第四節(jié)冪級數(shù)1ppt課件

1、第四節(jié)一、函數(shù)項級數(shù)的概念一、函數(shù)項級數(shù)的概念 二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性 三、冪級數(shù)的基本性質(zhì)三、冪級數(shù)的基本性質(zhì) 冪級數(shù) 四、泰勒級數(shù)及其應(yīng)用四、泰勒級數(shù)及其應(yīng)用一、一、 函數(shù)項級數(shù)的概念函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)設(shè) 121)()()()(nnnxuxuxuxu為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)項級數(shù)上的函數(shù)項級數(shù) .對對,I0 x若常數(shù)項級數(shù)若常數(shù)項級數(shù) 10)(nnxu斂點斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域所有收斂點的全體稱為其收斂域 ;若常數(shù)項級數(shù)若常數(shù)項級數(shù) 10)(nnxu為定義在區(qū)間為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)上的函數(shù), 稱稱收斂收斂,發(fā)散發(fā)散 ,所有所有0 x稱稱為其

2、收為其收 0 x稱稱為其發(fā)散點為其發(fā)散點, ),2,1()( nxun發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域 .在收斂域上在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)的和是函數(shù)項級數(shù)的和是 x 的函數(shù)的函數(shù) ,)(xS稱它稱它為級數(shù)的和函數(shù)為級數(shù)的和函數(shù) , 并寫成并寫成)()(1xuxSnn 若用若用)(xSn表示函數(shù)項級數(shù)前表示函數(shù)項級數(shù)前 n 項的和項的和, 即即)()(1xuxSnkkn 則在收斂域上有則在收斂域上有,)()(limxSxSnn 例如例如, 等比級數(shù)等比級數(shù)它的收斂域是它的收斂域是,)1,1( ,11,(）， 及 nnnxxxx201xxnn 110它的發(fā)散域是它的發(fā)散域是或?qū)懽?/p>

3、或?qū)懽?1 x又如又如, 級數(shù)級數(shù),)0(02 xnxxnnn,)(lim xunn級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散 ;所以級數(shù)的收斂域僅為所以級數(shù)的收斂域僅為.1 x,)1,1(時時當(dāng)當(dāng) x有和函數(shù)有和函數(shù) ,1時收斂時收斂當(dāng)當(dāng) x,10時時但但當(dāng)當(dāng) x二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性 形如形如 00)(nnnxxa 202010)()(xxaxxaa的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù), 其中數(shù)列其中數(shù)列),1 , 0( nan下面著重討論下面著重討論00 x 0nnnxa nnxaxaxaa2210例如例如, 冪級數(shù)冪級數(shù)1,110 xxxnn為冪級數(shù)的系數(shù)為冪級數(shù)的系數(shù) .即是此種情形

4、即是此種情形. .的情形的情形, 即即 nnxxa)(0稱稱 定理定理 8.9 ( Abel定理定理 ) 若冪級數(shù)若冪級數(shù) 0nnnxa,0點點收收斂斂在在xx 則對滿足不等式則對滿足不等式0 xx 的一切的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂冪級數(shù)都絕對收斂.反之反之, 若當(dāng)若當(dāng)0 xx 0 xx 的一切的一切 x , 該冪級數(shù)也發(fā)散該冪級數(shù)也發(fā)散 . 時該冪級數(shù)發(fā)散時該冪級數(shù)發(fā)散 , 則對滿足不等式則對滿足不等式冪級數(shù)在冪級數(shù)在 (, +) 收斂收斂 ;由由Abel 定理可以看出定理可以看出, 0nnnxa中心的區(qū)間中心的區(qū)間. 用用R 表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點,的收

5、斂域是以原點為的收斂域是以原點為那么那么R = 0 時時, 冪級數(shù)僅在冪級數(shù)僅在 x = 0 收斂收斂 ;R = 時時,0 R冪級數(shù)在冪級數(shù)在 (R , R ) 收斂收斂 ;(R , R ) 加上收斂的端點稱為收斂域加上收斂的端點稱為收斂域.R 稱為收斂半徑稱為收斂半徑 ， 在在R , R 可能收斂也可能發(fā)散可能收斂也可能發(fā)散 .Rx外發(fā)散外發(fā)散; 在在(R , R ) 稱為收斂區(qū)間稱為收斂區(qū)間.ox發(fā)發(fā) 散散發(fā)發(fā) 散散收收 斂斂收斂收斂 發(fā)散發(fā)散xaaxaxannnnnnnn 111limlim定理定理8.10 假設(shè)假設(shè) 0nnnxa的系數(shù)滿足的系數(shù)滿足,lim1 nnnaa;1 R; R.

