圓錐曲線經(jīng)典中點(diǎn)弦問(wèn)題.

1、中點(diǎn)弦問(wèn)題專題練習(xí)一選擇題（共8 小題）1已知橢圓，以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)P（ 4，2），則以P 為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為（）A BC 2D22已知 A （ 1， 2）為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，則以A 為中點(diǎn)的橢圓的弦所在的直線方程為（）A x+2y+4=0B x+2y 4=0C 2x+y+4=0D 2x+y 4=03 AB 是橢圓（ a b 0）的任意一條與x 軸不垂直的弦， O 是橢圓的中心， e 為橢圓的離心率，M 為AB 的中點(diǎn)，則 K AB ?K OM 的值為（）C e2 1D 1 e2A e 1B 1 e22內(nèi)有一點(diǎn) P（ 3， 2）過(guò)點(diǎn) P 的弦恰好以 P 為中點(diǎn)，那么這弦所在直線的方程為（）4橢

2、圓 4x +9y =144A 3x+2y 12=0B 2x+3y 12=0C 4x+9y 144=0D 9x+4y 144=05若橢圓的弦中點(diǎn)（ 4， 2），則此弦所在直線的斜率是（）A 2B2CD 6已知橢圓的一條弦所在直線方程是xy+3=0 ，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1），則橢圓的離心率是（）A BCD 22）7直線 y=x+1 被橢圓 x +2y=4 所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是（A （）B（ ， ）C（ ， ）D（ ， ）8以橢圓內(nèi)一點(diǎn) M （ 1， 1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為（）A 4x 3y3=0B x 4y+3=0C 4x+y 5=0D x+4y 5=0二填空題（共9 小題）9過(guò)橢圓內(nèi)

3、一點(diǎn) M （ 2， 0）引橢圓的動(dòng)弦 AB ，則弦 AB 的中點(diǎn) N 的軌跡方程是_10已知點(diǎn)（ 1， 1）是橢圓某條弦的中點(diǎn)，則此弦所在的直線方程為：_22內(nèi)有一點(diǎn) P（3，2）過(guò)點(diǎn) P 的弦恰好以 P 為中點(diǎn)， 那么這弦所在直線的斜率為_(kāi) ，11橢圓 4x +9y =144直線方程為_(kāi) 22內(nèi)有一點(diǎn) P（ 3，2）過(guò)點(diǎn) P 的弦恰好以 P 為中點(diǎn)， 那么這弦所在直線的方程為_(kāi)12橢圓 4x +9y =14413過(guò)橢圓=1內(nèi)一定點(diǎn)（ 1，0）作弦，則弦中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi) 14設(shè) AB 是橢圓的不垂直于對(duì)稱軸的弦， M 為 AB 的中點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 則 kAB?kOM =_15以橢圓內(nèi)的

4、點(diǎn) M （1， 1）為中點(diǎn)的弦所在直線方程為_(kāi) 16在橢圓+=1 內(nèi)以點(diǎn)P（ 2， 1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為_(kāi) 2217直線 y=x+2 被橢圓 x +2y=4 截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_三解答題（共13 小題）18求以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一焦點(diǎn)為且截直線 y=3x 2 所得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的橢圓方程19已知 M （4， 2）是直線22所截的弦 AB 的中點(diǎn)，其直線l 的方程l 被橢圓 x +4y=3622M （ 1， 1），求直線 AB 的方程20已知一直線與橢圓 4x +9y =36 相交于 A 、B 兩點(diǎn)，弦 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為21已知橢圓，求以點(diǎn) P（ 2， 1）為中點(diǎn)的弦AB 所在

