第3講空間計(jì)算

1、實(shí)用文案第三講空間計(jì)算教學(xué)目標(biāo)1、異面直線之間的夾角；2、線面之間的夾角；3、線面之間的距離；4、面面之間的夾角；5、面面之間的距離；教學(xué)重點(diǎn)異面直線之間的夾角的求法。教學(xué)難點(diǎn)等價(jià)問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化、以及輔助線作法。教學(xué)方法建議1、師生的共同討論與講授法相結(jié)合；2、讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程不斷歸納整理所學(xué)知識(shí)，通過(guò)認(rèn)識(shí)空間圖形，培養(yǎng)和 發(fā)展學(xué)生的幾何觀察能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力、空間想象能 力與一定的推理論證能力；3、通過(guò)身邊諸多實(shí)物，引導(dǎo)學(xué)生思考、舉例和相互交流得出線、面位置關(guān) 系的概念；4、采用課件與實(shí)物演示的方法，加深學(xué)生的理解，讓學(xué)生養(yǎng)成利用現(xiàn)有的 物品如筆，書(shū)等，對(duì)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證的習(xí)慣；5

2、、進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生空間問(wèn)題平面化的思想。選材程度及數(shù)量課堂精講例題課堂訓(xùn)練題課后作業(yè)A類(lèi)(3 )道(2 )道(7 )道B類(lèi)(4 )道(2 )道(10)道C類(lèi)(3 )道(2 )道(8 )道一、知識(shí)梳理要點(diǎn)一、異面直線間的夾角1、 角的定義：已知兩條異面直線a,b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn) 0作直線a a,b /b，把a(bǔ) ,b所成的銳角（或直角）叫異面直線a,b所成的角（或夾角）；2、 作法：a,b 所成的角的大小與點(diǎn)0的選擇無(wú)關(guān)，為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)0通常取在異面直線的一條上；3、夾角范圍：異面直線所成的角的范圍為 （0,90 ;如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直，記作a_b ;4、求解步驟：求兩

3、條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步：選點(diǎn)t平移t定角t計(jì)算。實(shí)用文案要點(diǎn)二、線面之間的夾角1、角的定義：已知直線 a與平面a相交，設(shè) a在平面內(nèi)的射影為b，那么與之間的夾角， 稱之為線面角；2、 規(guī)定：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，就說(shuō)線面角為90°如果一條直線與平面平行或在這個(gè)平面內(nèi)，就說(shuō)線面角為0 ° ;3、實(shí)質(zhì)：線面角 t線線角；4、范圍：0江I1，25、作法：找到斜線，再找射影，那么斜線與射影的夾角，就是線面角；6、圖形表示為：要點(diǎn)三、線面之間的距離1、定義：如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條線上的任意點(diǎn)到這個(gè)平面的距離均相 等，這個(gè)距離也就是這條直線與其在平面上

4、的射影之間的距離；2、 問(wèn)題轉(zhuǎn)化：線面距離 t線線距離 t點(diǎn)線距離；3、作法：實(shí)用文案要點(diǎn)四、面面之間的夾角1、疋義：右兩個(gè)平面 A B相交于直線l ,在直線l上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P分別在兩個(gè)平面內(nèi)引直線l的兩條垂線分別是 丨1、l2,則1 1與12的夾角就是平面A B的平面角；2、范圍：0,二13、求法：疋義法；一垂線疋理法；4、圖形表示為：B要點(diǎn)五、面面之間的距離1、 定義：如果兩個(gè)平面 A B平行，那么有 A上的任意一點(diǎn) P到平面B的距離就是 A B之 間的距離；2、問(wèn)題轉(zhuǎn)化：面面距離 t線面距離 t線線距離 t 點(diǎn)線距離；3、圖示表示為：、例題精講【例題1】、【題目】已知異面直線50&#

