys2=tf(num,den);

22、sys3=5;sys4=feedback(sys2,sys3,-1);num1=1;den1=1 0;sys5=tf(num1,den1);%得到開環(huán)傳遞函數(shù)sys6sys6=series(sys1,series(sys4,sys5);bode(sys6);margin(sys6);grid on; %做根軌跡圖sys7=1;sys8=series(sys7,series(sys4,sys5);%閉環(huán)傳遞函數(shù)sys9sys9=feedback(sys8,1,-1)sys9 = 1 - s3 + 10 s2 + 21 s + 1%得到特征方程是s3 + 10 s2 + 21 s + Kp=1;q

23、=1 10 21 0;sys10=tf(p,q); rlocus(sys10);系統(tǒng)仿真實驗題目2w=logspace(-1,3,200); T=0;pn,pd=pade(T,3);sys1=tf(pn,pd);num1=1;den1=1 0;sys2=tf(num1,den1);num2=5.3;den2=1 0 0;sys3=tf(num2,den2);sys4=series(sys1,series(sys2,sys3);num=1 0.8 0.32;den=1;sys5=tf(num,den);sys6=series(sys4,sys5);%閉環(huán)函數(shù)sys7=feedback(sys4,

24、sys5,-1);%閉環(huán)函數(shù)頻率響應(yīng)bode(sys7,w); grid on%開環(huán)函數(shù)（計算增益裕度與相角裕度）bode(sys6);margin(sys6);grid on%當(dāng)T=0.1時系統(tǒng)的相角裕度T=0.1;pn,pd=pade(T,3);sys1=tf(pn,pd);num1=1;den1=1 0;sys2=tf(num1,den1);num2=5.3;den2=1 0 0;sys3=tf(num2,den2);sys4=series(sys1,series(sys2,sys3);num=1 0.8 0.32;den=1;sys5=tf(num,den);sys6=series(s

25、ys4,sys5);%開環(huán)函數(shù)（計算增益裕度與相角裕度）bode(sys6);margin(sys6);grid on系統(tǒng)仿真實驗題目3pn,pd=pade(0.2,3);sys1=tf(pn,pd);K=3.439;num1=K;den1=0.1 1 0;sys2=tf(num1,den1);sys3=series(sys1,sys2);sys4=feedback(sys3,1,-1); w=logspace(-1,1,200);bode(sys4,w)grid onw=logspace(-1,1,200);mag,phase,w=bode(sys4,w); %計算諧振峰Mpmp,l=max(mag) mp = 1.9996l = 162%利用Mp來計算阻尼系數(shù)zeta=sqrt(0.5*(1-sqrt(1-1/mp2)z