基本計(jì)數(shù)原理概念及例題

1、基本計(jì)數(shù)原理分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它有 N類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有M種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有M種不同的方法，在第N類(lèi)辦法中有 M種不同的方法，那么完成這件事情共有 M+M+MN 種不同的方法。2、分步乘法計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成N個(gè)步驟，做第一 步有ml#不同的方法，做第二步有M不同的方法，做第 N步有MN不同的方法.那么完成這件事共有 N=MM.M n種不同的方法。3、排列：從n個(gè)不同的元素中任取 m(mc n)個(gè)元素，按照 一定順序 排成一列，叫做從 n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列4、排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出 m(m n)個(gè)元素排成一列，稱(chēng)為從 n個(gè)不

2、同元素中取出 m個(gè)元素的一個(gè)排列.從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號(hào)表示。5、公式：6、組合：從n個(gè)不同的元素中任取 m(m n)個(gè)元素并成一組，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一 個(gè)組合。7、公式：n c° n x-x 1 n 12 n 2 2r r n r rn n n8、二項(xiàng)式定理：(a b)CnaCna b Cna b Cna b Cnb展9f式暢通速公式：Tr 1 C；an rbr (r 0,1n)10、二項(xiàng)式系數(shù)C：為二項(xiàng)式系數(shù)(區(qū)別于該項(xiàng)的系數(shù))11、楊輝三角：(1)對(duì)稱(chēng)性：Cn Cn r r 0, 1, 2,，n(2)系數(shù)和：C0 Cn Cn 2

3、n(3)最彳t: n為偶數(shù)時(shí)，n+1為奇數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為第nn2 1項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)為C2; n為奇數(shù)時(shí)，(n 1)為偶數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式n 1 n 1系數(shù)最大即第項(xiàng)及第u 1項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)為C? c/22排列組合例題1. (2010?山東濰坊)6個(gè)人分乘兩輛不同的汽車(chē)，每輛車(chē)最多坐4人，則不同的乘車(chē)方法數(shù)為 ()A. 40B. 50C. 60D. 70答案B解析 先分組再排列，一組 2人一組4人有C26= 15種不同的分法；兩組各 3人共有C36A22= 10種不 同的分法，所以乘車(chē)方法數(shù)為25X 2=50,故選B.2有6 個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3 人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相

4、鄰的不同坐法有()A 36 種B 48 種C 72 種D 96 種 答案 C 解析 恰有兩個(gè)空座位相鄰，相當(dāng)于兩個(gè)空位與第三個(gè)空位不相鄰，先排三個(gè)人，然后插空，從而共A33A24= 72種排法，故選 C.3只用 1,2,3 三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有()A 6 個(gè) B 9 個(gè)C 18 個(gè) D 36 個(gè) 答案 C 解析 注意題中條件的要求，一是三個(gè)數(shù)字必須全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選四個(gè)數(shù)字共有C13= 3(種)選法，即1231,1232,1233 ,而每種選擇有 A22X C23= 6(種)排法，所以共有 3X6= 18(種

5、)情況，即這樣的四位數(shù)有18 個(gè)4 男女學(xué)生共有8 人， 從男生中選取2 人， 從女生中選取1 人， 共有 30 種不同的選法，其中女生有()A 2 人或3 人B 3 人或4 人C 3 人D 4 人 答案 A解析 設(shè)男生有n人，則女生有(8 n)人，由題意可得C2nC18-n=30,解得n=5或n=6,代入驗(yàn)證，可知女生為2 人或 3 人5某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10 級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用 8 步走完，則方法有()A 45 種B 36 種C 28 種D 25 種 答案 C解析因?yàn)?0+8的余數(shù)為2,故可以肯定一步一個(gè)臺(tái)階的有6步，一步兩個(gè)臺(tái)階的有 2