5、176;, P為空間一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)是30°的直線有且僅有（）A. 1 條B. 2a和b所成的角為P且與a、b所成角都條實(shí)用文案C. 3條D. 4條【難度分級(jí)】：A類(lèi)【選題意圖】(對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn))：異面直線的夾角【解題思路】：仔細(xì)閱讀，展開(kāi)空間想象【解法與答案】：B【解析】：過(guò)P作a' / a, b V b,若P a,則取a為a'，若P b,則取b為b' 這 時(shí)a , b 相交于P點(diǎn)，它們的兩組對(duì)頂角分別為50°和130°。記a : b所確定的平面為B,那么在平面B內(nèi)，不存在與a , b 都成30°的直線.過(guò)點(diǎn)P與a ', b都

6、成30°角的直線必在平面B外，這直線在平面B的射影是a , b所成對(duì)頂角的平分線其中射影是 50°對(duì)頂角平分線的直線有兩條 I和，射影是 130°對(duì)頂角平分線的直線不存在故答案選 B。【例題2】、【題目】：如圖所示，正方體 ABCABGD , E、F分別是AD AA的中點(diǎn)(1) 求直線AB和CC所成的角的大小；(2) 求直線AB和EF所成的角的大小。匚A【難度分級(jí)】：B類(lèi)【選題意圖】(對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn))：異面直線的夾角【解題思路】： 求解異面直線所成角時(shí)，需緊扣概念，結(jié)合平移的思想，發(fā)揮空間想 象力，把兩異面直線成角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與兩相交直線所成角，即將異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面

7、問(wèn)題，運(yùn)用化歸思想將難化易?！窘夥ㄅc答案】：(1)如圖，連結(jié)DC ,DC/ AB, DC和CC所成的銳角/ CCD就是AB和CC所成的角。/ / CGD=45° AB和CC所成的角是45 °實(shí)用文案（2）如圖，連結(jié)DA、AiC, EF/ AD, AB / DC, / ADC是直線AB和EF所成的角 ADC是等邊三角形， / A DC=60o，即直線 AB和EF所成的角是60o .【解析】：解題中常借助正方體等幾何模型本身的性質(zhì)，依照選點(diǎn)、平移、定角、計(jì) 算的步驟，逐步尋找出解答思路。【例題3】、【題目】： 正方體ABCD -A'B'C'D'中

8、，AB的中點(diǎn)為 M DD'的中點(diǎn)為 N,異面直 線B'M與CN所成的角是（）.A. 30° B . 90°C . 45°D . 60°【難度分級(jí)】：A類(lèi)【選題意圖】（對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)）：異面直線的夾角【解題思路】：仔細(xì)閱讀，平移成一面【解法與答案】：B【解析】：通過(guò)作平行線，使異面直線平移到一個(gè)平面內(nèi)，然后利用解三角形的方 法。這種題型比較多見(jiàn)的是平移其中一條與另一條共面，或是同時(shí)平移兩條向一個(gè) 平面內(nèi)構(gòu)成三角形。【例題4】、【題目】：設(shè)異面直線a與b所成角為50°，0為空間一定點(diǎn)，試討論，過(guò)點(diǎn)0與a、b所成的角都是0 （0-90 ）

9、的直線l有且僅有幾條？【難度分級(jí)】：C類(lèi)【選題意圖】（對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)）：異面直線的夾角【解題思路】：仔細(xì)閱讀，畫(huà)空間圖形【解法與答案】：過(guò)點(diǎn)O作a1/ a， b1 / b,則相交直線 a” b確定一平面a . a與b1夾角為50 °或 130°，設(shè)直線OA與 a、b均為0角。故當(dāng)0 <25°時(shí)，直線l不存在；當(dāng)0=25°時(shí)，直線I有且僅有1條；當(dāng)25° <0<65°時(shí)，直線l有且僅有2條；當(dāng)0 =65°時(shí)，直線l有且僅有3條；當(dāng)65° <0<90°時(shí)，直線l有且僅有4條；當(dāng)0 =

