第九章重積分與曲線積分

1、第九章 重積分與曲線積分講授內(nèi)容：§9.1 二重積分的概念與性質(zhì)教學(xué)目的與要求：1、理解曲頂柱體的概念，二重積分的定義和幾何意義2、熟練掌握二重積分的幾何意義和性質(zhì)的應(yīng)用3、了解二重積分的對稱性定理教學(xué)重難點(diǎn)： 重點(diǎn)二重積分的定義及性質(zhì)的應(yīng)用 難點(diǎn)二重積分的對稱性定理的應(yīng)用教學(xué)方法: 講授法教學(xué)建議：1、 借助幾何圖形引入曲頂柱體的概念，同時引入二重積分的定義2、 借助幾何圖形講清二重積分的涵義及二重積分的對稱性的實(shí)質(zhì)學(xué)時：2學(xué)時教學(xué)過程：在一元函數(shù)積分學(xué)中我們知道，定積分是某種確定形式的和的極限，將這種極限的概念推廣到定義在區(qū)域上的多元函數(shù)的情形，便得到了重積分一、曲頂柱體的體積1

2、 定義：設(shè)有一空間立體,它的底是面上的有界區(qū)域,它的側(cè)面是以的邊界曲線為準(zhǔn)線,而母線平行于軸的柱面,它的頂是曲面。當(dāng)時,在上連續(xù)且,以后稱這種立體為曲頂柱體。2求曲頂柱體的體積：(1)用任意一組曲線網(wǎng)將區(qū)域分成個小區(qū)域 ,以這些小區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線,作母線平行于軸的柱面,這些柱面將原來的曲頂柱體分劃成個小曲頂柱體 。（假設(shè)所對應(yīng)的小曲頂柱體為,這里既代表第個小區(qū)域,又表示它的面積值,既代表第個小曲頂柱體,又代表它的體積值。) 從而 (將化整為零)(2) 由于連續(xù),對于同一個小區(qū)域來說,函數(shù)值的變化不大。因此,可以將小曲頂柱體近似地看作小平頂柱體,于是(以不變之高代替變高, 求的近似值)(3)

3、 整個曲頂柱體的體積近似值為(積零為整, 得曲頂柱體體積之近似值)(4) 為得到的精確值,只需讓這個小區(qū)域越來越小,即讓每個小區(qū)域向某點(diǎn)收縮。為此,我們引入?yún)^(qū)域直徑的概念:一個閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點(diǎn)距離的最大者。所謂讓區(qū)域向一點(diǎn)收縮性地變小,意指讓區(qū)域的直徑趨向于零。設(shè)個小區(qū)域直徑中的最大者為, 則(取極限讓近似值向精確值轉(zhuǎn)化)二、二重積分的定義1定義：設(shè)是閉區(qū)域上的有界函數(shù), 將區(qū)域分成n個小區(qū)域, 其中:既表示第個小區(qū)域, 也表示它的面積,表示它的直徑。作乘積 作和式 若極限 存在,則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的二重積分,記作 。即 其中: 稱之為被積函數(shù),稱之為被積表達(dá)式,稱之為面

4、積元素,稱之為積分變量,稱之為積分區(qū)域,稱之為積分和式。2幾個事實(shí)(1)二重積分的存在定理若在閉區(qū)域上連續(xù), 則在上的二重積分存在。聲明:在以后的討論中,我們總假定在閉區(qū)域上的二重積分存在。(2)中的面積元素象征著積分和式中的。由于二重積分的定義中對區(qū)域的劃分是任意的,若用一組平行于坐標(biāo)軸的直線來劃分區(qū)域,那么除了靠近邊界曲線的一些小區(qū)域之外,絕大多數(shù)的小區(qū)域都是矩形,因此,可以將記作(并稱為直角坐標(biāo)系下的面積元素),二重積分也可表示成為 。(3)、幾何意義：若,二重積分表示以為曲頂,以為底的曲頂柱體的體積。若,二重積分表示以為曲頂,以為底的曲頂柱體體積的負(fù)值。若f(x,y)在D上有正,有負(fù),