6、步，那么共有C28= 28種走法.6某公司招聘來(lái)8 名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個(gè)部門(mén)，其中兩名英語(yǔ)翻譯人員不能分在同一個(gè)部門(mén)，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個(gè)部門(mén)，則不同的分配方案共有()A 24 種B 36 種C 38 種D 108 種 答案B 解析 本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，據(jù)題意可先將兩名翻譯人員分到兩個(gè)部門(mén)，共有2 種方法，第二步將 3 名電腦編程人員分成兩組，一組1 人另一組2 人，共有C13 種分法，然后再分到兩部門(mén)去共有C13A22種方法，第三步只需將其他3人分成兩組，一組1人另一組2人即可，由于是每個(gè)部門(mén)各4人，故分組后兩人所去的部門(mén)就已確定，故第三步共有C13種

7、方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有2C13A22C13=36( 種 ) 7 .組合數(shù) Crn(n>r > 1, n, r C Z)恒等于() 1n 1Cr 1n 1 B (n 1)(r 1)Cr 1n 1 C nrCr 1n 1 1n 1 答案 D解析Crn= n! r ! x （n r） !=nx （n 1） ! r x （r 1） ! x （n 1） （r 1） ! = nrCr 1n 1,故選 D.8 .已知集合A=5 , B= 1,2 , C= 1,3,4,從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A 33 B 34C 35 D 36 答案

8、 A解析所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中不含1的有C12?A33= 12個(gè)；所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有1個(gè)1的有C12?A33+ A33=18個(gè)；所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有2個(gè)1的有C13= 3個(gè).故共有符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為12+18 + 3=33個(gè)，故選A.9 （2010?四川理，10）由 1、 2、 3、 4、 5、 6 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且1、 3 都不與 5 相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A 72 B 96C 108 D 144 答案 C解析 分兩類(lèi)：若1與3相鄰，有 A22?C13A22A23= 72（個(gè)），若1與3不相鄰有 A33?A33= 36（個(gè)）故共有72+36

9、= 108個(gè).10 （2010? 北京模擬） 如果在一周內(nèi)（ 周一至周日） 安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有（）A 50 種 B 60 種C 120 種 D 210 種 答案 C 解析 先安排甲學(xué)校的參觀時(shí)間，一周內(nèi)兩天連排的方法一共有6 種： （1,2） 、 （2,3） 、 （3,4） 、 （4,5） 、（5,6）、（6,7）,甲任選一種為 C16,然后在剩下的5天中任選2天有序地安排其余兩所學(xué)校參觀，安排方 法有A25種，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有不同的安排方法C16?A25= 120種，故選C.二

10、、填空題11安排 7 位工作人員在5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5 月 1日和 2 日，不同的安排方法共有種 （ 用數(shù)字作答） 答案 2400解析先安排甲、乙兩人在后5天值班，有A25= 20（種）排法，其余5人再進(jìn)行排列，有A55= 120（種） 排法，所以共有20 X 120= 2400（種）安排方法.12 今有2 個(gè)紅球、3 個(gè)黃球、4 個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9 個(gè)球排成一列有種不同的排法 （ 用數(shù)字作答） 答案 1260解析由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個(gè)組合問(wèn)題，共有C49?C25?C33= 1260（種）排法.13

11、 （2010? 江西理，14） 將 6 位志愿者分成4 組，其中兩個(gè)組各2 人，另兩個(gè)組各1 人，分赴世博會(huì)的四個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有種 （ 用數(shù)字作答） 答案 1080解析先將6名志愿者分為4組，共有C26C24A22種分法，再將4組人員分到4個(gè)不同場(chǎng)館去，共有 A44種分法，故所有分配方案有：C26?C24A22?A44= 1 080種.14 （2010? 山東濟(jì)寧）要在如圖所示的花圃中的5 個(gè)區(qū)域中種入4 種顏色不同的花，要求相鄰區(qū)域不同色，有 種不同的種法（ 用數(shù)字作答） 答案 72 解析 5 有 4 種種法，1 有 3 種種法，4 有 2 種種法若1 、 3 同色， 2 有