10、90°時(shí)，直線l有且僅有1條?！窘馕觥浚合橐?jiàn)【解法與答案】?！纠}5】、【題目】：如圖，已知P是平行四邊形 ABCD在平面外一點(diǎn)， M N分別是AB PC 的中點(diǎn)。（1）求證：MNT平面PAD（2）若MN =BC =4 , PA =4. 3，求異面直線 PA與MN所成的角的大小。C【難度分級(jí)】：C類(lèi)【選題意圖】（對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)）：異面直線的夾角【解題思路】：仔細(xì)閱讀，畫(huà)空間圖形【解法與答案】：（1 ）取PD的中點(diǎn)H連接AH由N是PC的中點(diǎn) nh/1dc-2由M是AB的中點(diǎn)， NH/AM即AMN為平行四邊形。 MN /AH由 MN 二平面 PAD,AH 二平面 PAD , MN /平面 P

11、AD（2）連接AC并取其中點(diǎn)為 Q連接OM ON11 0M/丄 BC, ON/丄 PA22所以ZONM就是異面直線 PA與 MN所成的角，且 M0_ NO由 MN = BC =4 , PA = 4/3 ,得 OM2, ON= 2.3所以 ONM -30°，即異面直線 PA與 MN成 30°的角?！窘馕觥浚阂阎悬c(diǎn)，牢牢抓住中位線得到線線平行，通過(guò)線線平行轉(zhuǎn)化為線面平 行.求兩條異面直線所成角，方法的關(guān)鍵也是平移其中一條或者兩條直線，得到相 交的線線角，通過(guò)解三角形而得。【例題6】、【題目】：直四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD正方形，邊長(zhǎng)為 2,側(cè)棱AA=

12、3 , M N分別為AB、AD的中點(diǎn)，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)。（1）求證：平面 AMN平面EFDB（2）求平面 AMNI平面EFDB勺距離。【難度分級(jí)】：B類(lèi)【選題意圖】(對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn))1面面距離【解題思路】：仔細(xì)閱讀，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用 【解法與答案】：(1)連接AG ,分別交MN EF于P、Q連接AC交BD于0,連接AR OQ 由已知可得MN / EF , MN / 平面 EFDB由已知可得，PQ / A0且PQ =A0AP / 0QAP/ 平面 EFDB平面AMN平面EFDBA H A PHH '由 AP = AA2AP2 = 32( 42.2238)盲,根據(jù)V _AMN

13、 =Va_aMN , 貝V1亙2-2 ah 32的距離為6蘭19 。解得AH3 19右.所以，平面AMN與平面EFDB(2)過(guò)A作平面A嘰平面EFDB勺垂線，垂足為H H，易得陽(yáng)嚴(yán)話【解析】第( 1)第( 2)“線線平行f線面平行f面面平行”。問(wèn)證面面平行，轉(zhuǎn)化途徑為問(wèn)求面面距離，巧妙將中間兩個(gè)平面的距離，轉(zhuǎn)化為平面另一側(cè)某點(diǎn)到平面距離的比例，然后利用等體積法求距離等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想在本題中十分突出，我們可以用同樣的轉(zhuǎn)化思維，將此例中的兩個(gè)平面的距離，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到平面ABC的距離?！纠}7】、【題目】：已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDABCD中，E是AB的中點(diǎn)，求直線 AE 與平面ABGD所成的角的

14、正弦值。Cl【難度分級(jí)】：B類(lèi)【選題意圖】（對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)）：線面夾角【解題思路】：仔細(xì)閱讀，畫(huà)空間圖形【解法與答案】：取CD的中點(diǎn)F,連接EF交平面ABC1D1于0,連AO 由已知正方體，易知 E0 _平面ABC1 D1，所以.EA0為所求。在 RtEOA 中，EO=1EF=AD 二湮，AE =J（1）2+12 =逅，2 2 2 2 2。嚨斗所以直線AE與平面ABCi Di所成的角的正弦值為 。5【解析】：線面夾角的一般思路應(yīng)該是先作角。通常是找出這個(gè)面的法線，然后構(gòu)筑直角三角形，再通過(guò)三角函數(shù)進(jìn)一步求解?！纠}8】、【題目】：如圖所示，設(shè)平面a/平面B,AB CD是兩異面直線，且 A、Ca,B

