異面直線所成的角直線與平面所成的角二面角專題復(fù)習(xí)與提高

1、空間角專題復(fù)習(xí)知識(shí)梳理一、異面直線所成的角及求法(1)定義：在空間任意取一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)分別作兩異面直線的平行線所成的銳角或直角 稱為兩異面直線所成的角. . 兀(2)取值范圍：若9是異面直線a和b所成的角，則其取值范圍是。6(0,5,.TT. 一 一，當(dāng)0 = y時(shí)，稱異面直線 a和b垂直，記為ab.(3)求法：平移法：將兩異面直線中的一條或兩條平移至某特殊點(diǎn)后，構(gòu)造三角形，通過(guò)解該三角形而求其大??；二、直線與平面所成的角及求法(1)定義：設(shè)l和a分別表示直線與平面.若 l / a或l a ,則稱直線l和平面 a所成的角為0；若l，a ,則稱l與a所成的角為；若l與a相交，則l 與l在a內(nèi)的射影

2、所成的銳角為直線l與平面a所成的角.(2)取值范圍：設(shè)9是直線l與平面a所成的角，則9的取值范圍是0,.2(3)求法：定義法：探尋直線l在平面a內(nèi)的射影，(通常由垂直法找射影)構(gòu)造直線l與平面oc所成角對(duì)應(yīng)的直角三角形，通過(guò)解該直角三角形而求得直線與平面所 成的角.三、二面角及求法(1)定義：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)作棱的垂線，則這兩 垂線所成的角稱為該二面角的平面角，且定義平面角的大小為該二面角的大小.(2)取值范圍：規(guī)定二面角的取值范圍為 0 ,冗.(3)求法：定義法：分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)作棱的垂線，則這兩垂線所成的角稱為該二面角的平面角練習(xí)提升1 .如圖，E、F分

3、別是三棱錐 P ABC勺棱AP BC的中點(diǎn)，PC= 10, A及6, EF= 7,則異面直線AB與PC所成的角為()1tA. 30。B. 45。C. 60D. 90答案：C2 .已知長(zhǎng)方體 ABCDABCD中，AB= BO4, CC = 2,則直線BC和平面DBBD所成的角的正弦值為(答案：C3 .如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCDK / ABG= 60 ,將菱形沿對(duì)角線 AC折起，使折起后BA 1,則二面角B- AC- D的余弦值為 （）答案：A4 .在正方體ABCDABCD中，BC與對(duì)角面DDBB所成角的大小是 （）A. 15B. 30C. 45D. 60答案：B5 .如圖，ABCDABCD是

4、長(zhǎng)方體，AA= a,所成的角為 , AA與BC所成的角為_答案：300, 4506 . 在正方體 ABCDABCD中，（1）直線AB與平面ABCDf成的角是_/ BAB = / BAC = 30 ,則 AB 與 AC-_&(2)直線AB與平面ABCD所成的角是;(3)直線AB與平面ABCD所成的角是 .答案 (1)45 (2)30 (3)90 7 .設(shè)直線與平面所成角的大小范圍為集合P,二面角的平面角大小范圍為集合Q異面直線所成角的大小范圍為集合R,則P、Q R的關(guān)系為()A. R= PQB. RPQC. PRQ D . R曰 Q答案：B8 .設(shè) ABCffi DBCf在兩平面互相垂直，且 A

5、B= BO BD= a, / CB4 / CBP120, 則AD與平面BCDf成角的大小為()A. 30B. 45C. 60D. 75解析：作ACK CB交CB的延長(zhǎng)線于O,連接OD則OD即為AD在平面BCDft的 射影，/ ADCJP為Ag平面BCD5f成的角.-3AO= O氏-ya,/ ADG45答案：B9 .如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(diǎn)（不同于A B）且PA= AC,則二面角P- BG-A的大小為（）A. 60B. 30C. 45D. 15答案 C10 .如圖，已知四棱錐 P- ABCD勺底面是正方形，PAL平面ABCD且PA= AD,則平面PABf平面PC