5、的直線方程22已知橢圓與雙曲線2 2y2共焦點(diǎn)，且過(guò)（）2x=1（ 1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（ 2）求斜率為 2 的一組平行弦的中點(diǎn)軌跡方程2223直線 l ： x 2y 4=0 與橢圓 x +my =16 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，弦 AB 的中點(diǎn)為 P（ 2， 1）（1）求 m 的值；（ 2）設(shè)橢圓的中心為 O，求 AOB 的面積24 AB 是橢圓中不平行于對(duì)稱軸的一條弦，M 是 AB 的中點(diǎn)， O 是橢圓的中心，求證：kAB ?kOM 為定值25已知橢圓C：+=1 和點(diǎn) P（ 1，2），直線 l 經(jīng)過(guò)點(diǎn) P 并與橢圓C 交于 A 、B 兩點(diǎn)，求當(dāng)l 的傾斜角變化時(shí)，弦中點(diǎn)的軌跡方程26已知橢

6、圓（ 1）求斜率為 2 的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（ 2）過(guò) A （ 2， 1）的直線 l 與橢圓相交，求 l 被截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程；（ 3）過(guò)點(diǎn) P（）且被 P 點(diǎn)平分的弦所在的直線方程27已知橢圓（ 1）求過(guò)點(diǎn)且被點(diǎn) P 平分的弦所在直線的方程；（ 2）求斜率為 2 的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（ 3）過(guò)點(diǎn) A （ 2， 1）引直線與橢圓交于 B、 C 兩點(diǎn)，求截得的弦 BC 中點(diǎn)的軌跡方程28已知某橢圓的焦點(diǎn)是（ 4，0）、F（ 4，0），過(guò)點(diǎn) F并垂直于 x 軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|F，F(xiàn)1221B|+|F2B|=10橢圓上不同的兩點(diǎn)A （ x1，y1）、 C（ x2， y2

7、）滿足條件： |F2A|、 |F2B| 、 |F2C|成等差數(shù)列（）求該橢圓的方程；（）求弦AC 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)29（ 2010?永春縣一模）過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn) M （ 1， 1）的弦 AB （ 1）若點(diǎn) M 恰為弦 AB 的中點(diǎn)，求直線 AB 的方程；（ 2）求過(guò)點(diǎn) M 的弦的中點(diǎn)的軌跡方程30已知橢圓C 方程為，直線與橢圓 C 交于 A 、 B 兩點(diǎn)，點(diǎn)，（ 1）求弦 AB 中點(diǎn) M 的軌跡方程；（ 2）設(shè)直線 PA、 PB 斜率分別為 k1、 k2，求證： k1+k 2 為定值2014 年 1 月 panpan781104的高中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一選擇題（共8 小題）1已知橢圓，以及橢圓

8、內(nèi)一點(diǎn)P（ 4，2），則以P 為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為（）A BC 2D2考點(diǎn) ： 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)專題 ： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式、“點(diǎn)差法 ”即可得出解答：解：設(shè)以點(diǎn)P 為中點(diǎn)的弦所在直線與橢圓相交于點(diǎn)A （ x1， y1）， B （x2， y2），斜率為 k則，兩式相減得，又 x1+x 2=8， y1+y 2=4，代入得，解得 k=故選 A點(diǎn)評(píng)：熟練掌握中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式、“點(diǎn)差法 ”是解題的關(guān)鍵2已知A （ 1， 2）為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，則以A 為中點(diǎn)的橢圓的弦所在的直線方程為（）A x+2y+4=0B x+2y 4=0C 2x+y+4=0D

9、2x+y 4=0考點(diǎn) ： 直線的一般式方程專題 ： 計(jì)算題分析：首先根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，再聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后結(jié)合題意與跟與系數(shù)的關(guān)系得到答案解答： 解：設(shè)直線的方程為y 2=k （x 1），聯(lián)立直線與橢圓的方程代入可得： （ 4+k2） x2+2k（ 2 k） x+k2 4k 12=0因?yàn)?A 為橢圓的弦的中點(diǎn)，所以，解得 k= 2，所以直線的方程為2x+y 4=0故選 D點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握直線與橢圓的位置關(guān)系的判定，以及掌握弦中點(diǎn)與中點(diǎn)弦問(wèn)題3 AB 是橢圓（ a b 0）的任意一條與 x 軸不垂直的弦， O 是橢圓的中心， e 為橢圓的離心率， M 為AB 的中