15、 DB, ACL BD AC=6, BD=8. M是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) M作一個(gè)平面 畀，交CD與N,且/:，求線段MN的長(zhǎng)?！倦y度分級(jí)】：C類(lèi)【選題意圖】（對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)）：異面直線的夾角【解題思路】：仔細(xì)閱讀，畫(huà)空間圖形【解法與答案】：連接BC與平面V交于點(diǎn)E,分別連接 ME NE易知平面 MEN/平面a,平面 MEN/平面B。由于平面 ABC平面BDC分別與三個(gè)平行平面相交，所以，ME/ AC EN / BD M是AB的中點(diǎn) E、N分別是BC CD的中點(diǎn)11二 ME 二 AC =3 , EN 二 BD =422又 I ACLBD MEL EN 所以 MN = 3_42 =5?！窘馕觥浚簩⒖臻g幾

16、何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題是解決立體幾何問(wèn)題的最終歸宿。 本題很好的借助了中位線平行原理，既利用了已學(xué)過(guò)的平面幾何的知識(shí)，又巧妙的 構(gòu)筑了共面的條件?！纠}9】、【題目】：正三棱柱AB（ A B C中，AA=2AB, D E分別是側(cè)棱 BB、CC上的點(diǎn), 且EOBC=2BD過(guò)A、D E作一截面。求：（1 ）截面與底面所成的角；（2）截面將三棱柱分成兩部分的體積之比。CiEC【難度分級(jí)】：B類(lèi)【選題意圖】（對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)）：面面夾角【解題思路】：仔細(xì)閱讀，畫(huà)空間圖形【解法與答案】：（1）延長(zhǎng)ED交CB延長(zhǎng)線于F,1：DBEC,BD EC,. FB 二 BC 二 AB.又.ABF =120 2 /BAF

17、BFA =30 ，/FAC =90 AA - AF, AC _ AF,角在 Rt AEC中,(2)設(shè) AB=a,AF _ AE,EAC為截面與底面所成二面角的平面EOAC 故得/ EAC45°則AA,= 2a, BD1 a, EC 二 a, V2A -BCEDVA1B1C1 SBCS ABC AAa 2a =2 a ,VADE -A1B1C13 3a ,83 3 3VADE 1B1C1=3SA -BCDE【解析】：截面問(wèn)題的研究，需注意結(jié)合截面的性質(zhì)如何作出截面，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，然后把截面的看成一個(gè)平面圖形求二面角時(shí)，抓住二面角的平面角定義（兩線垂棱），找出其平面角，解直角三角形。

18、【例題10】、【難度分級(jí)】：C類(lèi)【選題意圖】（對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)）線面夾角、面面夾角【題目】：直線a、b、c共點(diǎn)P,且兩兩成60°角，求c與a、b所確定的平面a所成角的余弦值?！窘忸}思路】：仔細(xì)閱讀，畫(huà)空間圖形【解法與答案】：解：在c上截PQ=1,b =P確定平面a.過(guò)Q作QHLa于H,過(guò)H作HAL a于A, HBL b 于 B,連 QA QBHB _ PB占13= PB_面QBH 二 PB _QB二 PB 二,QB .QH _PB22易得 QPB2A QPA QH&A QHA HB=HA二 PH 為/ APB的角平分線.3二.HPA =30 = PH .3J3V3COS. QPH

