必修2、選修1-1解析幾何

1、解析幾何一、直線與直銭方程（一）直線的斛率與傾斜角1、直線傾斜角的定義當(dāng)直SU與X軸相交昭 取X軸作為基準(zhǔn)，乂軸正向與直線/向上方向之間所咸的角a叫做直線/的傾斜角;特別地，當(dāng)直線與X軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0直線傾斜角的范ffl： |o0；4、直線斜率的表達(dá)形式 適用范ffl：k = tan 0當(dāng)ff e tt）時，kvo；當(dāng)ff = F時，k不存在.巳知直踐傾斜角求斜*n-yi適用范S：k =k = f ()巳知函數(shù)y = /W在X = ”0處的導(dǎo)數(shù)巳知兩點(diǎn)坐標(biāo)（乂_九）和（勺，yi）f并且AT勺形式確定條件方程說明點(diǎn)斜式過點(diǎn)Po（*（p Jo） 斜率k存在y-yo=k(x -

2、 Xo)1、當(dāng)直線1的斜角為90時，直線的斜率不存在， 這時直線1的方程為乂 = Xo；2、當(dāng)直線啲傾斜角為0時，其方程為y = yo.斜裁式斜率k存在，縱裁 距為0y = kx + b直線I的橫*距為-縱裁距為b兩點(diǎn)式過點(diǎn)Pi(xi，yj、 Pl (2 n)，且 yiyiy-yi _ x-Xiyi -71“2 一1、斜率存在且不為霧.斜率為g.才 1 X22、當(dāng)X1=#X2, Ji =力時，P丄P/x軸，這時直線的 方程為y = y久或y =力；3、當(dāng)；ti = xi，yi工山時，P/z丄X軸，這時直線的 方程為* = 乂丄或X = Xj.距式橫#距為 , 縱裁距為b , a W 0, b

3、0X y- + r=i a b1、與A：軸交點(diǎn)為（fib 0）;與y軸交點(diǎn)為（0, b）.2、斜率存在且不為零,且直線不過原點(diǎn)斜率為-2.O一般式A, B不同時為* (” + M H 0)Ax + By + C = 0當(dāng)B時，其斜率為在y軸上的截距為-7； 當(dāng)B =0, AHO時，崔乂軸上的截距為一?適用范圍：（二）直線方程的表達(dá)形式 1、直線方程的五種表達(dá)形式2、四種常用：t踐系(1) 定點(diǎn)直線系方程:經(jīng)過定點(diǎn)Po(*yo)的直線系方程為y-yo = kO-乂0)(除直線乂 = ),其中/e是持定的系數(shù)；經(jīng) 過定點(diǎn)Po(xo ,yo)的直線系方程為(x-Xo)+B(y-yo) =0.其中川，

4、B是待定的系數(shù).(2) 共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線1丄；iX + Biy+Ci = O, h： +=0的交點(diǎn)的直線系方程為G4m+B* +C+AA2x+B2y+a (除Z?),其中持定的系數(shù).(3) 平行直線系方程：與直fty =幻+如平行的直線系方程為y = /fix + /j2,其中Bl豐嘰;表示平行直線AxBy + C = 0 系的方程為4x + By + A = 0,其中久為參變量，入豐C(4) 垂直直線系方程：與直y=kM+久垂直的直線系方程為卩=一存+兒 其中Ae K;表示與直踐處+ By+f = 0垂 直的直線系方程為Bx-i4y+ = 0,其中4為參變量.(三) 兩直線平行與垂

5、直的判定1兩直線交點(diǎn)的判斷：巳知直線【174- Bly + C = 0與 / AiX + Biy + Cj = 0;(1) 若方程組有且只有唯組*,那么這一組解年為交點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 若方程組無解，則G/A;同理，若W 則方程組無解；(3) 若方程組有無數(shù)組解，則比與乂重合；同理，若與4重合，則方程組無解.2、兩直線平行或垂直的判定：(1 )若直線丄；y kX + bjL,直線【2 ； y ,則 /1/2 0心=2，b 豐 b 1、/丄丄【O= 1,(2)若直線 h； /liX+Fiy + Ci = 0 與 b：+=0,其中叭、均不為 0,則G/G Q 務(wù)=詈 H 各 S 丄 4 O 去力2 +

