第二章 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)5.6課件

1、第二章 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)單自由度系統(tǒng)不但包含振動(dòng)理論的重要基礎(chǔ)，而且工程上有許多問(wèn)題都可以簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)并得到滿意的結(jié)果。此外，應(yīng)用坐標(biāo)變換或振型疊加法，多自由度系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)可以轉(zhuǎn)化為單自由度系統(tǒng)進(jìn)行分析。因此，單自由度系統(tǒng)分析理論還是進(jìn)一步研究復(fù)雜振動(dòng)的基礎(chǔ)。2.1振動(dòng)微分方程單自由度系統(tǒng)由質(zhì)量、彈簧及阻尼組成，一般受外部激勵(lì)作用。圖2.1(a)即為一簡(jiǎn)單的單自由度彈簧-阻尼器-質(zhì)量系統(tǒng)，單自由度系統(tǒng)振動(dòng)微分方程是一個(gè)二階常系數(shù)微分方程。下面就通過(guò)幾個(gè)例題來(lái)說(shuō)明振動(dòng)微分方程的建立方法。例一 簡(jiǎn)單彈簧質(zhì)量系統(tǒng)如圖2.1(a)所示：一單自由度彈簧-阻尼器-質(zhì)量系統(tǒng)。該系統(tǒng)受激勵(lì)作用，

2、質(zhì)量、彈簧剛度和阻尼分別為m、k和c，彈簧無(wú)初始變形。解：取質(zhì)量塊為研究對(duì)象，以表示水平振動(dòng)位移，當(dāng)質(zhì)量塊水平振動(dòng)位移為時(shí)，速度為，其受力圖如圖2.1(b)所示。根據(jù)牛頓第二定律，在水平方向有： (2.1)整理得： (2.2)例二 基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的振動(dòng)圖2.2(a)為基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起系統(tǒng)振動(dòng)的簡(jiǎn)化模型，如地震引起的機(jī)床、設(shè)備、工程結(jié)構(gòu)物振動(dòng)等。圖中為基礎(chǔ)的振動(dòng)位移，此類(lèi)問(wèn)題可用兩種坐標(biāo)系建立方程，質(zhì)量塊的絕對(duì)振動(dòng)位移或質(zhì)量塊相對(duì)基礎(chǔ)的振動(dòng)位移。當(dāng)采用絕對(duì)坐標(biāo)時(shí)，設(shè)為質(zhì)量塊的絕對(duì)振動(dòng)位移，彈簧兩端相對(duì)位移為，阻尼器兩端相對(duì)速度為，受力圖如圖2.2(b)所示。圖2.2(a)力學(xué)模型 圖2.2(b)絕對(duì)坐

3、標(biāo) 圖2.2(c)相對(duì)坐標(biāo)根據(jù)牛頓第二定律,在豎直方向有： (2.3)整理得： (2.4)當(dāng)采用相對(duì)坐標(biāo)時(shí)，設(shè)為質(zhì)量塊相對(duì)基礎(chǔ)的振動(dòng)位移，則質(zhì)量塊的絕對(duì)加速度為，受力圖如圖2.2(c)所示。根據(jù)牛頓第二定律，在豎直方向有： (2.5)整理得： (2.6)方程(2.4)和(2.6)形式上有差別，但計(jì)算結(jié)果是一樣的。在此例中，我們沒(méi)有考慮重力及彈簧在重力作用下的初始變形，這是因?yàn)槲覀兪窃谄胶鉅顟B(tài)下研究振動(dòng)增量，對(duì)于線性系統(tǒng)，初始變形量可以不考慮。在前面兩例中建立方程時(shí)我們也沒(méi)有標(biāo)明坐標(biāo)原點(diǎn)及其靜平衡位置，這是因?yàn)檎駝?dòng)分析只研究振動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)位移、速度、加速度和動(dòng)力等部分，分析的是系統(tǒng)的附加動(dòng)位移和附

4、加動(dòng)力等，坐標(biāo)原點(diǎn)或靜平衡位置對(duì)動(dòng)力分析沒(méi)有影響。正因?yàn)槿绱?，作結(jié)構(gòu)全部受力分析時(shí)還要疊加上靜力分析結(jié)果。比較(2.2)、(2.4)和(2.6)可以看出，單自由度系統(tǒng)振動(dòng)微分方程一般形式為： (2.7)對(duì)于線性系統(tǒng)，系統(tǒng)參數(shù)m、c和k為常數(shù)，方程是二階常微分方程。只是對(duì)不同的問(wèn)題，其系數(shù)m、c、k和外力的表達(dá)形式不同，初始位移和初始速度不同。二階常系數(shù)微分方程的解有兩個(gè)待定常數(shù)，由系統(tǒng)初始位移和初始速度確定。當(dāng)系統(tǒng)沒(méi)有激勵(lì)時(shí)，叫作自由振動(dòng)，對(duì)應(yīng)的振動(dòng)微分方程是齊次微分方程；系統(tǒng)在激勵(lì)作用下的振動(dòng)（），叫作強(qiáng)迫振動(dòng)，對(duì)應(yīng)的振動(dòng)微分方程是非齊次微分方程。阻尼的系統(tǒng)叫無(wú)阻尼系統(tǒng)?，F(xiàn)實(shí)中并不存在無(wú)阻尼

