如何求定義域、值域

1、南通市天星湖中學(xué)2013.1高一數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)（2）函數(shù)的概念與表示方法-17 -函數(shù)的定義域與值域及解析式一、知識(shí)梳理：1函數(shù)的基本概念（1）函數(shù)的定義：設(shè) A, B是兩個(gè)非空的，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合 A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有 的元素y和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù)，記作函數(shù)的三要素:相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等,這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).2.函數(shù)的表示法有:3映射的概念：設(shè) A、B是兩個(gè)非空集合，如果按某一種對(duì)應(yīng)法則f,對(duì)于A中的每一個(gè)元素，在B中都有確定的元素與之對(duì)應(yīng),那么這樣的單值對(duì)應(yīng)叫做集合A到集合B的4.函數(shù)與映射的關(guān)系由

2、映射的定義可以看出，映射是概念的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射， 要注意構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)集合 AB必須是非空數(shù)集.5函數(shù)的定義域:(1)在函數(shù)y = f（X）,x A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的求定義域的步驟寫出使函數(shù)式有意義的不等式（組）;函數(shù)f（x）=x0的定義域?yàn)?解不等式組;寫出函數(shù)定義域.（注意用區(qū)間或集合的形式寫出 ）常見基本初等函數(shù)的定義域分式函數(shù)中分母不等于零.偶次根式函數(shù)、被開方式大于或等于 0. 一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)?y= ax (a>0 且 a豐 1) , y= sin x , y= cos x，定義域均為 y= tan x的定義域?yàn)?6函數(shù)的值域(

3、1)在函數(shù)y= f(x)中，與自變量x的值相對(duì)應(yīng)的y的值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫函數(shù)的值域.(2)基本初等函數(shù)的值域 y = kx + b (k M 0)的值域是 y= ax2 + bx+ c (a m0)的值域是：當(dāng) a>0時(shí)，值域?yàn)楫?dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)閗y= - (k豐0)的值域是xy= ax (a>0且1)的值域是 y= logax (a>0且aM 1)的值域是 y= sin x , y = cos x 的值域是 _y= tan x的值域是(3 )函數(shù)值域的求法：利用函數(shù)的單調(diào)性2利用配方法：形如yax +bx + c(a HO)型，用此種方法，注意自變量x的范圍.

4、利用三角函數(shù)的有界性，如Sin X引行,COSX -1,1.ax2 + bx + e利用“分離常數(shù)”法：形如y=cx +d或y" cx + d (a,c至少有一個(gè)不為零)的ax +b函數(shù),求其值域可用此法.利用換元法：形如y = ax +b ± Jcx+d型,可用此法求其值域.7.函數(shù)解析式的求法(1)換元法：若已知f(g(x)的表達(dá)式，求f(x)的解析式，通常是令g(x) =t，從中解出x =(t)，再將 g(x)、x代入已知解析式求得f(t)的解析式，即得函數(shù) f(x)的解析式，這種方法叫做換元法,需注意新設(shè)變量“ t ”的范圍.待定系數(shù)法：若已知函數(shù)類型，可設(shè)出所求函

5、數(shù)的解析式，然后利用已知條件列方程(組)，再求系數(shù).(3)消去法：若所給解析式中含有f(x) > f G或f(x)、f( - x)等形式，可構(gòu)造另一個(gè)方程,込/通過解方程組得到f(x).(4)配湊法或賦值法：依據(jù)題目特征，能夠由一般到特殊或由特殊到一般尋求普遍規(guī)律,求出解析式.二、自我檢測1.有以下判斷:|x|1(x>0)(1) f(x)=一與g(x) =表示同一函數(shù);x 1 (x<0)函數(shù)y = f(x)的圖象與直線x = 1的交點(diǎn)最多有1個(gè);f(x)= x2 2x+ 1 與 g(t) = t2 2t+ 1 是同一函數(shù)；若 f(x) = |x 1| - |x|，則 f其中正

6、確判斷的序號(hào)是2.試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù):(i)y=1, y = x0；=pX 2 Qx + 2, y =7X2 4;3.(3)y(4)y=|x|y = 3t3;,y = h/X)2.(1)已知a,b為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，集合M= a2 4a, 1, N= b2 4b+ 1, 2,:xx表示把M中的元素x映射到集合N中仍為X,貝y a+ b=已知映射f : 2B.其中 A= B= R 對(duì)應(yīng)法則f: XTy = x2+2x,對(duì)于實(shí)數(shù) k B,在集合A中不存在元素與之對(duì)應(yīng)，則k的取值范圍是log2(1 X),X w 0,4.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=<則f(2 013)