19、p.即c與a、b所確定的平面a所成角的余弦值為=三、課堂練習(xí)度?！揪毩?xí)1】、如圖所示，正方體 ABCD ABCP中，直線AB與BG所成角為【解答】60【練習(xí)2】、已知空間四邊形 ABCD各邊長(zhǎng)與對(duì)角線都相等，求 AB和CD所成的角的大小【解答】PM PN,由三角形的中位線性質(zhì)知PN/分別取AC AD BC的中點(diǎn)P、M、N 連接AB PM/ CD于是/ MPN就是異面直線 AB和CD成的角，如圖所示。連結(jié) MN DN 設(shè) AB=2,. PM=PN=1.而 AN=DN=V3，貝U MNL AD AM=1,得 MN2 , MN=MP+NP, / MPN90°,即異面直線 AB CD成 90

20、° 角。【練習(xí)3】、如圖所示，ABCD是矩形，PA_平面ABCD , PA二AD二a, AB =”2a , E是PE bf i線段PD上的點(diǎn)，F(xiàn)是線段 AB上的點(diǎn)，且 竺二=丄.求直線EF與平面ABCD所成角ED FA 2的正弦值【解答】=弓,FM = , AM2 AF2；PA_平面ABCD ,過(guò)E作EM _AD于M ,則EM _平面ABCD ,連FM ,則乙EFM 為直線EF與平面ABCD所成的角。EM在 RfFEM 中，tan. EFM 二宜=-./. sin. EFM 二3 .FM 3132【練習(xí)4】、四面體ABCD中，AC=BD,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn)，且EF 2 AC

21、 ,2 ZBDC =90 ,求證：BD _ 平面 ACD?！窘獯稹咳D的中點(diǎn)G ,連結(jié)EG,FG。 E,F分別為AD,BC的中點(diǎn) EG /-AC , FG 仏 BD2 2又 AC =BD,1 FG = EG = AC2 ，在-EFG 中，EG2 FG2 h- AC2 =EF2 ,2 EG _ FG , BD _ AC，又.BDC =90，即 BD _ CD , AC 仃 CD =CBD _平面ACD【練習(xí)5】、給出下列說(shuō)法： 直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則此直線與平面平行； 夾在兩個(gè)平行平面間的兩條異面線段的中點(diǎn)連線平行于這兩個(gè)平面； 直線ml平面a,直線 n丄m則n/a； a、b是異面直

22、線，則存在唯一的平面a,使它與a、b都平行且與a、b距離相等。其中正確的兩個(gè)說(shuō)法是().A. B.C. D.【解答】D。【練習(xí)6】、如圖所示，在三棱錐 PABC中，PA丄BC,PB丄AC , PO丄平面ABC垂足 為0。求證：O為底面 ABC的垂心。【解答】連接OA OB OC PO _ 平面 ABC PO _ BC, PO _ AC 又/ PA _ BC, PB _ AC ,- BC _平面 PAO, AC _平面 PBO，得 AO _BC, BO _ AC , O為底面 ABC的垂心。四、課后自我檢測(cè)題1、A是厶BC叩面外的一點(diǎn)， E F分別是BC AD的中點(diǎn),(1) 求證：直線 EF與B

23、D是異面直線；(2) 若ACL BD AG=BD求EF與BD所成的角2、 已知平面:/平面一：，P是:外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線m與:分別交于點(diǎn)A,C，過(guò)點(diǎn)P的直線n與分別交于點(diǎn)B,D，且PA=6，AC =9，PD=8，則BD的長(zhǎng)為（）A. 16 B.24或 24 C. 14 D.2053、 已知Rt ABC，斜邊BC/平面：，Ad AB AC分別與平面:-成30°和45°的角， 已知BC=6,求BC到平面:-的距離。4、在正方形SGG2G3中，E F分別是GG、GG的中點(diǎn)，現(xiàn)沿SE、 成一個(gè)四面體，使 G、G、G重合為點(diǎn)G則有（A. SGL面 EFG B.EGL面 SEFSF、