10、點(diǎn)，則 K AB ?K OM 的值為（）22A e 1B 1 eC e 1D 1 e考點(diǎn) ： 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)專題 ： 綜合題分析： 設(shè)出弦 AB 所在的直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2，的表達(dá)式，根據(jù)直線方程求得 y1+y2 的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)M 為 AB 的中點(diǎn)，表示出 M 的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，求得直線OM 的斜率，進(jìn)而代入 kAB ?kOM 中求得結(jié)果解答： 解：設(shè)直線為： y=kx+c聯(lián)立橢圓和直線消去 y 得222222，即22 222222）=0b x +a （ kx+c ） a b =0（ b +k a ） x +2a kcx+a（c b所以： x1+x2

11、=所以， M 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：M x=（ x1+x 2）=又： y1=kx1 +cy2=kx 2+c所以 y1+y2=k （ x1+x 2）+2c=所以，點(diǎn)M 的縱坐標(biāo) M y=（ y1+y 2） =所以： Kom=所以：kAB ?kOM =k ×（）=e2 1點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，利用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理求解，涉及弦的中點(diǎn)及中點(diǎn)弦問(wèn)題，利用差分法較為簡(jiǎn)便22內(nèi)有一點(diǎn) P（ 3， 2）過(guò)點(diǎn) P的弦恰好以 P 為中點(diǎn)，那么這弦所在直線的方程為（）4橢圓 4x +9y =144A 3x+2y 12=0B 2x+3y 12=0C 4x+9y 144=0D 9x+4y 14

12、4=0考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的一般式方程專題 ： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析： 利用平方差法：設(shè)弦的端點(diǎn)為A （ x1， y1）， B（ x2， y2），代入橢圓方程，兩式作差，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率公式可求得直線斜率，再用點(diǎn)斜式即可求得直線方程解答：解：設(shè)弦的端點(diǎn)為A （ x1， y1）， B（ x2， y2），則 x1+x 2=6， y1+y 2=4，把 A、B坐標(biāo)代入橢圓方程得，兩式相減得，4（） +9（ y22 ）=0，即4（ x1+x 2）（x1 x2） +9（ y1+y 2）（ y1 y2） =0 ，所以=，即 kAB =，所以這弦所在直線方程為：y 2=（ x

13、3），即 2x+3y 12=0故選 B點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、直線方程的求解，涉及弦中點(diǎn)問(wèn)題常運(yùn)用平方差法，應(yīng)熟練掌握5若橢圓的弦中點(diǎn)（4， 2），則此弦所在直線的斜率是（）A 2B2CD 考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的斜率專題 ： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：設(shè)此弦所在直線與橢圓相交于點(diǎn)A （ x1， y1）， B（ x2 ，y2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和“點(diǎn)差法 ”即可得出解答：解：設(shè)此弦所在直線與橢圓相交于點(diǎn)A （ x1，y1）， B（ x2， y2）則，兩式相減得=0，代入上式可得，解得 kAB =故選 D點(diǎn)評(píng)： 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式和“

14、點(diǎn)差法 ”等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題6已知橢圓的一條弦所在直線方程是xy+3=0 ，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1），則橢圓的離心率是（）A BCD 考點(diǎn) ： 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)專題 ： 計(jì)算題分析：設(shè)出以 M 為中點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓的方程相減，把中點(diǎn)公式代入，可得弦的斜率與的關(guān)系式，從而求得橢圓的離心率解答：解：顯然M（ 2， 1）在橢圓內(nèi)，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)A （ x1， y1）， B （x2， y2），a， b則+=1，+=1，相減得：=0，整理得： k=1，又弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是（2， 1），則橢圓的離心率是e=故選 B點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)，中點(diǎn)公式及斜率公式的