7、的值為lf(x1) f(x 2), x>0,三、典型例題:例1(1)函數(shù)f(x)= -j筐 + lg(3x + 1)的定義域?yàn)閜1 x函數(shù)y=7豐3：)+ 4的定義域?yàn)閄 一 4若函數(shù)f(x)=一的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是1,1，貝y f(log2X)的定義域是、' 'mx 十 4mx十 3(4)若函數(shù)f(2x)的定義域是例2求下列函數(shù)的值域.(1) y = x2+ 2x (x 0,3);X 3(2)y=X+7 ；變式:y=X2x2H(3)y = x y 1 2x;例3已知f(x+x卜x2+X2,求f(x)的解析式;(2)已知f,求f(x)的解析式;已知f(X)是

8、一次函數(shù)，且滿足 3f(x + 1) 2f(x 1) = 2x +17,求f(x)的解析式;已知f(x)滿足2f(x) + f貯3x,求f(x)的解析式.已知f(x)是 R上的函數(shù)，且 f(0)=1,對(duì)任意 x, y R 恒有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1).求 f(x).四、課堂練習(xí):1.已知2 2f(X) =2+log3X, x 1,9，試求函數(shù) y=f(x) + f(x )的值域.2.函數(shù)f(X)記訶2 -3x +2 +J-x2 -3x +4)的定義域?yàn)?. ( 1)設(shè)f(x)是一次函數(shù)且ff(x)=4x+3,求 f(x).已知 f(1- cosx)= sin2 X ,求 f

9、(x).4.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y 都有 f(x+y)=f(x)+2y(x+y),且滿足f(1)=1,求f(0)及f(x)的表達(dá)式.五、課后作業(yè)1.函數(shù)f(x) =-2x的定義域是2.函數(shù)的定義域?yàn)?.函數(shù)4.函數(shù)y =2x -3+j13-4x 的值域?yàn)?.6.7.y = Jlog0.5(4x2 3x)的定義域?yàn)?1f(-x-1) =2x+3，且 f (m) =6，貝U m 等于22函數(shù)已知已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)= x + 2x.1y =(X壬R)的值域?yàn)? +x則函數(shù)g(x)的解析式為8.若函數(shù)y = Jax2 - 6ax + a +8的

10、定義域是一切實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是9.已知函數(shù) f(x) =x2 -4ax +2a + 6(a 亡 R)(1) 若函數(shù)的值域?yàn)?0,畑)，求a的值(2) 若函數(shù)f(x)的值都為非負(fù)數(shù)，求函數(shù) g(a)=2-aa+3的值域10.(選做)已知函數(shù)y/x2 嚴(yán)X2 +1的值域?yàn)閥|1<y<9，求a,b的值。高一數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)（2）函數(shù)的概念與表示方法函數(shù)的定義域與值域及解析式（教師版）一、知識(shí)梳理：1函數(shù)的基本概念（1）函數(shù)的定義：設(shè) A, B是兩個(gè)非空的，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合 A中的每一個(gè)元素x，在集合B中都有 的元素y和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù)，記

11、作函數(shù)的三要素:相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等,這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).2. 函數(shù)的表示法有:3映射的概念：設(shè) A、B是兩個(gè)非空集合，如果按某一種對(duì)應(yīng)法則f,對(duì)于A中的每一個(gè)元素，在B中都有確定的元素與之對(duì)應(yīng),那么這樣的單值對(duì)應(yīng)叫做集合A到集合B的4.函數(shù)與映射的關(guān)系由映射的定義可以看出，映射是概念的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射， 要注意構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)集合 AB必須是非空數(shù)集.5函數(shù)的定義域:(1)在函數(shù)y = f (x),x A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的求定義域的步驟寫出使函數(shù)式有意義的不等式（組）;函數(shù)f（x）=x0的定義域?yàn)?解不等式組;寫出函數(shù)定義域