24、EF把這個(gè)正方形折C.)GFL面 SEF D.SGL面 SEF5、把正方形 ABCD&對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A、B、C D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成的角的大小為（）A. 90°B. 60 °C. 45 °D.30°6、如圖所示，在正方體 ABCD ABGD中，E是CC1的中點(diǎn)。求證：平面ABD _平面BED。AB7、過(guò)正方形 ABCD勺頂點(diǎn)A作線段AP丄平面ABCD且APAB則平面 ABP與平面CDP所成的二面角的度數(shù)是（）.A . 30°B . 45 °C . 60°D . 90°

25、;8、在三棱錐 A- BCD中，如果 ADL BC BDL AD BCD是銳角三角形，那么（）個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線和這 個(gè)平面垂直；過(guò)空間一定點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直；垂直同一平面的兩條 直線互相平行；經(jīng)過(guò)一個(gè)平面的垂線的平面與這個(gè)平面垂直其中正確的說(shuō)法個(gè)數(shù)是( )實(shí)用文案A.平面ABDL平面ADCB.C.平面BCDL平面ADCD.9、在直二面角： _AB _ 1棱AB上取一點(diǎn)P,線PG PD則/ CPD勺大小是()A . 45°B. 60°10、下面四個(gè)說(shuō)法： 如果一條直線垂直于-平面ABDL平面ABC平面ABCL平面BCD過(guò)P分別在:平面內(nèi)作與棱成

26、45°角的斜C. 120° D . 60° 或 120 °A.1 B. 2 C. 3 D. 411、E是正方形 ABC的AB邊中點(diǎn)，將 ADEWA BCE沿 DE CE向上折起，使得 A、B重合為點(diǎn)P,那么二面角 D- PE-C的大小為 。12、 空間四邊形 ABCDK AB=BC Ct=DA E是AC的中點(diǎn)，則平面 BDEW平面ABC勺位置關(guān)系疋.13、如圖，正三角形 ABC勺邊長(zhǎng)為3,過(guò)其中心 G作 BC邊的平行線，分別交 AB AC于 B,、C 將AB.C, 沿BG折起到 "B! G的位置，使點(diǎn) A在平面BB! G C 上的射影恰是線段

27、BC的中點(diǎn)M試求二面角A BG M的大小.14、如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，側(cè)棱 PA垂直于底面，E、F分別是AB PC的中點(diǎn)(1) 求證：CDL PD(2) 求證：EF/平面PAD(3) 當(dāng)平面PCD與平面ABCD多大角時(shí)，直線 EF丄平面PCD15、把直角三角板 ABC勺直角邊BC放置于桌面，另一條直角邊 AC與桌面所在的平面:.垂 直，a是：.內(nèi)一條直線，若斜邊 AB與a垂直，則BC是否與a垂直？16、如圖所示，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，PAL平面ABC。(1) 求證：平面PACL平面PBC(2) 若D也是圓周上一點(diǎn)，且與 C分居直徑AB的兩側(cè)，試寫(xiě)出圖

28、中所有互相垂直的 各對(duì)平面17、三棱錐P -ABC中，PA =PB =PC , P0丄平面ABC垂足為 Q 求證：0為底面 ABC 的外心.P0丄平面ABC垂足為 0,18、三棱錐P ABC中，三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角相等, 求證：0為底面 ABC勺內(nèi)心。19、如圖所示，在正方體 ABCDAiBCD中.求證：(1) BD丄平面AQB；(2) Bi D與平面ACB的交點(diǎn)設(shè)為 0,則點(diǎn)0是 ACB的垂心.20、如圖所示，已知 A B CABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn).(1 )證明：AB/平面DBC(2)假設(shè)AB丄BC, BC= 2,求線段 AB在側(cè)面B BCC上的射影長(zhǎng)21、在斜三棱柱 ABCA