6、 11 = 0.(四) 點(diǎn)到直線的距離1、兩點(diǎn)何距離公式：已知兩點(diǎn)坐標(biāo)PjL(Xji，yj、P&z，y)則PiPi = Jg-e + S-班)2;特別地，平面直角坐 標(biāo)系內(nèi)的某一點(diǎn)Pq (xq , yo)到原點(diǎn)的距離|OPol = J對+ y；2、點(diǎn)到直線的距離公式：巳知某一點(diǎn)Po(N(,o)和某一直線匕 血+ By + f = O, 點(diǎn)/到直線啲距離d = U；2；T3、兩平行線R的距離：兩條平行直線R的距髙是指夬在兩條平行直線間公垂戔段的長.二、圓與圓的方程(一)圓的方程1、圓的定義：(1) 圓的第一定義：在同一平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓.這個定點(diǎn)叫做圓的心.(2) 19的

7、第二定義：平面內(nèi)一動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的比，等于一個不為1的常數(shù)，則此動點(diǎn)的軌逹是圓.2. 圓的一般方程：以仇0)為H心，以I為半徑的圓的一般方程可表示為仗一口)2 + 0甥=宀3B的標(biāo)準(zhǔn)方程：J + h + D乂+ Ey+F=O (D，+ EZ-4FO)農(nóng)示的是以(一#, 一)為IB心.以r =沖乂 +G-4F為半徑的圓.對于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以+護(hù)+ Dr + Ey + F = 0：當(dāng)DU0_4FO時，其表示的軌跡是圓；當(dāng)d+0_4F=O時，其表示的軌跡是點(diǎn)(% -)；當(dāng)D2+2_4FvO時，方程不表示任何圖形.(1)(2)(3)4、圓的直徑方程：以A(xi，y)yj為直徑端點(diǎn)的IB的方程為(X

8、-xi)(x -+ (y -yi)(y- yz) = 0.5. 圓的參數(shù)方程：以(S 0)為圓心，以廠為半徑的圓的參數(shù)方程可表示為gz；囂0(8為參數(shù)，且ee 6、圓系方程：(1 )過定點(diǎn)月(X1，yi)、B(xi，yj 的圓系方程是(x-xi)(x-x2)+ (y-yi)(y-yi) + 一 xlyl-y2-y-ylxl-x2=0,或可以農(nóng)示為mzXr玖七NrpX+C，其中 表示的是S過點(diǎn)A和點(diǎn)B的直找.(2) 以b)為B心的同心BB系方程為(x-y + -b)2 =護(hù)0 0)；與圓y + yZ + D乂 + Ey + F = 0同心的圓系方程為以+ Dr + Ey + 2 = 0.(3)

9、過直線k力x+By + C= 0與圓 r 點(diǎn)P在圓外；(2)rf = F點(diǎn)P在圓上；(3)rf點(diǎn)P在圓內(nèi)；2、直線與H的位置關(guān)系：直1: Ax+ By + f = 0與圓C.仗一)2+ (y - b)2 =廠2的位置關(guān)系有三種，定義rf =為圓 心到直線的距離，則：(1) rf r 相離 od0; ( 2 ) d = r 相切 od = 0; ( 3 ) rf r 相交 od0;3. 圓與ffl的位*關(guān)系：設(shè)兩圓H心分別為5、6,半徑分別為廠口，設(shè)兩BW心的距離101021= d,則：(1) d Il + rj 外離Q 4條公切線；(2) d = 7丄+廠2 外切 3條公切線；(3) -口|

10、vd vr丄+口 O相交0 2條公切線；(4) d = ki-nl 內(nèi)切Q 1條公切線；(5) 0 V d V Iri-rJ Q內(nèi)含o無公切線.(三)圓的切線方程1、巳如圓H+：/+Dx+ F = 0:(1)若巳知切點(diǎn)p(xo ,yo)在圓上，則圓在該切點(diǎn)處的切線方程只有一條，其方程是xH + yoy +警2 +警2+尸=0,當(dāng)點(diǎn)P(X0,yo)在圓外時，直線乂+ yoy +窖 +警藝+ F=o表示過兩 切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程z.(2)過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為y-yo = Kx-xo),再利用相切條件求，這時必有兩條切線，注 意不要掉平行于y軸的切踐，同樣也可以根據(jù)條件設(shè)斜率&為切線方Sy = f