12、.（注意用區(qū)間或集合的形式寫出 ）常見基本初等函數(shù)的定義域 分式函數(shù)中分母不等于零. 偶次根式函數(shù)、被開方式大于或等于 0. 一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)?y= ax (a>0 且 a豐 1) , y= sin x , y= cos x，定義域均為 y= tan x的定義域?yàn)?6函數(shù)的值域(1)在函數(shù)y= f(x)中，與自變量x的值相對(duì)應(yīng)的y的值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫函數(shù)的值域.(2) 基本初等函數(shù)的值域 y= kx + b (k豐0)的值域是 y= ax2 + bx+ c (a豐0)的值域是：當(dāng) a>0時(shí)，值域?yàn)楫?dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)閗 y= - (k * 0)的值域是xy=

13、 ax (a>0且a* 1)的值域是 y= logax (a>0且a* 1)的值域是 y= sin x , y = cos x 的值域是 y= tan x的值域是(3 )函數(shù)值域的求法：利用函數(shù)的單調(diào)性2利用配方法：形如yax +bx + c(a HO)型，用此種方法，注意自變量x的范圍. 利用三角函數(shù)的有界性，如Sin X引行,cosx 1,1.ax +b利用“分離常數(shù)”法：形如y=cx +d或y "ax2 + bx + ecx + d (a,c至少有一個(gè)不為零)的函數(shù),求其值域可用此法.利用換元法：形如y = ax +b ± Jcx+d型,可用此法求其值域.

14、7.函數(shù)解析式的求法(1)換元法：若已知f(g(x)X = 0 (t)，再將 g(x)、的表達(dá)式，求f(x)的解析式，通常是令g(x) =t，從中解出x代入已知解析式求得f(t)的解析式，即得函數(shù) f(x)的解析式，這種方法叫做換元法,需注意新設(shè)變量“ t ”的范圍.待定系數(shù)法：若已知函數(shù)類型，可設(shè)出所求函數(shù)的解析式，然后利用已知條件列方程(組)，再求系數(shù).(3) 消去法：若所給解析式中含有f(x)、ff ” f(x)、f( - x)等形式，可構(gòu)造另一個(gè)方程,通過解方程組得到f(x).(4)配湊法或賦值法：依據(jù)題目特征，能夠由一般到特殊或由特殊到一般尋求普遍規(guī)律,求出解析式.二、自我檢測1.有

15、以下判斷：(1)f(x)=與 g(x) = _XL- 1 (x<0)(x0 表示同一函數(shù);函數(shù)y = f(x)的圖象與直線x = 1的交點(diǎn)最多有1個(gè);f(x) = X2 2x+ 1 與 g(t) = t2 2t+ 1 是同一函數(shù);若 f(x) = |x 1| 兇，則 f f0.其中正確判斷的序號(hào)是析：對(duì)于(1)由于函數(shù)f(x)= 乩的定義域?yàn)閤|x R且xM 0，而函數(shù)入1 (x>0 g(x) =1 1 (x<0)的定義域是 R所以二者不是同一函數(shù);對(duì)于，f(x)與g(t)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則均相同，所以 f(x)和g(t)表示同一函數(shù)；對(duì)于(2),若x = 1不是y =

16、 f(x)定義域的值，則直線 x = 1與y= f(x)的圖象沒有交點(diǎn)，如果x = 1是y = f(x)定義域內(nèi)的值，由函數(shù)定義可知，直線x= 1與y= f(x)x = 1最多有一個(gè)交點(diǎn)；對(duì)于 (4),由的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即 y = f(x)的圖象與直線綜上可知，正確的判斷是(2) , (3) 2. 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù):(i)y=1, y = X0；(2)y=pX 2 寸X + 2, y=JX2 4;(3)y(4)y析：(i)y=x, y =認(rèn)；=|x| , y = (VX)2.=1的定義域?yàn)?R, y= x0的定義域?yàn)閤|xR且xM 0 ,它們不是同一函數(shù).(2)y=灰二

17、XT2的定義域?yàn)閤|x > 2 y =7x2 - 4的定義域?yàn)閤|x >2或x<- 2，它們不是同一函數(shù).(3) y = x, y = 詬 =t，它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同，.它們是同一函數(shù).(4) y = |x|的定義域?yàn)?R y = (&)2的定義域?yàn)閤|x >0，它們不是同一函數(shù).3. (1)已知a, b為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，集合M= a2 4a, 1, N= b2 4b+ 1, 2,f : xfx表示把M中的元素x映射到集合N中仍為x,貝U a+ b = _4.(2) 已知映射f : AtB.其中A= B= R 對(duì)應(yīng)法則f : X7y= x2+ 2x ,