29、BC中，底面是等腰三角形，AB=AC側(cè)面BBCC丄底面ABC(1) 若D是BC的中點(diǎn)，求證： ADL CC;(2) 過(guò)側(cè)面 BBCC的對(duì)角線 BC的平面交側(cè)棱于 M若AM=MA,求證：截面 MBCL側(cè) 面 BBCC;(3) 如果截面 MBCL平面BBCC，那么AMMA嗎？請(qǐng)你敘述判斷理由.AC上運(yùn)動(dòng)，且 AM=AN求MN勺最小值22、如圖所示，在棱長(zhǎng)為 1的正方體ABCD - ABQQ!中,23、如圖所示，在正方體 ABCD - ABQP中，E是CG的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC, BD的交點(diǎn)。求證：AF _平面BED .24、如圖所示，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，M N分別為AB、AD的中點(diǎn)，

30、E、F分別是BC、CD的中點(diǎn).(1) 求證：E、F、B D共面；(2) 求證：平面AMN平面EFDBA25、已知正三棱錐P -ABC的體積為72.3，側(cè)面與底面所成的二面角的大小為60 。(1) 證明：PA _BC ；(2) 求底面中心0到側(cè)面的距離五、自我檢測(cè)題答案1、 解：(1 )證明：用反證法.設(shè)EF與BD不是異面直線，則 EF與BD共面，從而 DF與BE 共面，即AD與 BC共面，所以 A B、C、D在同一平面內(nèi)，這與 A是厶BCD平面外的一點(diǎn)相 矛盾故直線EF與BD是異面直線.(2)取CD的中點(diǎn) G 連結(jié)EG FG貝U EG/ BD所以相交直線 EF與EG所成的銳角或 直角即為異面直

31、線 EF與BD所成的角.在Rt EGF中，求得/ FEG45°，即異面直線 EF與BD所成的角為45° .2、B.3、解：作BB二于Bi , CG .丨驀于Ci，則由BC /.，得BBi -CCi，且CCi就是BC到平面:的距離，設(shè) CC1 =x，連結(jié) AB1, AC1，則.BABi =30 CACi =45、',AC = . 2x, AB =2x ,在 Rt. ABC 中，BC =6,. BAC =90；,二 36 =2x2 4x2 x - .6，即 BC到平面：的 距離為 6 .4、A。5、C6、 證明：連接 AC 交 BD于 F,連接 AF , EF, A1E

32、 , AG .由正方體ABCD ABGD，易得AD =AB , ED=EB , F是BD的中點(diǎn)， 所以AF丄BD, EF丄BD，得到AFE是二面角 A BD E的平面角.設(shè)正方體 ABCD ABGD的棱長(zhǎng)為2,貝UAF2 二AA2 AF2 =22 ( 2)2 =6 , EF2 二CE2 CF 2 =12 (. 2)2 =3 ,AE2 二ACi2 CE2 =(2 2)2 12 =9. AF十EF =AE，即AF丄EF，則乂 AFE=90°,所以平面ABD丄平面BED .7、B。8、Co9、Do10、Co11、60°o12、垂直13、解：連接 AG GMI AG/ G是正 AB

33、C的中心，M是BC的中點(diǎn)， A、G M三點(diǎn)共線，且 AGGM2:1 , AML BCT BG / BC , AM _BQ,即 AG B&, GM _BG,- AGM為二面角A, _BG M的的平面角 M是點(diǎn)A在平面BBQQ上的射影，即 A,M _平面BBQC ,在Rt.'AMG中，由GM 1cosMAGM,得 ZA1GM =60 .即二面角 A - B.C.AG 2M的大小是60 ° .14、解：(1)證明：T又 CDL AD CDL平面 PAD CDL PD(2) 證明：取 CD中點(diǎn)G連EG FG t E、F分別是AB PC的中點(diǎn)， EG / PD 平面EFG/平面