11、cx + b的斜率，再利用相切條 件求b2、已知HF +護(hù)=宀(1) 過圓上一點(diǎn)P(xo ,yo)的切踐方程是畑r + yoy =凡(2) 斜率為k的圓的切線方程為y = kxryfT+l?.3、巳知00(工一 a)，+ (y-b)=廣，IS上一點(diǎn)為P (xq , yo),則過此點(diǎn)的切線方程為(x(, -a)(x- a) +S-b)(y-b)圓懐曲線一圓(一)橢0的定義和橢圓方程1、圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F丄，F(xiàn),的距離的和等于常數(shù)(大于|F丄Fj)的動點(diǎn)P的軌跡叫做橢B,這兩個定點(diǎn) 叫做楠圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距.若iPFj + PFr = |F丄F，則動點(diǎn)P所表示的軌跡為踐段&

12、耳，著|PFj + iPFzl V IF小I，則動點(diǎn)P不表禾任何圖形.2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時，楠圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為爲(wèi)+吾=訟心0),其中c=a-b此時，楠圓 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(G 0)和(一0)(2) 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，H的標(biāo)準(zhǔn)方程為召+令_久S + aO),其中以一以一阱；此時，橢圓 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0, C)和(0, -C)(3) 對于楠E標(biāo)準(zhǔn)方程的M#：只有當(dāng)楠Bl的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸建立的直角坐標(biāo) 系時，才能得到楠B的標(biāo)準(zhǔn)方程；在楠的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有ab 0和d0)的參數(shù)方程為(2)中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的|ftIH+g=l(ad0)的參數(shù)方程為2 2(二)橢0簡單幾

13、何性質(zhì)(以橢圓牯+話=；1(0方0)的性質(zhì)為例，另外一種形式的同理) 1、范H：楠圓上所有的點(diǎn)都位于直線x = fl和丁=所圍成的矩形內(nèi)，所以楠圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足|x| S fl, y M b.2. 對稱性:橢B是以乂紬P軸為對稱紬的軸對稱圖形，并且長以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形.這個對陳中心 成為欄圓的中心.3.頂點(diǎn)：(Dilts的對稱軸與#181的交點(diǎn)稱為瀚圓的頂點(diǎn)；(2 ) J + =l(fli0)與坐標(biāo)軸的四個交點(diǎn)即為楠W的四個頂點(diǎn)，分別為0), A(a, 0), B(Q, -b), fij(0, b)；(3)線段&“h，B辺2分別叫做橢的長軸和短軸，肉血I =2(1, I叭砒=2

14、,其中a和b分別叫做楠圓的長半軸長和短半軸長.4. 離心率：(1) 圓的焦距與長軸長度的比值叫做的離心率，用表示，記作e = = Jl-()其中 0 e 1.(2)當(dāng)&越接近1,則c越接近n,從而0 =應(yīng)二衛(wèi)越小，因此楠圓越扁；當(dāng)e越接近0,則C越接近0,從而 /, = &匸衛(wèi)越接近Q,這時欄圓就越接近與H;當(dāng)且僅當(dāng)fl = b時，心0)焦點(diǎn)焦距范B對稱性頂點(diǎn)Fi(c 0), Fz(c, 0)IF 丄 Fd=2c |x| S fl, lyl S b 于乂軸，y軸和原點(diǎn)對稱(士e 0齊(0” 士 b)幾(0,幾(0. C|F 丄 Fd=2cM S b, y S a(Op 士 ( o)nB0長紬長