5、二重積分表示以為曲頂,以為底的曲頂柱體體積的代數(shù)和.三、二重積分的性質(zhì)二重積分與定積分有相類似的性質(zhì)1線性性其中:是常數(shù)。2對區(qū)域的可加性若區(qū)域分為兩個部分區(qū)域,則3若在上,為區(qū)域的面積,則 幾何意義: 高為1的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于柱體的底面積。4若在上,則有不等式特別地,由于，有5估值不等式設(shè)與分別是在閉區(qū)域上最大值和最小值,是的面積,則6二重積分的中值定理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù),是的面積,則在上至少存在一點(diǎn),使得例1估計(jì)二重積分 的值,是圓域。解: 求被積函數(shù) f(x,y)=x2+4y2+9 在區(qū)域上可能的最值是駐點(diǎn),且 ；在邊界上,作業(yè)布置于是有例2設(shè)域是，則（ ）解：關(guān)于軸對稱，關(guān)

6、于為奇函數(shù)，則, 4例3設(shè)是，則、的大小順序如何？解：在上，由此得.作業(yè)：高等數(shù)學(xué)C類練習(xí)冊習(xí)題四十八教學(xué)后記：教學(xué)參考書： 高等數(shù)學(xué) 北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)部編 高等數(shù)學(xué)典型題精解 陳蘭祥編 高等數(shù)學(xué) 黃立宏 廖基定主編 復(fù)旦大學(xué)出版社 高等數(shù)學(xué) 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編 高等數(shù)學(xué) 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編（本科少學(xué)時類型）復(fù)習(xí)思考題：將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，找出它們的相同之處與不同之處. 講授內(nèi)容：§9.2 二重積分的計(jì)算教學(xué)目的與要求：1.區(qū)分區(qū)域的四種類型，掌握它們之間的關(guān)系2.熟練掌握二重積分的兩種計(jì)算方法：直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法3.了解將二重積分化為二次積分的過程4.掌握

7、區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性對二重積分的影響5.掌握二重積分中直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)，并學(xué)會選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來計(jì)算二重積分教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)計(jì)算二重積分的方法和特點(diǎn) 難點(diǎn)利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分及對稱性的應(yīng)用教學(xué)方法:講授法教學(xué)建議： 借助幾何圖形分析二重積分化為二次積分的過程學(xué)時：2學(xué)時教學(xué)過程:利用二重積分的定義來計(jì)算二重積分顯然是不實(shí)際的,二重積分的計(jì)算是通過兩個定積分的計(jì)算(即二次積分)來實(shí)現(xiàn)的。一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分設(shè)f(,)0.1. X型區(qū)域：設(shè)區(qū)域D：1()2(),ab特點(diǎn)：穿過D的內(nèi)部且平行于Y軸的直線與D的邊界相交不多于兩點(diǎn).在,內(nèi)任取一點(diǎn)0,作平行于o的平面=x0,截曲頂

8、柱體得一截面A(x0),此截面是以區(qū)間1(x0),2(x0)為底,曲線=(0, )為曲邊的曲邊梯形,故截面積為：A(x0)=,由截面面積為已知的立體的體積計(jì)算方法知：曲頂柱體的體積為：(,)dd= A()d=此式右端稱為先對后對的二次積分 .具體求二重積分時,可以去掉限制條件：f(,)0.2. Y型區(qū)域：設(shè)區(qū)域D：1(y)2(y),cd. 特點(diǎn)：穿過D的內(nèi)部且平行于X軸的直線與D的邊界相交不多于兩點(diǎn).同理有：f(,)dd= 3. 既非X型,又非Y型區(qū)域：此時將D劃分成若干個小區(qū)域,使每個小區(qū)域或者為X型,或者為Y型區(qū)域,再利用區(qū)域的可加性分別計(jì)算. 4. 既是X型,又是Y型區(qū)域：則有f(,)d