6、0 R證證:1) 假設(shè)假設(shè) 0, 則根據(jù)比值審斂法可知則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)當(dāng),1 x 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂;當(dāng)當(dāng),1 x 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.x 即即 1 x時時,1) 當(dāng)當(dāng) 0 時時,2) 當(dāng)當(dāng) 0 時時,3) 當(dāng)當(dāng) 時時,即即時時,那么那么 1 x2) 假設(shè)假設(shè), 0 則根據(jù)比值審斂法可知則根據(jù)比值審斂法可知,; R絕對收斂絕對收斂 ,3) 假設(shè)假設(shè), 則對除則對除 x = 0 以外的一切以外的一切 x 原級發(fā)散原級發(fā)散 ,.0 R對任意對任意 x 原級數(shù)原級數(shù)因而因而因而因而 因此級數(shù)的收斂半徑因此級數(shù)的收斂半徑.1 R 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為說明說明: :據(jù)此定理據(jù)

7、此定理1lim nnnaaR對端點對端點 x =1, 1lim nnnaaR nxxxxnn 132)1(32的收斂半徑及收斂域的收斂半徑及收斂域.解解:11 nn11 對端點對端點 x = 1, 級數(shù)為交錯級數(shù)級數(shù)為交錯級數(shù),1)1(11nnn 收斂收斂; 級數(shù)為級數(shù)為,11 nn發(fā)散發(fā)散 . . 1,1( 故收斂域為故收斂域為例例1.1.求冪級數(shù)求冪級數(shù) lim n 例例2. 求下列冪級數(shù)的收斂域求下列冪級數(shù)的收斂域 :.!)2(;!1)1(00nnnnxnxn 解解: (1) limlim1 nnnnaaR!1n)1(lim nn 所以收斂域為所以收斂域為.),( (2) limlim1

8、 nnnnaaR!n!)1( n11lim nn0 所以級數(shù)僅在所以級數(shù)僅在 x = 0 處收斂處收斂 .規(guī)定規(guī)定: 0 ! = 1! )1(1 n例例3.nnnx2021 求冪級數(shù)求冪級數(shù)的收斂區(qū)間的收斂區(qū)間 .解解: 級數(shù)缺少奇次冪項級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理不能直接應(yīng)用定理2,比較判別法求收斂半徑比較判別法求收斂半徑. lim)()(lim1 nnnnxuxu121 nn21221limxn 221x 1212 x當(dāng)當(dāng)時級數(shù)收斂時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散時級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為故收斂半徑為 .2 R2 x即即1212 x當(dāng)當(dāng)2 x即即)1(2 nxnx2故直接由故直接由 11121 n

9、x時，原冪級數(shù)化為時，原冪級數(shù)化為又當(dāng)又當(dāng))2,2( 因因此此，收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為發(fā)散發(fā)散例例4. 12)1(nnnnx求求冪冪級級數(shù)數(shù)的收斂域的收斂域.解解: 令令 ,1 xt級數(shù)變?yōu)榧墧?shù)變?yōu)閚nntn 121 nnnnaaRlimlim1nn21)1(211 nnnnnnn2)1(2lim1 2 當(dāng)當(dāng) t = 2 時時, 級數(shù)為級數(shù)為,11 nn此級數(shù)發(fā)散此級數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng) t = 2 時時, 級數(shù)為級數(shù)為,)1(1 nnn此級數(shù)條件收斂此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為因此級數(shù)的收斂域為,22 t故原級數(shù)的收斂域為故原級數(shù)的收斂域為,212 x即即.31 x三、冪級數(shù)的基本性質(zhì)三、冪級數(shù)

10、的基本性質(zhì)定理定理 8.11.xna,xnaxannnnnnnnn斂斂區(qū)區(qū)間間有有相相同同的的收收斂斂半半徑徑和和收收與與冪冪級級數(shù)數(shù) 011101定理定理8.12 若冪級數(shù)若冪級數(shù)nnnxa 0的收斂半徑的收斂半徑,0 R)(xS數(shù)數(shù) nnnxaxS0)(,11 nnnxan),(RRx xxaxxSnxnnxdd)(000 ,110 nnnxna),(RRx 則其和函則其和函在收斂域上連續(xù)在收斂域上連續(xù), 且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)與且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)與逐項求積分逐項求積分, 運算前后收斂半徑相同運算前后收斂半徑相同: 注注: 逐項積分時逐項積分時, 運算前后端點處的斂散性不變運算前后

11、端點處的斂散性不變.例例5. 1nnxn求冪級數(shù)求冪級數(shù)的和函數(shù)的和函數(shù)解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , x1 時級數(shù)發(fā)時級數(shù)發(fā),)1,1(時時故當(dāng)故當(dāng) x 1)(nnxnxS 1)(nnxx xxx12)1(xx . )(xS 11nnxnx 1nnxx散散,的的和和的的和和函函數(shù)數(shù)，并并求求級級數(shù)數(shù)求求冪冪級級數(shù)數(shù)例例 1111)1()1( 6kknnnkxn(-1,1)x ,)1(x11 1 nnnx由由解解(-1,1)x (-1,1)x , )1ln()1( 11 nnnxxn即即有有 11)1(1xnnn，于于是是有有時時，得得收收斂斂的的交交錯錯級級