15、=2a,短軸長=2b離心*丹 J-G) W)準(zhǔn)踐方程焦半徑|PFd = rt + exQ, PFi = a - exo|PF丄I = a + eyo，|PFj = a ey(,6、楠圓 + g = l(ab0)的圖像中線段的幾何特征:Ml(1) iPFil + |PFd = 2仇豐=船 = 0；KiAlMXK2(2) |PMd+|PMd =牛；(3 ) |Sfi| = IjBFiI = n, OFi =OFi = c, AiB =AiB = fa + Z；a + c.(4) I去Fj =|/hFd =fl-c, l/hFjil =|/UFd =a + c, rt-cS|PFdSfl+c(三)

16、橢圓中的常用結(jié)論1、橢m焦點(diǎn)三角形中，內(nèi)點(diǎn)（在圖*點(diǎn)三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別為內(nèi)點(diǎn)、 外點(diǎn)）到一焦點(diǎn)的距離與以該點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e （離心率）；2、圓焦點(diǎn)三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線分成定fee；則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是詩+需=普+普;3、#0焦點(diǎn)三角形中，半焦距必為內(nèi)外點(diǎn)到中心的比例中項；4、若P0（丸（）柱吉 + 牯= l（flb0）內(nèi)，5、若Pq（Xq0）在楠H$+召=1（。 b 0）內(nèi),則過P。的弦中點(diǎn)的軌跡方程為若+苔=等+泄6、若P 0(K , yj在楠EB廬+尋=久(a A b 0)上,則過P。的欄圓的切線方程是芳+答=1；7、若Po

17、（心小）在圓+益=10）外，則過Po作楠08的兩條切線，切點(diǎn)分別為P丄.Pz，則切點(diǎn)SP丄Pz的直線方程為芳+労=1；8、橢H呂+甘=氓 0）的兩個頂點(diǎn)為心（- 0）,力血，0）,與y軸平行的直線交橢H于P匕時,&樣1與山Pz交點(diǎn)的軌建方程是呂一召=1：9、過楠圓 + =l（flb0）任意一點(diǎn)Po（xo?。?，任意作兩條價斜角互補(bǔ)的直線交楠圓于C兩點(diǎn)，則直線M有定向且kBC = 10、左右焦點(diǎn)分別為L F點(diǎn)P為橢0上的任意一點(diǎn)，且zFxPFj = r.則#圓的魚點(diǎn)三角形的面積taup PPiPPi =丄+“IIMB是楠圓吉+話=1（。 b 0）的不平行于對稱軸的弦,M（Xo, y。）為?1B中點(diǎn)

18、，則om ab 掃12、若久B是橢略十召=l（ab0）的長軸的兩端點(diǎn)，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，PAB = a, PBA =0, aBPA = r. c, e分別為欄圓的半嘯距和離心率，則有：(2 ) tan a tan 0 = 1 e;（1）= ；?：；（2） tariatanfi = t-e;（ 3）= coty;13、設(shè)過ISH 個焦點(diǎn)F的直線與捕圓交于P. Q兩點(diǎn)，力為楠圓長軸上的一個頂點(diǎn)，連接AP和月Q分別相 交于焦點(diǎn)F的楠B準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MF丄NF；14、若P為橢B若+卜10）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，L Fz為魚點(diǎn)，zPFiF, = ff.F丹=0,則蔗=畑哈。冷 15、設(shè)圓 +菩=1（

19、0）的兩個焦點(diǎn)分別為F丄、Fz，P （異于長軸端點(diǎn)）為橢上任意一點(diǎn)，在dPFiFz中，記iPF, = a,乙PF久Fz = , ZF丄F* =八 則蠶：“=討 g；16、巳知橢圓呂+g = lSb0), 0為坐標(biāo)原點(diǎn)，P.上的兩動點(diǎn)，且0P丄0Q,則有:儲嚴(yán)侖=占+右；(2)|OP| + |OQ卩的最大值為鶉；(3)”q的最小值是鶉;17、過楠b +菩=lSb0)的右焦點(diǎn)F作直線交于該楠IB右支于M. W兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交 18、&知構(gòu)圓召+昔=1心0), A. B是橢H上的兩點(diǎn)，線段朋的垂直平分線與乂軸相交于點(diǎn)P(Xq, 0),則一三VXoV 三丄;19、P為楠 + g=l(ab0)