12、 2 種種法，若1 、 3 不同色，2有 1 種種法，.有 4X 3X 2X (1 X 2+1 X 1) = 72 種.三、解答題15 (1) 計(jì)算C98100 C199200；(2)求 20C5n+5=4(n +4)Cn 1n+3+15A2n+ 3 中 n 的值.解析(1)C98100 + C199200= C2100+ C1200= 100X 992 + 200= 4950+ 200 = 5150.(2)20 x (n +5) ! 5! n! = 4(n + 4) x (n + 3) ! (n-1) ! 4! + 15(n + 3)(n +2),即(n +5)(n +4)(n + 3)(n

13、 + 2)(n + 1)6 =(n + 4)(n + 3)(n + 2)(n +1)n6 + 15(n + 3)(n +2),所以(n + 5)(n + 4)(n +1) (n + 4)(n + 1)n =90,即 5(n + 4)(n + 1) = 90.所以 n2 + 5n 14= 0,即 n= 2 或 n= 7.注意到 nR 1 且 n C Z,所以 n =2. 點(diǎn)撥 在 (1) 中應(yīng)用組合數(shù)性質(zhì)使問(wèn)題簡(jiǎn)化，若直接應(yīng)用公式計(jì)算，容易發(fā)生運(yùn)算錯(cuò)誤，因此，當(dāng)m>n2時(shí)，特別是m接近于n時(shí)，利用組合數(shù)性質(zhì)1能簡(jiǎn)化運(yùn)算.16 (2010? 東北師大附中模擬) 有一排 8 個(gè)發(fā)光二極管，每個(gè)

14、二極管點(diǎn)亮?xí)r可發(fā)出紅光或綠光，若每次恰有 3 個(gè)二極管點(diǎn)亮，但相鄰的兩個(gè)二極管不能同時(shí)點(diǎn)亮，根據(jù)這三個(gè)點(diǎn)亮的二極管的不同位置和不同顏色來(lái)表示不同的信息，求這排二極管能表示的信息種數(shù)共有多少種？ 解析 因?yàn)橄噜彽膬蓚€(gè)二極管不能同時(shí)點(diǎn)亮，所以需要把3 個(gè)點(diǎn)亮的二極管插放在未點(diǎn)亮的5 個(gè)二極管之間及兩端的6個(gè)空上，共有 C36種亮燈辦法.然后分步確定每個(gè)二極管發(fā)光顏色有2X 2 X 2 = 8(種)方法，所以這排二極管能表示的信息種數(shù)共有C36X 2X2X 2= 160(種).17 按下列要求把12 個(gè)人分成3 個(gè)小組，各有多少種不同的分法？(1) 各組人數(shù)分別為2,4,6 個(gè)；(2) 平均分成3

15、個(gè)小組；(3) 平均分成3 個(gè)小組，進(jìn)入3 個(gè)不同車(chē)間解析(1)C212C410C66 = 13 860(種)；(2)C412C48C44A33= 5 775(種)；(3)分兩步：第一步平均分三組；第二步讓三個(gè)小組分別進(jìn)入三個(gè)不同車(chē)間，故有C412C48C44A33?A33C412?C48?C44= 34 650(種)不同的分法.18 6 男 4女站成一排，求滿(mǎn)足下列條件的排法共有多少種？(1) 任何 2 名女生都不相鄰有多少種排法？(2) 男甲不在首位，男乙不在末位，有多少種排法？(3) 男生甲、乙、丙排序一定，有多少種排法？(4) 男甲在男乙的左邊(不一定相鄰) 有多少種不同的排法？ 解析 (1) 任何 2 名女生都不相鄰，則把女生插空，所以先排男生再讓女生插到男生的空中，共有A66?A47種不同排法.(2) 方法一：甲不在首位，按甲的排法分類(lèi)，若甲在末位，則有A99 種排法，若甲不在末位，則甲有A18種排法，乙有A18 種排法，其余有A88 種排法，綜上共有(A99 + A18A18?A88)種排法.方法