5、系統(tǒng)，但無(wú)阻尼系統(tǒng)的討論有重要的理論意義，這一點(diǎn)將在后續(xù)介紹中有所體現(xiàn)。微分方程建立后，單自由度振動(dòng)問(wèn)題已轉(zhuǎn)化為尋找滿足初始條件的微分方程解的問(wèn)題。借助于計(jì)算機(jī)，我們已經(jīng)可以很容易的得到它的響應(yīng)。但為了全面了解振動(dòng)特性，僅僅求出響應(yīng)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，必須學(xué)習(xí)其它分析方法和手段。微分方程已將力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，由高等數(shù)學(xué)知識(shí)知道，非齊次微分方程的解是齊次微分方程的解疊加上特解。由于特解的求解受形式的影響，高等數(shù)學(xué)中分為幾種類(lèi)型求特解。本章將按物理意義分類(lèi)介紹。無(wú)阻尼自由振動(dòng)、有阻尼自由振動(dòng)（齊次微分方程）和強(qiáng)迫振動(dòng)（非齊次微分方程）、簡(jiǎn)諧激勵(lì)和單位脈沖激勵(lì)、一般激勵(lì)強(qiáng)迫振動(dòng)特解順序討論單自由度系

6、統(tǒng)振動(dòng)，考慮到振動(dòng)試驗(yàn)分析需要，還介紹了傅氏積分變換和傳遞函數(shù)。2.2 無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)是沒(méi)有阻尼且不受外部激勵(lì)的系統(tǒng)。令式(2.7)中和為零，得到無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程： (2.8)按微分方程理論，設(shè)其解為： (2.9)式中和均為待定常數(shù)。將式(2.9)代入式(2.8)式有為了得到非零解,只能：有令： (2.10)式中為虛數(shù)符號(hào)。根據(jù)微分方程理論，式(2.8)的通解為 (2.11)式中和為待定常數(shù)，可由初始條件確定。根據(jù)歐拉公式 (2.12)將(2.12)式代入(2.11)式整理得： (2.13)由于和都是待定常數(shù)，兩個(gè)待定常數(shù)的和、差仍然是待定常數(shù)，可用另一個(gè)待定常數(shù)代替，

7、設(shè) (2.14)式(2.13)改寫(xiě)為： (2.15)和是新的待定常數(shù)。設(shè)和關(guān)系如圖2.3所示，則: 圖2.3 變換示意圖 (2.16) (2.17)將式（2-17）代入式(2.15)，解可表達(dá)為： (2.18a)將圖2.3中的、互換，可得 (2.18b)式中和是待定常數(shù)。式(2.11)、(2.15)和(2.18)是同一個(gè)函數(shù)的三種表達(dá)式，表達(dá)式都各有兩個(gè)待定常數(shù)，這些待定常數(shù)之間的關(guān)系見(jiàn)(2.14)、(2.16)和(2.17)，并由初始條件確定。三種表達(dá)式各有特點(diǎn)：式(2.11)求導(dǎo)方便；式(2.15)的兩個(gè)常數(shù)分別由初始位移和初始速度確定；式(2.18)物理意義明確。下面我們用式（2-18b

8、）來(lái)討論單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)特性，由于正余弦函數(shù)最大值為1，所以振動(dòng)的最大幅度為，叫做振幅。由于正弦和余弦函數(shù)的周期是，所以振動(dòng)的周期為： (2.19)圖2.4振動(dòng)曲線示意圖由于只與系統(tǒng)的參數(shù)有關(guān)，其量綱為弧度/秒(rad/s)，在量綱上與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的圓頻率相同，并僅僅由系統(tǒng)質(zhì)量和彈簧剛度確定(見(jiàn)式2.10)，反映了系統(tǒng)的固有特性，所以叫作(無(wú)阻尼)固有頻率。工程上常用每秒振動(dòng)的次數(shù)來(lái)恒量振動(dòng)的快慢，叫做(工程)頻率(赫茲:1/s)。固有頻率與工程頻率的關(guān)系為： (2.20)其中： (2.21)根據(jù)(2.18a)畫(huà)出振動(dòng)曲線示意圖如圖2.4，可看出：?jiǎn)巫杂啥葻o(wú)阻尼系統(tǒng)振動(dòng)最大幅值-振幅不變，振

9、動(dòng)的周期不變，振動(dòng)的起始點(diǎn)由初始相位確定。反映了振動(dòng)時(shí)刻的時(shí)間起點(diǎn)，叫做相位。因此，單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)是等幅的周期振動(dòng)，也叫簡(jiǎn)諧振動(dòng)。固有頻率、振幅、相位反映了振動(dòng)系統(tǒng)的基本特性，僅由系統(tǒng)參數(shù)確定。2.3 有阻尼自由振動(dòng)阻尼在現(xiàn)實(shí)中具有普遍性，絕對(duì)無(wú)阻尼的情況是不存在的。阻尼要消耗能量，使振動(dòng)衰減。若在振動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)受到的阻尼不能忽略，就要建立有阻尼系統(tǒng)進(jìn)行分析。有阻尼自由振動(dòng)微分方程為： (2.22)兩邊同除以得到 (2.23)令 (2.24)的引入是為了解的表達(dá)式簡(jiǎn)潔，同時(shí)也有明確的物理意義，稱為粘性阻尼因子。將式(2.10)和(2.24)代入式(2.23)有 (2.25)和無(wú)阻尼系統(tǒng)