9、d= =注：在上述討論中,假定了，利用二重積分的幾何意義,導(dǎo)出了二重積分的計(jì)算公式(1)。但實(shí)際上,公式(1)并不受此條件限制,對一般的(在上連續(xù)),公式(1)總是成立的。小結(jié)I：二重積分化二次積分時應(yīng)注意的問題前面所畫的兩類積分區(qū)域的形狀具有一個共同點(diǎn):對于X型(或Y型)區(qū)域, 用平行于軸(軸 )的直線穿過區(qū)域內(nèi)部,直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩點(diǎn)。如果積分區(qū)域不滿足這一條件時,可對區(qū)域進(jìn)行剖分,化歸為X型(或Y型)區(qū)域的并集。,假如積分區(qū)域?yàn)閄-型,如下圖,在a,b內(nèi)任取一點(diǎn),積分區(qū)域上以為橫坐標(biāo)的點(diǎn)在一直線段上,此直線段平行于軸,該直線段上點(diǎn)的縱坐標(biāo)從1(x)變到2(x), 1(x)和2(

10、x)就是公式中將看作常數(shù)而對積分時的下限和上限,對積分時,由于在a,b內(nèi)是任取的,因此的積分區(qū)間為a,b.例1. 計(jì)算：,其中由直線=1, =1, = 所圍成. 圖(a)圖(b)解：如圖(a), 為X-型區(qū)域：在-1,1內(nèi)任取點(diǎn),則在以為橫坐標(biāo)的直線段上的點(diǎn),其縱坐標(biāo)從= 變到=1,因此有：=說明：若把看作Y-型區(qū)域，如圖(b)：則有此時計(jì)算較繁瑣.因此選擇適當(dāng)?shù)膮^(qū)域類型很重要.例2求兩個底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的體積.解： 設(shè)這兩個圓柱面的方程為：2+2=R2, 2+2=R2,.由對稱性可知,只須計(jì)算立體在第一卦限的體積,然后乘以8即得. 此時, =(,)|0 ,0R,于是,

11、所求體積為：V=8dd=8=例3交換下列二次積分的積分次序：解：積分區(qū)域?yàn)椋?2，2. 如左圖. 若視為Y-型區(qū)域，如右圖，則有：=二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分按照二重積分的定義有，現(xiàn)研究這一和式極限在極坐標(biāo)中的形式。1變換公式設(shè)從極點(diǎn)O出發(fā)且穿過區(qū)域D的內(nèi)部的射線與D的邊界曲線相交不多于兩點(diǎn).用一族同心圓：=常數(shù);一族射線=常數(shù)劃分D,則面積元素：d=dd.于是由x=cos,y=sin得:f(x,y)d=f(cos,sin)dd.i =(+)2i-2i=(2+)2i=+(+)i=i這里, =任取一點(diǎn)(,),設(shè)此點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(i,i),由i=cos,i=sin知：(i,i) i=(cos,si

12、n)i即：(x,y)d=(cos, sin) 由于(x,y)d也常記作(x,y)dxdy, 因此,上述變換公式也可以寫成更富有啟發(fā)性的形式 (x,y)dxdy=(cos, sin) (1)(1)式稱之為二重積分由直角坐標(biāo)變量變換成極坐標(biāo)變量的變換公式,其中, 就是極坐標(biāo)中的面積元素。2 區(qū)域D與極點(diǎn)的位置關(guān)系1） 設(shè)D：1()2(),.則(cos,sin) =(cos,sin);2） 設(shè)D：0(),.則(cos,sin)= (cos,sin); 3） 設(shè)D：0(),02.則(cos,sin)= (cos,sin);由上面的討論不難發(fā)現(xiàn), 將二重積分化為極坐標(biāo)形式進(jìn)行計(jì)算, 其關(guān)鍵之處在于: 將