6、D5f成的二面角的度數(shù)為（）A. 90B . 60C. 45解析：: AB/ CD.二面PABf平面PCD勺交線l必為過(guò)P點(diǎn)與AB平行的直線. PAL平面 ABCD .PAL A PAL CD 又 CDL AD. DCL平面 PAD. P兒l , PDL l ,即/ APM所求二面角的平面角，Z APO 45 .答案：C11 .把正方形ABCD&對(duì)角線BD折成直二面角，對(duì)于下列結(jié)論：ACL BD ADO正三角形；AB與CD成60角；AB與平面BC皺60 角.則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A. 1個(gè)B .2個(gè) C .3個(gè) D.4個(gè)解析：取BD的中點(diǎn)O,則BEUOC BEUOA彳導(dǎo)BEU c平 面AO

7、C .二 BCL AC 正確；cosADGcos45 cos452, / ADC= 60 , AA DC ADO正三角形，正確； AB與CD成60角，正確；AB與平面BCDM角/ AB45 ,錯(cuò)誤.答案：C12 .如圖所示的正方體 ABCDABCD中，過(guò)頂點(diǎn)B、D C作截面，則二面角 B- DC C的平面角的余弦值是解析：取CD的中點(diǎn)Q連接BO CO則BQL CD, COL CD, / BQ盅二面角B- DC C的平面角.2設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則Cd -2, BDC為正三角形，6 . Q展看,且BO 1, cos/BQGqB+ qC _ BC2QB- QC = 3 .13.如圖，在直三棱柱 A

8、BOAiBC中，AB= BOAA, / ABC= 90 ,點(diǎn)E、F分別是棱AB BB的中點(diǎn).則直線EF和BC所成的角是（）A. 45B. 60C. 90D. 120解析：取BC的中點(diǎn)G, AB的中點(diǎn)H,連結(jié)FG BG HG EH 貝U FG/ BC,且_1cos/EFG= 2，故所求角為/ EFG或其補(bǔ)角就是所求的角，利用余弦定理可求得60答案：B14.如圖，將RtABCn斜邊上的高AD折成120的二面角C-AD-C ,若直角邊AB= 48 AC 446,則二面角 A BC D. 1解析：/ CDC =120 ,過(guò)D作Da BC于E,連結(jié)AE,則/ AEDCT為所求.又知ADL平面BC D,

9、AA 4啦，在 BC D中，由余弦定理求得 BC =4、/3,再由面1.1.AD -積公式 Sabc D= BC DE= 2 - BD- C D- sin60 知 DE= 4,，tan /AE氏力近答案：A點(diǎn)評(píng)：考查二面角的知識(shí)，余弦定理及三角形的邊角計(jì)算.如何作出二面角的平面角是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.15.在矩形 ABCW, A及 3, AA 4, PA1平面 ABCDPA=的度數(shù)是（）A. 30B. 45C. 60D. 75解析：如右圖所示，過(guò)A作AEL BD,那么二面角A BD-P垂足為E,連結(jié)PE則PEI BD三垂線定理)，故/ PE秋二面角P- BDHA的平面角.在 Rt BA并，AE

10、=母|e=12.BD 5PA 3在 RtPAE中,tan / PEA=u=-,PEA= 30AE 3答案：A16.正四棱錐P-ABCD勺兩個(gè)側(cè)面PA* PCDE相垂直，則相鄰兩個(gè)側(cè)面所成二面角的平面角為（A. 60C. 120解析：如圖，作BE!PC連結(jié)DE. PDC APBCCDEL PCDE涮是二面角D- PC- B的平面角,O為DB的中點(diǎn),DEB，八1/./ OEB=-Z 2又面 PABL面 PCD在 RtPOB, OC所以PC=答案 60Tt 2 Tt/ OE& 二，/ DE& -. 3 317.答案：C如圖，在四棱錐N ABCW,底面ABC奧邊長(zhǎng)為2的正方形，其它四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長(zhǎng)為

11、 求的等腰三角形，則二面角 V AB-C的度數(shù)是., 一 .,.兀.，一 .一18.如圖，直角梯形 ABC碑，AB/ CD /DA&,點(diǎn)M N分別在AR CD上，且 MINL AB MC_ CB BC= 2, MB= 4,現(xiàn)將梯形 ABCDn MNW起，使平面 AMNDf平面MNC垂直(如圖).(1)求證：AB/平面DNC3一(2)當(dāng)DN= 2時(shí)，求二面角D- BC- N的大小.解：（1）證明：MB/ NC MEff面 DNC NC面 DNC，MB/平面 DNC同理MA/平面DNC又M閃MB= M,且MA M坪面MAB，平面MAW平面NCDAEBF 面 MABAB/平面 DNC(2)過(guò)N作NH