10、一樣，設(shè)方程的解為 (2.26)式中為常數(shù)，為一個(gè)尚待確定的量。將解(2.26)代入方程(2.25)，得到非零解的條件為： (2.27)它稱為該系統(tǒng)的特征方程。這是關(guān)于的二次方程，它有兩個(gè)根： (2.28)顯然，根和的性質(zhì)取決于的值。我們看到，當(dāng)時(shí)，得到虛根，對(duì)應(yīng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)。下面我們分別討論(有阻尼)的情況。根據(jù)(2.26)，方程的解取決于開(kāi)方項(xiàng)。其結(jié)果有三種情況：1.當(dāng)時(shí)，開(kāi)方項(xiàng)開(kāi)方后為小于的正實(shí)數(shù)，和為兩不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，微分方程的解為：按指數(shù)規(guī)律衰減，并逐漸回到平衡位置，沒(méi)有發(fā)生振動(dòng)，這種現(xiàn)象叫做流變。振動(dòng)中把的情況稱為過(guò)阻尼情況，本書(shū)不作討論。2.當(dāng)時(shí)，開(kāi)方項(xiàng)為零，和為兩相同的負(fù)實(shí)數(shù)

11、，方程有重根，按照微分方程理論，微分方程的解為：顯然，為單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)，系統(tǒng)也不振動(dòng)。進(jìn)一步分析可知，時(shí)，阻尼的大小剛好使系統(tǒng)能最快地回到平衡位置使系統(tǒng)不做周期振動(dòng)，我們把對(duì)應(yīng)的阻尼叫臨界阻尼，它是使振動(dòng)系統(tǒng)剛好不振動(dòng)而又能最快地回到平衡位置時(shí)的阻尼，由（2.24）式知，其值為： (2.29)3.當(dāng)時(shí)，開(kāi)方項(xiàng)開(kāi)方為小于1的虛數(shù)，和為共軛復(fù)數(shù)，令則： (2.30)微分方程的解可表達(dá)為 (2.31)根據(jù)上節(jié)的思路和方法,式(2.31)可表達(dá)為另外兩種形式(2.32) (2.33a) (2.33b)以上三式均包含三角函數(shù)的乘積，表現(xiàn)出振動(dòng)特性。所以當(dāng)粘性阻尼因子時(shí)，系統(tǒng)是振動(dòng)的。從式(2.33)可清

12、楚的看出解由兩部分構(gòu)成，按指數(shù)規(guī)律衰減的振幅和以為頻率周期函數(shù)。因而，有阻尼振動(dòng)為周期性的減幅振動(dòng)，其周期為： (2.34)是有阻尼振動(dòng)的固有頻率。我們把的情況稱為小阻尼情況。顯然，有阻尼固有頻率小于無(wú)阻尼固有頻率。有阻尼系統(tǒng)周期大于無(wú)阻尼周期，阻尼使振動(dòng)變慢、周期變長(zhǎng)。根據(jù)式(2.33a),其典型的響應(yīng)曲線如圖2.5所示。振動(dòng)是周期的，但振幅是衰減的，曲線是振幅的包絡(luò)線。圖2.5有阻尼自由振動(dòng)響應(yīng)對(duì)于有阻尼系統(tǒng)，一個(gè)周期前后振幅比值的對(duì)數(shù)稱為對(duì)數(shù)衰減率，它是與阻尼有關(guān)的。 (2.35)為了減少測(cè)試誤差，試驗(yàn)時(shí)往往多取幾個(gè)周期。如圖2.6所示，設(shè)時(shí)刻的振幅為，經(jīng)過(guò)n個(gè)周期后，振幅為，其振幅比值

13、的對(duì)數(shù)是對(duì)數(shù)衰減率的n倍，有圖2.6 有阻尼自由振動(dòng)響應(yīng) (2.36)而所以而代入可求得： (2.37)當(dāng)阻尼很小時(shí)，上式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為 (2.38)對(duì)數(shù)衰減率為測(cè)試系統(tǒng)阻尼提供了理論基礎(chǔ)。2.4單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)及解的結(jié)構(gòu)當(dāng)系統(tǒng)受持續(xù)激勵(lì)作用時(shí)的振動(dòng)稱為強(qiáng)迫振動(dòng)。系統(tǒng)持續(xù)激勵(lì)可以是連續(xù)的，也可以是間斷的。我們用時(shí)間的函數(shù)F(t)表示。其振動(dòng)方程的一般表達(dá)式為式（2.7）： (2.39)1.解的結(jié)構(gòu)這是一個(gè)二階線性非齊次微分方程。在數(shù)學(xué)上，非齊次方程的通解是由齊次方程的通解疊加特解而得。因此，利用前面求得的自由振動(dòng)通解（齊次解），強(qiáng)迫振動(dòng)的通解為： (2.40)如前節(jié)，上式還可以用其它兩種