15、應(yīng)用，以及直線方程，屬于基礎(chǔ)題本題解題中直接利用點(diǎn)差法巧妙用上了中點(diǎn)坐標(biāo)公式與弦的斜率，方法極為巧妙，此方法即為通常所說(shuō)的點(diǎn)差法，研究弦中點(diǎn)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常采用此方法22）7直線 y=x+1 被橢圓 x +2y=4 所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是（A （）B（ ， ）C（ ， ）D（ ， ）考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的關(guān)系專題 ： 計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析： 將直線 y=x+1 代入橢圓22x +2y =4 中，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求得結(jié)論解答： 解：將直線 y=x+1代入橢圓222（x+12x+2y =4中，得 x +2） =42 3x +4x 2=0弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是x= ，代入直

16、線方程中，得y=弦的中點(diǎn)是（， ）故選 B點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題8以橢圓內(nèi)一點(diǎn)M （ 1， 1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為（）A 4x 3y3=0B x 4y+3=0C 4x+y 5=0D x+4y 5=0考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的關(guān)系專題 ： 計(jì)算題分析：設(shè)直線方程為y 1=k（x1），代入橢圓化簡(jiǎn)，根據(jù)x1+x 2=2，求出斜率 k 的值，即得所求的直線方程解答：解：由題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為y 1=k （ x 1），代入橢圓化簡(jiǎn)可得，222） x+4k2 8k 12（ 4k +1） x +8（ k k由題意可得x1+x 2=2， k

17、= ，故 直線方程為y 1=（ x1），即x+4y 5=0，故選 D點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，中點(diǎn)公式的應(yīng)用，求出直線的斜率，是解題的關(guān)鍵二填空題（共9 小題）9過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn) M（ 2，0）引橢圓的動(dòng)弦AB ，則弦 AB 的中點(diǎn) N 的軌跡方程是考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；軌跡方程專題 ： 綜合題分析：設(shè)出 N， A ， B 的坐標(biāo)，將A ，B 的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合N 為 AB 的中點(diǎn)，求出AB 的斜率，再利用動(dòng)弦 AB 過(guò)點(diǎn) M（ 2， 0），弦 AB 的中點(diǎn) N，求出 AB 的斜率，從而可得方程，化簡(jiǎn)即可解答： 解：設(shè) N（ x，y），

18、 A （ x1， y1）， B （x2， y2），則 ， ，可得：動(dòng)弦 AB 過(guò)點(diǎn) M （ 2，0），弦 AB 的中點(diǎn) N，當(dāng) M 、 N 不重合時(shí)，有，（m2）當(dāng) M、N 重合時(shí)，即M 是 A、B 中點(diǎn)， M（2，0）適合方程，則 N 的軌跡方程為，故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的綜合，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，這是解決弦中點(diǎn)問(wèn)題，常用的一種方法10已知點(diǎn)（ 1， 1）是橢圓某條弦的中點(diǎn)，則此弦所在的直線方程為：x+2y 3=0考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的關(guān)系專題 ： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：設(shè)以 A（1，1）為中點(diǎn)橢圓的弦與橢圓交于E（ x1，y1），F(xiàn)（ x2，y2），A（ 1，1）為

19、 EF 中點(diǎn)， x1+x 2=2，y1+y 2=2，利用點(diǎn)差法能夠求出以A （ 1， 1）為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程解答：解：設(shè)以A （ 1， 1）為中點(diǎn)橢圓的弦與橢圓交于E（ x1， y1 ）， F（ x2，y2）， A （1， 1）為 EF 中點(diǎn)， x1+x 2=2， y1+y 2=2，把 E（ x1， y1）， F（ x2， y2 ）分別代入橢圓，可得，兩式相減，可得（x1+x 2）（ x1x2） +2 （ y1+y 2）（ y1y2） =0 ， 2（ x1 x2） +4（ y1 y2） =0 ，=以 A （ 1， 1）為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程為：y 1= （ x 1），整理，得x

20、+2y 3=0故答案為： x+2y 3=0點(diǎn)評(píng)：本題考查以 A （1， 1）為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程的求法，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題22，直11橢圓 4x +9y =144 內(nèi)有一點(diǎn) P（3， 2）過(guò)點(diǎn) P 的弦恰好以 P 為中點(diǎn)，那么這弦所在直線的斜率為線方程為 2x+3y 12=0 考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的一般式方程專題 ： 計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析： 平方差法：設(shè)弦端點(diǎn)為A （ x1， y1）， B （ x2， y2），代入橢圓方程后作差，利用斜率公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得斜率；根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線方程解答：解：設(shè)弦端點(diǎn)為A （