20、任一點(diǎn)，啓Fz為楠IB的兩個焦點(diǎn)，A為楠圓內(nèi)一定點(diǎn)，則 2a -AF PA + |PFJ (“。+By0 + 521、橢略+益=l(ab 0)上任意一點(diǎn)P處的切裁T平分APF小在點(diǎn)P處的外角；22、PT平分APFiE在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線M上的射形H點(diǎn)的軌建是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點(diǎn)；23、以焦點(diǎn)半徑PF丄為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切；24、以圓焦半徑的端點(diǎn)作楠IB的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切 線垂直；25、以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離；26、過楠圓一個焦點(diǎn)f的直線與楠圓交于兩點(diǎn)P、Q,力久，金為楠圓長軸上的頂點(diǎn)，/hP和AQ

21、交于點(diǎn)M, AzP和血Q交于點(diǎn)N,則MF丄NF;27、過橢B焦半徑的端點(diǎn)作楠M的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直；28、若欄+Il(ab0)的左右焦點(diǎn)分別為&、F”左準(zhǔn)線為I, 06b 0),的右準(zhǔn)線f與乂軸相交于點(diǎn)E,過楠圓右焦點(diǎn)F的直線與楠ffl相交于禮3 兩點(diǎn)，點(diǎn)f在右準(zhǔn)線I上，且BC軸，則直線4Cg過毀段EF的中點(diǎn).(四) 解決橢圓問題時的方法和規(guī)律1、求楠ffl標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：(1) #定系數(shù)法：由巳知條件確定焦點(diǎn)的位*,從而確定楠圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條 件確定方程中的參數(shù)的值，其步麋是“先定型，再定*”；(2) 定義法：由已知條件判斷出動點(diǎn)

22、的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定其方程.2、#圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量心h. C的幾何意義：楠圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，三個*的大小與坐標(biāo)紬無關(guān)，是由欄本身的形狀大小所確定的，分別表示#圓的 長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個*的大小關(guān)系為 h0, ac 0且Q =滬+以.3、確定的標(biāo)準(zhǔn)方程：任何有一個對稱中心、兩條對豚軸，當(dāng)且僅當(dāng)*圓的對稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸, 楠的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式，此時，楠圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)紬上;確定一個橢W的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個條件：兩個定形條件g b; 一個定位條件是焦點(diǎn)坐標(biāo)，由*點(diǎn)坐標(biāo) 的形式確定楠W標(biāo)準(zhǔn)方程的類型.4、由楠圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位*:橢的焦點(diǎn)總在長

23、軸上，因此已知圓標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位*的方法是：看護(hù)的分母的大小, 哪個分母大，焦點(diǎn)就在哪個坐標(biāo)軸上.5、方砂衛(wèi)+ B護(hù)=C (兒B. C均不為尊)表示欄圓的條件：方程力Q + bF=C可化為學(xué)+孚=1,亦Bp4+4=1.所以只有月、C同號，且方程A B表示,當(dāng)訂討，楠圓的焦點(diǎn)在X軸上；當(dāng)風(fēng)訓(xùn)，楠IB的焦點(diǎn)在y軸上.6、求解與儀點(diǎn)三角形APF丄Fz有關(guān)的計算問題時，常要考慮橢圓的定義及余取定理(或勾股定理)、三角 形面積公式鬥PC =扌1卩&| - iPFJ -sinrfiPfi相結(jié)合的方法進(jìn)行計算解題；將有關(guān)線段IPF小|PFd、|F/d，和有關(guān)角E、尸丄巧、結(jié)合起來，建立|小iPFzl、

24、iPFj + |PFd之何的關(guān)系.7、共焦點(diǎn)的楠H標(biāo)準(zhǔn)方程有在形式上的差異，由于共焦點(diǎn)，則誹同，與召+召=1(2 20)共焦點(diǎn)的楠B方程可設(shè)為;+ 鼻=l(ni -滬)，此類問題常用待定系數(shù)法解決.、UHI曲線雙曲線()雙曲線的定義和雙曲線方程K雙曲線的定義：(1) 雙曲線的笫一定義：到兩個定點(diǎn)F占氏的距離之差的絕對值等于定長(|fiFi|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙 曲線(IIPF1I -iPfzil =2a0. b0);(2) 當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時，標(biāo)準(zhǔn)方程為g-=l(a0. h0)：(3) 對于雙曲踐的標(biāo)準(zhǔn)方程的解釋；在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，= 0. bQ)的寥數(shù)方程為:工爲(wèi)帥為參數(shù))(2)中心