14、表達(dá)形式代入。在上式中，代入初始條件和就得到強(qiáng)迫振動(dòng)通解。初始條件代入后有： (2.41)顯然，雖然強(qiáng)迫振動(dòng)通解和自由振動(dòng)都是兩個(gè)待定常數(shù)，但自由振動(dòng)時(shí)兩個(gè)待定常數(shù)僅僅由初始條件確定，而強(qiáng)迫振動(dòng)通解中的兩個(gè)待定常數(shù)不僅取決于初始條件，同時(shí)還要受特解影響。振動(dòng)過(guò)程中阻尼總是客觀存在的。因此，解的前一項(xiàng)(齊次解)是衰減的，并隨著振動(dòng)時(shí)間增加而逐漸消失，稱為瞬態(tài)響應(yīng)。后一項(xiàng)(特解)是外部激勵(lì)的響應(yīng)，只要激勵(lì)是持續(xù)的，振動(dòng)就不會(huì)消失。在一段時(shí)間過(guò)后，振動(dòng)只有后一項(xiàng)（特解），稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。顯然，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與初始條件無(wú)關(guān)，只與系統(tǒng)和外部激勵(lì)有關(guān)。在振動(dòng)的前一段時(shí)間，振動(dòng)是兩項(xiàng)的疊加，在一段時(shí)間后就只有穩(wěn)態(tài)響

15、應(yīng)，瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間的長(zhǎng)短取決于阻尼的大小。待定常數(shù)中含有特解在初始時(shí)刻和的值?？蓪⑸鲜竭M(jìn)一步分開(kāi)寫(xiě)成三項(xiàng)：上式由三部分組成，第一部分為初始條件下系統(tǒng)的自由振動(dòng)，由初始條件和系統(tǒng)參數(shù)確定；第二部分是激勵(lì)與與自由振動(dòng)的相互影響，叫作系統(tǒng)的自由伴隨振動(dòng)；第三部分為激勵(lì)引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，由激勵(lì)和系統(tǒng)參數(shù)確定。因此，由于激勵(lì)的影響，對(duì)于初始位移和初始速度為零的系統(tǒng)，自由振動(dòng)的通解項(xiàng)也會(huì)存在。事實(shí)上在(2.41)式中代入零初始位移和零初始速度，并將其代入(2.40)得： (2.42)2、共振和拍現(xiàn)象由于自由振動(dòng)響應(yīng)是簡(jiǎn)諧的，當(dāng)激勵(lì)也是簡(jiǎn)諧的時(shí)，在某些條件下振動(dòng)現(xiàn)象比較特殊。如當(dāng)系統(tǒng)固有頻率與激勵(lì)頻率接近或相等

16、時(shí)，振幅會(huì)急劇增大，這種現(xiàn)象叫作共振。下面我們就無(wú)阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)的兩種特殊現(xiàn)象進(jìn)行討論。第1種情況是與相差不大時(shí)響應(yīng)出現(xiàn)的“拍”的現(xiàn)象；第2種情況是與相等時(shí)共振現(xiàn)象，我們把共振頻率定義為。這兩種情況我們都假設(shè)激勵(lì)為，初始條件為和，根據(jù)無(wú)阻尼微分方程，特解為：其中頻率比；顯然，根據(jù)（2.42）無(wú)阻尼且滿足零初始條件的解為： （A）1）當(dāng)與相差不大時(shí)為了分析拍現(xiàn)象，令，則系統(tǒng)的響應(yīng)變?yōu)椋簩⑸鲜礁膶?xiě)為： 利用三角函數(shù)變換中的和差化積公式，變換為：由于與相差不大，其差值很小，上式每項(xiàng)均由兩個(gè)頻率相差很大正、余弦函數(shù)相乘，相對(duì)來(lái)說(shuō)，前一項(xiàng)變化很慢，后一項(xiàng)變化很快，形成的響應(yīng)示意如圖2-7，慢變的前

17、項(xiàng)相當(dāng)于快變的后項(xiàng)的振幅，振動(dòng)看似被變成高頻的。這種現(xiàn)象叫“拍”，拍的現(xiàn)象在實(shí)驗(yàn)測(cè)量頻率中很大的用處，也是調(diào)頻的基本原理。圖2.7 “拍”的示意圖2）當(dāng)與相等時(shí)，響應(yīng)的分母變?yōu)榱悖瑸槔寐灞剡_(dá)法則分析，將用代替并代入式（A）得：當(dāng)時(shí)，上式變成型，利用洛必達(dá)法則。分子、分母分別對(duì)求導(dǎo)，得系統(tǒng)的響應(yīng)為：其中第一項(xiàng)是有限值，第二項(xiàng)是隨時(shí)間增加而增大的?？梢?jiàn)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在一段時(shí)間后，系統(tǒng)的振幅基本與時(shí)間成正比。因此，即使是無(wú)阻尼系統(tǒng)，雖然理論上共振時(shí)振幅會(huì)達(dá)到無(wú)窮大，但振幅增大的過(guò)程是與時(shí)間成正比的，需要持續(xù)的能量激勵(lì)才可能發(fā)生，如圖2-8所示。圖2.8 共振時(shí)振幅隨時(shí)間變化示意圖根據(jù)強(qiáng)迫振動(dòng)解的結(jié)