21、x1， y1）， B（ x2， y2 ），則 x1+x 2=6， y1+y 2=4， ，=144 ，得，+9=0 ，即 4（ x1+x 2）（ x1 x2） +9（y1+y 2）（ y1 y2） =0，所以=，即，所以弦所在直線方程為：y2=（ x 3），即 2x+3y 12=0故答案為：； 2x+3y 12=0 點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、直線方程的求解，弦中點(diǎn)問(wèn)題常利用平方差法解決，應(yīng)熟練掌握2212橢圓 4x +9y =144 內(nèi)有一點(diǎn) P（ 3，2）過(guò)點(diǎn) P 的弦恰好以 P 為中點(diǎn)，那么這弦所在直線的方程為2x+3y 12=0考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的關(guān)系專題 ： 計(jì)算題；圓

22、錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析： 設(shè)以 P（ 3，2）為中點(diǎn)橢圓的弦與橢圓交于E（ x1，y1），F(xiàn)（ x2，y2），P（ 3，2）為 EF 中點(diǎn)， x1+x 2=6，y1+y 2=4，利用點(diǎn)差法能夠求出這弦所在直線的方程解答： 解：設(shè)以 P（ 3， 2）為中點(diǎn)橢圓的弦與橢圓交于E（ x1， y1）， F（ x2， y2）， P（ 3， 2）為 EF 中點(diǎn)， x1+x 2=6， y1+y 2=4，把 E（ x1， y1）， F（ x2， y2 ）分別代入橢圓4x22，+9y=144得， 4（ x1+x2 ）（ x1 x2）+9（ y1+y 2）（ y1 y2） =0， 24（ x1x2） +36

23、 （y1 y2） =0， k=，以 P（ 3， 2）為中點(diǎn)橢圓的弦所在的直線方程為：y2=（ x 3），整理，得2x+3y 12=0故答案為： 2x+3y 12=0 點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、點(diǎn)差法、直線方程等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用13過(guò)橢圓=1 內(nèi)一定點(diǎn)（ 1，0）作弦，則弦中點(diǎn)的軌跡方程為22 4x=04x +9y考點(diǎn) ： 橢圓的應(yīng)用；軌跡方程專題 ： 計(jì)算題分析：設(shè)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)為（x1， y1），（x2 y2），諸弦中點(diǎn)坐標(biāo)為（x， y）弦所在直線斜率為k，把兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程相減，把斜率看的表達(dá)式代入后整理即可得到弦中點(diǎn)的軌跡方程解答：解：設(shè)弦兩

24、端點(diǎn)坐標(biāo)為（x1， y1），（ x2 y2），諸弦中點(diǎn)坐標(biāo)為（x， y）弦所在直線斜率為k兩式相減得；（ x1+x 2）（x1 x2） +（ y1+y 2）（ y1 y2） =0即又 k=，代入上式得2x/9+2y2/4 （x 1） =0整理得諸弦中點(diǎn)的軌跡方程：4x2+9y 2 4x=0故答案為4x2+9y 2 4x=0點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用及求軌跡方程的問(wèn)題考查了學(xué)生對(duì)圓錐曲線知識(shí)綜合的把握14設(shè) AB 是橢圓的不垂直于對(duì)稱軸的弦，M 為 AB 的中點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則kAB ?kOM=考點(diǎn) ： 橢圓的應(yīng)用專題 ： 計(jì)算題分析：設(shè) M（ a， b），A （ x1，y1），B（