13、積分區(qū)域用極坐標(biāo)變量表示成如下形式，1()2() 下面通過例子來介紹如何將區(qū)域用極坐標(biāo)變量來表示。例4計(jì)算:其中D:x2+y2a2. 解：D：0a,02.=注：利用直角坐標(biāo)計(jì)算不出來.例6化二次積分為極坐標(biāo)系下的二次積分. 解：由于D：xyx,0x2所以：=小結(jié)II：1用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分的方法：(1)先畫出區(qū)域的簡圖, 據(jù)圖確定極角的最大變化范圍；(2)再過內(nèi)任一點(diǎn)作射線穿過區(qū)域,與區(qū)域的邊界有兩交點(diǎn),將它們用極坐標(biāo)表示,這樣就得到了極徑的變化范圍。2使用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分的原則(1)、積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標(biāo)方程表示( 含圓弧,直線段 )；(2)、被積函數(shù)表示式用極坐標(biāo)變量表

14、示較簡單( 含, 為實(shí)數(shù) )。作業(yè): 高等數(shù)學(xué)C類練習(xí)冊習(xí)題四十九、五十教學(xué)后記：教學(xué)參考書： 高等數(shù)學(xué) 北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)部編 高等數(shù)學(xué)典型題精解 陳蘭祥編 高等數(shù)學(xué) 黃立宏 廖基定主編 復(fù)旦大學(xué)出版社 高等數(shù)學(xué) 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編 高等數(shù)學(xué) 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編（本科少學(xué)時類型）思考題：1.證明：1) =(< ，ÎC,)2)2.計(jì)算：I=(|+|)dd，其中D為：|+|1.3.計(jì)算：,其中D：-11,02.講授內(nèi)容: §9.3 二重積分的應(yīng)用教學(xué)目的與要求：1.掌握曲面面積的計(jì)算方法2.理解公式的含義，幫助記憶公式3.學(xué)會應(yīng)用二重積分計(jì)算質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣性教學(xué)重難

15、點(diǎn)： 重點(diǎn)利用二重積分計(jì)算曲面面積 難點(diǎn)二重積分的物理應(yīng)用教學(xué)方法:講授法教學(xué)建議： 利用多媒體進(jìn)行圖形分析學(xué)時：2學(xué)時教學(xué)過程:一、曲面的面積x(x,y),fy(此閉區(qū)域的面積也記作d).在d的邊界為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面,此柱面在曲面S上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面dA.由于d很小,從而可以用切平面上的小片平面dA代替曲面上的小片曲面.設(shè)點(diǎn)M在S上的法線(指向向上)與z軸所成的角為,則有:dA =由于cos=所以dA=d.此為曲面S的面積元素.于是曲面S的面積為:A =d或A =dxdy.例1. 求半徑為a的球的表面積.解: 取上半球面方程為z=,則其在xoy面上的投影區(qū)域

16、為:D=(x,y)|x2+y2a2.由=得=于是上半球面的面積為:S=dxdy.此為反常二重積分.先取區(qū)域D1=(x,y)|x2+y2b2,0<b<a為積分區(qū)域,再令baS1=dxdy=dd a= 2a=2a(a-)S=S1=2a2.所求面積為A=4a2.二、平面薄片的質(zhì)心設(shè)在xoy面上有n個質(zhì)點(diǎn),分別位于(x1,y1), (x2,y2),(xn,yn)處, 質(zhì)量分別為m1,m2,mn,則此質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)為:=;=其中M=為質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，My=, Mx=分別為質(zhì)點(diǎn)系對x軸和y軸的靜矩.設(shè)有平面薄片,占有閉區(qū)域D,在(x,y)點(diǎn)處具有面密度(x,y).設(shè)(x,y)在D上連續(xù).現(xiàn)求

