《1.1.2余弦定理》導(dǎo)學(xué)案1

1、1.1.2余弦定理導(dǎo)學(xué)案1學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。過程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。教學(xué)重點(diǎn)余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。學(xué)習(xí)內(nèi)容一、引入：在.'：ABC 中，設(shè) BC= a， AC= b， AB= c，已知

2、a， b和 / C，求邊 c、新課學(xué)習(xí):聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)和方法，可用什么途徑來解決這個(gè)問題？ 用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因 A、B均未知，所以較難求邊 c。 由于涉及邊長(zhǎng)問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。設(shè) cB=a，cA=b，ab=c，那么 c=a -b，則彳2c =sc呻右b 代尸b2b燒/ 二a b -2a b同理可證a2 =b2 c2 2bccosAb2 二a2 c22accos B于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2=b2c2 2bccosA2 2 2b a c -2accosBc2 =a2 b2 -2

3、abcosC思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？2 2 2(由學(xué)生推出)從余弦定理，又可得到以下推論：cosAr a2bccosB 士 cosC 士余弦定理則指出了一般三角思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系, 形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系?若.:ABC 中，C=900，則 cosC = 0 ,這時(shí) ca2 b2由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。三角形的幾個(gè)面積公式:(1)S= -ah(h表示a邊上的高)2111ab sin C = bc sin A= ac sin B222

4、1S= r(a+b+c)(r為內(nèi)切圓半徑)2WS= p(p -a)(p -b)(p -c)(其中 -(a b e)理解定理余弦定理及其推論的基本作用為： 已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊； 已知三角形的三條邊就可以求出其它角?！纠}分析】例1 在.：ABC 中，已知 a =2.3 , B =60°，求 b及 A解：t b2 二a2 c22accosB=(2 3)2 C 6-2)2 2 3 ( 62) cos45°=12(、.6、2)2 -4.3( 3 1)=8二 b=2 2.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:cos A =b2 c2 -a2bc解法一

5、：=（2_2）2_（_6_2）l（2_3）2 J _2煜屈：（76+問P A =60°邊。解法Sin A *sinB=2 32J2sin 45°,又 T . 6 一 2 > 2.4 1.4 =3.8,2 3 v 2 1.8 =3.6, a v c，即 00 v A v 900,- A=600.評(píng)述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。例2.在.: ABC 中，已知 a =134.6cm , b =87.8cm , c=161.7cm，解三角形 解：由余弦定理的推論得：cos A =2bc87.82 161.72 -134.62二2X87.8X161.70.5543,A ：

6、56020 ;cos B 二22ca二134.62 1 61.72 -87.82二 2勺34.6咱61.70.8398,B ： 32053 ;C =180。-(A B) 1800 -(56020 32053)課堂小結(jié)（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的應(yīng)用范圍：.已知三邊求三角；.已知兩邊及它們的夾角，求第三課后作業(yè)1. 已知a、b、。為厶ABC的三邊長(zhǎng)，若滿足(a + b c)(a+ b+ c)= ab,則/ C的大小為()A. 60° B. 90° C. 120° D . 150°2. 在 ABC中，

7、已知sin A : sin B : sin C= 3 : 5 : 7,則這個(gè)三角形的最小外角為()A. 30 ° B. 60 ° C. 90 ° D. 120 °3. 在 ABC 中，已知 b2= ac且c= 2a，則 cos B 等于 ()1 3亠2亠2A. 4B.4 C. 4 D. 34. 若 ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊a、b、c滿足(a + b)2 c2= 4,且/ C= 60°則ab的值為( )4A.3B. 84 .3C. 12D.35. 已知 ABC的三邊長(zhǎng)分別是2m+ 3, m2 + 2m, m2 + 3m+ 3(m>0)

8、，則最大內(nèi)角的度數(shù)是.6. 在 ABC 中，已知 a= 2, b = 4, C = 60 °,則 A =.2 2 27. 在 ABC 中，sin A<sin B + sin C sin Bsin C,則 A的取值范圍是()C. 0, nD.n3 n&如果將直角三角形的三邊增加同樣的長(zhǎng)度，則新三角形的形狀是（）A .銳角三角形B .直角三角形C.鈍角三角形D .由增加的長(zhǎng)度確定9厶 ABC 中，sin2A=sin2B+si門2。，則厶 ABC 為（）A直角三角形B等腰直角三角形C等邊三角形D等腰三角形tan A sin A10. AABC中，則三角形為tan B sin B11. 在厶ABC中，已知B=30°, b=50j§ , c=150，那么這個(gè)三角形是（）A等邊三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形12. 在厶 ABC 中，若 b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，則此三角形為 丿A直角三角形B等腰三角形C等邊三角形D等腰直角三角形13. 在厶ABC中，已知a b= 4, a + c= 2b，且最大角為