利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的九種類型及解法

1、全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案匯編(附詳解)利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的九種類型及解法1.形如 an* -an = f (n)型(1 )若f(n)為常數(shù)，即：an屮an=d,此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列，貝J an = ai+(n1)d.(2)若£(門)為n的函數(shù)時(shí)，用累加法.方法如下：由an卡-an=f(n)得:n 呂 2 時(shí)，anan= f( n1)，an一 an _2 = f ( n - 2), a3 - a2 = f (2)a2 ai = f(1)所以各式相加得 an - a1 = f (n -1) + f (n - 2) + + f (2) + f (1)n -1即：aa1 +2 f (k

2、).k i為了書寫方便，也可用橫式來寫:n2 時(shí)，an-an4 = fS-1),an =(an -an) +(an4 an/) +(a2 aj +a1=f (n -1) + f(n -2) + + f(2) + f(1) + 印.例1.(天津文)已知數(shù)列 an滿足a1 =1,an =3 +an4(n注),31證明宀例2.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且an卄an+2n(n- N*)寫出數(shù)列畀的通項(xiàng)公式.例3.已知數(shù)列an滿足a. =3 , a.an A.+由2)'求此數(shù)列的通項(xiàng)公式-例4.已知數(shù)列an中，an>0 且 Sn+上)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.an2.形如a = f(n)型an(1

3、 )當(dāng)f(n)為常數(shù)，即:an十=qan(其中q是不為0的常數(shù)),此時(shí)數(shù)列為等比數(shù)列，an(2 )當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時(shí)，用累乘法.由 a = f( n)得nX2 時(shí)，亙=f( n-1),anan4竝 也”亞.ai=f(n)f(n-1)十(1) ai.an斗 an-2a1例1.設(shè)J堤首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n +ia2出-na； +an4ian =0 ( n=1 , 2,3，)貝S它的通項(xiàng)公式是an例2.已知an卅二nan + n-1,ai >-1,求數(shù)列仙的通項(xiàng)公式.3.形如 an+ +af (n)型(1)若anan =d(d為常數(shù))，則數(shù)列an為“等和數(shù)列，”它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為

4、2,其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論；n-h n(2)若f(n)為n的函數(shù)(非常數(shù))時(shí)，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為a計(jì)-an = f(n)型，通過累加來求出通項(xiàng);或用逐差法(兩式相減)得an+-an_i=f( n)-f(n-l),分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng).例1.數(shù)列an滿足ai =O,an十+an =2n ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.例2.(優(yōu)質(zhì)試題江西卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn - Sn 2=34嚴(yán)23),且S1 =1，S-|,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.4.形如 an+ 6 = f (n)型(1 )若an卅-a p(p為常數(shù))，則數(shù)列an為“等積數(shù)列，”它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為 2, 其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)

5、來討論；(2)若f(n)為n的函數(shù)(非常數(shù))時(shí)，可通過逐差法得an曰2 = f(n-1),兩式相除后，分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng).例1.已知數(shù)列an滿足.Sn (擴(kuò)心*),求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.5.形如 anHt =can +d,(cH0 ,其中 ai =a)型(1 )若C=1時(shí)，數(shù)列an為等差數(shù)列；(2)若d=0時(shí)，數(shù)列an為等比數(shù)列；(3)若c工1且d H0時(shí)，數(shù)列an為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.方法如下：設(shè) an+ + A =C(an + A),得an卡=can +(c-1)幾,與題設(shè)an十can +d,比較系數(shù)得plplpl(c 1)A = d ,所以 A ：= ,(

6、c 工0)所以有：an + = C(an JL +)因此數(shù)列an +±C 一1C 一1C 一1，構(gòu)成以a 為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列,c -1所以 an +=1 +) 'Cnd 即： an =佝 +-) V .C1C-1C-1C-1規(guī)律：將遞推關(guān)系an =can +d化為an+ + -=C(an +),構(gòu)造成公比為C的等比數(shù)列c-1c-1a從而求得通項(xiàng)公式an+= +cn(a1 +)c -11 -cc -1有時(shí)我們從遞推關(guān)系an十can +d中把n換成n-1有an can+d，兩式相減有an十-an =c(an -an_L)從而化為公比為c的等比數(shù)列a卄- an，進(jìn)而求得通

7、項(xiàng)公式.an+ -an =cn(a2 -a)再利用類型(1)即可求得通項(xiàng)公式.我們看到此方法比較復(fù)雜.例1.已知數(shù)列6中，心"2七，求通項(xiàng)a".分析：兩邊直接加上±構(gòu)造新的 等比數(shù)列。6.形如 an4i= pan +f( n)型.(1)若f (n) =k n +b(其中k,b是常數(shù)，且 2 0)全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案匯編（附詳解）方法：相減法例1.在數(shù)列an中,al =1, an*H= 3an +2n,求通項(xiàng)a例2.在數(shù)列an中,3 cai = ,2an2-an=6n -3,求通項(xiàng)a若f（n） =qn（其中q是常數(shù),且n工0,1)若 p=1 時(shí)，即：anHi

8、=an +qn，累加即可.若p 時(shí)，即：an卅=p -an +q求通項(xiàng)方法有以下三種方向: i.兩邊同除以pnj即:an 十 anpn+qr)n，令 bn =q二丄彈）n,然后類型1,累加求通項(xiàng).P qii.兩邊同除以q即:令bn =¥，則可化為bn+ =衛(wèi)煉十1.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解,qq q全國名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)學(xué)案匯編(附詳解)iii.待定系數(shù)法: 設(shè)a+qn+= p(a+A. pn).通過比較系數(shù)，求出a ,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).例1.(優(yōu)質(zhì)試題天津理)+(-1)n ”2na0 ；設(shè)a。為常數(shù)，且an=322ann邛).證明對任意n羽,an J3n +(-1)n* ”257

9、.形如 an- Pan q 型ran +s(1) p,r,s H0,q =0 即 aP anran+s取倒數(shù)法.例1.已知數(shù)列中,ai = 2， a2a+1(n >2)，求通項(xiàng)公式an。log 2 n表示不超n = 2,3,4,例2.(湖北卷)已知不等式寸+十季心'其中n為大于2的整數(shù),過log2 n的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列an的各項(xiàng)為正，且滿足a1 =b(b A0),an <阿n *2(!)證瓶 MbgTr3,4,5，8.形如an+ = pan +qanM其中p,q為常數(shù)）型(1 )當(dāng) P+q=1 時(shí)用轉(zhuǎn)化法例1.數(shù)列 a.中，若ai=8,= 2 ,且倆足 an42 4an出 + 3an =0,求 a(2)當(dāng) p2 +4q "時(shí)用待定系數(shù)法.例2.已知數(shù)列 an滿足an七-5an十+6an =0，且a1, a5,且滿足，求a9.形如an十pan（其中p,r為常數(shù)）型（1） p>0 , an>0 用對數(shù)法.例1.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列£n 滿足31 , an=2an（n支