34、PAD故EF/平面PAD(3) 當(dāng)平面 PCDW平面ABCD成 45°角時(shí)，直線 EFL面PCD證明：G為CD中點(diǎn)，貝U EGL CD由 知FGL CD故/ EGF為平面PCD與平面 成二面角的平面角.即/ EGI=45°,從而得/ ADP45°, ADAP由 Rt PA匡 Rt CBE 得 PE=CE由 CDL EG CDL FG 得PAL底面 ABCD C左平面 ABCD： PAL CDCDL平面又F是PC的中點(diǎn)， EFL PCEFG CDL EF即 EFl CD 故 EF丄平面 PCDAD FGABCD所15、解:a 二：a _ ACa _ ABAC ABa

35、 _平面ABCBC二平面ABC16、解：(1)證明：t C是AB為直徑的圓 O的圓周上一點(diǎn)，又PAL平面ABC BC平面ABC BCL PA從而B(niǎo)C丄平面PACt BC 平面PBC平面PACL平面PBC(2)平面 PACL平面 ABCD平面 PA丄平面 PBC平面 面ABCD平面PADL平面ABCD17、證明：連接OA OB OCt PO _ 平面 ABC PO _OA, PO _OB, PO _OC 在厶 PAO PBO PCC中, NPOA =NPOB =NPOC =90°,AB是圓O的直徑,PADL平面PBD平面BCL ACPABL平實(shí)用文案PA 二PB 二PC , PO邊公共

36、. POA = . POB 三.：POC . OA =OB =OC ,所以，O為底面 ABC的外心.18、【證】作 PD丄AB于D, PE丄BC于E, PF丄AC于F,連接 OD OE OF PO 丄平面 ABC - PO 丄OD, PO 丄OE, PO 丄OF，PO _AB, PO _BC, PO _ AC .又/ PD _AB, PE _BC, PF _AC , AB _ 平面 PDO, BC_ 平面 PEO, AC _ 平面 PFO . 得 OD _AB, OE _BC, OF _AC, . PDO,. PEO,. PFO為三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角的平面角.即得.PDO PEO PFO

37、 ,/ PO邊公共， . PDO 二.PEO 二.PDO，得 OD =OE =OF ,又 OD _ AB, OE _ BC, OF _ AC .O為底面 ABC的內(nèi)心.i 9、證明：(i )連接 Bi D ,貝U A C丄BD.又有DD丄AQ,. AG丄平面Bi DD,從而 AC丄BD.同理可證：AB丄BD BD丄平面ACB(2)連接 BO AQ CO由B Bi丄AiC , BO丄AC,得到AQ丄平面B BiO AQ丄BO同理，AB丄CO, BC丄AO故點(diǎn)0是厶AiGB的垂心.20、解：(1 )證明：由 ABCABC是正三棱柱, 四邊形BBCC是矩形. 連BiC與BC交于E,貝U E為BC的中

38、點(diǎn)，連 DE D是AC的中點(diǎn). ED/ AB , 又EX平面BDC AB平面BDC 所以AB/平面BDC(2)解：作 AFL BC 垂足為 F. / 面 ABCL面 BBCC, AF丄面 BBCC 連BiF,貝U BF是AB在平面B BCC內(nèi)的射影. BC! AB , BC! Bi F.：四邊形 B BCC是矩形，/ B BF=Z BCC= 90° ,又/ FBB=Z C BCBBMA BCC工=二_=二_.BC CC i B i B又F為正三角形 ABC的BC邊的中點(diǎn).因而B(niǎo)iB2= BF- BC= i x 2 = 2 ,于是 BiF2 = B B2 +BF = 3 BF= 3 ,即線段AB在平面BBCC內(nèi)的射影長(zhǎng)為 3.21、解：(i )證明：T ABAC D是 BC的中點(diǎn)， ADL BC底面 ABCL平面 BBCC, ADL側(cè)面 BBCC, ADL CC.(2)證明：延長(zhǎng)BA與BM交于N,連結(jié)CN.T AM=MA NA=Ai B