18、構(gòu)及特性，下面我們主要研究穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。顯然穩(wěn)態(tài)解的形式和和求解方法與激勵(lì)形式有關(guān)。不同形式的激勵(lì)物理意義不同，求特解的方法也不同。根據(jù)求解方法和振動(dòng)物理意義我們把激勵(lì)分為：簡(jiǎn)諧激勵(lì)、周期性激勵(lì)、沖擊和單位脈沖、任意激勵(lì)。任意激勵(lì)是指沒(méi)有上述特征的一般激勵(lì)形式。2.5 簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)1穩(wěn)態(tài)響應(yīng)解簡(jiǎn)諧激勵(lì)是指用正弦或余弦函數(shù)描述的激勵(lì)。不失一般性，我們可根據(jù)歐拉公式(2.12)用簡(jiǎn)諧激勵(lì)的復(fù)數(shù)形式： (2.43)其中為激勵(lì)頻率，為激勵(lì)幅值。其實(shí)部對(duì)應(yīng)余弦型激勵(lì)、虛部對(duì)應(yīng)正弦形激勵(lì)，激勵(lì)描述時(shí)沒(méi)有考慮相位，但考慮相位的方法是一樣的。引入簡(jiǎn)諧激勵(lì)的復(fù)數(shù)形式不但是為了方便求解，更是為了后面章節(jié)應(yīng)用。從

19、而簡(jiǎn)諧激勵(lì)的一般振動(dòng)微分方程為 (2.44)按微分方程理論，設(shè)特解形式為 (2.45)式中為待定常數(shù)。代入式(2.45)可得 (2.46)將A回代入式(2.46)可得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為： (2.47)若記 (2.48a)只與系統(tǒng)參數(shù)和激勵(lì)頻率有關(guān)，我們把它叫作傳遞函數(shù)，將在后面詳細(xì)討論。從而響應(yīng)可用表達(dá)為： (2.48b)顯然簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是簡(jiǎn)諧的，只是因?yàn)橄到y(tǒng)的影響，響應(yīng)被“放大”倍，。為了進(jìn)一步分析穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性，我們將對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)一步分析。2解表達(dá)式及特性為了得到簡(jiǎn)諧激勵(lì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的具體表達(dá)式，對(duì)式(2.48)同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，得： (2.49)根據(jù)圖2.9所示關(guān)系，可得： (2.50)

20、(2.51)代入式(2.51)得： (2.52) (2.53)代回到(2.52)式得： (2.55 a) (2.55b)其實(shí)部為余弦激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、虛部為正弦激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。顯然簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍然是簡(jiǎn)諧的，且周期和頻率與激勵(lì)一致，幅值放大了，并產(chǎn)生了相位差。將；，且定義頻率比，代入(2.55)得 (2.56)若定義系統(tǒng)在激勵(lì)力幅作用下的靜位移為：則簡(jiǎn)諧激勵(lì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值是靜位移的倍， (2A)我們把稱做無(wú)量綱放大因子。相位差可由式(2.53)、(2.54)或下式求得： (2B)3. 幅頻和相頻率響應(yīng)特性放大系數(shù)式（2A）和相位差式（2B）分別反映了幅值和相位差與不同阻尼比和頻率比時(shí)的特性。時(shí)

21、幅頻（幅值-頻率）特性曲線如圖2.10所示。圖2.10 不同阻尼比時(shí)放大因子從圖2.10看到，放大因子起點(diǎn)對(duì)應(yīng)靜力狀態(tài)，此后隨頻率比增加而增加，在頻率比為1附近達(dá)到最大值，以后逐漸減小，并逐漸趨于平緩。放大因子取極值，也就是根項(xiàng)內(nèi)取極值，對(duì)式(2.54)根號(hào)內(nèi)項(xiàng)求極值可得：有： (2.57)當(dāng)頻率比時(shí)，放大因子有最大值： (2.58)實(shí)際上由于阻尼的影響，放大因子最大值并不在的點(diǎn)，而是前移了，阻尼越小，前移量越小。對(duì)應(yīng)不同阻尼系數(shù)，放大因子的值不同。從無(wú)量綱放大因子圖（2.10）看出1）在共振頻率附近阻尼對(duì)振幅的抑制作用非常明顯，在離開(kāi)共振稍遠(yuǎn)的范圍，阻尼作用減弱。增加系統(tǒng)阻尼可以有效的減小共