25、x2，y2），易知 kOM =，再由點(diǎn)差法可知kAB =，由此可求出kAB ?kOM=解答：解：設(shè) M （ a， b）， A （ x1， y1）， B （x2， y2）， M 為 AB 的中點(diǎn)， x1+x 2=2a， y1+y 2=2b，把 A、B 代入橢圓得， 得（ x1+x 2）（ x1x2） +2（ y1+y 2）（ y1y2） =0， 2a（ x1 x2） +4b （ y1 y1） =0 ， kAB ?kOM =答案：點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用15以橢圓內(nèi)的點(diǎn) M （1， 1）為中點(diǎn)的弦所在直線方程為x+4y 5=0考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線

26、的一般式方程專題 ： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：設(shè)點(diǎn) M （ 1，1）為中點(diǎn)的弦所在直線與橢圓相交于點(diǎn)A （ x1， y1），B （ x2，y2）利用 “點(diǎn)差法 ”即可得出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可得出解答：解：設(shè)點(diǎn)M（ 1， 1）為中點(diǎn)的弦所在直線與橢圓相交于點(diǎn)A（ x1， y1）， B（ x2， y2）則，相減得=0，解得 kAB= 故所求的直線方程為，化為 x+4y 5=0故答案為 x+4y 5=0點(diǎn)評(píng)： 本題考查了直線與橢圓相交的中點(diǎn)弦問(wèn)題和“點(diǎn)差法 ”等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于中檔題16在橢圓+=1 內(nèi)以點(diǎn) P（ 2， 1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為x 2y+4=0考點(diǎn) ：

27、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題專題 ： 計(jì)算題分析：設(shè)以點(diǎn) P（ 2， 1）為中點(diǎn)的弦所在的直線與橢圓+=1 交于 A （ x1， y1）， B （x2， y2），由點(diǎn) P（ 2，1）是線段AB 的中點(diǎn)，知，把 A（ x1， y1）， B （x2， y2）代入橢圓x2+4y2=16 ，由點(diǎn)差法得到 k=，由此能求出以點(diǎn)P（ 2， 1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程解答：解：設(shè)以點(diǎn)P（ 2， 1）為中點(diǎn)的弦所在的直線與橢圓+=1交于A （ x1， y1）， B（ x2， y2），點(diǎn)P（ 2， 1）是線段AB的中點(diǎn)，把 A （x1， y1），B（ x2， y2）代入橢圓x2+4y2=16，得， 得（ x1+x

28、 2）（ x1x2） +4（ y1+y 2）（ y1y2） =0， 4（ x1 x2） +8（y1 y2） =0，k=，以點(diǎn) P（ 2， 1）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為，整理，得x 2y+4=0 故答案為： x 2y+4=0 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程， 簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)， 直線與橢圓的位置關(guān)系 考查運(yùn)算求解能力， 推理論證能力 解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用22截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是17直線 y=x+2 被橢圓 x +2y=4考點(diǎn) ： 直線和圓的方程的應(yīng)用；直線與圓的位置關(guān)系專題 ： 計(jì)算題分析：直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得交點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而可得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)解答：解：將直線y=x+2

29、 代入橢圓x2+2y2=4，消元可得3x2+8x+4=0 x= 2 或 x= 中點(diǎn)橫坐標(biāo)是= ，代入直線方程可得中點(diǎn)縱坐標(biāo)為+2= ，22直線 y=x+2 被橢圓 x +2y =4 截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查中點(diǎn)坐標(biāo)的求解，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)三解答題（共13 小題）18求以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一焦點(diǎn)為且截直線y=3x 2 所得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的橢圓方程考點(diǎn) ： 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程專題 ： 計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題分析：由題意，設(shè)橢圓方程為，與直線y=3x 2 消去 y 得關(guān)于 x 的一元二次方程利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)