18、對(duì)于實(shí)數(shù) k B,在集合A中不存在元素與之對(duì)應(yīng)，則k的取值范圍是嚴(yán)4a+ 2 = 0,lb2 4b+ 2 = 0,a + b= 4.fa2 4a= 2,析:(1)由已知可得M" N故L-4b+ 1 = 1所以a, b是方程x2 - 4x + 2 = 0的兩根,(2)由題意知，方程一 x2 + 2x= k無實(shí)數(shù)根，即x2 2x + k= 0無實(shí)數(shù)根. = 4(1 k)<0 , k>1 時(shí)滿足題意.4. 定義在R上的函數(shù) f(x)則f(2 013)的值為log2(1 x), 滿足 f(x) =f(x 1) f(x 2), x>0,_0.三、典型例題:例1 (1)函數(shù)f(

19、x)=尋亡+1 xlg(3x + 1)的定義域?yàn)楹瘮?shù)y=ln(x + 1)7 x23x+ 4的定義域?yàn)?(1,1)x4若函數(shù)f(x) =2 A 4 , e的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是'， ' mx + 4mx + 3(4) 若函數(shù)f(2x)的定義域是1,1，貝y f(log2X)的定義域是0，S.M2, 4.例2求下列函數(shù)的值域.(1)y = x2+ 2x (x 0,3);X 3(2)y=x+7 ；變式:y=(3) y = x 71 - 2x;析： (1)(配方法)y = x2 + 2x = (x + 1)2 1 , y = (x + 1)2 1 在0,3上為增函數(shù), 0

20、<yw 15,即函數(shù) y = x2 + 2x (x 0,3)的值域?yàn)?,15.(2)(分離常數(shù)法)y = x+x 3 x + 1 44LL,、，4=1 - x+i 因?yàn)?r+r0,所以 17+r1,即函數(shù)的值域是y|y R,滬 1.，又 X2 一 X+ 1 =(舟*4 >31變式；/ y= 1 x x+ 1141- 0< w -, -w y<1.函數(shù)的值域?yàn)閤 x+ 1 331 t2 方法一 (換元法)令寸1 2x = t，貝U t0且x = 21 一 12 1 1于是 y=2t = 2(t +1)2 +1，由于 t>0,所以 yw2,故函數(shù)的值域是y|y w11

21、例3 (1)已知f f+ 1卜x2+x2,求f(x)的解析式;已知f i已知f(x)已知f(x)已知f(x)求 f(x).'Xf + 1 L Ig X，求f(x)的解析式；宅丿)是一次函數(shù)，且滿足 3f(x + 1) 2f(x 1) = 2x +17,求f(x)的解析式;滿足2f(x) + f C 1= 3x，求f(x)的解析式.是 R上的函數(shù)，且 f(0)=1,對(duì)任意 x, y R 恒有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),析：(1)令 x + x = t,貝y t2= x2 + 4 + 2> 4. t> 2 或 tw 2 且 x2+ 4= t2 2, f(t)=

22、 t2 2，即2f(x)= x 2 (x> 2 或 xw 2).2(2)令-+ 1 = t,由于x2 2 2x>0, -1>1 且 x =, - f(t) = lg ，即 f(x) = lg (x>1).t 1t 1x 1設(shè) f(x)= kx+ b, 3f(x + 1) 2f(x 1) = 3k(x + 1) + b 2k(x 1) + b|k= 2|k = 2=kx + 5k + b= 2 + 17 j，即 j.- Hx) = Zx + 7.l5k + b= 17lb= 7(4) 2f(x)+ f3x, 2f + f(x)= x. f(x)= 2x - (x豐 0).

23、(5) f(x-y) =f(x)-y(2x-y+1), 令 y=x，得 f(0)= f(x)- x(2x-x+1),2 f(0)=1 ,.f(x)=x+x+1.四、課堂練習(xí):1. 已知 f(x) = 2 + Iog3x , x1,9，試求函數(shù) y = f(X)2 + f(X2)的值域.2. 函數(shù) f (x)二11n( Jx2 -3x +2 +J x2 -3x +4)的定義域?yàn)?x3. ( 1)設(shè) f(x)是一次函數(shù)且 ff(x)=4x+3, 求 f(x).(2) 已知 f(1- cosx)= sin2 X ,求 f(x).4.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x, y都有f(x+y)=f(x)