22、振區(qū)的振動(dòng)強(qiáng)度。2）為了減小系統(tǒng)的振動(dòng)，使激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率相互避開(kāi)是非常有效的；反之，要利用振動(dòng)時(shí)就要使二者接近。3、系統(tǒng)對(duì)不同頻率成分的振動(dòng)量放大程度不同，振動(dòng)測(cè)試時(shí)應(yīng)當(dāng)合理選擇拾振器，希望工作頻段在放大因子較平滑段（共振頻率右邊），否則，不同頻率的振動(dòng)放大程度差異太大，使信號(hào)失真。不同阻尼比時(shí)相頻（相位-頻率）特性曲線如圖2.11所示，當(dāng)系統(tǒng)固有頻率與激勵(lì)頻率相等時(shí)，相位差為，圖2-11 相位-頻率特性曲線例四圖2.12所示為車(chē)輛在不平的道路上勻速行駛時(shí)振動(dòng)分析簡(jiǎn)化模型。設(shè)車(chē)輛質(zhì)量，懸掛的剛度k=350kN/m，阻尼比為0.5，車(chē)速為v=100km/h，軌道不平順呈正弦波形，可表示為

23、，其中波長(zhǎng)。求車(chē)體穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及振動(dòng)加速度。解：取質(zhì)量塊為隔離體，x(t)表示質(zhì)量塊的絕對(duì)坐標(biāo)，其受力圖如圖2.13所示：圖2.13 受力圖系統(tǒng)平衡微分方程為： (a)整理得： (b)將代入不平順中，并設(shè)，則，將其代入式（b）得：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為由兩項(xiàng)疊加而成，根據(jù)式(2.52)，取實(shí)部力幅為、取虛部時(shí)力幅為，疊加得：則振動(dòng)加速度最大值為： 此結(jié)果核實(shí)一下？代入數(shù)據(jù)解得2.6沖擊、單位脈沖響應(yīng)和任意激勵(lì)的響應(yīng)除直接對(duì)方程(2.39)用數(shù)值積分方法求解外，求任意激勵(lì)的響應(yīng)的解析方法還有杜哈梅積分法和積分變換法。杜哈梅積分是將激勵(lì)看作是一系列脈沖激勵(lì)的疊加，求出脈沖激勵(lì)的響應(yīng)后，將這一系列脈沖激勵(lì)響應(yīng)疊加就

24、得到了任意激勵(lì)的響應(yīng)。積分變換方法是將振動(dòng)微分方程(2.39)作拉氏或傅氏變換，然后反變換求響應(yīng)。2.6.1 沖擊、單位脈沖函數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)受沖擊時(shí)的響應(yīng)叫作沖擊響應(yīng)。沖擊激勵(lì)形式多樣，除工程中的沖擊問(wèn)題外，在振動(dòng)測(cè)試中，我們往往用力錘激振系統(tǒng)。沖擊過(guò)程時(shí)間一般很短，在很短的時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)受力從無(wú)達(dá)到最大并消失，如圖（2.14a）所示。沖擊過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，但當(dāng)我們對(duì)沖擊過(guò)程不感興趣時(shí)，沖擊引起的沖擊響應(yīng)問(wèn)題可描述為三個(gè)階段。1、 沖擊前系統(tǒng)初始位移和初始速度均為零；2、 系統(tǒng)在某時(shí)刻受沖擊力F作用，在很短的時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)受力從無(wú)達(dá)到最大并消失，短暫的沖擊過(guò)程結(jié)束后，系統(tǒng)獲得沖量U，質(zhì)量塊獲得一個(gè)初始速度。由

25、于沖擊過(guò)程時(shí)間短，產(chǎn)生的位移可以忽略。3、 沖擊結(jié)束后瞬時(shí)、系統(tǒng)以沖擊結(jié)束后的速度為初始條件自由振動(dòng)。設(shè)沖擊發(fā)生在t=0時(shí)刻，分別用0-和0+表示沖力作用瞬間的前后時(shí)間，則，在此過(guò)程結(jié)束后系統(tǒng)獲得沖量U，質(zhì)量塊獲得一個(gè)初始速度：在沖擊過(guò)程質(zhì)量塊產(chǎn)生位移是沖擊時(shí)間的乘積，因?yàn)闆_擊時(shí)間很短，可假設(shè)位移很小，與速度相比可以略去。沖擊束后系統(tǒng)系統(tǒng)不再有激勵(lì)，只是以初始速度開(kāi)始作自由振動(dòng)。因此、求沖擊響應(yīng)而不注重沖擊過(guò)程時(shí)，我們可以不考慮沖擊過(guò)程力的詳細(xì)變化規(guī)律，而只需要知道沖量的大小。根據(jù)沖量的定義，我們可以把發(fā)生在時(shí)刻的沖擊沖量簡(jiǎn)化為寬為，高為的脈沖力，用如圖（2.14b）所示。如沖量為1、叫作做單