17、其質(zhì)心坐標(biāo).在D內(nèi)取一小閉區(qū)域d,(同時表示其面積),當(dāng)d的直徑很小時,其質(zhì)量近似為:(x,y)d.靜矩元素分別為:dMy= x(x,y)d, dMx= y(x,y)d.于是My=x(x,y)d;Mx=y(x,y)d=;=其中,M=(x,y)d.為平面薄片的質(zhì)量.當(dāng)(x,y)為常數(shù)時,平面薄片的質(zhì)心成為平面圖形的形心.于是形心公式為:=xd;=yd;其中A為D的面積.例2. 求位于兩圓=2sin和= 4sin之間的均勻薄片的質(zhì)心.解:由于閉區(qū)域D關(guān)于y軸對稱,因此=0.yd=2sindd=7.=7/3=7/3.所求質(zhì)心為(0,7/3)三、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)在xoy面上有n個質(zhì)點(diǎn),分別位于(x

18、1,y1), (x2,y2),(xn,yn1,m2,mn,則此質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動慣量為:Ix=;Iy=設(shè)有平面薄片,占有閉區(qū)域D,在(x,y)點(diǎn)處具有面密度(x,y).設(shè)(x,y)在D上連續(xù).現(xiàn)求其對x軸和對y軸的轉(zhuǎn)動慣量：在D內(nèi)取一小閉區(qū)域d,(同時表示其面積),當(dāng)d的直徑很小時,其質(zhì)量近似為:(x,y)d.對x軸和y軸的轉(zhuǎn)動慣量元素分別為:dIx=y2(x,y)d, dIy=x2(x,y)d.于是平面薄片對x軸和y軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為:Ix=y2(x,y)d;Iy=x2(x,y)d例3. 求半徑為a的均勻半圓薄片(面密度為常數(shù))對于其直徑邊的轉(zhuǎn)動慣量.解: 建立圖示坐標(biāo)系.則D=(x,y)|x2+

19、y2a2,y0.所求轉(zhuǎn)動慣量為D對x軸的轉(zhuǎn)動慣量: I x = y2d=3sin2dd= =a4/8=Ma2/4其中M=a2/2為半圓薄片的質(zhì)量.作業(yè): 復(fù)習(xí)這節(jié)的知識點(diǎn),對以往做錯的題進(jìn)行復(fù)習(xí)教學(xué)后記：教學(xué)參考書： 高等數(shù)學(xué) 北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)部編 高等數(shù)學(xué)典型題精解 陳蘭祥編 高等數(shù)學(xué) 黃立宏 廖基定主編 復(fù)旦大學(xué)出版社 高等數(shù)學(xué) 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編 高等數(shù)學(xué) 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編（本科少學(xué)時類型）復(fù)習(xí)思考題:已知均勻矩形板（面密度為常數(shù)）的長和寬分別為和，計(jì)算此矩形板對于通過其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動慣量.講授內(nèi)容: 第九章習(xí)題課教學(xué)目的與要求：1. 復(fù)習(xí)鞏固二重積分的概念、

20、性質(zhì)、以及幾何意義. 2. 熟練掌握二重積分的兩種計(jì)算方法：直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法3. 掌握區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性對二重積分的影響4. 熟練掌握二重積分的幾何應(yīng)用與物理應(yīng)用. 教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)二重積分的兩種計(jì)算方法難點(diǎn)積分限的確定以及計(jì)算二重積分的多種技巧教學(xué)方法:講授法教學(xué)建議： 重點(diǎn)講授積分限的確定以及計(jì)算二重積分的多種技巧學(xué)時：2學(xué)時教學(xué)過程:一、 主要內(nèi)容、二重積分的性質(zhì)、二重積分的計(jì)算（）直角坐標(biāo)系下X型(,)dd= A()d=Y型f(,)dd= （）極坐標(biāo)系下D: ，1()2() (cos,sin) =(cos,sin)5、二重積分的應(yīng)用(1) 體積：(2) 曲面積設(shè)S曲面的方程為：曲面S的面積為：(3) 重心 設(shè)有一平面薄