12、L BC交BC延長(zhǎng)線于H,.平面 AMND平面 MNCBDNLMIN DNL平面 MBCN從而 DHL BC/DHNfe二面角D BG- N的平面角.由 MB= 4, BC= 2, / MCB90 知/ MBe60 ,3 ,3C心4 2cos60 =3,NHk3sin60 =十.由條件知：tanNHa 盥害，-/NHa 30 . NH 319.如圖，已知在四棱錐P ABCDK底面ABC星矩形，網(wǎng)PA，平面ABCDPA= AD= 1, A及2, E、F分別是AB PD的中 贅弋點(diǎn). A E H(1)求證：AF/平面PEC(2)求PS平面ABCDf成的角的正切值；(3)求二面角P- EC- D的正

13、切值.解：(1)證明：如圖，取 PC的中點(diǎn)Q連接 OF OE 則 FO/ DC_ 1且 FO qDCFO/ AE又E是AB的中點(diǎn)，且A及DC . FO AE四邊形AEO屋平行四邊形, . AF/ OE又OE平面PECAF平面PEC .AF/平面 PEC(2)如圖，連接AC. PAL平面 ABCD/ PC幅直線PS平面ABCDf成的角.在 RtAPAC,PAtan / PCA= AC_X _亞=5= 5，即直線PC與平面ABCDf成的角的正切值為-.5如圖，作AMLCE,交CE的延長(zhǎng)線于M連接PM由三垂線定理得 PMLCE/ PM是二面角P EO D的平面角.由4 AM團(tuán)CBET得2A陣節(jié)、ta

14、n / PMA= AMp 版二面角P- EC- D的正切值為 求.20 .如圖所示，四棱錐 P-ABCD勺底面ABC星邊長(zhǎng)為1的菱形，/BCA60 , E是 CD的中點(diǎn)，PAL底面 ABCD PA= 3(1)證明：平面PBEL平面PAB .(2)求二面角A-BE- P的大小. 忙下(1)證明 如圖所示，連接BD由ABC遑菱形且/ BCP60知，ABC星等邊三角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以 BE! CD尸又 AB/ CD所以BE!AB又因?yàn)镻AL平面ABCDBE平面ABCD所以PAL BE而 PAH AB= A因此BE!平面PAB又BE平面PBE所以平面PBEL平面PAB（2）解 由知，BE1平

15、面PAB PB平面PAB所以 PB BE 又 ABL BE所以/ PBA是二面角A BE- P的平面角.PA在 RtPAB中,tan/ PBA=在廠寸3,貝4/ PBA= 60 . AB故二面角A BE-P的大小是60 .21 .已知平面a外兩點(diǎn)A B到平面a的距離分別為1和2, A、B兩點(diǎn)在a內(nèi)的 射影之間距離為求直線AB和平面a所成的角.解（1）如圖（1）,當(dāng)A、B位于平面民同側(cè)時(shí)，由點(diǎn)A、B分別向平面民作垂線，垂足分別為 A、B,貝（JAA=1, BB=2, BA = 3.過(guò)點(diǎn) A作 AHL BB于 H,貝AB和a所成角即為/ HAB一 /2-1 J3,o而12門/8人用一=-，/8人用

16、30 33(2)如圖(2),當(dāng)A B位于平面a異側(cè)時(shí)，經(jīng)A B分別作AA，a于A, BB a于B, ABI a=C,則AB為AB在平面a上的射影，/ BCB或/ ACAJ AB與平面a所成角.BB BC - 不777 = 2, - BC= 2CA,而 BC+ CA= yj3,AA CA皿233BB . tan / BCB=mk= BiC3，/BCB= 60 ,A時(shí) a 所成角為 60綜合(2)可知：AB與平面a所成角為30或6022 .如圖，在三棱錐P AB5, PAL底面ABC / BC90 ,點(diǎn)DX E分別在棱PBPC上，且 DE/ BC(1)求證：BCL平面PAC(2)是否存在點(diǎn)E使得二面角A-DE-