26、位脈沖。顯然、當(dāng)脈沖寬度趨近于零，脈沖力趨近于無(wú)窮大。（a） （b）圖2.14 沖擊與脈沖激勵(lì)在數(shù)學(xué)上單位脈沖函數(shù)很好的描述了單位脈沖力，如圖2.14（b）所示，它定義為 (2.59) 或如圖2.14（b）所示 ，當(dāng)時(shí)且有 (2.60)函數(shù)還有如下的重要性質(zhì) (2.61)其中為一連續(xù)函數(shù)。式(2.59)使具有定位功能，式(2.61)使具有篩選功能。2.6.2 單位脈沖響應(yīng)當(dāng)沖擊力的沖量為1時(shí)，激勵(lì)稱為單位脈沖，處于零初始條件的系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力的響應(yīng)稱為單位脈沖響應(yīng)，記為。單位脈沖響應(yīng)為初始位移為0，而初始速度為的自由振動(dòng)，由2.4節(jié)單自由度有阻尼系統(tǒng)的通解為：將初始條件代入上式有：因此：其響應(yīng)

27、如上圖2.15所示。當(dāng)系統(tǒng)無(wú)阻尼時(shí)，只需要令阻尼為零，可得無(wú)阻尼時(shí)的單位脈沖響應(yīng)。如果沖擊發(fā)生在時(shí)刻，則單位脈沖響應(yīng)也將滯后時(shí)間，有，響應(yīng)在大于零時(shí)才開(kāi)始（圖2.15）。圖2.15 響應(yīng)時(shí)間滯后示意圖2.6.3任意激勵(lì)響應(yīng)杜哈梅(Duhamel)積分當(dāng)初始條件為零的系統(tǒng)受到任意激振力作用時(shí)，可以將激振力看作是一系列的寬度為，高度為的脈沖力，如圖2.17所示。在時(shí)刻的脈沖力，其沖量對(duì)的任意時(shí)刻響應(yīng)的貢獻(xiàn)為： (2.62)圖2.17 任意激勵(lì)劃分示意圖由線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)在任意激勵(lì)時(shí)時(shí)刻的響應(yīng)等于激勵(lì)在時(shí)間區(qū)間內(nèi)的各個(gè)脈沖響應(yīng)的總和，即 (2.63)上式的積分形式稱為卷積。因此線性系統(tǒng)對(duì)任意

28、激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)等于它的單位脈沖響應(yīng)與激勵(lì)的卷積。式(2.60)稱為杜哈梅積分。由卷積性質(zhì)，上式的積分變量可以互換。有 (2.64)例六求無(wú)阻尼系統(tǒng)的階躍激勵(lì)響應(yīng)階躍激勵(lì)是指突然施加在系統(tǒng)上大小不變的激勵(lì)，用，其中如表示激勵(lì)的大小，稱為階躍函數(shù)，如圖2.18所示。圖 2.18階躍函數(shù)的表達(dá)式為它的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)，也是振動(dòng)分析的一個(gè)常用函數(shù)，其響應(yīng)叫階躍響應(yīng)。由杜哈梅積分，無(wú)阻尼階激勵(lì)的響應(yīng)：2.7傅氏級(jí)數(shù)及傅氏變換、頻率譜響應(yīng)反映了振動(dòng)量與時(shí)間的關(guān)系，對(duì)于振動(dòng)量，我們不僅僅需要從響應(yīng)了解幅值，更需要了解其頻率特征。對(duì)于稍微復(fù)雜的振動(dòng)量，從響應(yīng)很難直接得到頻率特征。傅氏級(jí)數(shù)及傅氏變換是分析振動(dòng)頻率特征

29、的有效工具。下面我們從傅氏級(jí)數(shù)開(kāi)始介紹頻率譜及傅氏積分變換。2.7.1 傅氏級(jí)數(shù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是最基本和最簡(jiǎn)單的振動(dòng)形式。對(duì)于線性系統(tǒng)，求周期激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可先將周期激勵(lì)分解的一系列不同頻率的簡(jiǎn)諧激勵(lì)分量，然后求出各簡(jiǎn)諧激勵(lì)分量的響應(yīng)，再根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，將各個(gè)響應(yīng)逐一疊加就得到了系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，從而將周期激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)諧激勵(lì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的求和問(wèn)題。另一方面，對(duì)于一個(gè)周期為振動(dòng)量，總有，其基本園頻率?？偸强梢杂酶凳霞?jí)數(shù)把其分解為諧波： （2.65）其中、是各個(gè)正、余弦諧波分量的幅值，是的平均值。是各個(gè)諧波的頻率。為確定余弦項(xiàng)和正弦項(xiàng)的幅值和，利用三角函數(shù)的正交性，把（1-1）

30、式兩側(cè)同乘上或，然后對(duì)從到上積分可得： （2.66）顯然，、反映了每個(gè)諧波分量的幅值，在圖上是離散的，可叫做（頻率的）幅值譜。例五求如圖2.16所示方波的傅氏級(jí)數(shù)。圖2.16解：將方波激勵(lì)展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)，各諧波分量系數(shù)為： 因?yàn)榛緢@頻率，所以上式劃為：各諧波分量的幅值與頻率關(guān)系如下圖。圖2.17 諧波分量幅值幅值譜2.7.2 復(fù)傅氏級(jí)數(shù)及傅氏積分（2.66）式中所求的和是實(shí)數(shù)傅氏系數(shù)，或即稱為傅氏系數(shù)，是物理振動(dòng)過(guò)程，當(dāng)然是實(shí)數(shù)級(jí)數(shù)。在理論推導(dǎo)中常采用復(fù)數(shù)形式比較方便，復(fù)傅氏級(jí)數(shù)當(dāng)然并不改變振動(dòng)過(guò)程本身。在式（2.67）中利用歐拉公式：； （2.67）整理后并記 （2.68）（2.69）式就