25、為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y紬的雙曲線g-=l(fl0, h0)的參數(shù)方程為2 2(二)雙曲1( 0, bQ)的簡單幾何性質(zhì)1、范圍：雙曲線l(a0, b 0)的范圍是|x| a, yR;2、對稱性：關(guān)于X軸.y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱；3、頂點(diǎn)：軸端點(diǎn)月久(一, 0)、Ai(a, 0);4、離心率：定義e =才叫做雙曲線的離心率，其中離心率的轉(zhuǎn)化公式還有0 = Jl + 著,離心率的范圍是 e e (1, + 00);5浙近線：(IX雙曲線的方程為召一若=10, b0),則雙曲鰻的漸近踐方程為J- = 0.EPy = +x； (2諾雙曲線的方程為J- = l(0. &0).則雙曲線的漸近踐方程為音一巻

26、=0,即卩=討 (3)雙曲張的形狀與離心*C的關(guān)系：fc = ?= 件史=JJ匚;=e期大，RP漸近線的斜率 的絕對值就越大，這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開,即雙曲線的離心率越大，它的開口就越 6、雙曲線呂一炸=久(0, h 0)和若一召=10, b0)的性質(zhì)比較：標(biāo)準(zhǔn)方程審務(wù)論0,)g-=l(a0, Z,0)定 義第一定義到兩個定點(diǎn)Fx與Fz的距離之差的絕對值等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線第二定義動點(diǎn)到一定點(diǎn)f的距離與它到一條定直踐的距離之比是*數(shù)e(el)Bi，這個動點(diǎn)的軌建是雙曲釵圖形Xw / $一/J幾 何 性 質(zhì)焦點(diǎn)坐標(biāo)&(一6 0),巧(G 0)&(0, c), Fi(o, -c

27、)儼點(diǎn)在實(shí)軸上，C = y/a + fa;焦距：= 2c頂點(diǎn)Ai(-a, 0), Ai(a, 0)1(0, a), Ai(o, -a)范圍|x| a, ye R|y a，xeR對稱性關(guān)于X軸.y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)戌中心對稱離心率厭+8), i,咦大則雙曲踐開口的開臟越大準(zhǔn)方程fl*X = C準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸且在兩頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè)；兩準(zhǔn)線間的距離：牛頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的 距離頂點(diǎn)毎)到準(zhǔn)線山)的距離為4 -呂頂點(diǎn)九(如)到準(zhǔn)賤4心)的距離為十7焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的儼點(diǎn)FjFz)到準(zhǔn)線4(4)的距高為= T 焦點(diǎn)幾(耳)到準(zhǔn)巍4()的距離為t + W漸近線方程b八訐a尸士礦共漸近踐雙曲 踐系方程*2y2廠計k(0)yl乂

28、1r W)過雙曲踐上一 點(diǎn)的切踐方程等-罟=1或利用導(dǎo)數(shù)詈-等或利用導(dǎo)數(shù)(三)雙曲線中的常見概念1、等軸雙曲線：(1) 等軸雙曲線的定義：&知雙曲線-=1(0, fa0).當(dāng)且僅當(dāng)= 時，稱該雙曲線為 等軸雙曲竣；(2) 等軸雙曲線的性質(zhì)：fl = b;離心率0 =血；兩漸近踐互相垂直，分別為y=x： 等 軸雙曲線的方程為x-y = A(a豐0);等紬雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩個焦點(diǎn)的距離的 比例中項.2、共軌雙曲線：(1) 共輒雙曲線的定義：以巳知雙曲踐的崖軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共輒雙 曲線，通常稱它們互為共窺雙曲線；雙曲線召一若=論0, fc0)的共輒雙曲線為

