二項(xiàng)式定理的練習(xí)及答案

1、二項(xiàng)式定理的練習(xí)及答案基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練（一）選擇題1 .（X+刀二尸展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（）VXA.第 4 項(xiàng) B. 24C： C. C；2 . （x-l）”展開(kāi)式中x的偶次項(xiàng)系數(shù)之和是（）B.-1023C.-10243 . （1+a）7展開(kāi)式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是（）.5 C4 .若C:與C：同時(shí)有最大值，則m等于（）或5 或6 C. 3或45 . ® （2x-3）l=a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +a4x4,則 ao+ai+Was的值為（）.16 C6 . （x3-L尸展開(kāi)式中的中間兩項(xiàng)為（）xA.-C"2cMi2C：£,-C：X。. -C：W D.叱,-品

2、產(chǎn)（二）填空題7 .在（2x-gy）7展開(kāi)式中，xV的系數(shù)是.8 . C： + 3C； + 3y + -+3y=9 .（方十京）”的展開(kāi)式中的有理項(xiàng)是展開(kāi)式的第 項(xiàng).10 . （2x-l）5展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和是.11 . （l + 3x + 3x2 + x3y°展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是.12 .精確到的近似值是（三）解答題13 .求（l+x+xa-x）1。展開(kāi)式中X，的系數(shù).14 .求(l+x) + (l+x)2+(l+x。展開(kāi)式中x，的系數(shù).15 .已知(2x)5展開(kāi)式中第2項(xiàng)大于第1項(xiàng)而不小于第3,求x的取值范圍.16 .若f(x) = (l + x)m+(l + x)n(

3、m-n£N)展開(kāi)式中，x的系數(shù)為21,問(wèn)m、n為何值時(shí), 一的系數(shù)最小17 .自然數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，求證：1 + 2C； + C； + 2C： + C： + + 2C+ C： = 3 2n-118 .求80”被9除的余數(shù).19 .已知(JG 三廠的展開(kāi)式中，第五項(xiàng)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為14； 3,求展開(kāi)式 x-的常數(shù)項(xiàng).20 .在(x?+3x+2)5的展開(kāi)式中，求x的系數(shù).21 .求(2x+D"展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).參考解答：1 .通項(xiàng) T=+=C；xJ(搟)=C；xa5r 2,由 6 |i = 0=> = 4,常數(shù)項(xiàng)是 15=或21 選(B)2 .設(shè) f(x) =

4、(x-l)“，偶次項(xiàng)系數(shù)之和是,：(-1)= (_2)“ / 2 = 1024 ,選(C),r3 .通項(xiàng)T1+i =C；(J5)r =C；2"當(dāng)r=0, 2, 4, 6時(shí)，均為有理項(xiàng)，故有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為4 個(gè)，選(A)4 .要使C：最大，因?yàn)?7為奇數(shù)，則n = U1或n = 1 7 +1n = 8或n=9,若n=8,要 22使c；最大，則1n=4,若n=9,要使C?最大，則m =號(hào)或m = 3n m = 4或1n=5, 綜上知，m=4或m=5,故選(A)7.；,9,15,21310. (2x-l)5展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)系數(shù)絕對(duì)值之和實(shí)為(2x+l)s展開(kāi)式系數(shù)之和，故令x=l,則 所求和

5、為35.11. (1+3x+3x2+x3：T=(1+x)此題中的系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)，系數(shù)最大的項(xiàng)是Ti6=C；：x'C； C；0.009 + 忠 0.96 (l + x + x2)(l-x)10 = (l-x3)(l-x)9 要得到含 x'的項(xiàng),必須第一個(gè)因式中的1與(1 - X)9展開(kāi)式中的項(xiàng)C；(X)，作積，第一個(gè)因式中的一 /與(l-x)9展開(kāi)式 中的項(xiàng)C；(x)作積，故(的系數(shù)是C； + C； = 135.1/I io (1 + X)l (1 + X)i° (X 4- I)11 (X + 1)14. (1 + X)+ (1 + X)- + -(l + x)10

6、 =-_- ,原式中 11-(1+ X)X實(shí)為這分子中的X，,則所求系數(shù)為C.1fCj(-2x)>C：X<"10 一 I,115.由<=>=> <x<匕(-2冷"；(-2"4104 16. 由條件得 m+n=21, x?的項(xiàng)為 C；x? + C：x?,則 C： + C： = (n 爹 + 才.因 nWN, 故當(dāng)n=10或11時(shí)上式有最小值，也就是m=ll和n=10,或m=10和n=ll時(shí)，x?的系數(shù)最小17. 原式=(C：+C；+C：+ Cr+C：) + (C；+C：+C：+ -+C：T) = 2n+2nT=3.2nT18