31、成為下面形式。雖然只是形式上的改變，但將傅氏級(jí)數(shù)從實(shí)數(shù)域擴(kuò)展到了復(fù)數(shù)域，叫復(fù)傅氏級(jí)數(shù)。 （2.69）其中，由（2.68）和（2.69）式可知為： （2.70）傅氏級(jí)數(shù)及復(fù)傅氏級(jí)數(shù)只適于對(duì)周期函數(shù)進(jìn)行頻率分析。2.7.3 傅氏積分變換對(duì)于周期函數(shù)，作諧波分析時(shí)，由于需要滿足周期的要求，所以各高次諧波的頻率只能取基頻的整數(shù)倍。實(shí)際應(yīng)用中有很多非周期函數(shù)，我們可以將非周期函數(shù)看作是周期可趨近的周期函數(shù)。當(dāng)周期趨近時(shí)，頻譜間隔將趨于零，傅氏級(jí)數(shù)的求和轉(zhuǎn)變積分。顯然，頻譜間隔將趨于零使得譜將是連續(xù)的，這是周期函數(shù)與非周期函數(shù)在頻域中表現(xiàn)出的主要特征差別之一。對(duì)于周期函數(shù)，頻率間隔為。頻譜是離散取值的。愈

32、大，頻率間隔愈小。對(duì)于非周期函數(shù)，當(dāng)T趨近無(wú)窮大時(shí)，記頻率間隔為，則同理周期函數(shù)中頻率間隔的整數(shù)倍可表達(dá)為：從而：將（2.70）式代入：可以認(rèn)為，因而，（連續(xù)取值），。因而有，可以記函數(shù) （2.71）為原函數(shù)的正傅氏積分變換，則的逆傅氏積分變換為： （2.72）把乘數(shù)放在正或逆傅氏變換中有不同的取法。把乘數(shù)放在逆變換中，這時(shí)由于，所以這樣的傅氏變換對(duì)對(duì)于圓頻率和對(duì)于赫茲頻率將是一致的。使用（2.71）和（2.72）作為傅氏變換對(duì)時(shí)，赫茲頻譜與圓頻率頻譜之間的關(guān)系成為： （2.73）即赫茲頻譜等于圓頻率頻譜中的以代替后，再乘以。一般是復(fù)的，可以用實(shí)部頻率、虛部頻率、幅值頻率、相位頻率的圖線表示。

33、為了比較傅氏級(jí)數(shù)和傅氏積分的差別，我們對(duì)前例用積分變換求幅值譜。例六 對(duì)圖2.16所示方波進(jìn)行傅氏積分變換，也在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行。解：其實(shí)部為零，虛部為： 由于是連續(xù)變化的，與實(shí)傅氏變換相比，除基本園頻率取極值外，在其它點(diǎn)并不為零。圖2.18 幅值譜：（a）傅里葉積分；（b）傅里葉級(jí)數(shù)2.8 傳遞函數(shù)除了根據(jù)激勵(lì)求響應(yīng)外，還需要根據(jù)激勵(lì)和響應(yīng)求系統(tǒng)的物理參數(shù)-系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別，系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別也是故障診斷的理論基礎(chǔ)。在求簡(jiǎn)諧振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，我們的知道復(fù)數(shù)形式激勵(lì)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與激勵(lì)之間的關(guān)系僅僅由確定，而與激勵(lì)無(wú)關(guān)，僅由系統(tǒng)參數(shù)m、c、k和振動(dòng)頻率確定，為系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別提供了基礎(chǔ)。在工程中隨不同的激勵(lì)和響應(yīng)而給出了不同的名稱，例如力激勵(lì)至位移響應(yīng)時(shí)稱為位移導(dǎo)納或動(dòng)柔度，速度至力稱機(jī)械阻抗。由于它用復(fù)數(shù)形式反映了系統(tǒng)的幅值和頻率傳遞特性，也叫作復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)；常把用拉氏變換復(fù)參量表示的傳遞恃性稱為傳遞函數(shù)，也有用傳遞函數(shù)一詞來(lái)統(tǒng)稱各種頻率傳遞特性，本書(shū)也將它稱為傳遞函數(shù)。從輸入、系統(tǒng)、輸出三者之間的關(guān)系看，響應(yīng)是通過(guò)反映系統(tǒng)物理特性的后傳遞的激勵(lì)，不同的系統(tǒng)傳遞后的響應(yīng)不同。傳遞函數(shù)還可根據(jù)微分方程由傅氏變換和拉氏變換得到。對(duì)于一般的系統(tǒng)振動(dòng)微分方程均有式（2.66）的形式，其傳遞函數(shù) (2.74)在工程實(shí)際中有不同的系統(tǒng)、不同的輸入和輸出關(guān)系，因此也有不同形式。對(duì)于