12、數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng) )1ln( x知知 xdxx011 00)1(nxnndxx 011)1(nnnxn , )1(11 nnnxn 11)1(nnn2ln)1(111 xnnnxn例例7. 求級數(shù)求級數(shù) 01nnnx的和函數(shù)的和函數(shù).)(xS解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , 時時級級數(shù)數(shù)且且1 x 01)(nnnxxS xnnxxx00d1 xxxx0d111)1ln(1xx ) 10( x1 x及及收斂收斂 , 有有時時則則當(dāng)當(dāng),0 x 0111nnnxx xnnxxx00d1)1,0()0,1 x因此由和函數(shù)的連續(xù)性得因此由和函數(shù)的連續(xù)性得: )(xS而而)0(S,

13、1)1(lnlim0 xxx,)1ln(1xx ,10 x,1 )(rr)rr)r(S201(r 420111(11111522 萬元萬元知知由例由例?521(, 8錢錢入銀行多少入銀行多少問老板應(yīng)在簽約當(dāng)天存問老板應(yīng)在簽約當(dāng)天存的年復(fù)利的方式計息的年復(fù)利的方式計息以以假定銀行存款假定銀行存款萬元萬元年末支付給明星或后代年末支付給明星或后代在第在第合同規(guī)定俱樂部合同規(guī)定俱樂部部簽訂一項合同部簽訂一項合同某足球明星與一個俱樂某足球明星與一個俱樂例例,%),nnn 總總數(shù)數(shù)為為則則應(yīng)應(yīng)在在銀銀行行存存入入的的本本金金萬萬元元年年支支付付若若規(guī)規(guī)定定第第為為年年復(fù)復(fù)利利率率設(shè)設(shè)解解),1,2,(nn

14、n,5%r nnn)r(n)r(r)r(n11211121考慮如下的冪級數(shù)考慮如下的冪級數(shù)和和為求出這一數(shù)項級數(shù)的為求出這一數(shù)項級數(shù)的, nnnnxxxnx212),x(Snx).,(r),nn的的和和函函數(shù)數(shù)冪冪級級數(shù)數(shù)若若求求出出因因此此時時當(dāng)當(dāng)該該冪冪級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域為為 1,1111,201r11(,)r(S和和即即為為所所求求的的數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)的的則則 11四、泰勒級數(shù)及其應(yīng)用四、泰勒級數(shù)及其應(yīng)用求下列冪級數(shù)的和函數(shù)得求下列冪級數(shù)的和函數(shù)得)x()xln(nx)(nnn111111 nnn)xx(a)x(f00 就是說函數(shù)就是說函數(shù) f (x) f (x) 在其收斂域內(nèi)能展

15、開成冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)能展開成冪級數(shù). .問題問題: :3.3.展開式是否唯一展開式是否唯一? ?1.1.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)在什么條件下才能展開成冪級數(shù)? ?是什么？是什么？數(shù)數(shù)如果函數(shù)能展開成冪級如果函數(shù)能展開成冪級na,.2等式反過來寫即為等式反過來寫即為 )(0 xf )(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(為為f (x) 的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù) . 則稱則稱當(dāng)當(dāng)x0 = 0 時時, 泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù)泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù) .若函數(shù)若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 0)(xxf在在由定理由定理1 1知，若

16、函數(shù)知，若函數(shù)f(x)f(x)能展成冪級數(shù)，則其冪級數(shù)展開式必為能展成冪級數(shù)，則其冪級數(shù)展開式必為泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)定義定義1 1例例1 1 求的求的xe)x(f 麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù) n2x!n1x21x1 麥麥克克勞勞林林級級數(shù)數(shù)為為解解定理定理8.138.13.)()()(,)(0時極限為零時極限為零當(dāng)當(dāng)?shù)奶├展街械挠囗椀奶├展街械挠囗棻匾獥l件是必要條件是級數(shù)的充分級數(shù)的充分在該鄰域內(nèi)能展成泰勒在該鄰域內(nèi)能展成泰勒則則階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意的某鄰域內(nèi)具有任意在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) nxRxfxfxxfn)48(.)()(,)()(000 nnnxxaxfxxxf即即的冪級數(shù)的

17、冪級數(shù)能展開成能展開成如果函數(shù)如果函數(shù).)(!10)(且且展展開開式式是是唯唯一一的的則則其其系系數(shù)數(shù)為為xfnann 即即內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于在在因因為為),()()(000 xfxuxxannn ,)()()(0010 nnxxaxxaaxf )()!1(!)(01)(xxananxfnnn 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐項求導(dǎo)任意次逐項求導(dǎo)任意次, ,得得即得即得令令,0 xx )58(), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系數(shù)是唯一的泰勒系數(shù)是唯一的, ,.)(的展開式是唯一的的展開式是唯一的所以所以xf12221215312 212 121151