7、. 8011 = (81 -1)11 = C°81n-C；18#° + + C；：81 -1 = 8U-l(k e Z),VkGZ, .*.9k-lGZ,二 81” 被 9 除余 8.19. 依題意C：:C；=14:3n3C：=14C：.3n(n-l) (n-2) (n-3)/4!=4n(n-l)/2! =>n=10f)10-5r設(shè)第 r+l 項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，又 Tr+1 = Cl0(VI)l0-r(-4)r = (-2)rCoX-x-令W2£ = 0ni = 2, . J* =c；°(_2)2 =180.此所求常數(shù)項(xiàng)為 180.20. (x2 + 3

8、x + 2)5 = (x +1)5(x + 2)在(x+l)5展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為1,含X的項(xiàng)為C； =5x,在(2+x)5展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為2'=32, 含x的項(xiàng)為C；2"x = 80x，展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為L(zhǎng)(80x) +5x(32) = 240x,此展開(kāi)式中x的系數(shù)為240.21.設(shè)的系數(shù)最大，則Te的系數(shù)不小于Tr與的系數(shù)，即有12-rC：,2" >Crl2lC；2212-r >C123-rll-r =><C、> 2cl12C2>C-展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)為第5項(xiàng)，T5=16C：/4 = 7920x4三.拓展性例題分析例1在二項(xiàng)式

9、卜日+擊)的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中所有有 理項(xiàng).分析：本題是典型的特定項(xiàng)問(wèn)題，涉及到前三項(xiàng)的系數(shù)及有理項(xiàng)，可以通過(guò)抓通項(xiàng)公 式解決.解：二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：前三項(xiàng)的;* = 0,1,2.得系數(shù)為：4=l9t2=Cln- = -n,/3 = C： 了 =6n(n-l), Z Z4 o由已知：2G =f+G n = 1+ -77(77-1), 877 = 8通項(xiàng)公式為1167-刀乜=C；斤不丁廠=0,1,28,(+為有理項(xiàng)，故16 3r是4的倍數(shù)，r = 0,4,8.依次得到有理項(xiàng)為 T=/Z=C；*x = x,7； = C； = x7 = ex2.Z oZZJO說(shuō)明

10、：本題通過(guò)抓特定項(xiàng)滿足的條件，利用通項(xiàng)公式求出了個(gè)的取值，得到了有理項(xiàng).類 似地，（及+ “）儂的展開(kāi)式中有多少項(xiàng)是有理項(xiàng)可以通過(guò)抓通項(xiàng)中r的取值，得到共有 17頁(yè)系數(shù)和為3”.例2（1）求（1 x）3（l+xy°展開(kāi)式中V的系數(shù)；（2）求（x+1+ 2）6展開(kāi)式中的常x數(shù)項(xiàng).分析：本題的兩小題都不是二項(xiàng)式展開(kāi)，但可以轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開(kāi)的問(wèn)題，（1）可以 視為兩個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式相乘；（2）可以經(jīng)過(guò)代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式.解：（1）（1 -冷3（1+#1°展開(kāi)式中的X、可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類項(xiàng):用（1一工）3展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)乘以展開(kāi)式中的爐項(xiàng)，可以得到C：。/；用

11、（1一x）3展開(kāi)式中的一次項(xiàng)乘以（1 + X）10展開(kāi)式中的/項(xiàng)可得到（3xXC：。/） = -3C；OX5 ； 用（1 x）3中的/乘以（1 + X）10展開(kāi)式中的/可得到3尸Cfox3 = 3c：。/；用（1 #3中的 X3項(xiàng)乘以（1+X）10展開(kāi)式中的項(xiàng)可得到一3犬 C；。/ = -Cfox5，合并同類項(xiàng)得/項(xiàng)為： （C：o - C：。+ 3C：o C0）x5 = -63x5.（X+ + 2）5 = f yx + -= .X I由（6十十、展開(kāi)式的通項(xiàng)公式7；+=C；2（JI）A（N） =1,可得展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為C：?=924.說(shuō)明：?jiǎn)栴}（2）中將非二項(xiàng)式通過(guò)因式分解轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解決.這

12、時(shí)我們還可以通過(guò) 合并項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開(kāi)的問(wèn)題來(lái)解決.例3求（l + x-/）6展開(kāi)式中爐的系數(shù).分析：（1+X 一工2）6不是二項(xiàng)式，我們可以通過(guò)l+X-爐=（1 +刈一片或1+。一/） 把它看成二項(xiàng)式展開(kāi).解：方法一：(l + x 一r)6 二(l + x) -X?5=(l + x<5)-6(l + x)5x2 + 15(l+x)4x4-其中含V的項(xiàng)為一 6c江5 + 15C>5 = 6x5.含爐項(xiàng)的系數(shù)為6.方法二：(l+x X)6 = l + (xx)j (= l + 6(x-x2)+15(x-x2)2 + 20(x-x2)3 +15(x-x2)4 + 6(x-x2)5 +