29、-=-1：(2)共$6雙曲線的性質(zhì)：共雙曲線有共同的漸近線；共軌雙曲線的四個焦點(diǎn)共18;它們的離心率 的倒數(shù)的平方和等于1.3、焦點(diǎn)弦：過焦點(diǎn)的直線割雙曲踐所形成的弦；4、通徑：過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的相交弦，通徑長為甞.(四)雙曲線中的常用結(jié)論1、點(diǎn)與雙曲線的位*關(guān)系：(1 )點(diǎn)P (% , y。)在雙曲線尋一 g = 1 (fl 0, b 0)外部o 1;(2 )點(diǎn)P (xqo)在雙曲線市 = l(a 0i b 0)內(nèi)部 誥V 1；(3 )點(diǎn)P (xqq)在雙曲線麗一話=l(a 0, b 0)上o計一普=1；2、直毀與雙曲踐的關(guān)系：巳知直線/; y = kx + m與雙曲=h0)直線與雙曲線

30、交于兩點(diǎn)(左右支各有一點(diǎn))(1)當(dāng)加=0時? “ b “ b；I k2； k 0 時,(3)當(dāng)m 0, &存在，滬一akHO時：機(jī)2+滬一0,直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)；Av 0時，皿2 +滬一以以A=O0t, m* +，一 QQ=O,則Q = 罟克線與雙曲踐有一個交點(diǎn)； 其中 A= （2amk） 4（0，以以）（4）當(dāng)mHO, k不存在時： -rtvmvfl時，直線與取曲線沒有交點(diǎn)； m a或mv-a時，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn).3、過定點(diǎn)的直踐與雙曲線的位置關(guān)系：巳知直線I： y = kx + m過定點(diǎn)P（xo ,yo）與雙曲線若一音=1（ 0, b0）（1）當(dāng)P（Xo0）在雙曲線內(nèi)部時:時，直

31、線與雙曲找兩支各有一個交點(diǎn);aak = 士討，直線并與雙曲線相交于一點(diǎn);k -或k聲0工）或；V上V瓷3。工）或*2或*32或k不存在時aaaa直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；當(dāng)P不為（0,0）時，=過點(diǎn)P（勺?。┑闹臂`與雙曲線相切；當(dāng)“土!時，直釵與雙曲線只交于一點(diǎn).4.與雙曲線呂一益=10, b0）共漸近線的雙曲線羨方程是呂一 g=k（kHO）;6.7.8.9.與雙曲線咅一苔=10, b0）共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是呂一盤=1；弦長公式：若直線y = kx + b與雙曲線相交于力、B兩個點(diǎn)，且X勺分別為札B的橫坐標(biāo)，則AB = VTTPlxi-Xil;若y丄，”分別為札 B的縱坐標(biāo)，則AB = J1 +

32、-yzl；以焦點(diǎn)半徑PF丄為克徑的IB必與以實(shí)軸為直徑的H相切.（內(nèi)切：P柱右支；外切：P在左支）； 過雙曲踐焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以實(shí)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必 與切線垂直；眾曲找焦點(diǎn)三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的儼半徑之比為常數(shù)e （離心率）；10、雙曲線焦點(diǎn)三角形中，其焦點(diǎn)所對的旁心將外點(diǎn)與非愿頂點(diǎn)連線分成定比e （離心率）；11、雙曲線焦點(diǎn)三角形中，半焦距必為內(nèi)外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項；12、若點(diǎn)卩。(“小)在雙曲線- = l(n0. 60)內(nèi)，則%所平分的中點(diǎn)弦的方程是芳一備=尋一希 13、若點(diǎn)P.仏小)在雙曲線卜IMqO, 6O)內(nèi)，則