18、31 mmmmmx)!m()mxsin()x(R)x(Rx)!m()(x!x!xxsin 其其中中余余項項階階的的麥麥克克勞勞林林公公式式的的求求函函數(shù)數(shù)例例m2nxsin)x(f 2),n)nxsin()x(f)n(210( 2 由由于于解解),k)()(f),k)(fk)()(210( 10 321( 00 12k2k 所以所以階階的的麥麥克克勞勞林林公公式式為為的的于于是是函函數(shù)數(shù)mnxsin)x(f2 函數(shù)展開成冪函數(shù)展開成冪級數(shù)級數(shù) 1. 直接展開法直接展開法由泰勒級數(shù)理論可知由泰勒級數(shù)理論可知, 展開成冪級數(shù)的步展開成冪級數(shù)的步函數(shù)函數(shù))(xf第一步第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在求函

19、數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值處的值 ;第二步第二步 寫出麥克勞林級數(shù)寫出麥克勞林級數(shù) , 并求出其收斂半徑并求出其收斂半徑 R ; 第三步第三步 判別在收斂區(qū)間判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi)內(nèi))(limxRnn 是否為是否為驟如下驟如下 :展開方法展開方法直接展開法直接展開法 利用泰勒公式利用泰勒公式間接展開法間接展開法 利用已知其級數(shù)展開式利用已知其級數(shù)展開式0. 的函數(shù)展開的函數(shù)展開例例3. 將函數(shù)將函數(shù)xexf)(展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù). 解解: ,)()(xnexf ),1,0(1)0()( nfn1其收斂半徑為其收斂半徑為 對任何有限數(shù)對任何有限數(shù) x , 其余項

20、滿足其余項滿足 )( xRn e! )1( n1 nxxe ! )1(1 nxn故故,!1!31!21132 nxxnxxxe nRlim!1n! )1(1 n n0),( x( 在在0與與x 之間之間)x 2!21x 3!31x nxn!1故得級數(shù)故得級數(shù) 例例4. 將將xxfsin)(展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解: )()(xfn )0()(nf得級數(shù)得級數(shù):x)sin(2 nx其收斂半徑為其收斂半徑為 , R對任何有限數(shù)對任何有限數(shù) x , 其余項滿足其余項滿足 )( xRn)1(sin(2 n! )1( n1 nx! )1(1 nxn12 kn),2,1,0( k3!31x

21、 5!51x 12! )12(11)1(nnnx),( xxsin n0kn2 ,)1(k ,0 12! )12(115!513!31)1(nnnxxxx nnxnxxx2142! )2(1)1(!41!211cos),( x2. 間接展開法間接展開法211x x11利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算性質(zhì)利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算性質(zhì), 例例5. 將函數(shù)將函數(shù)展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解: 因為因為 nnxxx)1(12)11( x把把 x 換成換成2x 211x nnxxx242)1(1)11( x, 得得將所給函數(shù)展開成將所給函數(shù)展開成 冪級數(shù)冪級數(shù). 間接展開

22、法：間接展開法： 根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, , 利用常見展開式利用常見展開式, , 通過通過變量代換、變量代換、 四則運算、恒等變形、四則運算、恒等變形、 逐項求導(dǎo)、逐項求導(dǎo)、 逐逐項積分等方法，求展開式項積分等方法，求展開式. .例例6. 將函數(shù)將函數(shù))1ln()(xxf 展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).解解: xxf 11)()11()1(0 xxnnn從從 0 到到 x 積分積分, 得得xxxxnnnd)1()1ln(00 ,1)1(01 nnnxn定義且連續(xù)定義且連續(xù), 區(qū)間為區(qū)間為.11 x11x11 x上式右端的冪級數(shù)在上式右端的冪級數(shù)在 x 1 收斂收斂 ,有有在在而而1)1l

23、n( xx所以展開式對所以展開式對 x 1 也是成立的也是成立的,于是收斂于是收斂例例7 7.arctan的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成將將函函數(shù)數(shù)xx解解),(x,x)(xxxnn1111112422 因為因為,x,xn)(xarctannnn11121012 則則有有處處收收斂斂在在且且,112)1(012 xxnnnn,1arctan點點連連續(xù)續(xù)在在由由于于 xx)1,1(,12)1(51311253 xxnxxxnn xttx021darctan例例8. 將函數(shù)將函數(shù))2)(1(1)(xxxf展開成展開成 x 的冪級數(shù)的冪級數(shù).2111)(xxxfxx211102111nnxxxx)1,1( x0)2(2121121nnxx01