13、 (x-x2)6其中含 V 的項(xiàng)為 20(-3)x5 + 15(-4)x5 + 6x5 = 6x5.:.項(xiàng)的系數(shù)為6.方法3：本題還可通過(guò)把(l + x-V)，看成6個(gè)l + x-x?相乘，每個(gè)因式各取一項(xiàng)相乘可得到乘積的一項(xiàng)，/項(xiàng)可由下列幾種可能得到.5個(gè)因式中取x, 一個(gè)取1得到C；/.3個(gè)因式中取x, 一個(gè)取一丁，兩個(gè)取1得到CC*3.(_x2).1個(gè)因式中取x,兩個(gè)取一£,三個(gè)取1得到(/尸.合并同類項(xiàng)為(C； -C；C； + Cl6C;)x5 = 6/,/項(xiàng)的系數(shù)為6.例 4 求證：(1) C： + 2C；+ + C：=2"t；(2) C； + ；C： + ；C：

14、 + <=<(2出1).2377+1” + 1分析：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上是組合數(shù)的性質(zhì)，我們可以用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)來(lái)證 明一些組合數(shù)的等式或者求一些組合數(shù)式子的值.解決這兩個(gè)小題的關(guān)鍵是通過(guò)組合數(shù)公式 將等式左邊各項(xiàng)變化的等數(shù)固定下來(lái)，從而使用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)C + C+C +c： = 2".解：(1) kckn=k- /?!=-廠=".Of =心;k) (k -1)! (- k)l(k -!)!(/? + k)左邊=C：_ + +二；=(C3 + C：T + + C：二;)= 2t =右邊.(2) -Ck = 1 -=k + i " k + 1 k(

15、n-k)l (J)!(I)!_ _J_.+_ 1 c。n + ik + l)(n-kyn + l ，+1 *左邊=_C；J+1 +C；+1 + -+c：i=-(C：r+1 + C3 + -4-C；：i) =工(2加- 1)=右邊說(shuō)明：本題的兩個(gè)小題都是通過(guò)變換轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式系數(shù)之和，再用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 求解.此外，有些組合數(shù)的式子可以直接作為某個(gè)二項(xiàng)式的展開(kāi)式，但這需要逆用二項(xiàng)式定 理才能完成，所以需仔細(xì)觀察，我們可以看下面的例子：例 5：求 29C；： + 28C：o + 27C：o+ - + 2C；o + 10 的結(jié)果.仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與(1 + 2)1°的展開(kāi)式接近

16、，但要注意：(1+2嚴(yán)= C；o + C>2 + C；o-22+- + C：o-29+C；21°= l + 2xl0 + 22C;o4- + 29Cfo + 21；J=1+2(10 + 2Cf0 4- - + 28C?0 + 29C；J)從而可以得到：10+2C；° +2SC：o + 29C；： = g(3i° l).例6利用二項(xiàng)式定理證明：32+28-9是64的倍數(shù).分析：64是8的平方，問(wèn)題相當(dāng)于證明第4一8一9是82的倍數(shù)，為了使問(wèn)題向二項(xiàng) 式定理貼近，變形32"+2=9加=(8 + 1)日，將其展開(kāi)后各項(xiàng)含有鏟，與8?的倍數(shù)聯(lián)系起 來(lái).M：

17、 V32,+2-8/7-9 ¥=9n+1-8n-9 = (8 +1嚴(yán)89= 8m+C38+- + C：；-82+C：38 + l 8 9=8,+1 + C：+1 8" + + C； . 82 + 8(/2 +1) +1 8 9= 8 + C；j+1.8" + - + C；.82=(8/1 + C；,+1 8t + + C；J) 64 是 64 的倍數(shù).說(shuō)明：利用本題的方法和技巧不僅可以用來(lái)證明整除問(wèn)題，而且可以用此方程求一些 復(fù)雜的指數(shù)式除以一個(gè)數(shù)的余數(shù).例7展開(kāi)。工一奈）.分析1:用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式.= 32x5-120x2 + - x135 405 243,+

18、 -x4 8/ 32 產(chǎn)分析2:對(duì)較繁雜的式子，先化簡(jiǎn)再用二項(xiàng)式定理展開(kāi).解法2：(收-3)5 32產(chǎn)=3©(4丁)5 + C； (4x)(3) + C；J)"-3尸+或("(3)3 +。；(4/直-3)4 + 以(-3)5(1024/ - 3840/ + 5760x9 - 4320f + 1620F _ 2437)= 32x20八度一當(dāng)+駕 x x4 8/24332小說(shuō)明：記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式（。+與”的展開(kāi)式，是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問(wèn)題的前提條 件.對(duì)較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開(kāi)會(huì)更簡(jiǎn)便.例8若將a+y + z）1。展開(kāi)為多項(xiàng)式，經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為（）.A. 11B. 33C. 55D. 66分析：分+y+z)】°看作二項(xiàng)式(x+y)+zT°展開(kāi).解：我們把x+y+z看成(x+y)+z,按二項(xiàng)式展開(kāi)，共有11“項(xiàng)