30、合中點(diǎn)坐標(biāo)公式， 得 x1+x2=1，再由橢圓的 c=22，兩式聯(lián)解得22，得 ab =50a =75，b =25從而得到所求橢圓的方程解答： 解：橢圓一個(gè)焦點(diǎn)為，橢圓是焦點(diǎn)在y 軸的橢圓，設(shè)方程為（ ab 0）將橢圓方程與直線2222222y=3x 2 消去 y，得（ a +9b）x 12bx+4b a b =0設(shè)直線 y=3x 2 與橢圓交點(diǎn)為 A （x1， y1），B （ x2， y2） x1+x 2=1 又 a2 b2=（） 2=50 2 2 聯(lián)解，得 a =75 ，b =25因此，所求橢圓的方程為：點(diǎn)評(píng)：本題給出焦點(diǎn)在 y 軸上的一個(gè)橢圓，在已知橢圓被直線截得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)的情況下，

31、求橢圓的方程，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和直線與橢圓位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題2219已知 M （4， 2）是直線l 被橢圓 x +4y =36 所截的弦AB 的中點(diǎn)，其直線l 的方程考點(diǎn) ： 直線與圓相交的性質(zhì)專題 ： 計(jì)算題分析：設(shè)直線 l 的方程為y2=k （ x 4），代入橢圓的方程化簡(jiǎn)，由x1+x 2=8 解得 k 值，即得直線l的方程解答：解：由題意得，斜率存在，設(shè)為 k，則直線 l 的方程為 y 2=k （x 4），即 kx y+2 4k=0， 22 22 x1+x 2= =8，解得： k= ，則直線 l 的方程為 x+2y 8=0 22點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓相交的

32、性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，線段的中點(diǎn)公式，得到（ 1+4k ）x +（ 16k 32k2） x+64k 2 64k 20=0 ，是解題的關(guān)鍵20已知一直線與橢圓22、B 兩點(diǎn)，弦 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為M （ 1， 1），求直線 AB 的方程4x +9y =36 相交于 A考點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題專題 ： 綜合題分析： 設(shè)出直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為M （1， 1），求出斜率，即可求得直線AB 的方程解答： 解：設(shè)通過(guò)點(diǎn)M （ 1，1）的直線方程為 y=k （ x 1） +1，代入橢圓方程，整理得（ 9k22（ 1 k）x+92 36=0+4） x

33、+18k（ 1 k）設(shè) A 、B 的橫坐標(biāo)分別為x1、 x2，則解之得故AB方程為，即所求的方程為4x+9y 13=0點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的綜合，考查弦中點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求解21已知橢圓，求以點(diǎn) P（ 2， 1）為中點(diǎn)的弦AB 所在的直線方程考點(diǎn) ： 直線的一般式方程；中點(diǎn)坐標(biāo)公式；直線與圓錐曲線的關(guān)系專題 ： 計(jì)算題分析：先設(shè)出弦所在的直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立；設(shè)兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)求出解答：解：設(shè)弦AB 所在的直線方程為y（ 1） =k （ x 2），即 y=kx 2k 1x1+x 2，進(jìn)而求得弦所在22，消去 y 得 x +4（ kx 2k

34、 1） 16=0整理得（ 1+4k2） x28k（ 2k+1 ） x+4 （ 2k+1） 2 16=0（ 1）因?yàn)?P（ 2， 1）為弦 AB 中點(diǎn)，代入方程（ 1），驗(yàn)證 0，合題意點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)以及直線與橢圓的關(guān)系在解決弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達(dá)定理，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化，達(dá)到解決問(wèn)題的目的22已知橢圓與雙曲線2 2y2共焦點(diǎn)，且過(guò)（）2x=1（ 1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（ 2）求斜率為 2 的一組平行弦的中點(diǎn)軌跡方程考點(diǎn) ： 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；軌跡方程專題 ： 計(jì)算題分析：（ 1）求出雙曲線的焦點(diǎn)，由此設(shè)出橢圓方程，把點(diǎn)（，

35、0）代入橢圓方程，求出待定系數(shù)即得所求的橢圓方程（ 2）設(shè)斜率為2 的弦所在直線的方程為y=2x+b ，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x， y），把 y=2x+b代入橢圓的方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出軌跡方程為y=x，求出直線y=2x+b和橢圓相切時(shí)的b 值，即得軌跡方程中自變量的范圍x解答：解：（ 1）依題意得，將雙曲線方程標(biāo)準(zhǔn)化為=1，則c=1橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，設(shè)橢圓方程為=1，橢圓過(guò)（， 0），=2，橢圓方程為=1 （ 2）依題意，設(shè)斜率為2 的弦所在直線的方程為y=2x+b ，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x， y），則y=2x+b且=12得， 9x +8xb+2b2 2=0 ， x1+x 2=即