33、過P。的弦中點(diǎn)的軌跡方程是詩罟:;14、若點(diǎn)P。)在雙曲線-召=1(0, 20)上，則過P。的雙曲線的切線方程為等-器 715、若點(diǎn)Po(o.y)在雙曲線- = 1(0. b0)外，則過P。作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為匕.Pz，則切點(diǎn)弦P迂2的直線方程礙-器=1；sin ac= (sin y- sin p)a16、設(shè)雙曲線- = l(a0. b0)的兩個焦點(diǎn)分別為F久、Fz，P (異于實(shí)軸端點(diǎn))為雙曲線上任意一點(diǎn)，飪P T中，記乙f久PF2 = a, FH=p, zF丄巧P=F，則17、設(shè)雙曲線ZjaO)的左右焦點(diǎn)分別為&、心，左準(zhǔn)踐為I,則當(dāng)le0, h0)上的任一點(diǎn)，幾、Fz為兩焦點(diǎn)，4為雙

34、曲線內(nèi)部的一定點(diǎn)，W |4FJ-2fl0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、幾，點(diǎn)P為雙曲線上的任意一點(diǎn)，且iPFi = y,則雙曲線的焦點(diǎn)三角形的面積孔1&PF嚴(yán)bUotf , |PFj|PFd =一。220、過雙曲線一個焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P. Q,規(guī)，金為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，九P和金Q交 于點(diǎn)M,力zP和A1Q交于點(diǎn)則MF丄NF;21、設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)，為雙曲踐實(shí)軸上一個頂點(diǎn)，連結(jié)4P和力Q分別 交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲域準(zhǔn)線于M, W兩點(diǎn)，則MF丄NF;22、是雙曲線b0)的不平行于對稱柚的弦，M( 九)為中點(diǎn)，則koM = 瓷，即化*8 = 議；23、雙曲線- =

35、 1(0, h0)的兩個頂點(diǎn)為如(一0，0), A(a, 0),與y軸平行的直線交雙曲線于P丄.Pz時，&丄P丄與血Pz交點(diǎn)的軌跡方程是+=1；24、過雙曲線呂一召=1(20, t0)上任意一點(diǎn)P。(勺*0),任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲 線于B, C兩點(diǎn)，則直線毗有定向且*肌=一驚；25、若P為雙曲線呂一石=論0, d0)右(或左)支上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，&、心為焦點(diǎn),厶PFjFi = a, PiFi = pt 則-=tancot (或匚=仙170礙);c+az2c十a(chǎn)z226、過雙曲線菩_g=l(a0, bQ)的右焦點(diǎn)F作直線交于該雙曲線右支于M、N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分張交*軸于點(diǎn)F,

36、則gf = f； 27、巳知雙曲線l(a0. b0), A. B是雙曲線上的兩個點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與乂軸相交于點(diǎn)P0),則 年丄或乂0 S料；28、點(diǎn)P處的切線PF平分P/Vz在點(diǎn)P處的內(nèi)角；29、M平分APFiF,在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PF上的射形H點(diǎn)的軌逹是以實(shí)軸為直徑的圓，除去 實(shí)軸的兩個端點(diǎn)；30、雙曲咯一召=10, bQ)與直線處+ By+C = 0有公共點(diǎn)的充要條件丹一少從 0. h0). O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲踐上的兩動點(diǎn)，且OPJLOQ,則有:扁+為=吉右；(2)|OP卩+|0卯的最大值為騫；(3)嘰的最小值是暮;32、若久B是雙曲線- = l(fl0. h0)

37、的實(shí)軸的兩端點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，AB = , PBA =趴aBPA = r，c c分別為橢的半焦距和離心率，則有：(2 ) tan a tan p = 1 -e；(3) SpAB =必円黑譌；33、巳知雙曲蚪一苔=1(20, h0)的右準(zhǔn)線豬;r軸相交于點(diǎn)E,過雙曲踐右焦點(diǎn)F的直線與雙曲 線相交于蟲、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)如上，且BC丄X軸，則直踐M經(jīng)過線段EF的中點(diǎn)；34、過雙曲線焦半徑的竭點(diǎn)作雙曲踐的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)連線必與焦半徑互相垂直; 以焦點(diǎn)SPQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交；36.雙曲線呂一若=1(0, h0)與直踐&x + By + 0. b0)的焦半徑公式:(1)當(dāng)M(Jto*o)在雙曲找的右支上時，iMFj =eo + a, |MFd =6乂0-硏(2) 當(dāng) M (xo , yo)在雙曲線的左支上時，iMFj =-e;ro+m | AfFJ =-e