第四節(jié)反常積分ppt課件

1、二、無界函數(shù)的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分第四節(jié)常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推廣一、無窮限的反常積分一、無窮限的反常積分機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 反常積分 (廣義積分)反常積分 第五章 一、無窮限的反常積分一、無窮限的反常積分引例引例. 曲線曲線21xy 和直線1x及 x 軸所圍成的開口曲邊梯形的面積21yxA1可記作12dxxA其含義可理解為 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定義定義1. 設(shè)設(shè), ),)(aCxf,ab 取假設(shè)xxfbabd)(lim存在 , 則稱此極限為 f (x) 的無窮限反常積分, 記作xxfxx

2、fbabad)(limd)(這時稱反常積分xxfad)(收斂 ;如果上述極限不存在,就稱反常積分xxfad)(發(fā)散 .類似地 , 假設(shè), ,()(bCxf則定義xxfxxfbaabd)(limd)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 , ),()(Cxf若則定義xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 為任意取定的常數(shù) )只要有一個極限不存在 , 就稱xxfd)(發(fā)散 .無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分. ,并非不定型 ,說明說明: 上述定義中若出現(xiàn)上述定義中若出現(xiàn) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 它表明該反常積分發(fā)散 .,)()(的原函數(shù)是若xfxF引入記號

3、; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx則有類似牛 萊公式的計算表達式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例1. 求求31dxx解：解： 31dxx31limbbdxx211lim ()2bbx211lim(1)2bb 12機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例1. 證明第一類證明第一類 p 積分積分apxxd證證:當當 p =1 時有時有 axxdaxlnapxxdappx11當 p 1 時有 1p1p,11pap當 p 1 時收斂 ; p1 時發(fā)散 .,因而, 當 p

4、 1 時, 反常積分收斂 , 其值為;11pap當 p1 時, 反常積分發(fā)散 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2. 求求01( )2xdx解：解： 01( )2xdx01lim( )2bxbdx01()2lim1ln2bxb11lim( )1ln22bb 1ln2機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2. 計算反常積分計算反常積分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xoy211 xy考慮考慮: ?01d2對嗎xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原積分發(fā)散 !注意注意: 對反常積分對反常積分, 只有在收斂的條件下才能使用

5、只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零” 的性質(zhì), 否則會出現(xiàn)錯誤 .例例3. 求求21(ln )edxxx解：解： 21(ln )edxxx21lim(ln )bebdxxx21lim(ln )(ln )bebdxx111limlimlnlnlnbebbxbe1機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4. 求求0.xxe dx解：解： 0 xxe dx00limlimxxbbbbxe dxxde00lim(|)xxbbbxee dx00lim(0)| bxbbebee0lim(0)()bbbbeee機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 lim(1)11bbb e 例例5. 知知 ( ).f x

6、dx解：解： ( )f x dx1212( )( )f x dxf x dx12122211limlim(1)baabdxdxxx121211limlim(1)babaxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 224求 2211,(1)2( );11,.2xxf xxx 例例6. 計算反常積分計算反常積分. )0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、無界函數(shù)的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分引例引例:曲線曲線xy1所圍成的1x與 x 軸, y 軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作10dxxA其含義可理解為 10dlimxxA

7、12lim0 x)1 (2lim021yx0A1xy機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定義定義2. 設(shè)設(shè), ,()(baCxf而在點 a 的右鄰域內(nèi)無界,0取存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0這時稱反常積分xxfbad)(收斂 ; 如果上述極限不存在,就稱反常積分xxfbad)(發(fā)散 .類似地 , 假設(shè), ),)(baCxf而在 b 的左鄰域內(nèi)無界,xxfxxfbabad)(limd)(0若極限baxxfd)(lim0數(shù) f (x) 在 a , b 上的反常積分, 記作則定義機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 則稱此極限為函 若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個第一類 說明說明:

8、 ,)(,)(外連續(xù)上除點在若bcacbaxf而在點 c 的無界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分, 無界點常稱鄰域內(nèi)無界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220為瑕點(奇點) .例如,xxxd11112xxd) 1(11機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 間斷點,而不是反常積分. 則本質(zhì)上是常義積分, 則定義注意注意: 若瑕點若瑕點,)()(的原函數(shù)是設(shè)xfxF的計算表達式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF則也有類似牛 萊公式的假設(shè) b 為瑕點, 那么假設(shè) a

9、 為瑕點, 那么假設(shè) a , b 都為瑕點, 那么, ),(bac那么xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消嗎可相消嗎?機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 112dxx211111x下述解法是否正確: , 積分收斂例例7. 計算反常積分計算反常積分. )0(d022axaxa解解: 顯然瑕點為顯然瑕點為 a , 所以所以原式0arcsinaax1arcsin2機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例8. 討論反常積分討論反常積分112dxx的收斂性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常積分112dxx發(fā)散 .例例9. 證明反常積分證明反常積分b

10、aqaxx)(d證證: 當當 q = 1 時時,當 q 1 時收斂 ; q1 時發(fā)散 .baaxxdbaax ln當 q1 時baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以當 q 1 時, 該廣義積分收斂 , 其值為;1)(1qabq當 q 1 時, 該廣義積分發(fā)散 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例10.解：解：,)2() 1() 1()(32xxxxxf設(shè)求.d)(1)(312xxfxfI)(20 xfxx為與 的無窮間斷點, 故 I 為反常xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI220( )d1(

11、)fxxfx322d)(1)(xxfxf積分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf232222732arctan232arctan227機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 10內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 反常積分反常積分積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界常義積分的極限 2. 兩個重要的反常積分兩個重要的反常積分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 說明說明: (1) 有時通過換元有時通過換元 , 反常積分和常義積分可以反常積分和常義積分可以互相轉(zhuǎn)化 .例如 ,1021dxx

12、）令txsin(20dtxxxd11104210121d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 當一題同時含兩類反常積分時當一題同時含兩類反常積分時,機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的反常積分. (3) 有時需考慮主值意義下的反常積分. 其定義為baxxfd)(v.p.),(bcac為瑕點xxfd)(v.p.xxfaaad)(limP179 題 1 (2) , (4) , (6) , (8) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xxfxxfbccad)(d)(lim0常積分收斂 .注意注意: 主值意義下反常積分存在不等于一般意義下反主值意義下反常積分存在不等于一般意義下反思考與練習思考與練習P179 1 (1) , (3) , (5) , (7) ； 2 (2) ; 3第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 作業(yè)作業(yè)備用題備用題