36、 x= 兩式消掉b 得y= x令 =0， 64b2 36（2b2 2） =0，即b=±3，所以斜率為2 且與橢圓相切的直線方程為y=2x ±3即當(dāng)x= ± 時(shí)斜率為2 的直線與橢圓相切所以平行弦得中點(diǎn)軌跡方程為：y= x（）點(diǎn)評(píng)：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用；求點(diǎn)的軌跡方程的方法，求軌跡方程中自變量 x 的范圍，是解題的易錯(cuò)點(diǎn)2223直線 l ： x 2y 4=0 與橢圓 x +my =16 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，弦 AB 的中點(diǎn)為 P（ 2， 1）（1）求 m 的值；（ 2）設(shè)橢圓的中心為 O，求 AOB 的面積考點(diǎn) ： 橢圓的應(yīng)

37、用；中點(diǎn)坐標(biāo)公式；點(diǎn)到直線的距離公式專題 ： 計(jì)算題；壓軸題分析：（ 1）先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2 的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)其中點(diǎn)的坐標(biāo)求得 m（ 2）把（ 1）中求得橢圓方程與直線方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理求得x1x2 的值，進(jìn)而求得出 |AB|的距離和坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式求得答案解答：+1） x22mx+4m 16=0解：（ 1）：消去 y，整理得（ x1+x 2=4，則 m=4（ 2）由（ 1）知，消去 y， x1x2=0 |AB|=2坐標(biāo)原點(diǎn)O 到直線 x 2y 4=0 的距離為d=三角形ABC 的面積為×|AB|

38、×d=4點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，直線與橢圓的關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式等，考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和推理的能力24 AB 是橢圓中不平行于對(duì)稱軸的一條弦，M 是 AB 的中點(diǎn)， O 是橢圓的中心，求證：kAB ?kOM 為定值考點(diǎn) ： 橢圓的應(yīng)用專題 ： 證明題分析：設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去 y，根據(jù)韋達(dá)定理求得 x1+x 2，的表達(dá)式，根據(jù)直線方程求得表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn) M 為 AB 的中點(diǎn)，表示出 M 的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)， 求得直線 OM 的斜率，進(jìn)而代入中求得結(jié)果為定值，原式得證解答：證明：設(shè)直線為：y=kx+cy 1+y 2 的k AB ?kOM聯(lián)立橢圓和直線消去

39、y 得22222222 222222）=0b x +a （ kx+c ） a b =0，即（ b +k a ） x +2a kcx+a（c b所以： x1+x2=所以， M 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：M x=（ x1+x 2）=又： y1=kx1 +cy2=kx 2+c所以 y1+y2=k （ x1+x 2）+2c=所以，點(diǎn)M 的縱坐標(biāo) M y=（ y1+y 2） =所以： Kom=所以：kAB ?kOM =k ×=點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，利用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理求解，涉及弦的中點(diǎn)及中點(diǎn)弦問(wèn)題，利用差分法較為簡(jiǎn)便25已知橢圓C：+=1和點(diǎn)P（ 1，2），直線l 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 并與橢圓C 交于A 、B兩點(diǎn)，求當(dāng)l 的傾斜角變化時(shí)，弦中點(diǎn)的軌跡方程考點(diǎn) ： 軌跡方程專題 ： 綜合題分析：設(shè)弦中點(diǎn)為M（ x，y），交點(diǎn)為 A（ x1，y1），B（ x2，y2）當(dāng) M 與 P 不重合時(shí)， A 、B、M 、P 四點(diǎn)共線故（ y2 y1）（x 1）=（ x2 x1）（ y 2）再由點(diǎn)差法知=，由此可得：22 9x 32y